2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二)课件新人教A版必修4

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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT

为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.

高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)

3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数量积中,若 a 0 ，且 a b 0 ,不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢谢指导！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时，向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时，一要找准向量的模；二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º，求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos

2018版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一导学案新人教A版必修4_128

平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力的作用下产生位移所做的功.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力的作用下产生位移，如图.思考如何计算这个力所做的功？答案＝θ.思考力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理知识点二平面向量数量积的几何意义思考什么叫做向量在向量上的投影？什么叫做向量在向量上的投影？答案如图所示，＝，＝，过作垂直于直线，垂足为，则＝θ.θ叫做向量在方向上的投影，θ叫做向量在方向上的投影.思考向量在向量上的投影与向量在向量上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同.梳理()条件：向量与的夹角为θ.()投影：()·的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影θ的乘积.知识点三平面向量数量积的性质思考向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定.当°≤θ＜°时，非零向量的数量积为正数.当θ＝°时，非零向量的数量积为零.当°＜θ≤°时，非零向量的数量积为负数.梳理设向量与都是非零向量，它们的夹角为θ，()⊥⇔·＝.()当∥时，·＝(\\(，与同向，,－，与反向.))()·＝或＝.() θ＝.()·≤.类型一求两向量的数量积例已知＝，＝，当()∥；()⊥；()与的夹角为°时，分别求与的数量积.解()∥，若与同向，则θ＝°，·＝°＝×＝；若与反向，则θ＝°，∴·＝°＝××(－)＝－.()当⊥时，θ＝°，∴·＝°＝.()当与的夹角为°时，·＝°＝××＝.反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：()求与的夹角θ，θ∈[°，°]；()分别求和；()求数量积，即·＝θ，要特别注意书写时与之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练已知菱形的边长为，∠＝° ，则·等于( )。

(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)

思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
功的概念：如果一个物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是什么量？在数学中F和S又是什么量？与这两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b

3,

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案新人教A版必修4(20

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2.4。

1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一）学习目标1。

了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。

2。

掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3。

会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？答案W＝|F｜|s｜cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量|a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积（或内积）记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝｜a｜|b｜cos θ规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？答案如图所示，错误!＝a,错误!＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝｜b｜cos θ。

|b｜cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a｜cos θ叫做向量a在b方向上的投影。

高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义PPT教学课件

2
2
a ab6b
2
2
aabc o s 6b
结1：向量内积运算在不使用向量结合律和消去律的前提下，类似初中多项式运算
6 2 6 4 c o s 6 0 6 4 2
72
结2：用定义时，求模和相应夹角
练习：求证：
( 1 ) ( a b ) 2 a 2 2 a b b 2
( 2 ) ( a b ）（ a b ) a 2 b 2
§2.4.1 平面向量数量积
的物理背景及其含义（1）
学习目标：
• 1.理解平面向量的数量积及其物理意义；
• 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
• 3.能够运用定义和运算性质解决相关问题．
• 重点：向量的数量积的定义及性质. • 难点：对向量数量积定义及性质的理
解和应用.
复习引入
1、两向量夹角的范围?
( 2 ) : a 与 b 同 a b 向 a b a 与 b 异 a 向 b - a b
共线
(3):abab
不等
(4):cos ab
ab
夹角性质
( 5 ) :a a a 2 即 a a a a 2 长度性质
三：平面向量的数量积的运算律：
实数的运算律有： 1 .交换律 ab ba 2 .分配律 a (b c ) ab ac
（ 2） a b b c 不成立 a c 严禁向量消去律。
成立
a bab 例1、已知 | | 6 , | | 4 , 与的夹角为
abab 60o,
求（ 2 ) ( 3 ) 。
解: (a 2b) (a 3b)
a a 3 a b 2 b a 6 b b
作业：

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件17

4.已知向量a与b的夹角为θ,定义a×b为a与b的“向量积”,且a×b是一个向量, 它的长度|a×b|=|a||b|sin θ,若|u|=2, |u+v|=2 3 ,(u+v)·u=6,求|u×(u+v)|.
2.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,E,F分别为BC,CD的中点,
则 AE EF = ( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 1
2
2
2
2
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足 a =5, b =6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= ()
A. 13 B. 19
【拓展延伸】利用数量积解决夹角问题
两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当
a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°&当a=0或b=0或θ=90°时).因此,要注意夹角θ的范围θ∈[0,π],
当cos θ>0时,θ∈[0，);当cos θ<0时,θ∈ (，] ,当cos θ=0时,θ= .
3
3.(1)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ为60°,求: ①a·b;②(2a-b)·(a+3b). (2)设正三角形ABC的边长为 2 , AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b+b·c+c·a.
类型二与向量模有关的问题(直观想象、数学运算)
【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足 a b a b ，则 ( )
A.20
B.-20
C.20 3
D.-20 3
3.(教材二次开发:练习改编)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b 的夹角θ为 ( )

高中数学复习课件-高中数学必修4课件 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

则 a·b=- 1 . 2
C.2
3
D.3
4
设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= a b =- 1 , | a||b | 2
又 θ∈[0,π],所以 θ= 2 .
3
答案:C
4(2011·山东青岛高三质检)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=3,则
|2a-b|=
.
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3, 则|2a-b|2=4a2
B.4
C.1
D.2
4
2
解析:因为 a+2b 与 a-2b 垂直,所以(a+2b)·(a-2b)=0,
所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,所以|a|=2|b|.
答案:D
3 设向量 a,b 均为单位向量,且(a+b)2=1,则 a 与 b 的夹角为( ).
A.
B.
3
2
解析:(a+b)2=a2+2a·b+b2=2+2a·b=1,
立.这是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)一般不成立.
【做一做 2】有下列各式:
①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);②a·b=|a|·|b|;
③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c).
题型五判断平面图形的形状
【例 5】在△ABC 中,AB =c,BC =a,CA =b,且 a·b=b·c=c·a,试判断△ABC
的形状.
分析:易知 a+b+c=0,分别将 a,b,c 移至等号右边,得到三个等式,分别平方可得 a·b,b·c,c·a,选取两个等式相减,即可得到 a,b,c 中两个向量的长度之间的关系.

高中数学第二章平面向量2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线，在平面直角坐标系中设 a＝(1，0)，b＝12， 23，
[正确解答] 过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，如图所示．
因为 AB＝AC，所以 BC＝2BD＝2×AB×cos B＝
2×1× 23＝ 3. 法一：A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos
a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )
A．－32a2
Байду номын сангаас
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝t a＋
(1－t)b.若 b·c＝0，则 t＝________．
又因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，所以12t＋1－t＝0，所以 t＝2.
第二章平面向量
[知识提炼·梳理]
1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ
条件定义 a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos_θ 记法 a·b＝|a||b|cosθ
类型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
(180°－30°)＝1×
3 × －
3 2
＝
－
3 2
，B→C·
C→A＝|
B→C
||C→A
|cos(180°－30°)＝ 3×1×－ 23＝－32，
1．平面向量数量积的概念及其几何意义
(1)对数量积概念的两点说明： ①从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零． ②从运算上看：两向量 a，b 的数量积称作内积，写成 a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．

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解析
答案
反思与感悟
向量的数量积a· b与实数a、b的乘积a· b有联系，同时有许多不同之处 . 例如，由a· b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1
设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：
①(a· b)· c－(c· a)· b＝0；
②( b · c)· a－(c· a)· b不与c垂直；
2＝a2＋2a· 2 ( a ＋ b ) b ＋ b ____________________
(a－b)2＝a2－2a· b＋b2 ____________________
2－b2 ( a ＋ b )· ( a － b ) ＝ a ____________________ 2＝a2＋b2＋c2＋ ( a ＋ b ＋ c ) _______________________
＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故选C.
解析答案
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例3
已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的
(0，1)∪(1，＋∞) 夹角为锐角，则k的取值范围为_________________.
解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
正确 _____ 错误 _____
消去律
ab＝bc(b≠0)⇒a＝c
a· b＝b· c(b≠0)⇒a＝c
知识点二
平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 向量数量积
解析
答案
反思与感悟
由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a· b＝0.
跟踪训练2
已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，
则实数k等于
9 A.－2 C.3 B.0 15 D. 2
解析因为a＝(k，3)，b＝(1，4)，所以2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6). 因为(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)· c＝(2k－3，－6)· (2，1)
第二章 §2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习目标
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
内容索引
问题导学
题型探究当堂训练
问题导学
知识点一
平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律交换律结合律分配律实数乘法 ab＝ba (ab)c＝a(bc) (a＋b)c＝ac＋bc 向量数量积 a· b＝b· a (a· b)c＝a(b· c) (a＋b)· c＝a· c＋b· c 判断正误正确 _____ 错误 _____
③(3a＋2b)· (3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
③ 填序号) 其中正确的是____.( 解析 (a· b)· c表示与向量c共线的向量，(c· a)· b表示与向量b共线的向量，
而b，c不共线，所以①错误；
由[ ( b · c)· a－(c· a)· b ]· c＝0知，(b· c)· a－(c· a)· b与c垂直，故②错误；
解析
故选C.
①②③正确，④错误，⑤错误，(a· b)2＝(|a||b|· cos θ)2＝a2· b2cos2 θ，
1
2
3
4
5
解析
答案
2.已知|a|＝1，|b|＝ 2，且(a＋b)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是
A.60°
B.30°
C.135° √
D.45°
解析 ∵(a＋b)· a＝a2＋a· b＝0，
∴a· b＝－a2＝－1，
－1 a· b 2 ∴cos〈a，b〉＝＝＝－ 2 . |a||b| 1× 2
∴〈a，b〉＝135°.
1 2 3 4 5
2 2 ＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2 ∴(e1＋ke2)· (ke1＋e2) 1 2
＝2k>0，∴k>0. 但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
反思与感悟
由两向量夹角 θ 的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论： π π 对于非零向量 a，b，θ∈[0，2)⇔a· b>0，θ∈(2，π]⇔a· b<0.
跟踪训练3
பைடு நூலகம்
设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，
若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解答
当堂训练
1.下面给出的关系式中正确的个数是 ①0· a＝0；②a· b＝b· a；③a2＝|a|2；④|a· b|≤a· b；⑤(a· b)2＝a2· b2. A.1 C.3 √ B.2 D.4
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋
c2＋2ab＋2bc＋2ca
2a· b＋2b· c＋2c· a ________________
题型探究
类型一例1
向量数量积的运算性质
给出下列结论：①若a≠0，a· b＝0，则b＝0；②若a· b＝b· c，则a＝c；
④ ③(a· b)c＝a(b· c)；④a· [b ( a · c)－c(a· b)]＝0，其中正确结论的序号是_____. 解析因为两个非零向量a、b垂直时，a· b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a· b＝b· c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a· b)c与c共线，a(b· c)与a共线，故③不正确； a· [b(a· c)－c(a· b)]＝(a· b)(a· c)－(a· c)(a· b)＝0，故④正确.
向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.
解析答案
类型二
平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 已知向量垂直求参数值例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)· b，且b⊥c，
2 则t＝____.
解析由题意，将b· c＝[ta＋(1－t)b]· b整理，得ta· b＋(1－t)＝0，又a· b＝1 ，所以t＝2. 2