【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学(文)试题

长郡中学2017届高三五月模拟考试文科数学试卷（原创）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}20,1,2,3,|0x A B x x -⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭，则A B = A. {}0,1,2 B. {}1,2 C. {}2,3 D.{}0,2,32.设复数z 满足()11i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 3.某人到甲、乙两市一个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘制成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为 A. 4 B. 3 C. 2 D.14.给出下列四个命题，其中真命题的个数是①回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本中心点(),x y ； ②“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“0x R ∃∈,使得200230x x ++<”的否定是“x R ∀∈,均有2230x x ++>”；④命题“p q ∨”是真命题，则“p q ⌝∧⌝”也是真命题.A. 0B. 1C. 2D.35.若正整数N 除以正整数m 后所得的余数为n,则记为()mod N n m =，例如()104mod6=.如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的：孙子定理的某一环节，执行该框图，输入2,3,5a b c ===，则输出的N = A. 6 B. 9 C. 12 D.216.已知,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，522,33AB OC OA OB ==-,若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A. 3B.7. “1m =-”是“直线()1:2110l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.323 B. 503 C. 643 D.8039.若函数()2f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图像是10.已知()2sin cos 2f x x x x =-，将()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g a x g a x -=+成立，则4g a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. 12+B. 1C. 12- D.0 11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上一点，且120PF PF ⋅=，若12,126PF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是A. 1⎡⎤⎣⎦B. 2,1⎡⎤⎣⎦C. 2⎤⎦D.1⎤⎦12.设实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为A. 0B. 1C. 94D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.《九章算术》中有“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一次。

湖南省长沙市长郡中学2017届高考数学模拟冲刺试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（）A．0∉A B．1⊆A C．D．3∈A2．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i3．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机有放回的抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12 6．（5分）已知等差数列数列{a n}满足a n+1+a n=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（5分）从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=（）A．0 B．﹣2 C．2 D．149．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，P A⊥面ABC，P A= 2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．πD．16π11．（5分）已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）12．（5分）设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣3共线，则=．14．（5分）直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．15．（5分）若数列{a n}是正项数列，且，则=．16．（5分）已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1，F2．已知点M 坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知c sin A=a cos C．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sin C+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）某学校为了加强学生的安全教育，对学校旁边A，B两个路口进行了8天的监测调查，得到每天路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A路口数据的平均数比B路口数据的平均数小2．（1）求出A路口8个数据的中位数和茎叶图中m的值；（2）在B路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，P A=AC，P A⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，函数g（x）=|2x﹣1|．（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．D【解析】集合A={x∈N|0≤x≤4}∴0∈A，1∈A，∉A，3∈A故选：D．2．A【解析】故选A．3．A【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．4．C【解析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n=6，取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的基本事件个数m=4，∴取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为=．故选：C．5．A【解析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．6．B【解析】∵数列{a n}是等差数列，且a n+1+a n=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{a n}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=4即2a1+d=4解得a1=1．故选：B．7．B【解析】经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为9x+4，令9x+4≥40，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于40的概率为：．故选：B．8．B【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，得A（k，k），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2k+k=3k=﹣6，∴k=﹣2．故选：B．9．A【解析】函数y=的分母是恒为正数的增函数，分子是偶函数，值域[﹣1，1]，可以判断函数的图象随x→+∞，y→0，排除B，C，当x→﹣∞时，分母e x+1→1，分子cos x∈[﹣1，1]，函数图象不可能是D，故选：A．10．D【解析】根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC ∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵P A⊥面ABC，∴P A∥ON，∵P A=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：P AO中P A=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D11．D【解析】设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k（x+2），则=，解得k=，∴切线方程为（x+2），由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在（x+2）中，取x=2，得y=，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞4，或a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．12．B【解析】根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f（x﹣2）=4+log2（x﹣2），又x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，∴4+log2x0+4+log2（x0﹣2）=10，∴=2，∴﹣2x0﹣4=0，解得：x0=1﹣（舍）或x0=1+，而3＜1+＜4，故a=3，故选：B．二、填空题13．【解析】∵，∴与不共线，∴当与共线时，，即得．故答案为：．14．3【解析】∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．15．2n2+6n【解析】由，令n=1，得，∴a1=16．当n≥2时，．与已知递推式作差，得．∴，当n=1时，a1适合上式，∴，则．∴=4（1+2+…+n）+4n=4×=2n2+6n．故答案为：2n2+6n．16．2【解析】∵，∴||cos∠MF1P=||cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2，∵cos∠MF1F2=∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=∴tan∠PF1F2=∴直线PF1的方程为y=（x+3）与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|=，∵sin∠MF1F2=∴=×××=，∵==，∴=2，故答案为：2三、解答题17．解：（Ⅰ）∵c sin A=a cos C，∴由正弦定理，得sin C sin A=sin A cos C 结合sin A＞0，可得sin C=cos C，得tan C=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sin C+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin B cos A，而3sin2A=6sin A cos A∴由sin C+sin（B﹣A）=3sin2A，得sin B cos A=3sin A cos A当cos A=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cos A≠0时，得sin B=3sin A，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2ab cos C∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=ab sin C=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．18．解：（1）A路口8年数据的中位数是=34.5，∵A路口8年数据的平均数是：=34，∴B路口8个数据的平均数是36，∴=36，解得：m=4；（2）B在路口的数据中取2个大于35的数据，有如下10中可能结果：（36，37），（36，36），（36，42），（36，45），（37，38），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况如下7种：（36，42），（36，45），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），故所求的概率p=．19．（1）证明：∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC⊥CD，P A∩AC=A，∴CD⊥平面P AC，而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE．∵AC=P A，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面P AD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AP为z 轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．20．解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．联立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直线方程为y=．21．解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．22．解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|F A|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．23．解：（1）由g（x）≤5⇒|2x﹣1|≤5，得﹣2≤x≤3，又f（x）≤6⇒|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，故a﹣3≤x≤3，a﹣3≤﹣2，则a≤1；故a的最大值是1；（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+a|+|1﹣2x|≥|2x﹣a+1﹣2x|+a=|1﹣a|+a，当x=时“=”成立，故x∈R时，f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3①，a≤1时，①等价于1﹣a+a≥3，无解，a＞1时，①等价于a﹣1+a≥3，解得：a≥2，故a的范围是[2，+∞）．。

2020届长沙市长郡中学2017级高三上学期第五次月考数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题：1.设全集{|25,}U x x x Z =-≤<∈,{0,2,3,4}A =,{2,1,0,1,2}B =--,则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {0,2}B. {3,4}C. {0,3,4}D. {2,1,0,1,2}-- 【答案】B【解析】首先将全集U 用列举法列举出来,在求阴影部分表示的集合可得答案.【详解】解：可得阴影部分所表示的集合为()U A B ∩,集合{0,2,3,4}A =,{3,4}UB =,则(){3,4}U A B ⋂=. 故选：B .2.已知R a ∈,则“1a >”是“11a <”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a＞1”⇒“11a ＜”,“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”,由此能求出结果． 【详解】a∈R,则“a＞1”⇒“11a ＜”,“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”, ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件． 2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ,则A 是B 的充要条件．3.2019年是中国成立70周年,也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日,全民齐心奋力建设小康社会,某校特举办“喜迎国庆,共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况,则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】根据茎叶图分别找出中位数,求出平均数,方差,即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：x 甲7582838793845++++==, 乙组选手得分的平均数：x 乙7783858591845++++==, 两个平均数相等,所以A 选项错误；。

湖南省长沙市长郡中学2017届⾼三摸底测试⽂数试题含答案⽂科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平⾯内对应的点是（） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--2.已知函数(5),2(),22(),2xf x x f x e x f x x +>??=-≤≤??-<-?，则(2016)f -=（）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e3.抛掷两颗质地均匀的骰⼦，则向上的点数之积为6的概率等于（） A ．118 B ．19 C ．16 D ．5364.设,,a b c 为三⾓形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三⾓形ABC 的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．⽆法确定5.如图所⽰，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MFF P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上⼀点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN += （）A ．10B ．5C ．6D ．36.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-7.⼀个正三棱柱的侧棱长和底⾯边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所⽰，侧视图是⼀个矩形，则侧视图的⾯积是（）A ．8B ．．4 D ．8.定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最⼤长度时实数a 的值为（）A B ．-3 C ．1 D ．3 9.已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的⼤致图象为（）10.执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊x 的值为4，则输出的结果是（） A ．1 B ．12-C ．54-D ．138-11.已知⾮零向量,a b 满⾜||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹⾓的取值范围是（）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 12.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[1,]3--第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在正⽅体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为⾃然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 14.已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的⼀条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜⾓为 .15.设,x y 满⾜不等式211y x y x y ≤??+≥??-≤?，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最⼩值为 .16.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ?为等边三⾓形，则p = .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本⼩题满分12分）已知数列{}n a 的⾸项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性.18. （本⼩题满分12分）如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ??均是等边三⾓形，且平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当a =S ABC -的体积；（2）a 为何值时，BE ⊥平⾯SCO .19. （本⼩题满分12分）国内某知名⼤学有男⽣14000⼈，⼥⽣10000⼈，该校体育学院想了解本校学⽣的运动状况，根据性别采取分层抽样的⽅法从全校学⽣中抽取120⼈，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：⼩时，该校学⽣平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男⽣平均每天运动时间分布情况：⼥⽣平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男⽣平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2⼩时的学⽣为“运动达⼈”，低于2⼩时的学⽣为“⾮运动达⼈”.①请根据样本估算该校“运动达⼈”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下⾯22?列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达⼈’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820. （本⼩题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离⼼率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的⽅程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆⼼相交于,P Q 两点（,,,A P B Q ⾃上⾄下排列），O 为坐标原点，95OA OB ?=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的⽅程.21. （本⼩题满分12分）已知函数ln ()kx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是⾃然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平⾏. （1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -?><+.请考⽣在22、23、24三题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分. 22.（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10BC DB ==.（1）求AB 的长；（2）求CFDE.23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程已知曲线1C 的参数⽅程为1cos 3sin x t y t αα=-+??=+?（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试⽐较1ab +与a b +的⼤⼩；（2）设max A 表⽰数集A 中的最⼤数，且h=，求h 的范围.参考答案⼀、选择题 ABBBA ABDAC BC ⼆、填空题13. (1,)+∞ 14. 4π15. -4 16. 三、解答题17.（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n na a n ++=+≥⼜由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是⼀个⾸项为5，公⽐3q =的等⽐数列，∴1*531()n n a n N -=?-∈.（2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=?-+?-++?-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+?+?++?-令1230323333n n n S n ---=+?+?++?，则即15315(6)42n n n n b +?-+=-⽽215315(1)(7)42n n n n b ++?-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +?-=--> ∴{}n b 是单调递增数列.18.（1）平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平⾯ABC ，即3142S ABC ABC SO V S SO -?==?=.（2）平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，∴SO ⊥平⾯ABC ，故SO BE ⊥，要使BE ⊥平⾯SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =，∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平⾯SCO .19.（1）由分层抽样得：男⽣抽取的⼈数为14000120701400010000=+⼈，⼥⽣抽取⼈数为1207050-=⼈，故5,2x y ==，则该校男⽣平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570+++++≈故该校男⽣平均每天运动的时间约为1.5⼩时；（2）①样本中“运动达⼈”所占⽐例是2011206=，故估计该校“运动达⼈”有1(1400010000)40006+=⼈；②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ?-?==≈故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达⼈’与性别有关”20.（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a=，解得2,1a b c ==，∴椭圆C 的⽅程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的⽅程为(1)y k x =-，联⽴椭圆⽅程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k+?=+=-+. ∵95OA OB ?=-，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =. 由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代⼊||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的⽅程为1)y x =-0y -=0y +=；圆E 的⽅程为22331(2)100x y -+=. 21．（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()xkx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞. 由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数；当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最⼤值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)x x e x ?=-+，则'()10x x e ?=->，(0,)x ∈+∞，∴()x ?在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ??>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.22．（1）根据弦切⾓定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴ABC ?∽DBA ?，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =?=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =?，2DA DB DE =?，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=?（*）由ABC ?∽DBA ?，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，⼜51102CB DB ==，由（*）得1CFDE=. 23．（1）点)4π对应的直⾓坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数⽅程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的⽅程为20x y +-=，⽽曲线2C 的直⾓坐标⽅程为22220x y x y +--=，联⽴得2222020x y x y x y ?+--=?+-=?，解得：1120x y =??=?，2202x y =??=?，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+??=+?代⼊⽅程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，⽽126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===.24．（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b abh ab ab ab++?≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞.。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x |1＜x ≤2}，Q={x |x 2+x ﹣2≤0}，那么P ∩Q 等于（ ） A ．∅ B ．{1} C ．{x |﹣2≤x ≤2} D ．{x |1＜x ≤2} 2．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．若函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x ＞0时，f （x ）单调递增，P=f （﹣π），Q=f （e ），，则P ，Q ，R 的大小为（ ） A ．R ＞Q ＞P B ．Q ＞R ＞P C ．P ＞R ＞Q D ．P ＞Q ＞R4．在等腰△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=﹣100，且5S 7﹣7S 5=70，则S 101等于（ ） A ．100 B ．50 C ．0 D ．﹣506．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．该试题已被管理员删除8．x 、y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A ．或﹣1B ．2或C ．2或1D ．2或﹣19．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +112．设集合，，函数，若x0∈A，且，则x0的取值范围是（）A．（]B．（] C．D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a∈R），i是虚数单位）是纯虚数，则a=．14．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．个月的产量如表所示：（I ）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出 y 关于x 的线性回归方程=x +；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x +； =， =﹣）19．在直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D ′是棱A ′C ′的中点，且AA ′=2．（Ⅰ）证明：BC ′∥平面AB ′D ′；（Ⅱ）棱CC ′上是否存在一点M ，使A ′M ⊥平面AB ′D ′，若存在，求出CM 的长；若不存在，说明理由．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l ：y=kx +m （k ≠0）与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点，求k 的取值范围．21．已知函数f （x ）=lnx ﹣mx （m ∈R ）． （1）若曲线y=f （x ）过点P （1，﹣1），求曲线y=f （x ）在点P 的切线方程； （2）若f （x ）≤0恒成立求m 的取值范围； （3）求函数f （x ）在区间[1，e ]上最大值．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于（）A．∅B．{1}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=∅故选：A．2．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A3．若函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，x＞0时，f（x）单调递增，P=f（﹣π），Q=f（e），，则P，Q，R的大小为（）A．R＞Q＞P B．Q＞R＞P C．P＞R＞Q D．P＞Q＞R【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，先利用函数的奇偶性可得P=f（﹣π）=f（π），进而利用函数当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，分析可得f（π）＞f（e）＞f（），即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，P=f（﹣π）=f（π），又由当x＞0时，f（x）单调递增，且π＞e＞，则有f（π）＞f（e）＞f（）；即P＞R＞Q；故选：D．4．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将所求利用三角形法则表示为AB，AC对应的向量表示，然后利用向量的乘法运算求值．【解答】解：由已知得到=（）（）=2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，所以上式==；故选：A．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣50【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=﹣100，∴5S7﹣7S5=5（﹣700+d）﹣7（﹣500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（﹣100）+×2=0，故选：C．6．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，结合直观图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图：其中SO⊥平面ABC，O为BC的中点，BA⊥AC，BA=，AC=1，SO=1，∴几何体的体积V=×××1×1=．故选：A．7．该试题已被管理员删除8．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D9．在区间〔﹣1，1〕上随机取一个数x ，使sin 的值介于0到之间的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】求出0≤sin≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当﹣1＜x ＜1，则﹣＜＜，由0≤sin ≤，∴0≤≤π，即0≤x ≤，则sin 的值介于0到之间的概率P==，故选：B ．10．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：A．11．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A． +2 B． +1 C． +1 D． +1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A的坐标，将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a，b，c的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0）；双曲线的焦点坐标为（c，0），∴p=2c，∵点A 是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，将x=c代入双曲线方程得到A（c，），将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc，即4a4+4a2b2﹣b4=0．解得，∴，解得：．故选：D．12．设集合，，函数，若x 0∈A ，且，则x 0的取值范围是（ ）A ．（] B ．（] C ．D ．（）【考点】分段函数的应用．【分析】利用当x 0∈A 时，f [f （x 0）+1]∈[0，），列出不等式，解出x 0的取值范围．【解答】解：∵1≤x 0＜，∴f （x 0）+1=x 0 ﹣+1∈[，2]⊆B ，∴f [f （x 0）+1]=2（2﹣f （x 0）﹣1）=2[1﹣（x 0﹣）]=2（﹣x 0）．∵，∴0≤2（﹣x 0）＜，∴＜x 0≤．又∵1≤x 0＜，∴＜x 0＜．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．若复数z=（a ∈R ），i 是虚数单位）是纯虚数，则a= 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z===是纯虚数，∴，解得a=1．故答案为：1． 14．三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在半径为5的球面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 8 ．【考点】球内接多面体；棱锥的结构特征．【分析】根据已知求出球心到底面ABC 的距离d ，进而可得该三棱锥的高的最大值为R +d ．【解答】解：∵底面ABC 所在的小圆面积为16π， 故底面ABC 所在的小圆半径r=4，又由三棱锥P﹣ABC的外接球半径R=5，故球心到底面ABC的距离d==3，故该三棱锥的高的最大值为R+d=8，故答案为：8．15．在△ABC中，AC=7，∠B=，△ABC的面积S=，则边AB的长为3或5．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由，∠B=，以及已知三角形的面积，利用三角形的面积公式求出AB•BC=15，再利用余弦定理即可求出AB2+BC2=34，联立解出AB即可．=，∠B=，【解答】解：∵S△ABC∴AB•BC•sinB=，即AB•BC•=，∴AB•BC=15，①由余弦定理知cosB=，即﹣=，∴AB2+BC2=34．②联立①②，解得：AB=3或AB=5．故答案为：3或5．16．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作d（P，A），如果A={（x，y）|x2+y2=1}，点P坐标为，那么d（P，A）=2；如果点集A所表示的图象是半径为2的圆，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为8π．【考点】集合的表示法．【分析】集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，且P在圆外，则有d（P，A）=|PO|﹣r，计算即可得到．对于D={P|d（P，A）≤1}，讨论P在圆上和圆外及圆内，得到P的轨迹，运用圆的面积公式计算即可得到．【解答】解：集合A={（x，y）|x2+y2=4}表示圆心为O，半径r为2的圆上所有点，点P的坐标为，由|PO|=4＞2，即有P在圆外，那么d（P，A）=|PO|﹣r=4﹣2=2，如果点集A所表示的图形是半径为2的圆，若点P在圆上满足集合D，P在圆外，则为介于圆心为O，半径分别为2，3的圆环，其面积为9π﹣4π=5π，P在圆内，则为介于圆心为O，半径分别为1，2的圆环，其面积为4π﹣π=3π，那么点集D={P|d（P，A）≤1}所表示的图形的面积为5π+3π=8π．故答案为：2，8π．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}满足a2=5，且其前n项和S n=pn2﹣n．（Ⅰ）求p的值和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5＜S5，求b1的取值范围．【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，利用a2=5，S2=a1+a2，可得S2=4p﹣2=p﹣1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求出T n，利用T5＜S5，建立不等式，即可求b1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S1=p﹣1，S2=4p﹣2，因为a2=5，S2=a1+a2，所以S2=4p﹣2=p﹣1+5，解得p=2．…所以．，…当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1得．…验证知n=1时，a1符合上式，所以a n=4n﹣3，n∈N*．…（Ⅱ）由（Ⅰ），得．…因为T5＜S5，所以，解得．…又因为b1≠0，所以b1的取值范围是．…个月的产量如表所示：（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程=x+；=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．将x=6代入可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A试验发生包含的事件是从5组数据中选取2组数据共有C52=10种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有4种∴P（A）==；（Ⅱ）由数据求得=3，=72，x i y i=1200，=55，故===12，∴=﹣=36，∴y关于x的线性回归方程为=12x+36，当x=6，=108（件），即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．19．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是边长为2的正三角形，D′是棱A′C′的中点，且AA′=2．（Ⅰ）证明：BC′∥平面AB′D′；（Ⅱ）棱CC′上是否存在一点M，使A′M⊥平面AB′D′，若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，证明D′E∥BC′，利用在与平面平行的判定定理证明BC′∥平面AB′D′．（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M，通过证明△A′AD∽△C′A′M，求出CM的长，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）连结A′B交AB′于点E，连结D′E，∵四边形A′ABB′为矩形，∴E为A′B的中点，又∵D′是棱A′C′的中点∴D′E∥BC′∵D′E⊂平面AB′D′BC′⊄平面AB′D′∴BC′∥平面AB′D′…（Ⅱ）作A′M⊥AD′，交CC′于M∵D′是棱A′C′的中点∴B′D′⊥A′C′∴B′D′⊥平面A′ACC′∴B′D′⊥A′M∴A′M⊥平面AB′D′此时△A′AD∽△C′A′M∴，即，∴即当时，A′M⊥平面AB′D′．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），且离心率e=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由离心率得到a，c，b的关系，进一步把椭圆方程用含有c的代数式表示，再结合点（1，）在椭圆上求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出M，N的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m2＜4k2+3，再结合根与系数关系得到MN中点P的坐标为（﹣，），求出MN的垂直平分线l′方程，由P在l′上，得到4k2+8km+3=0．结合m2＜4k2+3求得k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率e=．∴=得a=2c，∴b2=a2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为=1，又点（1，）在椭圆上∴=1，∴c2=1，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点，∴△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3，又x1+x2=﹣，∴MN中点P的坐标为（﹣，），设MN的垂直平分线l'方程：∵p在l′上即4k2+5km+3=0，，将上式代入得，∴，即∴k的取值范围为．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由f（x）过点P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，从而解出m=1，进而求曲线y=f （x）在点P的切线方程；（2）原式可化为lnx﹣mx≤0恒成立，结合x＞0可化为恒成立，从而化为求的最大值，利用导数求最值；（3）由讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）过点P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，∴f（x）=lnx﹣x，，f'（1）=0，∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1．（2）∵f（x）≤0恒成立，即lnx﹣mx≤0恒成立，∴mx≥lnx，又∵f（x）定义域为（0，+∞），∴恒成立；设，∵，∴当x=e时，g'（e）=0当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，∴，∴当时，f（x）≤0恒成立．（3）∵，①当m ≤0时，f'（x ）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）为单增函数，∵在x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ；②当，即时，当时，f'（x ）＞0，f （x ）为单增函数，当时，f'（x ）＜0，f （x ）为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，；③当m ＞1时，即在为单减函数，∴x ∈[1，e ]上，f （x ）max =f （1）=﹣m ；④当，即时，f （x ）在为单增函数，∴x ∈[1，e ]时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ； 综上所述，当时，f （x ）max =f （e ）=1﹣me ，当时，当m ＞1时，f （x ）max =f （1）=﹣m ．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是⊙O 的割线，已知AC=AB ．（1）求证：FG ∥AC ；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数，r＞0）（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化方法得到直线l的普通方程，利用圆的参数方程得当圆心C的坐标；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，利用圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为，可得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴x+y﹣1=0；由为参数，r＞0），可得圆心（﹣，），极坐标为（1，）；（2）圆心（﹣，）到直线的距离d==，∵圆C上的点到直线l的最大距离为3．∴+r=3，∴r=2﹣．[选修4-5不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．2016年12月6日。

湖南省长沙市长郡中学2017年高考一模数学试卷（文科）答 案1~5．DDCAB 6~10．CCDDA 11~12．DA 13．2 14．115．14 16．1817．解：（Ⅰ）π1()sin sin sin sin 322f x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭=3sin 2x x=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,262k x k k Z -≤-≤+∈， 解得：π2π2π2π,33k x k k Z -≤≤+∈， 则()f x 的单调递增区间为π2π2π,2π33,k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）∵π()sin 62f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴π1sin ,62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵0πA <<，∴ππ5π666A <-<-，∴π3A =，又a ， ∴由正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2B =， 又a b >，π3A =，∴π6B =，∴π2C =， 则ABC △为直角三角形。

18解：（1）4人分组的所有情况如下表；小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙因此4人分组的情况共有6种，其中工作人员甲乙分到同一组有2种， 所以工作人员甲乙分到同一组的概率是2163P ==。

（2）根据题意，列2×2联表如下，按时刷牙 不按时刷牙总计 不患龋齿 160 100 260 患龋齿 240 300 540 总计400400800因为22800(160300100240)260540400400k ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈20.513＞10.828，所以有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系。

19．（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点。

又点M 是棱BC 的中点， 所以OM 是ABC △的中位线，//OM AB 。

2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题一、选择题 1．复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A【解析】试题分析：1,1z i z i =-=+，对应点()1,1.【考点】复数概念及运算. 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．已知函数(5),2(),22(),2x f x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1e【答案】B【解析】试题分析：2x <-时，(2016)(2016)f f -=，2x >时，函数周期为5，()(2016)1f f e ==.【考点】分段函数求值.3．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ） A ．118 B ．19 C ．16 D ．536【答案】B【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为()()()()1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19. 【考点】古典概型. 4．设,,a b c为三角形ABC三边长，1,a b c ≠<，若l o g l o g2l o c b cb c b c ba a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 【答案】B 【解析】试题分析：两边除以log log c b c b a a+-得()()112,log 2log log a c b c b c b c b a a-++=+-=，222a b c =-，故为直角三角形.【考点】1.解三角形；2.对数运算.5．如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MF F P = ，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（ ）A ．10B ．5C ．6D ．3 【答案】A【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有()1255||||||||41022PN QN DF DF +=⋅+=⋅=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.6．若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A ．13 B ．13- C ．79 D ．79-【答案】A 【解析】试题分析：212cos ()1cos cos sin 6232663παππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【考点】三角恒等变换.7．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A ．8B ．．4 D ．【答案】B【解析】试题分析：设边长为a ，则31,44a a ==，故侧视图面积为4=【考点】三视图.8．定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】试题分析：()2111f x a a x=+-为增函数，故()f x 与y x =有两个交点，22()1a a x x a x+-=，化简得()22210a x a a x -++=，2111,m n mn a a +=+=，()()2223241n m n m mn a a -=+-=-++，对称轴113a =时，取得最大值，故3a =. 【考点】函数导数与不等式.9．已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由于()2ln xf x x x-=+，故函数为非奇非偶函数，排除B ，C.令2ln ||0x x x-=，得3ln x x =，两个函数交点在第三象限，故零点为负数，排除D ，选A.【考点】函数图象与性质.10．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ）A ．1B ．12-C ．54-D ．138- 【答案】C【解析】试题分析：4,1x y ==，循环，11,2x y ==-，循环，15,24x y =-=-，退出循环，故选C.【考点】算法与程序框图.11．已知非零向量,a b 满足||2||a b = ，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 【答案】B【解析】试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅有两个不相等的实根，22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，故选B ．【考点】1.向量运算；2.函数导数.【思路点晴】函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，转化过来，意思就是函数()f x 的导数在R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到()'2f x x a x a b =++⋅ ，利用判别式大于零，即有22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，两个向量所成的角的取值范围是[]0,π，在这个区间上，满足1cos 2θ≤的角的取值范围就是(,]3ππ.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就可以解决.12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--【答案】C 【解析】试题分析：函数在(,)-∞+∞单调递增()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，1cos 1x -≤≤，所以435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.【考点】导数与单调区间.【思路点晴】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.二、填空题13．在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞【解析】试题分析：依题意1,12m n m n ==+=，()y m n x x =+=，()'1,10,1x x f x e a e a a =-=-=->>.【考点】1.向量运算；2.切线方程. 14．已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .【答案】4π【解析】试题分析：()()f x x ϕ=-，其中tan b a ϕ=，将4x π=代入，得sin ,,4424k k ππππϕϕπϕπ⎛⎫--=+=-- ⎪⎝⎭，所以tan tan 14b k a πϕπ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭，所以直线斜率为1b a -=，故倾斜角为4π.【考点】三角函数图象与性质.15．设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 . 【答案】4-【解析】试题分析：M N -的最小值即min max M N -，画出可行域如下图所示，M 在点()1,2-取得最小值为2-，N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.【考点】线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形.M N -的最小值即min max M N -，我们只需求出M 的最小值，减去N 的最大值即可.在图象中画出基准的4y x =-，向下平移到点()1,2-取得最小值为2-，而对于N ，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是[]1,3-，故N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.16．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为2p y =-，代入双曲线得x =焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，=p =【考点】圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k =，也=p =此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题17．已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++ ，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性. 【答案】（1）1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，单调递增数列.【解析】试题分析：（1）利用1n n n a S S -=-，化简得1320n n a a +--=，进行配凑得113(1)(2)n n a a n ++=+≥，这是一个等比数列，故1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）'11(1)2n n f a a na -=+++ ，这类似一个等差数列乘以个等比数列，我们采用分组求和和错位相减法求得15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，用1n n b b +-判断出{}n b 是单调递增数列.试题解析：（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列，∴1*531()n n a n N -=⨯-∈.（2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++ ，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=⨯-+⨯-++⨯-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+⨯+⨯++⨯-令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯ ，则1213323333n n n S n --=+⨯+⨯++⨯∴作差得：13324n n S +-=--，∴1'5315(6)(1)42n n n f +⨯-+=-即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +⨯-=--> ∴{}n b 是单调递增数列. 【考点】数列.18．如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当2a =时，求三棱锥S ABC -的体积； （2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .【答案】（1（2）83a =. 【解析】试题分析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，SO ⊥平面ABC （2）SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =，所以124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =. 试题解析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，即31,42S ABC ABC SO V S SO -∆==∙=（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥， 要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .【考点】立体几何证明垂直与求体积.19．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）； （2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）；（2）①；②列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关.【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故5,2x y ==，由此求得男生平均运动事件为 1.5小时；（2）计算2120(1545555)96 2.743 3.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120701400010000⨯=+人，女生抽取人数为1207050-=人， 故5,2x y ==， 则该校男生平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人； ②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”【考点】1.频率分布直方图；2.独立性检验.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=- ，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（20y -=0y +，圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【解析】试题分析：（1）由题意得222c a b =-，12c a =，223b a ⋅=，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以2122934k y y k =-+.故21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .所以95OA OB ∙=- ，所以221259345k k +-=-+，解得：23k =.故所求直线l 的方程为1)y x =-.设圆E 的半径为r ，因为21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 试题解析：（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a∙=，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .∵95OA OB ∙=- ，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =.由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ = 将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的方程为1)y x =-0y -=0y +=；圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21．已知函数ln ()kx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，即'1(1)0kf e-==，解得1k =；（2）先求得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，设()1l n h x x x x =--，利用导数求得()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e-≤+.设()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数求得()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0x e x -+>，所以101x x e +<<.所以21()()1x x g x h x e e-+=<+. 试题解析：（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()x kx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞.由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞ 令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数；当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)xx e x ϕ=-+，则'()10x x e ϕ=->，(0,)x ∈+∞， ∴()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，由此建立方程可求出1k =.本题第二问，利用综合法来分析，要证21()()1x x g x h x e e-+=<+，即是证2()1h x e -<+，且101xx e +<<.我们构造两个函数，一个是()1ln h x x x x =--，一个是()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数作为工具来证明即可.22．如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10B C D B ==.（1）求AB 的长； （2）求CF DE.【答案】（1）AB =（2）1【解析】试题分析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，所以ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅，由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，故1CFDE=. 试题解析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB = （2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（） 由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==， 由（）得1CFDE=. 【考点】几何证明选讲.23．已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 【答案】（1）(2,0),(0,2)；（2）6【解析】试题分析：（1）点4π对应的直角坐标为(1,1)，直线的方程为20x y +-=，圆的方程为22220x y x y +--=，联立解得交点坐标为(2,0),(0,2)；（2）P 在直线1C 上，将1c o3s i n x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(c o s s i n)60t t αα--+=，故1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 试题解析： （1）点)4π对应的直角坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：1120x y =⎧⎨=⎩，222x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 【考点】坐标系与参数方程.24．设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A 中的最大数，且h=，求h 的范围. 【答案】（1）1ab a b +>+；（2）(2,)h ∈+∞【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式，解得{|01}M x x =<<.1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，1ab a b +>+；（2）h≥，h≥h ≥即2234()4()428a b a b ab h ab ab ab ++⨯≥>≥=，所以(2,)h ∈+∞. 试题解析：（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b ab h ab ab ab++⨯≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞. 【考点】不等式选讲.。

2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U=R，集合，则A∩（∁U B）=（）A．（﹣1，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣1，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，0]∪[3，+∞）2．设复数（i为虚数单位），z则的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．已知等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里6．据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：由表中样本数据求回归直线方程=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=110的位置关系为是（）A．点在直线左侧B．.点在直线右侧C．.点在直线上 D．无法确定7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B． C．6 D．8．为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n，则当n＞1时，S n=（）+1A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）11．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=112．已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件，则z=x +2y 的最小值为 ． 14．已知点A （1，0），B （1，），点C 在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，则λ= ．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B 1，B 2，右顶点为A ，直线AB 1与B 2F 1交于点D ．若2|AB 1|=3|B 1D |，则C 的离心率等于 ． 16．函数f （x ）=4sin x ﹣所有零点的和等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，试判断△ABC 的形状．18．某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有 240 名．（1）该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率．（2）是否有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系？19．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．20．已知动圆P与圆相切，且与圆都内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值．21．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=．l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（0，﹣2），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+x，其中a＞0（1）当a=1时，求不等式f（x）≥x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U=R，集合，则A∩（∁U B）=（）A．（﹣1，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣1，0）∪（3，+∞） D．（﹣1，0]∪[3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解A，B中的不等式的定义域可得集合A，集合B，根据集合的基本运算即可求．【解答】解：由可得，x＞﹣1，∴集合A={x|x＞﹣1}，由log3x＜1可得0＜x＜3，∴集合A={x|0＜x＜3}，则（∁U B）={x|x≥3或x≤0}那么：A∩（∁U B）={x|0≥x＞﹣1或x≥3}，故选D2．设复数（i为虚数单位），z则的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴z的虚部为1．故选：D．3．已知等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用通项公式求解得出a2017=a1q2016，利用充分必要条件的定义求解．【解答】解：∵a1＞0，q=0a2017=a1q2016＞0，∴“a1＞0”是“a2017＞0”的充分条件；∵a2017=a1q2016＞0，∴a1＞0，∴“a1＞0”是“a2017＞0”的必要条件；等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的充要条件故选：C4．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x），∴y=f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→﹣∞，故排除D，或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n}，且公比为，∵6天后共走了378里，∴S6=，解得a1=192，∴第三天走了a3=a1×=192×=48，故选B．6．据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：由表中样本数据求回归直线方程=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=110的位置关系为是（）A．点在直线左侧B．.点在直线右侧C．.点在直线上 D．无法确定【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到110=18b+a，即可判断点（a，b）与直线x+18y=110的位置关系．【解答】解：由题意可知=18，=110．样本中心（18，110）在回归直线上，∴110=18b+a．∴点（a，b）在直线上．故选：C．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B． C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥P﹣ABC如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，所以最长棱为6．故选：C8．为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：法一：用诱导公式：sin（2x﹣）=sin（2x﹣）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故得：向右平移个单位，故选D．法二：由y=cos2x的图象得到函数的图象，（注意：函数名不同）设y=cos2x的图象向左平移m个单位，可得：y=cos2（x+m）=cos（2x+2m）=sin（2x+2m+）由题意可得：2m+=，解得：m=﹣故得：向右平移个单位，故选D．9．执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M=时满足条件n≤k，退出循环，输出M的值．【解答】解：n=1时，M=1+=，n=2时，M=2+=，n=3时，M=+=，故选：D．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n，则当n＞1时，S n=（）+1A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．=2a n，当n≥2时，S n﹣1∴a n=2a n+1﹣2a n，化为=．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为．∴S n=2a n+1=2××=．故选：A．11．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．12．已知函数f（x）=2sinx﹣3x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0的恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得a 的不等式组，解出可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）=2sin（﹣x）﹣3（﹣x）=﹣（2sinx﹣3x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f'（x）=2cosx﹣3＜0，∴f（x）单调递减，f（ma﹣3）+f（a2）＞0可化为f（ma﹣3）＞﹣f（a2）=f（﹣a2），由f（x）递减知ma﹣3＜﹣a2，即ma+a2﹣3＜0，∴对任意的m∈[﹣2，2]，f（ma﹣3）+f（a2）＞0恒成立，等价于对任意的m∈[﹣2，2]，ma+a2﹣3＜0恒成立，则，解得﹣1＜a＜1，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可．【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2．故答案为：2．14．已知点A（1，0），B（1，），点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，则λ=1．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的基本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A（1，0），B（1，），点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C（λ﹣4，），∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D．若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．【解答】解：如图所示，设D（x0，y0），由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，求得：，又直线B2F1的方程为将点代入，得：，∴．故答案为：．16．函数f（x）=4sin x﹣所有零点的和等于18．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=4sin x和y=的函数图象，利用导数的几何意义判断f （x）的零点个数，根据函数图象的对称性得出零点之和．【解答】解：令f（x）=0得4sin x=，令g（x）=4sin x，h（x）=，做出y=g（x）和y=h（x）的函数图象如图所示：显然x=0和x=6为f（x）的零点，且f（x）在（1，3）和（3，5）上各存在一个零点，∵g′（x）=2πcos x，∴g′（0）=2π，∵y=h（x）的图象为圆心为（3，0），半径为3的半圆，∴y=h（x）在（0，0）处的切线为y轴，∴f（x）在（0，1）上存在零点，同理f（x）在（5，6）上存在一个零点．∴f（x）在[0，6]上共有6个零点，∵g（x）和h（x）的函数图象关于直线x=3对称，∴f（x）的零点关于直线x=3对称，∴f（x）的所有零点之和为6×3=18．故答案为：18．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【分析】（Ⅰ）将f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式及f（A）=，求出sin（A﹣）的值，由A的范围求出A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a= b，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用三角形的边角关系得出A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出C的度数，判定出三角形ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x﹣）=sinx+sinx﹣cosx=sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣），由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵f（A）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A=，又a=b，∴由正弦定理=得：sinB=，又a＞b，A=，∴B=，∴C=，则△ABC为直角三角形．18．某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”，对该校某年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160 名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100 名，按时刷牙但患龋齿的学生有240 名．（1）该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组 2 人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率．（2）是否有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系？【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）利用列举法确定基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解即可；（2）先作出2×2列联表，再利用公式求出K2的值，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（1）4人分组的所有情况如下表；因此4人分组的情况共有6种，其中工作人员甲乙分到同一组有2种，…所以工作人员甲乙分到同一组的概率是P==．…（2）根据题意，列2×2联表如下，因为k2=≈20.513＞10.828，…所以有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系．…19．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…所求体积等于．…20．已知动圆P与圆相切，且与圆都内切，记圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）直线l与曲线C交于点A，B，点M为线段AB的中点，若|OM|=1，求△AOB面积的最大值．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）确定|PE|+|PF|=6＞2，可得P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=3，c=，b=，即可求C的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式，即可求得M点坐标，由|OM|=1，可得n2=，由三角形面积公式，结合换元、配方法即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设动圆P的半径为r，由已知|PE|=r+5，|PF|=1﹣r，则有|PE|+|PF|=6＞2，∴P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a=3，c=，b=∴曲线C的方程为=1；（2）设直线l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，整理得：（3+2m2）y2+4mny+2n2﹣18=0①y1+y2=﹣，y1•y2=，x1+x2=，由中点坐标公式可知：M（，﹣）∵|OM|=1，∴n2=②，…设直线l与x轴的交点为D（n，0），则△AOB面积S2=n2（y1﹣y2）2=设t=4m2+9（t≥9），则S2=﹣，当t=9时，即m=0时，△AOB的面积取得最大值…21．已知函数．（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；当a＞0时，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，又因为x1＞0，x2＞0，因此x1+x2≥成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=．l与C交于A、B两点．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（0，﹣2），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P（0，﹣2）在l上，l的参数方程为为（t为参数），代入5x2+y2=1整理得，3t2﹣2t+3=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为C：5x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．…（Ⅱ）点P（0，﹣2）在l上，l的参数方程为（t为参数）代入5x2+y2=1整理得，3t2﹣2t+3=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|+x，其中a＞0（1）当a=1时，求不等式f（x）≥x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件可得|x﹣1|≥2，即x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，由此求得x 的范围．（2）不等式即|x﹣a|≤2x，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得=2，由此求得a的值．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥x+2，即|x﹣1|+x≥x+2，即|x﹣1|≥2，∴x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，求得x≥3，或x≤﹣1，故不等式f（x）≥x+2的解集为{x|x≥3，或x≤﹣1}．（2）不等式f（x）≤3x，即|x﹣a|+x≤3x，即|x﹣a|≤2x，可得，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得=2，∴a=6．2017年3月12日。

2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟冲刺试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（）A．0∉A B．1⊆A C．D．3∈A2．=（）A．B．C．i D．﹣i3．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机有放回的抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为（）A．B．C．D．5．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+126．已知等差数列数列{a n}满足a n+a n=4n，则a1=（）+1A．﹣1 B．1 C．2 D．37．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A．B．C．D．8．若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=（）A．0 B．﹣2 C．2 D．149．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．π D．16π11．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C 挡住，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）12．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f （x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣3共线，则=．14．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为．15．若数列{a n}是正项数列，且，则=．16．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1，F2．已知点M 坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．18．某学校为了加强学生的安全教育，对学校旁边A，B两个路口进行了8天的监测调查，得到每天路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A路口数据的平均数比B路口数据的平均数小2．（1）求出A路口8个数据的中位数和茎叶图中m的值；（2）在B路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，函数g（x）=|2x﹣1|．（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟冲刺试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是（）A．0∉A B．1⊆A C．D．3∈A【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．【解答】解：集合A={x∈N|0≤x≤4}∴0∈A，1∈A，∉A，3∈A故选：D．2．=（）A．B．C．i D．﹣i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．3．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机有放回的抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的事件个数m，由此能求出取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之差的绝对值为奇数的概率为=．故选：C．5．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选A．6．已知等差数列数列{a n}满足a n+a n=4n，则a1=（）+1A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】84：等差数列的通项公式．+a n=4n，写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而【分析】根据a n+1可求出首项．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a n+1+a n=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{a n}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=4即2a1+d=4解得a1=1．故选：B．7．从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前2项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于40得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于40的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，此时输出x，输出的值为9x+4，令9x+4≥40，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于40的概率为：．故选：B．8．若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=（）A．0 B．﹣2 C．2 D．14【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（k，k），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2k+k=3k=﹣6，∴k=﹣2．故选：B．9．函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的特殊值以及函数的变化趋势，判断选项即可．【解答】解：函数y=的分母是恒为正数的增函数，分子是偶函数，值域[﹣1，1]，可以判断函数的图象随x→+∞，y→0，排除B，C，当x→﹣∞时，分母e x+1→1，分子cosx∈[﹣1，1]，函数图象不可能是D，故选：A．10．已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．πB．4πC．π D．16π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据正弦定理得出截面圆的半径为1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解．【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D11．已知圆C：x2+y2=3，从点A（﹣2，0）观察点B（2，a），要使视线不被圆C 挡住，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线，由此能求出a的取值范围．【解答】解：设过点A（﹣2，0）与圆C：x2+y2=3相切的直线为y=k（x+2），则=，解得k=，∴切线方程为（x+2），由A点向圆C引2条切线，只要点B在切线之外，那么就不会被遮挡，B在x=2的直线上，在（x+2）中，取x=2，得y=，从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，需a＞4，或a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．12．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f （x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可得f（x）﹣log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，得到关于x0的方程，求出x0的值，从而求出a即可．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=t+log2x，又由f（t）=6，可得t+log2t=6，可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f（x﹣2）=4+log2（x﹣2），又x0是方程f（x）+f（x﹣2）=10的一个解，∴4+log2x0+4+log2（x0﹣2）=10，∴=2，∴﹣2x0﹣4=0，解得：x0=1﹣（舍）或x0=1+，而3＜1+＜4，故a=3，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣3共线，则=．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴与不共线，∴当与共线时，，即得．故答案为：．14．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则b的值为3．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a，b，k 的方程，再求出在点（1，3）处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最后解方程组即可得．从而问题解决．【解答】解：∵直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，当x=1时，y'=3+a得切线的斜率为3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案为：3．15．若数列{a n}是正项数列，且，则=2n2+6n．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知数列递推式求出首项，并得到当n≥2时，．与原递推式作差可得数列通项公式，进一步得到，再由等差数列的前n项和求解．【解答】解：由，令n=1，得，∴a1=16．当n≥2时，．与已知递推式作差，得．∴，当n=1时，a1适合上式，∴，则．∴=4（1+2+…+n）+4n=4×=2n2+6n．故答案为：2n2+6n．16．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1，F2．已知点M 坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=2．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用，得出∠MF1P=∠MF1F2，进而求出直线PF1的方程为y=（x+3），与双曲线联立可得P（3，），由此即可求出．【解答】解：∵，∴||cos∠MF1P=||cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2，∵cos∠MF1F2=∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=∴tan∠PF1F2=∴直线PF1的方程为y=（x+3）与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|=，∵sin∠MF1F2=∴=×××=，∵==，∴=2，故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC 结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．18．某学校为了加强学生的安全教育，对学校旁边A，B两个路口进行了8天的监测调查，得到每天路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且A路口数据的平均数比B路口数据的平均数小2．（1）求出A路口8个数据的中位数和茎叶图中m的值；（2）在B路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；BA：茎叶图．【分析】（1）由茎叶图可得A路口8个数据中34，35为最中间2个数，由此计算中位数，又A路口8个数据的平均数为34，得到B路口的平均数，求出m的值即可；（2）B 路口的数据中任取2个大于35的数据，有10种可能，其中“至少有一个不小于40”的情况有7种，求出满足条件的概率即可． 【解答】解：（1）A 路口8年数据的中位数是∵A 路口8年数据的平均数是：=34，∴B 路口8个数据的平均数是36， ∴=36，解得：m=4；（2）B 在路口的数据中取2个大于35的数据，有如下10中可能结果： （36，37），（36，36），（36，42），（36，45），（37，38）， （37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45）， 其中“至少有一个抽取的数据不小于40”的情况如下7种： （36，42），（36，45），（37，42），（37，45）， （38，42），（38，45），（42，45）， 故所求的概率p=．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ．（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．【考点】MK ：点、线、面间的距离计算；LW ：直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可得CD ⊥平面PAC ，CD ⊥AE ．利用等腰三角形的性质与线面垂直的判定定理可得：AE ⊥平面PCD ，可得AE ⊥PD ．利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理可得AB ⊥PD ，进而证明结论．（2）解法一：设点B 的平面PCD 的距离为d ，利用V B ﹣PCD =V P ﹣BCD 即可得出． 解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴．过点C 作CM ⊥AD ，垂足为M ，设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，利用点B 到平面PCD 的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC=A ，∴CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE ． ∵AC=PA ，E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ，又PC ∩CD=C ，∴AE ⊥平面PCD ， 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB ⊥AD ， 由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ， 又AB ∩AE=A ，∴PD ⊥平面ABE ．（2）解法一：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，∴，由（1）的证明知，CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC ， ∵AB ⊥AD ，△ABC 为正三角形，∴∠CAD=30°， ∵AC ⊥CD ，∴．设点B 的平面PCD 的距离为d ，则．在△BCD 中，∠BCD=150°，∴．∴， ∵V B ﹣PCD =V P ﹣BCD ，∴，解得，即点B 到平面PCD 的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴．过点C 作CM ⊥AD ，垂足为M ，则A （0，0，0），B （3，0，0），C （，，0），D （0，2，0），P （0，0，3）， =（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD 的法向量为=（x ，y ，z ），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）由已知可得：，解得即可得出；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．与椭圆方程联立化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得：线段AB的中点D，可得直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．与椭圆方程联立，解得=，x3=﹣3ky3．利用四边形MF1NF2为矩形，可得=0，解出即可．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky=0（k≠0）．联立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直线方程为y=．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x ∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y ＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，函数g（x）=|2x﹣1|．（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解出x的范围，求出a的范围即可；（2）f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3，通过讨论a的范围，确定a的范围即可．【解答】解：（1）由g（x）≤5⇒|2x﹣1|≤5，得﹣2≤x≤3，又f（x）≤6⇒|2x﹣a|+a≤6，得a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，故a﹣3≤x≤3，a﹣3≤﹣2，则a≤1；故a的最大值是1；（2）当x∈R时，f（x）+g（x）=|2x﹣a|+a|+|1﹣2x|≥|2x﹣a+1﹣2x|+a=|1﹣a|+a，当x=时“=”成立，故x∈R时，f（x）+g（x）≥3等价于|1﹣a|+a≥3①，a≤1时，①等价于1﹣a+a≥3，无解，a＞1时，①等价于a﹣1+a≥3，解得：a≥2，故a的范围是[2，+∞）．2017年6月28日。