高二数学竞赛(含答案)

高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ）（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。

高二数学竞赛题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5a =673a +=，则5S 的值为( )2、在等差数列{}n a 中，31124a a +=，则678a a a ++的值是( ) A.36B.48C.72D.243、数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A.103B.10818C.11038D.1084、两直线1:10l ax y ++=和22:10l x a y --=互相垂直，则a 的值是( ) A.0B.1C.0或1D.1或1-5、直线10ax y +-=平分圆2224130x y x y +-+-=的面积，则a =( ) A.1B.3C.3D.26、如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，点N 在BC 上，且2OM MA =，2BN NC =，则MN =( )A.212333a b c -++B.22133b c -+C.212333a b c --+D.22133b c --7、若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=8、直线1y x =+被圆221x y +=截得的弦长为( )A.1C.2D.9、已知直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，则m 的值为( )A.-B.C.3D.3-10、判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系为( ) A.相交B.内切C.外切D.内含11、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，b =2a c =，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF △的周长为( ) A.4B.8C.16D.3212、已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的一条渐近线与直线23y x =-平行，则双曲线的离心率为( ) A.2D.5二、填空题13、已知数列{}n a 的前n 项和为2223n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式n a =_________.14、圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为__________.15、双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则双曲线C 的焦距为__________.16、已知函数()ln x f x e x =,()'f x 为()f x 的导函数,则()'1f 的值为__________三、解答题17、已知圆C 经过原点和点(2,1)A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程.18、数列{}n b 的前n 项和21n n S =-，数列{}n a 为等差数列，且11a b =，43a b = （1）求数列{}n b 的通项公式. （2）求证数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.19、在四棱锥A BCFE -中，底面BCFE 为梯形﹐BC BE ⊥，//EF BC ，1BC BE ==，3AE =，34EF =，AB ⊥平面BCFE .（1）证明：平面AEF ⊥平面ABE ； （2）求直线AE 与平面AFC 所成角的正弦值.20、在如图所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥，////AD EF EF BC ，，24BC AD ==，32EF AE BE ===，，G 是BC 的中点．(1)求证：//AB 平面DEG ； (2)求二面角C DF E --的余弦值． 21、已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.22、已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴长为4，直线2y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点且AOB ∠为直角，O 为坐标原点(1)求椭圆C 的方程 (2)求AB 的长度参考答案1、答案：C解析：设公比为q ，由题意知0q >，65a a q =⋅=22752q a q =⋅=，2322q q ∴+=，化简得260q q +-=， 解得2q =，514a a q ==()5511213132(31)123232S ⨯-==-⨯-=-.故选：C. 2、答案：A解析：由题设，1137224a a a +==，则712a =， 所以6787336a a a a =++=. 故选：A.3、答案：D解析：把22293n a n n =-++看成二次函数，对称轴为291744n ==，7n ∴=时7a 最大，最大项的值是27272973108a =-⨯+⨯+=.故选D.4、答案：C解析：直线1:10l ax y ++=l 1:ax +y +1=0和直线22:10l x a y --=x -a 2y -1=0互相垂直，则20a a -=a -a 2=0，解得：0a =或1a =a =1，故选：C. 5、答案：B解析：根据题意，圆的方程为2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0，其圆心为()1,2-(1,-2)，若直线10ax y +-=ax +y -1=0平分圆2224130x y x y +-+-=x 2+y 2-2x +4y -13=0的面积，则圆心在直线10ax y +-=ax +y -1=0上，则有210a --=a -2-1=0，解可得3a =a =3；故选B. 6、答案：A解析：连接MB ，如图所示：()222333MN MB BN OB OM BC OB OA OC OB =+=-+=-+-()2221233333b ac b a b c =-+-=-++.故选：A 7、答案：D解析：圆的标准方程为()2239x y +=-，圆心()3,0A .因为点()1,1P 为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥.又AP 的斜率101132k -==-，直线MN 的斜率为2，弦MN 所在直线的方程为(11)2y x -=-，即210x y --=. 8、答案：B解析：圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，则圆心(0,0)O 到直线1y x =+的距离2d ==，所以直线1y x =+被圆221x y +=所截得的弦长为== 故选：B. 9、答案：A解析：第一步：将圆的方程化为标准形式，得到圆心和半径由22430x y x my +-++=，得222(2)124m m x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，所以圆心2,2m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =. 第二步：结合点到直线的距离公式列关于m 的方程并求解因为直线:3l x =+与圆22:430C x y x my +-++=相切，所以=m =- A. 10、答案：B解析：因为圆2264120x y x y +-++=的圆心为(3,2)-，半径11r =， 圆22142140x y x y +--+=的圆心为(7,1)，半径26r =，215r r ==-， 所以两圆内切. 故选：B. 11、答案：C解析：23b =2a c =，222a b c =+，22212a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，216a ∴=，4a ∴=，2ABF ∴△的周长为121222416AF AF BF BF a a a +++=+==.故选：C. 12、答案：B解析：由双曲线的渐近线与直线23y x =-y =2x -3平行知，双曲线的一条渐近线方程为20x y -=Error! Digit expected.，2b a ∴=， 2b a ∴=， c ∴=，∴离心率ce a==. 故选：B.13、答案：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩解析：2223n S n n =-+，故当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()2121212n S n n -=---+，144n n n a S S n -∴=-=-113a S ==不适合上式，3,144,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故答案为：3,144,2n n n =⎧⎨-≥⎩.14、答案：22解析：圆O 的圆心为()0,0，()0,0到直线l的距离为1025=> 所以圆22:2O x y +=上点P 到直线34:10x l y +=距离的最小值为2.故答案为：215、答案：解析：根据题意，双曲线222:1(0)4x y C b b -=>C :x 24-y 2b 2=1(b >0)的焦点在x轴上，则其渐近线方程为2by x =±，又由该双曲线的一条渐近线方程为320xy +=，即32y =-=3=；所以2c ==16、答案：e解析：函数()ln x f x e x =, 则()1'ln x x f x e x e x=+;()'1ln11f e e e ∴=⋅+⋅=.故答案为: e 根据导数的运算法则求出函数()f x 的导函数,再计算()'1f 的值.17、答案：22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：(方法一)设所求圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=.由题设，得222222,(2)(1), 210.a b r a b r a b ⎧+=⎪-+-=⎨⎪--=⎩解此方程组，得26,51,1029.20a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，所求圆C的标准方程是2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(方法二)因为圆心在直线210x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(21,)b b +. 因为圆C 经过原点和点(2,1)A ，所以||||CO CA r ==.==所以圆心坐标为2261,,||510r CO ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以圆C的标准方程为2261510x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18、答案：（1）12n n b -= （2）证明见解析解析：（1）当1n =时，111b S ==当2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S ---=-=---=11121b -==∴数列{}n b 的通项公式为12n n b -=（2）{}n a 为等差数列，111a b ==，434a b == n a n ∴=设111(1)n n n c a a n n +==⋅+ {}n c ∴的前n 项和为n T 123n n T c c c c =++++1111122334(1)n n =++++⨯⨯⨯+11111111223341n n =-+-+-++-+ 111n =-+19、（1）答案：证明见解析解析：由题意知BC BE ⊥，//EF BC ，所以EF BE ⊥，AB ⊥平面BCFE ， AB EF ∴⊥，又知ABBE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，所以EF ⊥平面ABE ， 又因为EF ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面ABE . （2解析：由题可知AB =由（1）知BA ，BC ，BE 两两互相垂直，分别以EB ，BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,0C，(A ，()1,0,0E ，31,,04F ⎛⎫⎪⎝⎭.则31,,4AF ⎛=- ⎝，11,04,CF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，(1,0,AE =-.设平面ACF 的法向量为(),,m x y z =，则0m AF m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即304104x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，令1x =，则(m =，所以1cos ,m AE -==所以直线AE 与平面AFC .20、答案： (1)见解析（2） 解析： (1)证明：因为////AD EF EF BC ，， 所以/AD BC ，又2BC AD =，G 是BC 的中点，所以//AD BG 且AD BG =，所以四边形ADGB 是平行四边形，所以//AB DG . 因为AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， 所以//AB 平面DEG .(2)因为EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， 所以EF AE EF BE ⊥⊥，，又AE EB ⊥， 所以EB EF EA ，，两两垂直．以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，所在的直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．则0,0,02,0,02,4()()()(,00,3,)()00,2,2E B C F D ，，，，． 由已知得()2,0,0EB =是平面EFDA 的一个法向量． 设平面DCF 的法向量为,(),n x y z =，则00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩因为(0,1,2)FD =-，(2,1,0)FC =，所以2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩令1z =，得21y x ==-，，所以可取1,(1)2,n -=．设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,n EB θ=〈〉==. 易知二面角C DF E --为钝二面角，所以二面角C DF E --的余弦值为. 21、（1）答案：ln 1x +解析：(ln )ln (ln )ln 1y x x x x x x x ''''==⋅+=+； （2）答案：1y x =-解析：1ln111x k y ='==+=.∴切线方程为1y x =-.22、答案：(1) 2214x y +=解析：(1)由题意22224a c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆的方程为2214x y += (2)设()()1122,,,,A x y B x y 把2y kx =+代入2214x y +=得 ()2212122216124116120,,4141k kx kx x x x x k k +++=∴+=⋅=++ AOB ∠为直角，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=（或斜率乘积为1-） ()()1212220OA OB x x kx kx ∴⋅=+++= 解得24k =AB ∴=AB ∴。

河北高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列各点中，在曲线x2-xy+2y+1=0上的点是（）A．（2，-2）B．（4，-3）C．（3，10）D．（-2，5）2.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M的轨迹方程是（）A．x=-4B．x=4C．y=-4D．y=43.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是（）．A．B．C．D．4.动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是（）A．B．y=kx（x≠0）C．D．y=±kx（x≠0）5.把11化为二进制数为（）．A．1 011（2）B．11 011（2）C．10 110（2）D．0 110（2）6.已知x可以在区间[－t，4t]（t＞0）上任意取值，则x∈[－t，t]的概率是（）．A．B．C．D．7.执行下图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（）A．B．2C．±2或－4D．2或－48.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．从这个茎叶图可以看出甲、乙两名运动员得分的中位数分别是（）．A．31，26B．36，23C．36，26D．31，239.按照程序框图（如图）执行，第3个输出的（）．A．3B．4C．5D．6 10.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是（）A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线11.如图执行的程序的功能是（）．A．求两个正整数的最大公约数B．求两个正整数的最大值C．求两个正整数的最小值D．求圆周率的不足近似值12.已知n次多项式f（x）＝an x n＋an－1x n－1＋…＋a1x＋a，用秦九韶算法求f（x）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）．A．n，n B．2n，n C．，n D．n＋1，n＋1二、填空题1.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值c，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 8 3． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1014．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0） 5．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）6．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②7．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种8．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是()A.4B.1C.3D.29．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2) 10．4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

大学区高二数学竞赛试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共计50分）1、设P,Q 是两个非空数集，定义集合P+Q=｛a+b|a ∈P ,b ∈Q ｝,若P=｛0，2，5｝，,Q=｛1，2，6｝，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A 6B 7C 8D 9 2、一个几何体的三视图如图1所示，则此几何体的全面积是 （ ）A 102659+．B 84142+．C 8412017+．D 150.3、 如果 (0,)a π∈, 1lg(1cos ),lg()1cos m nαα-==+, 那么 lgsin α=( )A m n -.B 1m n +． C 1()2m n -． D 11()2m n +． 4、对任意的函数()y f x =，在同一个直角坐标系中，函数()-1y f x =与函数()-+1y f x = 的图像 （ ）A 关于x 轴对称.B 关于直线1x =对称．C 关于直线-1x =对称．D 关于y 轴对称5、若11x F x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列等式中正确的是 （ ）A ()()22F x F x --=--.B ()1-1x F x F x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭． C ()1F F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． D ()F F x x =-⎡⎤⎣⎦6、 已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y 十2=0平行，则tan 2α的值为（ ）A ．45B ．43C ．34D ．237、 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8、若圆222)5(3r y x =++-）（有且仅有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A 、［4,6］B 、[4, 6 ）C 、（4,6 ］D 、（4,6）9、等比数列{}n a的前n 项和为n s ，若1030=1070s =，s ，则40s 等于（ ） A 150. B -200． C 150或-200． D 400或-5010、．已知()1122,,(,)A x yB x y 是函数2()12xf x x =-图像上不同的两点，若AB 的中点落在x 轴上，则2212x x +的取值范围为 （ ）A ．1(,)16+∞ B ．1(,)8+∞ C ．1(,)4+∞ D ．1(,)2+∞二、填空题（本题共5个小题，每题5分，共计25分）11、已知1+sin 1cos 2x x=-，那么cos sin 1xx -的值是 。

山东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求的值.2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.6.设为三角形中的三边长，且，求证：.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.山东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、解答题1.求的值.【答案】2.【解析】利用题意结合所给三角函数式的特征构造两角和差正余弦公式计算可得三角函数式的值为2.试题解析：原式2.在棱长为1的正四面体中，和分别是和的中点，求异面直线和之间的距离.【答案】.【解析】将异面直线之间的距离转化为线面距离，然后利用体积相等结合题意可得异面直线和之间的距离是.试题解析：连接，取中点，连结，则，∴平面，∴异面直线和的距离就是到平面之间的距离，在中，，，，，∴，由，所以.3.设的三边长分别为，面积为，证明：.【答案】证明见解析.【解析】利用面积公式，结合所给不等式的特征，证得即可证得题中的结论.试题解析：4.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？【答案】最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.【解析】将原问题转化为数列的递推关系的题目，然后结合递推关系式讨论可得最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.试题解析：假如我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为，得到一个数列，依题意，可知数列的递推公式：，即，整理变形，得.故是以为公比的等比数列，所以，欲使，应有，故最初至少有桃子个，从而最后至少剩下个.5.过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.【答案】证明见解析.【解析】设出PQ的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理整理计算得到椭圆中a,b的齐次式，然后求解离心率即可.试题解析：设点，直线方程为，则由，得所以，，因直线与直线垂直，故有，得又直线与圆相切，所以所以，从而由，得点因点在圆上，所以有化简，得即再进一步利用韦达定理整理上式消去，得从而，故有.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6.设为三角形中的三边长，且，求证：.【答案】证明见解析.【解析】构造三元函数，将其整理变形为，结合三角形的特征和均值不等式的结论即可证得最终结果.试题解析：记，则又为的三边长，所以，，，所以.另一方面，由于，所以，又所以不妨设，且为的三边长，所以.令，则所以从而当且仅当时取等号.7.已知椭圆过点，两个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆上的两个动点，①如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意得到a,b的值即可确定椭圆方程；(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理分类讨论即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意可得：，则椭圆的方程为（2）设，直线方程为，，得：由韦达定理：，，由题意可知，即∴即∴或当时，直线方程恒过定点当时，直线方程恒过定点与点重合，不合题意舍去，综上所述，直线恒过定点.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。

丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。

7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。

8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。

9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。

10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。

13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。

15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。

6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。

10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。

11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。

2023-2024学年安徽省高二数学竞赛模拟试题一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.如果函数()()42231f x cx c x =+-+在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，则c 的值为__________.2.已知命题p ：对任意的正数x ，有212ax x >-+，命题q ：不存在实数x ，使223x a x <<-.若命题,p q 都为假命题，则实数a 的取值范围是__________.3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个切，已知8个相等的球的半径都为2，则立方体的体积为__________.4.圆222(0)x y R R +=>上有一定点(),0,,A R B C 是该圆上的两动点.如果2AB AC r ⋅=为常数(0)r R <<，可证BC 必与某个圆Ω相切，则Ω的方程为__________.5.对26⨯的长方形方格带的某些11⨯小方格染色（染成红色），要求任何一个22⨯的正方形方格中至少有一个11⨯的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.6.一离散型随机变量X 的分布列为：X 0123P0.1a b c其中,a b 为变数，c 为正常数，且当0a b =≠时方差()D X 有最大值，则c 的值为__________.7.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆过原点，则双曲线离心率e 的取值范围是__________.8.__________.2482cos 12cos 12cos 1999πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）已知函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，且对一切x ∈R ，都有()2428124x f x x x +++.（1）将,b c 分别表示成关于a 的函数，并求出a 的取值范围；（2）对于给定的,a k ，求()f x 在区间[],k k -上的最小值.10.（本小题满分20分）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的()*3,n n n ∈N位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为(01)p p <<，通过第二关测试的概率都为(01)q q <<.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当p q ≠时，求第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率（用含,,p q k 的式子表示）.11.（本小题满分20分）已知函数3y x ax =-（a 为常数）的图象上存在四个点(),i i i A x y ，过i A 的切线为(1,2,3,4i l i =，其中)13l l ∥，且1234,,,l l l l 围成的图形是正方形.（1）求证：132423x x x x -；（2）试求a 的取值范围.数学答案一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.1由题意得，()()32423f x cx c x =+-'，由()10f '-=，得()24230c c ---=，解得3c =-或1c =.当3c =-时，()()()1211f x x x x =--+'，当1x <-时，()0f x '>，则()f x 在区间(),1∞--上单调递增，不满足条件，舍去；当1c =时，()()()411f x x x x =-+'，则()f x 在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，满足题意，故1c =.2.(]0,1当命题p 为真命题时，对任意的正数22211,11,1,x x a a x x -⎛⎫>=--+∴>∴ ⎪⎝⎭命题p 为假命题时，1a ；当命题q 为假命题时，存在实数x ，使223x a x <<-，03a ∴<<，故命题,p q 都为假命题时，实数a 的取值范围是(]0,1.3.8设立方体的边长为a (212a =++-，解得2a =，则立方体的体积为8.4.2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设A 到BC 的距离为,h BAC ∠α=，则11sin sin 22AB AC BC h R h αα⋅==⋅，又22,,2r AB AC r h BC R ⋅=∴=∴与圆2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切.5.3105考虑()21n ⨯+个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有3种可能的情况），前面的2n ⨯个方格有n a 种染色方式，共有3n a 种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的()21n ⨯-方格有1n a -种染色方式，共有13n a -种染色方式，故()113n n n a a a +-=+，其中()4232115,315457a a =-==⨯+=，由此可知()431557216a =⨯+=，()()56357216819,32168193105a a =⨯+==⨯+=.6.0.1由题意得，()()()20.9,230.92,490.938,a b c E X a b c b c E X a b c b c D X ++==++=++=++=++()()222[]0.938(0.92)E X E X b c b c =-=++-++()221.240.09 4.44,b c b c c =-+-++-∴当0.62b c =-时有最大值，此时1.240.9c c -+=，解得0.1c =.7.512+⎣当AB x ⊥轴时，2b c a =，解得512e +=.当AB 不与x 轴垂直时，设():AB y k x c =-，与22221x y a b-=联立得()()222222222220a k b x a ck x a c k b --++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22222212122222222,a c k b a ck x x x x a k b a k b++==--，则()()2421212222k b y y k x c x c a k b=--=--.由题意得，()222224222222121222242242210131a c k b k b a b e b x x y y k e a k b b a c e e a+--+==⇒==>=----+42103112e e e +⇔<-+<⇔<<.综上，双曲线离心率e的取值范围是12⎣.8.1方法一：令29πθ=，()()()22cos 12cos 14cos 12cos2112cos21θθθθθ-+=-=+-=+ ，2cos212cos 12cos 1θθθ+∴-=+，同理得2cos412cos212cos21θθθ+-=+，2cos812cos412cos41θθθ+-=+，以上三式相乘有：162cos 124892cos 12cos 12cos 1129992cos 19πππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.方法二：令2248116sin cos cos cos sin2481999989coscos cos 229998sin sin 99a ππππππππππ===-.令248cos cos cos 999b πππ=++，2468cos cos cos cos 9999ππππ+++=24682cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin999999992sin9πππππππππ+++=3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 999999992sin9πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin12489,cos cos cos 029992sin 9b πππππ-=-∴=++=.令244828248cos cos cos cos cos cos cos cos cos 999999999c πππππππππ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭24826248248cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos cos 9999999999ππππππππππ=+=-+=412411cos cos cos 1399922224πππ--+--+==-，2482cos 12cos 12cos 1842113011999a c b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-+-=-++-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）（1）原不等式可化为()()()424222x f x x x +++.取12x =-，则有1100022f f ⎛⎫⎛⎫-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴令()()12f x x ax n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此有()()111481222x x ax n x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当12x >-时，由上式知恒有()481ax n ax n x +⎧⎨++⎩，42a n ∴-+，且1814,4222a a n n ⎛⎫-+-+=∴-+= ⎪⎝⎭.同理，当12x -时，也有42an -+=，()14,44,22224a a a n f x x ax b a c ⎛⎫⎛⎫∴=+∴=+++⇒=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由题意得，()()()()22222114204218124802ax b x c a x x a x a x b x c a x ⎧⎛⎫⎛⎫+-+-=++=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+-+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，①②两式恒成立，[]0,8a ∴∈.（2）当0a =时，()42f x x =+，此时()f x 在[],k k -上的最小值为()42f k k -=-+；当(]0,8a ∈时，()f x 图象的对称轴方程为4022b a x a a+=-=-<，此时442a f a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.记()f x 的最小值为m ，当(]4,2a k a∞+-∈--时，得()214k a -⑤，故当12k 时，⑤成立，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.当12k >时，()421421k a a k -⇒-.注意到：4343138,821421424k k k k k ⇔>⇔<⇒<<--，∴当1324k <<时，⑥戊立，此时()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=.当34k 时：当4821a k <-时，(]4,2a k k a +-∈-，此时4m a=-.当421ak -时，(]4,2a k a ∞+-∈--，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.综上，()f x 在区间[],k k -上的最小值如下：当304k <<时，()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=；当34k 时，()()121284,042144,821k k a ak m a a k ⎧⎡⎤--+⎣⎦⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩.10.（本小题满分20分）设第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为kp .当p q ≠且第()*11,k kn k -∈N 位玩家终止测试时，第k 位玩家必通过第二关测试.若前面()1k -位玩家都没有通过第一关测试，其概率为'1(1)k k p p pq -=-，若前面()1k -位玩家中人第()*11,,i i k k i -∈N位玩家才通过第一关测试，则前面()1i -位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)i p --，第i 位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为()1p q -，第()1i +位玩家到第()1k -位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为1(1)k i q ---.∴前面()1k -位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：111111111(1)(1)(1)(1)1i k k i k i k k i i p p p p q q q pq q q ---''----==⎛⎫-=---=- ⎪-⎝⎭∑∑()11111111(1)(1)(1)111k k k k p pq q q pq q q p p p qq ----⎛⎫--⎪--⎝⎭⎡⎤=-=---⎣⎦----111(1)(1)(1)(1)k k k kk k pq q p p p pq p q p p q'''----⎡⎤∴=+=-+---⎣⎦-()11(1)(1)(1)(1)k k k kpq q pq pq pq p q q p p q p q p q -⎡⎤-⎡⎤=--+-=---⎢⎣⎦---⎣⎦因此，第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为(1)(1)k k pq q p p q⎡⎤---⎣⎦-.11.（本小题满分20分）（1）设直线i l 的斜率为()1,2,3,4i k i =，又23y x a '=-，则()231,2,3,4i i k x a i =-=，121k k =-1324,l l l l ∥∥，则2222132413241324,,,,k k k k x x x x x x x x ==∴==⇒=-=-，22132412121113332x x x x x x k k k k ∴-=-=-=+，即132423x x x x -.（2）若0a ，则()212301,2,3,4,1i i k x a i k k =-==-不成立，0a ∴>.不失一般性，可设12120,0,0,0x x k k >>><.()()31:201,2,3,4i i i i l y y k x x y k x x i -=-⇔--==.1l 与3l 的距离2l ､与4l 的距离分别设为d 与d '，则3333121d d k k '⎧===∴=-⎩33112x k x ∴=⋅，令31k t =，则12(0)x tx t =>.222232122132313111113,3x x a k a x at t a at k t t t t t-==-=-∴-=-⇒=-⇒+=- ，431t a t t +∴=-，又0,0a t >>，可得1t >.方法一：令()431(1)x f x x x x+=>-，则()()()()()()2226422233122331xx x x x x f x xxxx++---+==--'，易知当22x =+时，()f x 取得最小值，从而a 取得最小值，2mina a∴==∴的取值范围是)∞⎡+⎣.方法二：令()431(1)xf x xx x+=>-，则()2211211xxf x xxx xx x+==-+--，当且仅当22x=+时，取得等号，mina∴=，a∴的取值范围是)∞⎡+⎣.。