高二数学竞赛试题Word版

2022年宁波市高中数学竞赛试题2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）． 请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．己知正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB BC AC ++=（ ）A ．1BCD 2．已知实数a ，b ，则“a b >”是“||a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体ABCD 中，设弧,AC BD 的中点分别为M ，N ，若线段AB 的长度为a ，则（ ）A ．弧AC 的长度为3aπ B ．线段MN 的长度为aC ．勒洛四面体ABCD 能置于一个直径为a 的球内 D ．勒洛四面体ABCD4．己知A ，B 分别在两圆222212:1,:4C x y C x y +=+=上运动，且在1C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则线段AB 中点M 轨迹的面积为（ ） A ．π B ．54π C ．2π D ．94π 二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分．）5．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ） A ．事件A 与事件C 互斥 B ．事件B 与事件C 互斥 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．事件B 与事件C 相互独立6．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31xa a >-，下列结论正确的是（ ）A ．存在a ，使得该不等式的解集是RB ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是(2022,)+∞ 7．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2f x g x g x f x g x f x -++=--=--=，且当(0,1]x ∈时，2()1f x x =+，则（ ）A ．(2022)2g =B ．()(2)0g x g x ++=C ．函数()f x 在(1,3)上单调递减D ．方程(2022)f x x +=有且只有1个实根8．设函数()f x 的定义域为I ，区间(,)a b I ⊆，如果对于任意的常数0M >，都存在实数12,,,n x x x ，满足1n a x x b <<<<，且()()111n i i i f x f x M -+=->∑，那么称()f x 是区间(,)a b 上的“绝对差发散函数”．则下列函数是区间(0,1)上的“绝对差发散函数”的是（ ） A ．1()21x f x x =++ B ．()tan 2x f x π= C ．2,,(),.x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数 D ．()cos 2f x x x π= 三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸相应位置上．）9．设O 为坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，若P 是该抛物线上一点，且23PFO π∠=，则点P 到y 轴的距离为_______________．10．已知实数12,x x 满足()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，则12x x +=_______________．11．在44⨯的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是_______________．12．己知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，M ，N 分别为棱11,BB CC 上的点．若平面AMN 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AMN △的面积的最小值为_______________． 13．已知n *∈N ，集合{}(,)|1||22|1,,n nn A x y x y x y =-+-<∈R ，记1n n A A ∞==，则集合A 中的点组成图形的面积为_______________．14．己知m ∈R ，关于z 的方程()()2220z z mzz m ++++=有四个复数根1234,,,z z z z ．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m 的值为_______________．四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．如图，在ABC △中，2ACB ABC ∠=∠．设点D 是BC 边上一点，满足2BAD ABC ∠=∠．（Ⅰ）记ABC θ∠=，用θ表示ABBD； （Ⅱ）若111AB AC+=，求BD ． 16．已知0a ≥，设函数()|||1|f x x a ax =-+-． （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式()(2)f x x a x ≥-恒成立，求a 的取值范围．17．设点(0,2),(0,2),(0,4)A B F --，过点F 作斜率为k 的直线l 交椭圆221:1164x y Γ+=于C ，D 两点． （Ⅰ）记直线,,,AC AD BC BD 的斜率分别为1234,,,k k k k ．从下列①②③三个式子中任选其一，当k 变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． ①12k k ⋅；②14k k ；③23kk ． （Ⅱ）当直线,BC BD 分别交双曲线222:1412y x Γ-=的下支于P ，Q 两点（异于点B ）时，求||||PF QF +的取值范围．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．已知正整数数列{}n a 满足()21220222n n n a a n a *+++=∈+N ． （Ⅰ）若21a =，求2022a ； （Ⅱ）求12022a a +的取值的集合．19．甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设k a 为前k 次试验中硬币正面向上的次数，k b 为前k 次试验中图钉针尖朝下的次数，记,(1,2,3,,100)k k k k a bp q k k k===．（Ⅰ）若11000,0.5p p ==，问是否存在常数P ，不论试验过程中k p 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k p P =？若存在，求出所有P 的可能值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）若11000,0.7q q ==，问是否存在常数Q ，不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =？若存在，求出所有Q 的可能值；若不存在，请说明理由．2022年宁波市高中数学竞赛参考答案2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A 组的考生作答A 卷（所有试题），报考B 组的考生作答B 卷（前17题）． 请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．一、选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1．答案：D解析：|2||23|13AB BC AC AB BC ++=+=，故选D ． 2．答案：A解析：若a b >，则||a a b ≥>，故“a b >”是“||a b >”的充分条件； 当3,2a b =-=时，||a b >但a b <，故“a b >”不是“||a b >”的必要条件； 所以选A ． 3．答案：D ．解析：选项A ，弧AC 为两个半径为a 、球心距为a 的球面相交所得的小圆中的弧；，弦AC 长为a ，可得弧AC 长不为3a π．故A 错误；选项B ，22222MN a a a a ⎛⎫=-+=-> ⎪⎝⎭⎭，故B 错误；选项C ，由MNa >，故C 错误；选项D ，由四面体ABCD 的体积为312，故D 正确． 4．答案：C解析：法一：不妨设PA x ∥轴，如图：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，不妨设,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，(cos B θ-，所以0,2sin M M x y θ==+sin [1,1]t θ=∈-，则2()[1][3,3]M y f t t ==-，当01t ≤≤时，()f t 递增，此时()f t ∈；当10t -≤≤时，()f t =递增，此时()f t ∈．所以13()[1,3],22M f t y ∈≤≤，此时M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭． 则当弦AP 在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为12，外径为32的圆环，易得面积为2π．法二：作矩形PACB ，则由2222||||||||||2OA OB OP OC OC +=+⇒=，记OP 中点为E ，则1||||12EM OC ==，则点M 在OP 中点E 为圆心，1为半径的圆上 若记cos sin (cos ,sin ),,22P E θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点M 的轨迹方程为22cos sin 122x y θθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos sin 4x y x y θθ+-=+， 当θ变化时，x ，y1≤，可得1322≤≤． 所以当P 变化时，点M 的轨迹为，内径为12，外径为32的一个圆环，此圆环的面积为2π．二、选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的得0分．）5．答案：ACD解析：对AB ，显然事件A 与事件C 互斥，事件B 与事件C 不互斥，故A 正确，B 错误； 对C ，易得111(),(),()()()428P A P B P AB P A P B ====⋅，所以C 正确； 对D ，易得111(),(),()()()248P B P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确； 故选ACD ． 6．答案：ACD ． 解析：①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确； ②log (31)11,31log (31)3a a x a a a a a x a -><<-=⇒<-，又log (31)a a R -∈， 故存在a 使得log (31)2022a a -=，故C 正确； ③log (31)1,31log (31)a a xa a a a ax a ->>-=⇒>-，又log (31)(1,)a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，故D 正确； 故选ACD ． 7．答案：ACD解析：对AB ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(2)(4)4g x g x -+-=，可得()(2)4g x g x ++=，故B 错误，且()(4)g x g x =+．由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(4)()4g x g x -+=，令2x =可得(2)2g =，所以(2022)(2)2g g ==，故A 正确；对C ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(3)0f x f x -+-=，即(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=，由(1)(1)2()(2)2f xg x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，根据上述性质可得()f x 的图象如下，故()f x 在(1,3)上单调递减，所以C 正确；对D ，(2022)(2)()2f x x f x x f x x +=⇔+=⇔=-，由上述对称性可得()f x 的图象如下，故方程只有1个解，所以D 正确．故选ACD ． 8．答案：BCD解析：对A ，因为()f x在1)递减，在1,1)-递增，所以()()()()11111)1)3n i in i f x f x f x f f x f -+=-≤--+-<-∑，A 错误；对B ，因为()tan 2xf x π=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是递增的，所以()()1111tan tan 22n n i i i x x f x f x ππ-+=-=-∑， 当11,0n x x →→时1tantan22nx x ππ-→+∞，B 正确；对C ，设递增数列{}k x 满足：11,,1,2,3,,32k x k n ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且21k x -为有理数，2k x 为无理数则()()1112k k f x f x +->，所以()()1111(1)12n i i i f x f x n -+=->-∑，当n →+∞时，()()211kii i f x f x -=-→+∞∑，C 正确；对D ，设1,1,2,,2x k n k ==，则()()1111111112446222n i i i f x f x n n -+=⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑21111ln 1ln(1)ln 223n k n n k =⎛⎫>+++>+=+- ⎪⎝⎭∑， 所以()()111,n i ii n f x f x -+=→+∞-→+∞∑，D 正确．故选BCD ．三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答卷相应位置上．）9．答案：3解析：P 到y 轴的距离2||1131cos3d PF π=-=-=-．10．答案：1解析：设()2ln f x x x =+，显然函数单调递增，由题可得()()121f x f x =-，所以121x x =-，即121x x +=． 11．答案：5．解：设*号的空格上填的实数为x ，则13,262x A B x +==-． 进而有第三列的公差为396536A xd --==， 从而16926x C A d +=+=． 又13，B ，C 成等差数列，得1692(26)136x x +-=+， 解得5x =．12．答案：2． 解析：由111111111111223BCNM BCNM A BCNMABC AB C A BCC B ABC A B C BCCB BCC B S S V V V V S S ----==⋅=⋅四边形四边形四边形四边形， 得1134BCNM BCC B S S =四边形四边形，从而3BM CN +=． 建立空间直角坐标系如图，可设(2,0,),)M t N t -，则(2,0,),(1,3,3)AM t AN t ==- 设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z =则0,0.n AB n AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,(3)0.x tz x t z +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩，可取(,32)n t t =-+-． 又平面ABC 的法向量为0(0,0,1)n =．设平面ABC 与平面AMN 所成角为α，则02cos ||nn n n tα⋅==⋅．由射影面积公式可得cos ABC AMNAMNS S S α==△△△，所以2AMN S =≥△，等号当且仅当32t =时取到，所以()min AMN S =△ 13．答案：1．解析：若1(,)x y A ∈，则|1||22|1x y -+-<，从而|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈． 所以()|1||22||1||22|1n nx y x y n N*-+-≤-+-<∈，即得(,)nx y A ∈．故有11n n A A A ∞===．又易知集合1A 中的点组成图形的面积为1，所以集合A 中的点组成图形的面积为1．14．答案：16．解析：设20z z m ++=根为2121,,14,20z z m z z m ∆=-++=的根为342,,18z z m ∆=-，由题意12140,180m m ∆=-≠∆=-≠，即18m ≠且14m ≠．①当18m <时，1234,,,z z z z 均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； ②当1184m <<时，12,z z 为实数且34,z z 为虚数，且1234z z z z -=-，所以114816m m m -=-⇒=； ③当14m >时，1234,,,z z z z 均为虚数，且四个虚数根的实部均为12-，即四个对应点均在直线12x =-上矛盾． 综上：16m =． 四、解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）15．答案：（Ⅰ）23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+；（Ⅱ）1．解析：（Ⅰ）由题,22BAD ACB θθ∠=∠=．在ABD △中，根据正弦定理可得23sin234sin 2cos 12sin 2AB BD θθθθ==-=+．（Ⅱ）在ABC △中，根据正弦定理可得sin 2sin AB AC θθ=，所以12cos AC ABθ=，所以1112cos 1AB AC ABθ++==，可得2cos 1AB θ=+． 又由（Ⅰ）知2cos 1ABBDθ=+，所以1BD =．16．答案：（Ⅰ）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（Ⅱ）0a ≤≤． 解析：（Ⅰ）易知(1)2|1|,(1)2|1|f a f a =--=+，若(1)(1)f f =-，则2|1|2|1|a a -=+，解得0a =，此时()||1f x x =+为偶函数； 若(1)(1)f f =--，则2|1|2|1|a a -=-+，解得a 不存在．综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数． （Ⅱ）0a =时，2()||1f x x x =+≥-显然成立，所以0a =符合．0a >时，若(,0][2,)x a ∈-∞+∞，则(2)0()x a x f x -≤≤恒成立，故只需考虑|||1|(2)x a ax x a x -+-≥-对任意(0,2)x a ∈恒成立．（*），取x a =，有221a a -≥，解得212a ≤，即得0a <≤．而当02a x a <≤<<时，21210ax a -≤-≤， 故（*）式可化为2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立， 令2()||31g x x a x ax =-+-+,①当(0,]x a ∈时，22()(31)(1)()120g x x a x a g a a =-+++≥=-≥恒成立； ②当[,2)x a a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =--+-， 对称轴312a x a -=≤，且2()120g a a =-≥．因此，02a <≤．综上：0a ≤≤． 17．答案：（Ⅰ）均为定值，1212433,3,34k k k k k k ⋅==-=-；（Ⅱ）28,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 解析：（Ⅰ）由题可得:4l y kx =-，设()()1122,,,C x y D x y ．l 与1Γ联立()2222441324801164y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩， 则12212232414841k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩． 选择①：()()()21212121212121212666362234kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅===，故12k k ⋅为定值，且1234k k ⋅=； 选择②：易得1314k k ⋅=-，则143414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===，所以1434134k k k k =-=-⋅， 故14k k 为定值，且143k k =-；选择③：易得2414k k ⋅=-，则233414k k k k =-⋅．()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===⋅，所以2334134k k k k =-=-⋅， 故23k k 为定值，且233k k =-．（Ⅱ）若选择①，结合132414k k k k ⋅=⋅=-， 可得3412121111441612k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭； 若选得②减③，则已得34112k k ⋅=． 此时34:2,:2PB y k x QB y k x =-=-．PB 与2Γ联立()322322332321231120311412p y k x k k x k x x y x k =-⎧⎪⇒--=⇒=⎨--=⎪⎩， 所以()2332233128||212163131P P l k PF e d k x k k -⎛⎫=⋅=-=-=-- ⎪--⎝⎭准，同理可得248||631QF k =---． 所以()()()22342222223434341532112||||128128417173131331616k k PF QF k k k k k k ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+=--+=--=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-++-++⎝⎭． 因为,BC BD 分别交2Γ下支于P ，Q两点，所以340|,|3k k <<∣，所以2222341748k k +<+=．又223434126k k k k +>=，所以2234117,648k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以28||||,3PF QF ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭．五、解答题Ⅱ（A 卷试题，B 卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．）18．答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）{343,677,1013,2023}．解析：（Ⅰ）由条件知：2123231222022,222022n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=++=+ 两式相减得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-， 若310a a k -=>，则312n n n n a a a a +++-<-．则3121n n n n a a a a +++-≤--，则423110k k a a a a k ++-≤---<，矛盾． 所以310a a -=，所以2n n a a +=，所以2022202021a a a ====．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n n a a +=，所以设212,k k a b a c -==，则220222b bc +=+，所以2022bc =．而202223337=⨯⨯，所以{,}{1,2022},{2,1011},{3,674},{6,337}b c =， 所以2023,1013,677,343b c +=，所以12022a a +的取值的集合为{343,677,1013,2023}． 19．答案：①不存在；（Ⅱ）存在，12Q =或23． 解析：（Ⅰ）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均小于0.5．再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均大于等于0.5．这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P 不存在， （Ⅱ）存在，12Q =或23，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的(1100)k q k <<均小子0.7．再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的k q 分别为123707070700,,,,,,,,,234717299100， 所以符合要求的Q 只可能取12,23． 下证1,2,3n Q n n -==时，必存在1100k <<时，使得1k k b n q k n-==． 设(1)k k S nb n k =--，若第k 次试验针尖朝上，则1k k b b -=，则11(1)(1)(1)(1)(1)k k k k S nb n k nb n k n S n --=--=-----=--；若第k 次试验针尖朝下，则11k k b b -=+，则11(1)(1)(1)11k k k k S nb n k nb n k S --=--=---+=+当2,3n =时，11100(1)(1)0,70100(1)100300S nb n n S n n n =--=--≤=--=->． 所以由介值性定理知，必存在1100k <<，使得0k S =，即1k k b n q k n-==，得证．。

高二年级数学竞赛试题（文科）一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1．已知f(x)是R 上的增函数，它的图像经过A(0，－2），B(3，2），则不等式|f(x+1)|≥2的解集为（ ）A ．(-∞,-1]∪[2,+ ∞)B ．[2,+ ∞)C ．(- ∞,-1]D ．[3,+ ∞) 2．不等式x －2－|x 2－4x+3|≥0的解集是（ ）A ． [253+,255+]B ．[ 253-,255+]C ．(－∞,253+] ∪[255+,+∞)D ．[ 255-,253+]3．已知椭圆1a2y a x 2222=+上有三点P i (x i ,y i ) (i=1,2,3)，它们到同一焦点的距离分别为d 1,d 2,d 3，则d 1,d 2,d 3成等差数列的充要条件是（ ）. A ．x 1,x 2,x 3成等差数列 B ．y 1,y 2,y 3成等差数列 C ．上述同时成立D ．(A),(B)以外的条件4．对于角α,β, 若sin αsin β+cos αcos β=0, 则sin2α+sin2β的值等于（ ）.A ． 0B ．1C ．2D ．比2大的数 5．y=x －sinx 在区间(0,2π)上的单调性是（ ）. A ．单调增加 B ．单调减少C ．先单调增加，后单调减少D ．先单调减少，后单调增加6．椭圆 1by ax 2222=+(a>b>0)上的两焦点为F 1,F 2，M 为椭圆上与F 1 , F 2不共线的任意一点，I 为△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ， 则|MI|: |NI|的值等于（ ）.A ．b a B ．c a C ．c b D ．ac 7．平面直角坐标系中，O 为原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足β+α=,其中α+β=1，则点C 的轨迹方程为（ ）.A ．3x+2y －11=0B ．(x －1)2+(y －2)2=5 C ．2x －y=0 D ．x ＋2y －5=08．如图2，在︒120的二面角βα--l 内，半径为1的圆1O 与半径为2的圆2O 分别在半平面α、β内，且与棱l 切于同一点P ，则以圆1O 与圆2O 为截面的球的表面积为（ ）A ．π3448B ．π3112C ．π328 D ．π49. 已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA •=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m OA +n (m 、n ∈R )，则nm等于（ ） A.31B.33C.. 3 D 310. 已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A ．92B ．3 CD二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数xy 1=与24x y -=的图像有两个交点(x 1,y 1), (x 2,y 2), 则式子x 1－y 1+x 2－y 2= 。

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二年级数学竞赛试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是 （ ） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） （A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 （ ） （A ）（a , 0） （B ）(－a , 0) （C ）（0, a ） （D ）（0, －a ）4（文）=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （ ）(A).)(210x f ' (B). )(0x f ' (C). )(20x f ' (D). )(-0x f ' 4（理）有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是 （ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 5（文）已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ） （A ）e 1-（B ）e 1 （C ）e 2 （D ）e2- 5（理）已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56（文） 设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（ ）(A ). 012k k k << (B). 120k k k << (C). 210k k k << ( D). 201k k k <<6（理）如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

高二年级数学比赛题一 .选择题 :1.已知 f(x) 是 R 上的增函数，它的图像经过 A(0 ，-2） ,B(3 ，2），则不等式 |f(x+1)| ≥ 2 的解集为（ ） .(A)(- ∞ ,-1] ∪ [2,+ ∞) (B)[2,+ ∞ ) (C)(- ∞ ,-1] (D)[3,+∞ )2.设 x, y 知足 arccos(y-2)=arcsin(x-1), 则 3x+y 的取值范围是（）.(A)[5- 10 ,5+ 10 ](B) [5-10 ,6](C) [6, 8](D) [6,5+10 ]3.不等式 x-2-|x 2-4x+3| ≥ 0 的解集是（） .(A)[35 , 55 ](B)[22(C)(- ∞ ,35 ]∪ [55,+∞)(D)[2235 , 55 ]2 255 , 35 ]2 24. 已知椭圆 x2y21 上有三点 P i (x i ,y i ) (i=1,2,3) ，它们到同一焦点的距离分别为22a2 ad 1 ,d 2,d 3，则 d 1,d 2 ,d 3 成等差数列的充要条件是（ ）.(A) x 1,x 2,x 3 成等差数列 (B) y 1,y 2,y 3 成等差数列 (C) 上述同时建立 (D) (A),(B) 之外的条件5.方程 2x+2= |x+3| - |x-1| 的解有（ ）个 .(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 无量多个6.关于角 α, β , 若 sin α sin β +cos α cos β =0, 则 sin2α +sin2β的值等于（） .(A) 0(B) 1(C) 2(D)比 2大的数7.y=x-sinx 在区间 (0,2)上的单一性是（） .(A) 单一增添(B) 单一减少(C)先单一增添 ,后单一减少(D) 先单一减少 ,后单一增添8.椭圆 x2 y 2(a>b>0) 上的两焦点为 F 1 , F 2 ， M 为椭圆上与 F 1 , F 2 不共线的随意一221ab点， I 为△ MF 1F 2 的心里，延伸 MI 交线段 F 1F 2 于 N ， 则 |MI| : |NI|的值等于（） .aab (D)c (A)(B)(C)abcc9.平面直角坐标系中， O 为原点，已知 A （3，1），B （ -1，3），若点 C 知足 OC OA OB ,此中 α +β =1，则点 C 的轨迹方程为（ ） .(A) 3x+2y-11=0(B) (x-1) 2+(y-2) 2=5 (C) 2x-y=0(D) x+2y-5=0210.若 a ≤ -1 ,则不等式x 1≥ a 的解集是（） .x(A) (- ∞ ,-1](B) [1,+ ∞ )(C) (- ∞ ,-1]∪ [1,+ ∞ ) (D) [-1,1]二 .填空题 :11.函数 y= 1与 y=2x4x 的图像有两个交点 (x 1,y 1), (x 2 ,y 2),则式子 x 1 -y 1+x 2-y 2= .12.acosx+bsinx=c ,x ∈ (0,π)有两根 α , β , 则 sin(α +β )=.2是在 (-∞ ,3)上的减函数，则 a 的取值范围是.13.函数 f(x)=2ax+4(a-3)x+52214.y= 54x x4 4xx 的值域是.15.已知直线 y=x+1 与椭圆x 2 y 21 (0<b<a<3)有两个交点， 则椭圆的离心率22e 的取值ab4范围是.16.椭圆x2y21与抛物线 x 2-y+m=0 有 2 个交点，则 m 的取值范围是.2m62-1) 都建立的实数 x 的取值范围是.17.关于 |m|≤ 1 的一确实数，使不等式 2x-1>m(x18.若 3x 2-xy+3y 2 =则 8x 2+23y 2的最大值是.19.抛物线 y 2=4x的一条弦的倾斜角为 α ，该弦长为 4csc 2α ，那么这类弦必经过必定点，这个定点是.面上有一整数点P ，则 P 点到直线 y=3x+2的距离的最小值是.57交卷时沿此线撕下高二年级数学比赛题答题卷姓名成绩一 .选择题 :题次 1 2 3 4 567 8 9 10答案 ADABDAABDC二 .填空题 :11. 012. 2ab/(a2+b2) 13. [0, 3/4]14. [-3,3]15. (0,2/3)16. (0, 6 )17.( 3-1,2)18.16019. (1,0)334/238。

1、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且310)(1 lim e x x f x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。

再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。

另外求一点的导数往往要用定义。

解 由31])(1[lim e xx f x xx =++→得3])(1ln[lim0=++→xx x f x x ，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即0])(1ln[lim 0=++→xx f x x ， 可以得到0)(lim=→xx f x ， 同样，我们有)0(0)(lim 0f x f x ==→， 由导数的定义得00)0()(lim)0('0=--=→x f x f f x 。

另外，注意：()3f x x x x+→，得4)0("=f 。

2、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：),[,+∞∈∀a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。

证明：xx f )(在),[+∞a 有界。

证明： 由条件知，),[+∞∈∀a x ，有|||)()(|a x K a f x f -≤-， 则|)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤，从而aa f K x a f x a x K x a f x a x K x x f |)(||)(||||)(|||||)(+≤+-=+-≤， 故xx f )(在),[+∞a 有界。

3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=0,;0,)(2x c bx ax x e x f x 且f(0)存在, 试确定常数a , b , c .解：由条件可知函数)(x f 在0=x 处连续, 故1)0(==f c 。

由条件可知)(x f '在0=x 处连续,且⎩⎨⎧>+<='0,2,0 ,)(x b ax x e x f x , 故1)0(='=f b 。

高二上学期数学竞赛一、选择题（每小题6分,满分30分）2. 设a , b ∈R , ab ≠0，那么，直线 ax -y +b =0和曲线 bx 2+ay 2=ab 的图形是(A) (B) (C) (D)2. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．22 C ．23 D ．13- 3. 当210<<k 时，方程kx x =-1的解的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．34. 若x ∈[-125π,-3π]，则y = tan(x +32π)-tan(x +6π)+cos(x +6π)的最大值是(A)2512 (B)2611 (C)3611 (D)35125．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),(+∞∈++=λλ则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二.填空题(每小题8分,满分40分)6. 不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________7. 设F 1,F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|=2:1，则△PF 1F 2的面积等于. __________8. 已知A ={x |x 2-4x +3＜0,x ∈R }, B ={x |x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R }．若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是____________.9. 若方程2a ·9sinx +4a ·3sinx +a – 8=0有解，则a 的取值范围是________.10. 已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数u =244x -+299y -的最小值是________.三.解答题(满分50分)1. （本题满分10分）有三个城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？2. （本题满分10分）已知a,b,c ∈R ，函数f(x)= ax 2+bx+c. （1）若a+c=0，f(x)在[-1,1]上的最大值为2，最小值为25-，证明：a ≠0且|a b |<2；（2）若a>0，p 、q 满足p+q=1，且对任意的实数x 、y 均有pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)，证明：0≤p ≤1.3. （本题满分15分） 已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.4．（本题满分15分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.高二数学竞赛答案1—5 BDDCB 。

高二年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题:p 方程11522=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<<m B ．1>m C ．51<<m D ．54<<m2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满足()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（ ）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为263，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（ ）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)3f x x π=+ B ．()2sin(2)6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等比数列，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A.)21,1 B.21,1⎤⎦C.(21⎤⎦D.20,2⎛⎝⎦12． 已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为（ ）A ．24B ．104C ．14D ．248+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有 ②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在ABC ∆中, 点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC 的中点,3272,cos ,273AE B ADB π==∠=. （1）求AD 的长；（2）求ADE ∆的面积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线3y x =-相切. ⑴求椭圆的方程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．参考答案一、选择题1．D 解析：方程表示焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故10,2A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.3.D 解析：由已知1n na a +=4.A解析：,e ca =⇒==，渐近线方程222202x y xb b-=⇒=±，因此左顶点到一条2a b =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β⊂，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =---，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ⋅=-⋅-⨯+-⨯-=，即OP AM ⊥，故夹角为2π，故选C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形111ABCC B A A 的对角线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对角线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥⇒≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线cos (4)sin 1x y θθ+-=的距离直线cos (4)sin 1x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合， ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=，其对称中心()0,4M如图所示：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =⎧⎨=⎩，可得M '（4，8）． 设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ∆的周长为小值，二、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0， 得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所示，①)(x f 的最大值为1，最小值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④由题意，可得，)22,2(+∈k k x ，kx f 21)(max =，1k 1x k min+=）（．证明k 211k 1≥+，即证明1k 2k +≥，又1k 2k +≥， )1(≥k ，所以k 211k 1≥+，所以对任意0>x ，不等式x k x f ≤)(恒成立，所以对任意0>x ，不等式()2f x x≤恒成立正确．故答案：①③④.三、解答题17. 解析：若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ ∴1212a -<≤.若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数， 即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴1021,201a a a ⎧<≤->⎪⎨⎪<≤⎩或即021a <≤-或112a <≤.∴实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦. 18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ∆中，2cos B =)2112732127214ADB ⎛⎫+∠=-+= ⎪⎝⎭, BD, 知 cos AD CD ADC ∠2250DC DC ∴--=,解得1DC =+.1sin 2AD DC ADC ∠=⨯ 332ADC S ∆+=20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩，所以()()max 13f x f ==， 因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ∀∈-都成立，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ∀∈-恒成立，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ⎧-+≥⎨++≥⎩，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ⎧+≤⎨-≤⎩， 所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>；联立22221x y a by x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯一根； 所以()()()222222223430ab a a a b =--+-=，得223b a +=又221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的方程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的方程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联立()22222212142202x y k x k x k y kx k⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩得，则12PQx =-= 同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ⎛⎫ ⎪++===- ⎪++++ ⎪⎝⎭=2211442410k k⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭， 因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++， 所以2211164,2429410k k ⎛⎫⎪⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪++⎝⎭，所以四边形PQMN 面积的最小值为169，最大值为2。