2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题

福建省三明市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第T卷（选择题）和笫II卷（非选择题），笫【I卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域帖写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净示，再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。

4.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题日对应的题号涂黑。

5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据兀］,西,・・・£,的标准差S = \ 丄［（%! - X）2 + （x2 - X）2 + — 4- （x n - X）2］ V n其中I为样本平均数柱体体积公式V = Sh其中S为底面面积，/I为高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。

1.复数匕等于1 + iA. iB. -i c-♦匕，x19 2.双曲线----- y =4 '二1的渐近线方程是锥体体积公式V=-Sh3其中S为底面面积，〃为高球的表而积、体积公式S=^7rR\V =~71^3其中R为球的半径第I卷（选择题共50分）3.在MfiC'P ，已知AB = a.AC = b.D 为BC 的屮点，则下列向量与AD 同向的是6. 某市教育部门通过调查10000名高屮住参加体育锻炼的状况，根据调查数据I 出i 出了样本分布直方图(如上图)，为了分析学生参加体育锻炼与课程学习的关系，采用分层抽样 的方法从这10000人再抽出100人做进一步调查，则在每周参加体育锻炼的吋间落在[7.5,8)小时内的学生中应抽出的人数为 A. 15B ・ 20C. 25D. 507. 已知函数y = /(x)在定义域[-4,6]内可导，其图象如图，记y = f(x )的导函数为 y =f\x),贝怀等式f \x) > 0的解集为4 1 ] A- [-—J]U[—,6]A.a+b \a+h\B.a h ------- 1\a\ \b\a-bC. ---------\a-b\D.\a\ \b\TT4.己知函数 f(x) = A sin(^x +(p\x e R,A>^(o>^\(p\<-)的图象，(部分)如图所示,则/(x)的解析式是7TA. /(%) = 2sin(^x + —)(x G R)6 7TB- /(x) = 2sin(2^x + —)(x G R)6 c 、TCC. /(x) = 2sin(^x + —)(x G R)715. 卜•图是一个几何体的三视图, 根据图中数据，町得该几何体的体积为A. —71B. 71B. [-3,0]U[§,5] 4 11C. L-4,--jUll,-J3 3 D ・[-4,3]U[0,l]U[5,6] 8. 设加、〃是不同的直线，a 、0、有以下四个命题其中.1上确的是命题是A.①④B.②③C.①③D.②④9.若a.b G R ,命p:a> y/b 2-1 :命题g:直线y = ax + b 与圆〒+尹2= 1相交，则”是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如果两个位数相同的自然数恰好只冇某一数位上的数字不相同，则称这两个数为相邻数, 例如：123与103、5555与5565分别是两个相邻数,若集合A 中的元素均为两位数,且 任意两个数都不是和邻数，则4屮的元素最多有A. 8 个B. 9 个C. 11 个D. 12 个第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2015年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1．已知集合{}2,01xA y y x ==≤≤，集合{}1,2,3,4B =，则AB 等于A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}0,1,2 2．已知复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位），则z =A ．12B ．2CD ． 23．下列有关命题的说法中，正确的是A ．R x ∀∈，lg 0x >B ．0R x ∃∈，使得030x≤ C ．“π6x =”是“3cos x =”的必要不充分条件D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 A.14 B.20 C.30 D.55 5．函数32()34f x x x 的图象在1x =处的切线方程为A ．350xy B ．350x y C ．310x y D ．370x y6．抛物线240y x +=上的点P 到直线2x =的距离等于4，则P 到焦点F 的距离||PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知实数a 满足2a <，则事件“点(1,1)M 与点(2,0)N 分别位于直线 :210l ax y -+=两侧”的概 率为 A ．18 B ．38 C ．58 D ． 348．已知圆C 的方程为012222=+--+y x y x ，过直线0843=++y x 上一点P 作圆C 的切线PT ，切点为T ，则||PT 的最小值为A ．22B ．3C ．10D ．49．如图是某几何体的三视图，且正视图与侧视图相同，则这 个几何体的表面积是A ．4π3B ．7πC ．(55)π+D ．(45)π+ 10．函数cos22cos 1y x x =-+的最小值和最大值分别是A ．12-，4B ．0，4C ．14-，2 D ．0，211．已知双曲线Γ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，斜率为3的直线l 经过双曲线Γ的右焦点2F 与双曲线Γ在第一象限交于点P ，若12PF F ∆是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为A ．3B ．31+C ．31- D ．31+ 12．已知函数21,10,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-<≤=⎨-+>⎩设方程()1f x x =+的根按从小到大的顺序得到数列1x ，2x ，，n x ，那么10x 等于A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．某班共有学生54人，其中男生30人，为了调查该班学生对国学的兴趣情况，现按性别采用分层抽样的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中女生的人数为 ． 14．已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，其前n 项和为n S ，且31,a a 是方程0452=+-x x 的两根，则3S = ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2,60==c C，则b a +的最大值为 ．16．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距离相等．点O 在直线l 上，点,A B 在直线1l 上，P 为平面区域内的点， 且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R ．若P 所在的区域 为④,则12λλ+的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，CD 和BE 都垂直于平面ABC ， 且90ACB ∠=，4AB =，1BE =，3CD =，22DE =． （Ⅰ）求证：BE ∥平面ACD ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积．EDCBA某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况，在树苗种植一年后，从中随机抽取10株，测得它们的高度（单位：cm ），并将数据用茎叶图表示（如图），已知]9,6[∈x ，且x ∈N ． (Ⅰ) 若这10株树苗的平均高度为130cm ，求x 值；（Ⅱ）现从高度在)140,130[和)150,140[内的树苗中随机抽取两株，若这两株树苗平均高度不高于139cm 的概率为21，求x 的可能取值．19．(本小题满分12分)已知向量,1)x x =-m ，(1sin ,cos )x x =-n，函数()f x =⋅m n + （Ⅰ）求函数()f x 的零点； （Ⅱ）若8()5f α=，且π(,π)2α∈，求cos α的值．20．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且539a S ==． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，集合12{|,}n n n T T b b b n Ω==+++∈+N ，（ⅰ）求n T ；（ⅱ）若,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n =，求i j T T ⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，其左、右焦点分别是1(1,0)F -和2(1,0)F ，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程； （Ⅱ）若25||=2AF ，求三角形12AF F 的面积； （Ⅲ）在椭圆Γ上是否存在点P ，使得点P 同时满足：①过点P 且平行于AB 的直线与椭圆Γ有且只有一个公共点；②线段1PF 的中点在直线AB 上？若存在，求出点P 的坐标；否则请说明理由．x 611 12 13 4 66 4 2142 4 8设函数2()4ln f x x ax bx =++(,)a b ∈R ，()f x '是()f x 的导函数，且1和4分别是()f x 的两个极值 点．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间(,3)m m +上是单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立，求实数λ的取值范围．2015年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案及评分标准一、选择题：1－6 BCDCBC 7—12 BACADB 二、填空题：13．8 14．7 15．4 16．(,1)-∞- 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，又CD ⊂平面ACD ，BE ⊄平面ACD ，所以BE ∥平面ACD ． …………………………（5分） （Ⅱ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，则四边形BCDE 是直角梯形， ………………………………（6分） 在平面BCDE 内过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ， 因为1BE =，3CD =，DE =，………………（7分） 在直角三角形DEF中，2EF =，所以2BC EF ==，……………………………………（8分） 在直角三角形ABC中，AC ==，…………（9分）因为AC BC ⊥，AC DC ⊥，所以AC ⊥平面DCBE ，而四边形BCDE 的面积1()42S BE CD BC =+⋅=，………………（10分） 因此多面体ABCDE的体积为13V S AC =⋅=…………………………………（12分） 18．解：（Ⅰ）设高度高在[140,150)的另一株高度为y （其中140y x =+），由13010146134136128124127122119116=+++++++++y，FEDCBA得148=y ，于是8=x ． ……………………………………………………（5分） （Ⅱ）由题知，从高度在[130,140)和[140,150)内的树苗中随机选取两株有以下10种选法： （132，134），（132，136），（134，136），（132，146），（134，146），（136，146），（132，z ），（134，z ），（136，z ），（146，z ），（其中140z x =+） ………………（7分） 则前六组的平均数分别为133，134， 135，139，140，141，有4组平均高度不高于139， 由于21=p ，后四组中只能有一组的平均高度不高于139，………………………………（10分） 显然是（132，z ）这一组满足题意． 又由1321392z+≤，得146z ≤，注意到]9,6[∈x ，于是6=x ． …………………（12分） 19．解：（Ⅰ）22()cos f x x x x x =⋅=+-+m n +cos x x =+π2sin()6x =+，…………………………………………………………………………（3分）由π2sin()06x +=，得ππ()6x k k +=∈Z ，所以ππ()6x k k =-∈Z ， 所以函数()f x 的零点为ππ()6x k k =-∈Z ． ……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知π8()2sin()65f αα=+=，所以π4sin()65α+=，………………………………（8分）因为π(,π)2α∈，所以2ππ7π366α<+<，则π3cos()65α+=-，…………………………………（10分）所以ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 666666αααα=+-=+++341552=-+⋅=． ………………………………………………………（12分） 20．解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-，11(1)2n S na n n d =+-，且539a S ==，得1149,339,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-．…………………………………………（4分） （Ⅱ）由(Ⅰ)知21n a n =-，所以12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，…………（6分） （ⅰ）121111111(1)()()()335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+ 1121n =-+． …………………………………………………………………………（8分） （ⅱ）因为1112(1)(1)02321(21)(23)n n T T n n n n +-=---=>++++，所以数列{}n T 是递增数列，即123n T T T T <<<<，所以当1n =时，n T 取得最小值为23，而,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n =， ………………（9分） 故1i j ==时，||i j T T ⋅取得最小值为49． …………………………………………………（10分）又11()21n T n n +=-∈+N ，所以1n T <，则||1i j T T ⋅<，……………………………………（11分）因此419i j T T ≤⋅<． …………………………………………………………………………（12分）21．解法一：（Ⅰ）由已知，12c e a ==，1c =，解得2a =，b = 从而椭圆Γ的标准方程为：22143x y +=． …………………………………………………………（3分）（Ⅱ）由椭圆定义可得：1253||2||=422AF a AF =--=， ……………………………………………（4分）又12||2F F =，因此有2222112||||||AF AF F F =+，即112AF F F ⊥， ……………………………（5分）故可得△12AF F 的面积为32． ……………………………………………………………………（6分）（Ⅲ）存在，点P 的坐标为4(,3．理由如下： 当直线AB y ⊥轴时，与题意不符． 故设直线AB ：1x ty =+，由此可得过点P 且平行于AB 的直线为:l x ty m =+（1m ≠）， ∵线段1PF 的中点在直线AB 上，∴点1F 到直线AB 的距离等于两平行直线AB 与l 之间的距离，=1m =-或3m =． ………………………………………………（9分）由于1m =-时，直线:l 1x ty =-过点1F ，不符合条件，故舍去．……………………………（10分）由此得直线l 为3x ty =+，并与方程22143x y +=联立， 得到22(34)18150t y ty +++=， …① …………………………………………………（11分） 由于直线为l 与椭圆有且只有一个公共点，故22(18)4(34)150t t ∆=-⨯+⨯=，解得t =此时方程①为2350y ±+=，y =±为点P 的纵坐标， 满足题意的点P的坐标为4(,3． ………………………………………………………（12分） 解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解法一． ……………………………………（6分） （Ⅲ）存在，点P的坐标为4(,33±．理由如下： 当AB x ⊥轴时，不合题意．故设直线:(1)AB y k x =-，过P 平行于AB 的直线l 的方程为：y kx m =+，，得m k =或3m k =-， ………………………………………（9分）当m k =时，直线:l y kx m =+过左焦点1F ，不合题意，舍去，所以3m k =-，…………（10分）由22(3),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(34)2436120k x k x k +-+-=，…………………………（11分）由0∆=，得235k =， 设00(,)P x y ，则20224234k x k =+，将235k =代入得0823x =，043x ∴=， 于是053y =±，45(,)33P ∴±即为所求． ……………………………………………（12分）22． 解：（Ⅰ）4()2f x ax b x'=++224ax bx x ++=（0x >），………………………………………（2分）由题意可得：1和4分别是()0f x '=的两根，即142b a +=-，4142a ⨯=，解出12a =，5b =-． ∴21()4ln 52f x x x x =+-．………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由上得4()5f x x x '=+-(1)(4)x x x--=（0x >），由()0f x '>01x ⇒<<或4x >； 由()0f x '<14x ⇒<<．故()f x 的单调递增区间为(0,1)和(4,)+∞，单调递减区间为(1,4)，…………………………（6分）从而对于区间(,3)m m +，有0,31,m m ≤⎧⎨+≤⎩或1,34,m m ≤⎧⎨+≤⎩或4m ≥， ……………………………（8分）解得m 的取值范围：{1}[4,)+∞． …………………………………………………………（9分）（Ⅲ）“对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立”等价于“2[1,e]x ∃∈，使21min [()5][()]f x f x λ'+<-（1[1,e]x ∈）成立”．由上可得：1[1,e]x ∈时，1()f x 单调递减，故1()f x -单调递增，∴1min [()]f x -9(1)2f =-=； ………………………………………………………………………………（11分）又2[1,e]x ∈时，2224()50f x x x '+=+>且在[1,2]上递减，在[2,e]递增， ∴2min [()](2)4f x f ''==， ……………………………………………………………………（12分） 从而问题转化为“2[1,e]x ∃∈，使49()2x xλ+<”，即“2[1,e]x ∃∈，使942()x xλ<+成立”，故max 999[]42482()x x λ<==⨯+． ∴9(,)8λ∈-∞． …………………………………………………………………………………（14分）。

2015年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1．已知集合{}2,01xA y y x ==≤≤，集合{}1,2,3,4B =，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}0,1,22．已知复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位），则z =A ．12 B C D ． 23．下列有关命题的说法中，正确的是A ．R x ∀∈，lg 0x >B ．0R x ∃∈，使得030x≤C ．“π6x =”是“cos x =”的必要不充分条件 D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 A.14 B.20 C.30 D.55 5．函数32()34f x x x =-+-的图象在1x =处的切线方程为A ．350x y ++=B ．350x y --=C ．310x y +-=D ．370x y --= 6．抛物线240y x +=上的点P 到直线2x =的距离等于4，则P 到焦点F 的距离||PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知实数a 满足2a <，则事件“点(1,1)M 与点(2,0)N 分别位于直线 :210l ax y -+=两侧”的概率为 A ．18 B ．38 C ．58 D ． 348．已知圆C 的方程为012222=+--+y x y x ，过直线0843=++y x 上一点P 作圆C 的切线PT ，切点为T ，则||PT 的最小值为A ．22B ．3C D ．49．如图是某几何体的三视图，且正视图与侧视图相同，则这 个几何体的表面积是A ．4π3B ．7πC ．(5πD ．(4π 10．函数cos22cos 1y x x =-+的最小值和最大值分别是A ．12-，4B ．0，4C ．14-，2 D ．0，211．已知双曲线Γ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F l 经过双曲线Γ的右焦点2F 与双曲线Γ在第一象限交于点P ，若12PF F ∆是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为A B 1 C ．12 D ．1212．已知函数21,10,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-<≤=⎨-+>⎩设方程()1f x x =+的根按从小到大的顺序得到数列1x ，2x ，，n x ，那么10x 等于A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．某班共有学生54人，其中男生30人，为了调查该班学生对国学的兴趣情况，现按性别采用分层抽样的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中女生的人数为 ． 14．已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，其前n 项和为n S ，且31,a a 是方程0452=+-x x 的两根，则3S = ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2,60==c C，则b a +的最大值为 ．16．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距离相等．点O 在直线l 上，点,A B 在直线1l 上，P 为平面区域内的点， 且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R．若P 所在的区域 为④,则12λλ+的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，CD 和BE 都垂直于平面ABC ， 且90ACB ∠= ，4AB =，1BE =，3CD =，DE = （Ⅰ）求证：BE ∥平面ACD ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积．18．（本小题满分12分）某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况，在树苗种植一年后，从中随机抽取10株，测得它们的高度（单位：cm ），并将数据用茎叶图表示（如图），已知]9,6[∈x ，且x ∈N ． (Ⅰ) 若这10株树苗的平均高度为130cm ，求x 值；（Ⅱ）现从高度在)140,130[和)150,140[内的树苗中随机抽取两株，若这两株树苗平均高度不高于139cm 的概率为21，求x 的可能取值．19．(本小题满分12分)已知向量,1)x x =m ，(1sin ,cos )x x =-n，函数()f x =⋅m n （Ⅰ）求函数()f x 的零点； （Ⅱ）若8()5f α=，且π(,π)2α∈，求cos α的值． EDCBAx 611 12 13 4 66 4 2142 4820．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且539a S ==． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，集合12{|,}n n n T T b b b n Ω==+++∈+N ， （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n = ，求i j T T ⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，其左、右焦点分别是1(1,0)F -和2(1,0)F ，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）若25||=2AF ，求三角形12AF F 的面积； （Ⅲ）在椭圆Γ上是否存在点P ，使得点P 同时满足：①过点P 且平行于AB 的直线与椭圆Γ有且只有一个公共点；②线段1PF 的中点在直线AB 上？若存在，求出点P 的坐标；否则请说明理由．22．(本小题满分14分)设函数2()4ln f x x ax bx =++(,)a b ∈R ，()f x '是()f x 的导函数，且1和4分别是()f x 的两个极值点．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间(,3)m m +上是单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立，求实数λ的取值范围．2015年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案及评分标准一、选择题：1－6 BCDCBC 7—12 BACADB 二、填空题：13．8 14．7 15．4 16．(,1)-∞- 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，又CD ⊂平面ACD ，BE ⊄平面ACD ，所以BE ∥平面ACD ． …………………………（5分） （Ⅱ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，则四边形BCDE 是直角梯形， ………………………………（6分） 在平面BCDE 内过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ， 因为1BE =，3CD =，DE =，………………（7分） 在直角三角形DEF中，2EF ==，所以2BC EF ==，……………………………………（8分）在直角三角形ABC中，AC =9分） 因为AC BC ⊥，AC DC ⊥，所以AC ⊥平面DCBE ，而四边形BCDE 的面积1()42S BE CD BC =+⋅=，………………（10分） 因此多面体ABCDE的体积为13V S AC =⋅． …………………………………（12分） 18．解：（Ⅰ）设高度高在[140,150)的另一株高度为y （其中140y x =+），由13010146134136128124127122119116=+++++++++y，得148=y ，于是8=x ． ……………………………………………………（5分） （Ⅱ）由题知，从高度在[130,140)和[140,150)内的树苗中随机选取两株有以下10种选法： （132，134），（132，136），（134，136），（132，146），（134，146），（136，146），（132，z ），（134，z ），（136，z ），（146，z ），（其中140z x =+） ………………（7分）FEDCBA则前六组的平均数分别为133，134， 135，139，140，141，有4组平均高度不高于139， 由于21=p ，后四组中只能有一组的平均高度不高于139，………………………………（10分） 显然是（132，z ）这一组满足题意． 又由1321392z+≤，得146z ≤，注意到]9,6[∈x ，于是6=x ． …………………（12分）19．解：（Ⅰ）22()cos f x x x x x =⋅+mcos x x +π2sin()6x =+，…………………………………………………………………………（3分）由π2sin()06x +=，得ππ()6x k k +=∈Z ，所以ππ()6x k k =-∈Z ， 所以函数()f x 的零点为ππ()6x k k =-∈Z ． ……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知π8()2sin()65f αα=+=，所以π4sin()65α+=，………………………………（8分）因为π(,π)2α∈，所以2ππ7π366α<+<，则π3c o s ()65α+=-，…………………………………（10分）所以ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 666666αααα=+-=+++341552=-+⋅=． ………………………………………………………（12分）20．解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-，11(1)2n S na n n d =+-，且539a S ==，得1149,339,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)知21n a n =-，所以12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，…………（6分）（ⅰ）121111111(1)()()()335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+ 1121n =-+． …………………………………………………………………………（8分） （ⅱ）因为1112(1)(1)02321(21)(23)n n T T n n n n +-=---=>++++， 所以数列{}n T 是递增数列，即123n T T T T <<<< ，所以当1n =时，n T 取得最小值为23，而,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n = ， ………………（9分） 故1i j ==时，||i j T T ⋅取得最小值为49． …………………………………………………（10分）又11()21n T n n +=-∈+N ，所以1n T <，则||1i j T T ⋅<，……………………………………（11分）因此419i j T T ≤⋅<． …………………………………………………………………………（12分）21．解法一：（Ⅰ）由已知，12c e a ==，1c =，解得2a =，b = 从而椭圆Γ的标准方程为：22143x y +=． …………………………………………………………（3分）（Ⅱ）由椭圆定义可得：1253||2||=422AF a AF =--=， ……………………………………………（4分）又12||2F F =，因此有2222112||||||AF AF F F =+，即112A F FF ⊥， ……………………………（5分）故可得△12AF F 的面积为32． ……………………………………………………………………（6分）（Ⅲ）存在，点P 的坐标为4(,)33±．理由如下： 当直线AB y ⊥轴时，与题意不符． 故设直线AB ：1x ty =+，由此可得过点P 且平行于AB 的直线为:l x ty m =+（1m ≠），∵线段1PF 的中点在直线AB 上，∴点1F 到直线AB 的距离等于两平行直线AB 与l 之间的距离，=，解得1m =-或3m =． ………………………………………………（9分）由于1m =-时，直线:l 1x ty =-过点1F ，不符合条件，故舍去．……………………………（10分）由此得直线l 为3x ty =+，并与方程22143x y +=联立， 得到22(34)18150t y ty +++=， …① …………………………………………………（11分）由于直线为l 与椭圆有且只有一个公共点，故22(18)4(34)150t t ∆=-⨯+⨯=，解得t =，此时方程①为2350y ±+=，y =为点P 的纵坐标，满足题意的点P 的坐标为4(,3． ………………………………………………………（12分）解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解法一． ……………………………………（6分）（Ⅲ）存在，点P 的坐标为4(,)33±．理由如下： 当AB x ⊥轴时，不合题意．故设直线:(1)AB y k x =-，过P 平行于AB 的直线l 的方程为：y kx m =+，，得m k =或3m k =-， ………………………………………（9分）当m k =时，直线:l y kx m =+过左焦点1F ，不合题意，舍去，所以3m k =-，…………（10分）由22(3),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(34)2436120k x k x k +-+-=，…………………………（11分）由0∆=，得235k =， 设00(,)P x y ，则20224234k x k =+，将235k =代入得0823x =，043x ∴=， 于是053y =±，45(,)33P ∴±即为所求． ……………………………………………（12分）22． 解：（Ⅰ）4()2f x ax b x '=++224ax bx x++=（0x >），………………………………………（2分）由题意可得：1和4分别是()0f x '=的两根，即142b a +=-，4142a⨯=，解出12a =，5b =-．∴21()4ln 52f x x x x =+-．………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由上得4()5f x x x '=+-(1)(4)x x x--=（0x >）， 由()0f x '>01x ⇒<<或4x >； 由()0f x '<14x ⇒<<．故()f x 的单调递增区间为(0,1)和(4,)+∞，单调递减区间为(1,4)，…………………………（6分）从而对于区间(,3)m m +，有0,31,m m ≤⎧⎨+≤⎩或1,34,m m ≤⎧⎨+≤⎩或4m ≥， ……………………………（8分）解得m 的取值范围：{1}[4,)+∞ ． …………………………………………………………（9分）（Ⅲ）“对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立”等价于“2[1,e]x ∃∈，使21min [()5][()]f x f x λ'+<-（1[1,e]x ∈）成立”．由上可得：1[1,e]x ∈时，1()f x 单调递减，故1()f x -单调递增，∴1min [()]f x -9(1)2f =-=； ………………………………………………………………………………（11分）又2[1,e]x ∈时，2224()50f x x x '+=+>且在[1,2]上递减，在[2,e]递增， ∴2min [()](2)4f x f ''==， ……………………………………………………………………（12分）从而问题转化为“2[1,e]x ∃∈，使49()2x x λ+<”，即“2[1,e]x ∃∈，使942()x x λ<+成立”， 故max 999[]42482()x xλ<==⨯+． ∴9(,)8λ∈-∞． …………………………………………………………………………………（14分）。

2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}xB y y x R ==+∈，则AB 等于A ．{24}x x <<B ．{14}x x <<C ．{12}x x <<D ．{4}x x >2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．15B ．16C ．25D ．363． 21()nxx -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．204． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10B ．12C ．18D ．285． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于A．3BCD ．26． 函数cos(sin )y x =的图象大致是7． 已知集合10(,)30,1x y A x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠∅，则R 的最小值为 A．2BC ．3D ．58． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为A ．6B ．10C ．12D ．159． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A .若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是 A ．存在N n ∈，使得21n S b += B ．存在N n ∈，使得21n S b += C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为21e -； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.13．在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是__________.14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移4π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.20．（本小题满分14分）已知函数2*2()()1n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知曲线22:3C x xy y -+=，矩阵2222M ⎛= - ⎝⎭，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的方程；（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（Ⅰ）若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当14x -≤≤.。

福建省三明市第一中学2015届高三上学期半期考试数学（理）试题（考试时间：2014年11月17日 满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的） 1、已知集合A={2k x |x sin,k Z π=∈}，B={11x||x |-≤}，则A B = ( ) A. {}0,1- B. {}0,1C. {}0D. {}12. .已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A.2，12B.－13，12C.－3,2D.2,23.已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = （ ）Ａ．23-Ｂ．13- Ｃ．13 Ｄ．234.由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ( )A.103B.4C.163D.65. 圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为（ ）.A.B.C.D6.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是 （ ）A. MN 与CC 1垂直B. MN 与AC 垂直C. MN 与BD 平行D. MN 与A 1B 1平行7、一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为 则 =h ( )AC ．3D ．8.原命题p ：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞2bc ”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个.A.0B.1C.2D.4 9．若将函数cos()sin()(0,0)66y A x x A ππωω=-+>>的图像向左平移6π个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为 （ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 10.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <， 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于 ( )A ．4B ．5C ．6D ． 7第II 卷（非选择题，共１００分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）11. 数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n 项和S n ＝________.12. 已知角α的终边与单位圆122=+y x 交于),21(0y P ,则α2cos 等于 ；13. 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21x 时，1-≤x M 恒成立，则M 的最大值是________；14. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足).c BA BC cCB CA -⋅=⋅ 则角B 的大小为 ；15. 在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a ,b 是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a ，则a b ＝________；三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. （本小题满分13分）若数列{}n a 满足∈==+n a a a n n (3,111N *)．（1）求{}n a 的通项公式;（2）等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，且153=T ，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．17（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请求出上表中的123,,x x x ，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x ，若函数()g x 在[0,]x m ∈（其中(2,4)m ∈）上的值域为[，且此时其图象的最高点和最低点分别为,P Q ，求OQ 与QP 夹角θ的大小。

2015-2016学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共1小题，每小题5分，满分5分）1．（5分）（2016春?福建期末）已知复数z=（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣﹣i D．+i[4-4：坐标系与参数方程]2．（5分）（2016春?福建期末）平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：的作用下，正弦曲线y=sinx变换为曲线（）A．y′=sin2x′B．y′=2sin2x′C．y′=sin x′D．y′=si n2x′[4－5：不等式选讲]3．（2016春?福建期末）若＞，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2 B．lga＞lgb C．2a＞2b D．＞4．（5分）（2016春?福建期末）设随机变量ξ～N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P （﹣1＜ξ＜1）=（）A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.85．（5分）（2015?枣庄一模）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1 C．2k D．2k+16．（5分）（2004?黑龙江）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣57．（5分）（2013?潮州二模）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．8．（5分）（2007?江苏）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x ﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12[4－4：坐标系与参数方程]9．（5分）（2016春?福建期末）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=（ρ＞0）与⊙O1：（x﹣1）2+y2=1和⊙O2：x2+（y﹣2）2=4的交点分别为A，B，则|AB|=（）A．2+B．2C．2﹣1 D．1[4－5：不等式选讲]10．（2016春?福建期末）设a，b，c为正数，p=a+，q=b+，r=c+，则下列说法正确的是（）A．p，q，r都不大于2 B．p，q，r都不小于2C．p，q，r至少有一个不小于2 D．p，q，r至少有一个不大于211．（5分）（2016春?福建期末）某市汽车牌照号码构成是：前两位为英文字母，后三位数字，如DE668，其中牌照号码最后一个数字为8的牌照号码共有（）A．（C）2A B．A AC．（C）2102D．A10212．（5分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=x2+cosx﹣5，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．13．（5分）（2016春?福建期末）某次数学考试的第一大题由10道四选一的选择题构成，要求考生从A、B、C、D中选出其中一项作为答案，每题选择正确得5分，选择错误不得分，以下是甲、乙、丙、丁四位考生的答案及甲、乙、丙三人的得分结果：题1题2题3题4题5题6题7题8题9题10得分甲C B D D A C D C A D35乙C B C D B C A B D C35丙C A D D A D A B A C40丁C A D D B C A B A C？据此可以推算考生丁的得分是（）A．30 B．35 C．40 D．4514．（5分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=|x|3﹣ax2+（6﹣a）|x|+b（a，b ∈R），若f（x）有六个不同的单调区间，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣2，或a＞0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜6六、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011?合肥校级模拟）计算= ．16．（5分）（2016春?福建期末）已知线性回归方程=3x+0.3，则对应于点（2，6.4）的残差为．17．（5分）（2016春?福建期末）用五种不同的颜色对图中的A，B，C，D，E五个区域进行着色，相邻区域不能涂相同的颜色，则共有种不同的着色方案．（用数字作答）18．（5分）（2016春?福建期末）已知α，β为函数f（x）=x2﹣x﹣1的两个零点，g（x）为二次函数，满足g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=﹣1．若方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一个实根x0，且x0∈（0，n），则整数n的最小值为．七、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）（2016春?福建期末）已知m∈R，i为虚数单位，且（m+2i）2=﹣3+4i．（1）求实数m的值；（2）若|z﹣1|=|m+2i|，求复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程．20．（12分）（2016春?福建期末）某校一次运动会中，高二（1）班要从甲、乙等6名水平相当的同学中随机选出4人参加4×100米接力比赛．（1）求甲和乙中至少有一人被选中的概率；（2）现将选中的4人按照抽签结果决定接力棒次1，2，3，4．若甲乙同时被选中，求甲乙两人棒次之差的绝对值X的分布及数学期望．21．（12分）（2016春?福建期末）在厄尔尼诺现象中，经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x有关，现将收集到的温度x i和产卵数y i（i=1，2，…，7）的7组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．（x i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（x i﹣）（z i﹣）27.481.31 3.61482935.1340表中z i=lny i，=z i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c1e哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据．①试求y关于x回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本h（x）与温度x和产卵数y的关系为h（x）=x（lny ﹣9.43）+175，当温度x为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=﹣β．22．（12分）（2016春?福建期末）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．（1）根据以上结论猜想在n边形A1A2A3…A n中，有怎样的不等式成立．（不要求证明）（2）数列{a n}，满足a1=1，a n+1﹣a n≤2，S n为数列{a n}的前n项和，试用（1）猜想的结论，证明不等式S n≤（A1+A2+…A n）（++…+）（n≥3）．23．（12分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明ln（n+1）＜++…+（n为正整数）．[4－4：坐标系与参数方程]24．（10分）（2016春?福建期末）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．（1）求出直线l的普通方程及抛物线C的直角坐标方程；（2）设点P（2，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．[4－5：不等式选讲]25．（2016春?福建期末）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a（a∈R）．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤|2x﹣1|；（2）若a≥0，f（x）≤2，求证：|x|≤a+1．2015-2016学年福建省三明市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共1小题，每小题5分，满分5分）1．（5分）（2016春?福建期末）已知复数z=（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣﹣i D．+i【分析】将z分母实数化，化简z，从而求出z的共轭复数即可．【解答】解：∵z===+，∴=﹣，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数问题，是一道基础题．[4-4：坐标系与参数方程]2．（5分）（2016春?福建期末）平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：的作用下，正弦曲线y=sinx变换为曲线（）A．y′=sin2x′B．y′=2sin2x′C．y′=sin x′D．y′=sin2x′【分析】由伸缩变换φ：，解得：，代入y=sinx即可得出曲线方程．【解答】解：由伸缩变换φ：，解得：，代入y=sinx可得：2y′=sin，即y′=sin，故选：C．【点评】本题考查了坐标变换、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[4－5：不等式选讲]3．（2016春?福建期末）若＞，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2 B．lga＞lgb C．2a＞2b D．＞【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论．【解答】解：∵＞，∴a＞b，此时2a＞2b一定成立，其它的不等式不一定成立，故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）（2016春?福建期末）设随机变量ξ～N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P （﹣1＜ξ＜1）=（）A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.8【分析】根据正态分布曲线关于x=μ对称，与x轴围成的面积之和为1求解，可得答案．【解答】解：由正态分布曲线的对称性得：P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1）=0.2，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣0.2×2=0.6．故选：C．【点评】本题考查了正态分布曲线的特点，正态分布曲线关于x=μ对称，与x轴围成的面积之和为1．5．（5分）（2015?枣庄一模）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【分析】考查不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k．故选C．【点评】本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．6．（5分）（2004?黑龙江）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，∴y′|x=1=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．【点评】考查导数的几何意义，该题比较容易．7．（5分）（2013?潮州二模）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．【解答】解：P（A）==，P（AB）==．由条件概率公式得P（B|A）==．故选：B．【点评】本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．8．（5分）（2007?江苏）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x ﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．【解答】解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B【点评】本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x ﹣2）3是解题的关键．[4－4：坐标系与参数方程]9．（5分）（2016春?福建期末）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ=（ρ＞0）与⊙O1：（x﹣1）2+y2=1和⊙O2：x2+（y﹣2）2=4的交点分别为A，B，则|AB|=（）A．2+B．2C．2﹣1 D．1【分析】先求出射线l的直角坐标方程，再分别求出射线l与⊙o1的交点A的坐标和射线l与⊙o2的交点B的坐标，最后利用两点间距离公式求出答案．【解答】解：∵射线l：θ=（ρ＞0），∴射线l的直角坐标方程y=x（x＞0，y＞0），联立，解得x=0或（舍去0）∴x=，y=．∴射线l与⊙o1的交点A为（，）联立，解得x=0或（舍去0）∴x=，y=3．∴射线l与⊙o2的交点B为（，3）．∴|AB|===2﹣1．故选：C．【点评】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查两点间距离公式，考查运算能力，属于基础题．[4－5：不等式选讲]10．（2016春?福建期末）设a，b，c为正数，p=a+，q=b+，r=c+，则下列说法正确的是（）A．p，q，r都不大于2 B．p，q，r都不小于2C．p，q，r至少有一个不小于2 D．p，q，r至少有一个不大于2【分析】本题可以先猜想出相关结论，再用反证法加以证明．【解答】解：（反证法）假设p，q，r三个数均小于2，即p＜2，q＜2，r＜2．则p+q+r＜6 ①又p+q+r=a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6．即p+q+r≥6 ②∴①②矛盾，假设不成立．∴p，q，r三个数至少有一个不小于2．故选C．【点评】本题考查的知识点是反证法、基本不等式，思维难度不大，运算量适中，属于中档题．11．（5分）（2016春?福建期末）某市汽车牌照号码构成是：前两位为英文字母，后三位数字，如DE668，其中牌照号码最后一个数字为8的牌照号码共有（）A．（C）2A B．A AC．（C）2102D．A102【分析】汽车牌照号码构成是：前两位为英文字母，后三位数字，最后一个数字为8，根据乘法原理可得结论．【解答】解：∵汽车牌照号码构成是：前两位为英文字母，后三位数字，最后一个数字为8，∴共有（C）2102，故选：C．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，注意字母、数字可以重复是关键．12．（5分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=x2+cosx﹣5，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求导，再根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断．【解答】解：∵f（x）=x2+cosx﹣5，∴f′（x）=x+sinx，∴f′（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f′（﹣x）∴f′（x）为奇函数，即图象关于原点对称，当x＞0时，f′（x）＞0恒成立，故选：C．【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于基础题．13．（5分）（2016春?福建期末）某次数学考试的第一大题由10道四选一的选择题构成，要求考生从A、B、C、D中选出其中一项作为答案，每题选择正确得5分，选择错误不得分，以下是甲、乙、丙、丁四位考生的答案及甲、乙、丙三人的得分结果：题1题2题3题4题5题6题7题8题9题10得分甲C B D D A C D C A D35乙C B C D B C A B D C35丙C A D D A D A B A C40丁C A D D B C A B A C？据此可以推算考生丁的得分是（）A．30 B．35 C．40 D．45【分析】由已知得第5，6题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，即可得出结论．【解答】解：因为由已知得第5，6题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是40分．故选：C．【点评】根据表中给出的关系链，认真分析，逐步推理，解决问题．14．（5分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=|x|3﹣ax2+（6﹣a）|x|+b（a，b ∈R），若f（x）有六个不同的单调区间，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣2，或a＞0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜6【分析】判断函数f（x）为偶函数，则f（x）有六个不同的单调区间等价为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，求函数的导数，等价为当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，利用根的分布进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=|x|3﹣ax2+（6﹣a）|x|+b，∴函数f（x）是偶函数，若f（x）有六个不同的单调区间，则等价为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，即当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，则当x≥0时，f（x）=x3﹣ax2+（6﹣a）x+b，f′（x）=x2﹣2ax+6﹣a，若当x≥0时，f′（x）=0有两个不同的根，则即，得，则2＜a＜6，故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为当x≥0时，f（x）有3个不同的单调区间，依据利用导数研究函数的大小是解决本题的关键．综合性较强．六、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）（2011?合肥校级模拟）计算= ．【分析】欲求定积分，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数y=与x轴在0→1所围成的图形的面积即可．【解答】解：根据积分的几何意义，原积分的值即为单位圆在第一象限的面积．∴=，故答案为：．【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想，属于基础题．16．（5分）（2016春?福建期末）已知线性回归方程=3x+0.3，则对应于点（2，6.4）的残差为0.1 ．【分析】由题意，预报值y=3×2+0.3=6.3，从而可得残差．【解答】解：由题意，预报值y=3×2+0.3=6.3，故残差为6.4﹣6.3=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查了残差的定义应用，考查学生的计算能力，属于基础题．17．（5分）（2016春?福建期末）用五种不同的颜色对图中的A，B，C，D，E五个区域进行着色，相邻区域不能涂相同的颜色，则共有780 种不同的着色方案．（用数字作答）【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，再对BD进行分类，若BD相同，若BD不同，根据乘法原理可得结论．【解答】解：先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，若B与D相同，则E有4种，若B与D不相同，则D有3种，E有3种，故有5×4×3×（4+3×3）=780种故答案为：780【点评】本题以实际问题为载体，考查计数原理的运用，关键搞清是分类，还是分步．18．（5分）（2016春?福建期末）已知α，β为函数f（x）=x2﹣x﹣1的两个零点，g（x）为二次函数，满足g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=﹣1．若方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一个实根x0，且x0∈（0，n），则整数n的最小值为 2 ．【分析】求出g（x）的表达式，问题转化为x2﹣x+1=alnx（a＞0）有且只有一个实根x0，根据二次函数以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：不妨设α＜β，令f（x）=0，解得：α=，β=，设g（x）=ax2+bx+c，由g（α）=2β，g（β）=2α，g（1）=﹣1，得：，解得：，∴g（x）=x2﹣3x+1，∴方程g（x）+2x=alnx（a＞0）有且只有一个实根x0，即x2﹣x+1=alnx（a＞0）有且只有一个实根x0，显然y=x2﹣x+1的最小值是，而y=alnx＜0在（0，1）恒成立，若x0∈（0，n），则整数n的最小值为2，x0∈（1，2），故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查待定系数法求函数的解析式问题，考查对数函数的性质，是一道中档题．七、解答题（共5小题，满分60分）19．（12分）（2016春?福建期末）已知m∈R，i为虚数单位，且（m+2i）2=﹣3+4i．（1）求实数m的值；（2）若|z﹣1|=|m+2i|，求复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程．【分析】（1）根据对应关系求出m的值即可；（2）设z=x+yi，得到|x﹣1+yi|=|1+2i|，即（x﹣1）2+y2=5，从而求出轨迹方程即可．【解答】解：（1）∵（m+2i）2=﹣3+4i，∴m2+4mi﹣4=﹣3+4i，∴m=1；（2）若|z﹣1|=|m+2i|，由（1）得：|z﹣1|=|1+2i|，设z=x+yi，则|x﹣1+yi|=|1+2i|，∴（x﹣1）2+y2=5，故复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程是：以（1，0）为圆心，以为半径的圆．【点评】本题考查了复数的运算，考查圆的方程，是一道基础题．20．（12分）（2016春?福建期末）某校一次运动会中，高二（1）班要从甲、乙等6名水平相当的同学中随机选出4人参加4×100米接力比赛．（1）求甲和乙中至少有一人被选中的概率；（2）现将选中的4人按照抽签结果决定接力棒次1，2，3，4．若甲乙同时被选中，求甲乙两人棒次之差的绝对值X的分布及数学期望．【分析】（1）求出从甲、乙等6名同学中随机选出4人，不同的基本事件数以及甲和乙都不参加的基本事件数，利用对立事件的概率即可求出结果；（2）根据题意，X的可能取值为1、2、3，求出对应的概率值，写出X的分布，计算X的数学期望值．【解答】解：（1）从甲、乙等6名同学中随机选出4人，不同的基本事件数为=15；甲和乙都不参加的基本事件为=1，所以甲乙二人中至少有一人被选中的概率为P=1﹣=；（2）设甲为a，乙为b，另两个同学为c、d；则所有的排列数为abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba共24种；根据题意，X的可能取值为1、2、3，且P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布为：X123P（X）X的数学期望为EX=1×+2×+3×=．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目．21．（12分）（2016春?福建期末）在厄尔尼诺现象中，经观测，某昆虫的产卵数y 与温度x有关，现将收集到的温度x i和产卵数y i（i=1，2，…，7）的7组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．（x i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（x i﹣）（z i﹣）27.481.31 3.61482935.1340表中z i=lny i，=z i．（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c1e哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据．①试求y关于x回归方程；②已知用人工培养该昆虫的成本h（x）与温度x和产卵数y的关系为h（x）=x（lny ﹣9.43）+175，当温度x为何值时，培养成本的预报值最小？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=，α=﹣β．【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，可得结论；（2）①由变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合，即可求出y对x的回归方程．②代入利用配方法，可得结论．【解答】解：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，y=c1e适宜作为y与x之间的回归方程模型；（2）①令z=lny，则z=bx+a由b==，a=3.6﹣≈2.86得z=0.27x+2.86，有y=e0.27x+2.86②h（x）=x（lny﹣9.43）+175=x（0.27x+2.86﹣9.43）+175=0.27x2﹣6.57x+175，∴x=≈12时，培养成本的预报值最小．【点评】本题考查线性回归方程，考查散点图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2016春?福建期末）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．（1）根据以上结论猜想在n边形A1A2A3…A n中，有怎样的不等式成立．（不要求证明）（2）数列{a n}，满足a1=1，a n+1﹣a n≤2，S n为数列{a n}的前n项和，试用（1）猜想的结论，证明不等式S n≤（A1+A2+…A n）（++…+）（n≥3）．【分析】（1）观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．（2）利用叠加法，可得S n≤n2，根据（A1+A2+…A n）（++…+）≥（n﹣2）π?=n2，即可证明结论．【解答】解：（1）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，+…+≥．证明：（2）∵数列{a n}，满足a1=1，a n+1﹣a n≤2，S n为数列{a n}的前n项和，∴叠加可得a n﹣1≤2（n﹣1），∴a n≤2n﹣1，∴S n≤n2，∵（A1+A2+…A n）（++…+）≥（n﹣2）π?=n2，∴．S n≤（A1+A2+…A n）（++…+）（n≥3）．【点评】本题考查归纳推理，考查不等式的证明，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．23．（12分）（2016春?福建期末）已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（a∈R）．（1）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明ln（n+1）＜++…+（n为正整数）．【分析】（1）问题植物a≤x﹣在（0，+∞）恒成立，设g（x）=x﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（2）根据a=1时，f（x）≤0可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln （+1）＜+，利用此不等式进行放缩证明即可．【解答】解：（1）若f（x）≤0恒成立，即a≤x﹣在（0，+∞）恒成立，设g（x）=x﹣，（x＞0），g′（x）=1﹣=，令h（x）=x2+lnx﹣1，（x＞0），h′（x）=2x+＞0，h（x）在（0，+∞）递增，而h（1）=0，∴x∈（0，1）时，h（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=1，∴a≤1．（2）由（1）得：a=1时，f（x）=lnx+x﹣x2≤0，故lnx≤x2﹣x，即ln（x+1）≤x（x+1），（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取x=＞0得，ln（+1）＜+，∴ln（）＜，故++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1），即ln（n+1）＜++…+．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第二问难度比较大，利用了（1）问的结论进行证明．[4－4：坐标系与参数方程]24．（10分）（2016春?福建期末）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．（1）求出直线l的普通方程及抛物线C的直角坐标方程；（2）设点P（2，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得普通方程．抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：8t2﹣15t﹣50=0，利用|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得：3x﹣4y ﹣6=0．抛物线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，可得直角坐标方程：y2=2x．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入抛物线方程可得：8t2﹣15t﹣50=0，∴t1t2=﹣=．∴|PA|?|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[4－5：不等式选讲]25．（2016春?福建期末）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a（a∈R）．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤|2x﹣1|；（2）若a≥0，f（x）≤2，求证：|x|≤a+1．【分析】（1）解法一：当a=﹣1时，不等式即|x+|﹣|x﹣|≤，再利用绝对值的意义求得不等式f（x）≤|2x﹣1|的解集．解法二：把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由条件|2x﹣a|+a≤2，利用绝对值三角不等式证得|x|≤1，从而证得结论．【解答】解：（1）解法一：当a=﹣1时，解不等式f（x）≤|2x﹣1|，即|2x+1|﹣1≤|2x﹣1|，即|x+|﹣|x﹣|≤．而|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离，而对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离正好等于，故不等式f（x）≤|2x﹣1|的解集为{x|x≤}．解法二：不等式f（x）≤|2x﹣1|，即|2x+1|﹣|2x﹣1|≤1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣，解②求得﹣≤x≤，解求得x∈?．综上可得，不等式f（x）≤|2x﹣1|的解集为{x|x≤}．（2）证明：∵f（x）=|2x﹣a|+a≤2，而由绝对值三角不等式可得|2x﹣a|≥|2x|﹣|a|=|2x|﹣a，∴|2x|﹣a+a≤2，即 2|x|≤2，即|x|≤1．又∵a≥0，∴|x|≤a+1成立．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2020-2-8。

2015年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据，，…，的标准差 锥体体积公式其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式，其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，那么等于A． B．C． D．2．已知样本M的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本M的数据分别加上4后得到样本N的数据，那么两样本M，N的数字特征对应相同的是A．平均数 B．众数 C．标准差 D．中位数3．已知函数，则是 A．奇函数 B． 偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数4．已知数列的前项和，则数列的前10项和为A． B． C． D．5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且⊥，则“⊥”是“⊥”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为A． B． C． D．17．已知，那么函数的图象不可能是A B C D 8．已知函数将函数的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，则该数列的通项公式为A． B．C． D．a n＝2n－29．已知区域，区域，在内随机投掷一点，则点落在区域内的概率是A． B． C． D．10．若曲线在点处切线的斜率为，曲线在点处切线的斜率为（），将的值称为这两曲线在，间的“异线曲度”，记作．现给出以下四个命题：①已知曲线，，且，则；②存在两个函数，，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；③已知抛物线，，若，则；④对于曲线，，当时，若存在实数，使得恒成立，则的取值范围是．其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．二项式的展开式中，的系数是，则实数＝_____．12．某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则身高在以下的频率为＿＿＿＿＿．13．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 ．14．过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为．15．如图，三条平行直线把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线到的距离相等．点 在直线上，点在直线上，为平面区域内的点，且满足．若所在的区域为④,则的取值范围是是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知集合，从中随机抽取两个不同的元素，作为复数(为虚数单位)的实部和虚部．（Ⅰ）求复数在复平面内的对应点位于第一象限的概率；（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望.17．（本小题满分13分）如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得＝．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值．图1图218.（本小题满分13分）已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点与椭圆交于两点，且与直线交于点．(Ⅰ) 求椭圆的离心率；(Ⅱ) 试判断直线，，的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．19．（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，，设，且．(Ⅰ) 若，求的长；(Ⅱ) 求的长，并求的最小值；(Ⅲ) 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量的函数关系式为（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．（Ⅲ）将函数的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数的图象，试证明：当时， ．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵（）．（Ⅰ）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；（Ⅱ）当时，曲线在矩阵的对应变换作用下得到曲线：，求的值．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)．以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围．（3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲已知不等式的解集与不等式的解集相同．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的最大值及取得最大值时的值．2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题： 1—5 BCACB 6—10 DDABC二、填空题：11．； 12．；　13．；　14．；　15．；三．解答题：16．解：（Ⅰ）从集合中随机抽取两个不同的元素，组成复平面内的对应点有种，其中位于第一象限的点有种，所以所求的概率为. ……………………6分（Ⅱ）, ． ……………………7分,，，．251013……………………11分∴. ……………………13分17．解：（Ⅰ）当时，，，∴，又，∴平面，而平面，∴． ……………………5分（Ⅱ）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知，又，∴平面，∵平面，∴平面⊥平面，过作，则轴， ……………………7分在中，，，可得．故，∵，∴为中点，∴．设平面的法向量为，则∴　即……………9分取，则，又平面的法向量为，………11分则＝＝．故二面角的余弦值为． ……………………13分18．解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以.整理得，，即，解得或 (舍)，所以离心率. (5)分（Ⅱ）直线，，的斜率成等差数列，证明如下：由(Ⅰ）知，，∴椭圆直线的方程为．代入椭圆方程并整理，得.　……………………6分设，直线，，的斜率分别为k1，k2，k3，则有. ……………………8分可知的坐标为．所以， ……………………12分∴.故直线，，的斜率成等差数列． ……………………13分19．解法一：（Ⅰ）在中，已知，，，由正弦定理得：，故.　……………………2分当时, ＝故的长为． ……………………4分（Ⅱ）在中，已知，，，由余弦定理得：……………………5分……………………7分因为，所以，即，则的最小值为，此时=1，即. ……………………9分(用其它方法求出的表达式及最小值酌情给分)（Ⅲ）设x=6θ,,令, ,问题转化为在是否存在的值，使是, (10)分①当时, |sin x|≤1，必有；②当时, ，因为，所以，从而,在恒成立，在区间递减，于是综上，在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零.………………13分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ）设x=6θ,，令, , 问题转化为在是否存在x的值，使得使是,　………………10分,令，得,∵,故存在,,使得,易知在单调递，在(递减，在递增，故在,,∵,注意到,且 ,∴ ,．这样．……………12分综上：在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零． ……………………13分20．解法一：（Ⅰ）当时，，，故函数的单调递增区间为. ……………………3分（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，、设()，只需即可．由， …………………4分(ⅰ) 当时， ，当时，，函数在上单调递减，故成立． ……………………5分(ⅱ) 当时，由，因，所以，① 若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，，此时不满足条件；② 若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时，，不满足条件． ……………………7分(ⅲ) 当时，由，∵，∴，∴，故函数在上单调递减，故成立．……………………8分综上所述，实数的取值范围是． ……………………9分（Ⅲ），∴，当时， …………………10分∴.令，则.∵，∴.∴，即. ……………………14分解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ），∴，当时，， …………………10分∴设，当时，结论成立；当时，∵当时，∴，当时，上式显然成立.∴当时，；当时，∴∴，. ……………………14分解法三：（Ⅰ），（Ⅱ）同解一．（Ⅲ），∴，当时， …………………10分∴以下用数学归纳法证明不等式.①当时，左边，右边，不等式成立；② 假设当时，不等式成立，即，则.也就是说，当时，不等式也成立.由①②可得，对，都成立. ………………14分21．（1）解：（Ⅰ），令＝＝0，得或，当时，由，得，当时，由，得，所以对应特征值为2的一个特征向量是；对应特征值为3的一个特征向量是． ……………………4分（Ⅱ）设曲线上的点在矩阵的作用下变成，则，即将变换公式代入曲线：可得，，即，即为曲线，∴，又，∴． ……………………7分（2）解法一：（Ⅰ）∵，∴，∴，即，所以曲线的直角坐标方程为． ……………………4分（Ⅱ）法一：∵，而，∴，∴，即的范围是．……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）联立解得或∴的范围是． ……………………7分（3）解：（Ⅰ）不等式的解集为，所以方程的两根为.∴ 解得. ……………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，＝，定义域为.所以.则，当且仅当时取等号.故当时，的最大值为. …………………7分。

2015年三明市普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．1．已知集合{}2,01xA y y x ==≤≤，集合{}1,2,3,4B =，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}0,1,22．已知复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位），则z =A ．12 B C D ． 23．下列有关命题的说法中，正确的是A ．R x ∀∈，lg 0x >B ．0R x ∃∈，使得030x≤C ．“π6x =”是“cos 2x =”的必要不充分条件 D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件4．阅读如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 A.14 B.20 C.30 D.55 5．函数32()34f x x x =-+-的图象在1x =处的切线方程为A ．350x y ++=B ．350x y --=C ．310x y +-=D ．370x y --= 6．抛物线240y x +=上的点P 到直线2x =的距离等于4，则P 到焦点F 的距离||PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知实数a 满足2a <，则事件“点(1,1)M 与点(2,0)N 分别位于直线 :210l ax y -+=两侧”的概率为 A ．18 B ．38 C ．58 D ． 348．已知圆C 的方程为012222=+--+y x y x ，过直线0843=++y x 上一点P 作圆C 的切线PT ，切点为T ，则||PT 的最小值为A ．22B ．3C D ．49．如图是某几何体的三视图，且正视图与侧视图相同，则这 个几何体的表面积是A ．4π3B ．7πC ．(5πD ．(4π 10．函数cos22cos 1y x x =-+的最小值和最大值分别是A ．12-，4B ．0，4C ．14-，2 D ．0，211．已知双曲线Γ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F l 经过双曲线Γ的右焦点2F 与双曲线Γ在第一象限交于点P ，若12PF F ∆是等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为A B 1 C ．12 D ．1212．已知函数21,10,()(1)1,0,x x f x f x x ⎧-+-<≤=⎨-+>⎩设方程()1f x x =+的根按从小到大的顺序得到数列1x ，2x ，，n x ，那么10x 等于A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．某班共有学生54人，其中男生30人，为了调查该班学生对国学的兴趣情况，现按性别采用分层抽样的方法抽取一个容量为18的样本，则样本中女生的人数为 ． 14．已知数列}{n a 是公比大于1的等比数列，其前n 项和为n S ，且31,a a 是方程0452=+-x x 的两根，则3S = ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2,60==c C，则b a +的最大值为 ．16．如图，三条平行直线12,,l l l 把平面分成①、②、③、④四个区域（不含边界），且直线l 到12,l l 的距离相等．点O 在直线l 上，点,A B 在直线1l 上，P 为平面区域内的点， 且满足1212(,)OP OA OB λλλλ=+∈R．若P 所在的区域 为④,则12λλ+的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，CD 和BE 都垂直于平面ABC ， 且90ACB ∠= ，4AB =，1BE =，3CD =，DE = （Ⅰ）求证：BE ∥平面ACD ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积．18．（本小题满分12分）某市园林管理处为了了解在某片土地上培育的树苗的生长情况，在树苗种植一年后，从中随机抽取10株，测得它们的高度（单位：cm ），并将数据用茎叶图表示（如图），已知]9,6[∈x ，且x ∈N ． (Ⅰ) 若这10株树苗的平均高度为130cm ，求x 值；（Ⅱ）现从高度在)140,130[和)150,140[内的树苗中随机抽取两株，若这两株树苗平均高度不高于139cm 的概率为21，求x 的可能取值．19．(本小题满分12分)已知向量,1)x x =m ，(1sin ,cos )x x =-n，函数()f x =⋅m n （Ⅰ）求函数()f x 的零点； （Ⅱ）若8()5f α=，且π(,π)2α∈，求cos α的值． EDCBAx 611 12 13 4 66 4 2142 4820．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且539a S ==． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12n n n b a a +=，集合12{|,}n n n T T b b b n Ω==+++∈+N ， （ⅰ）求n T ；（ⅱ）若,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n = ，求i j T T ⋅的取值范围．21．（本小题满分12分）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，其左、右焦点分别是1(1,0)F -和2(1,0)F ，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）若25||=2AF ，求三角形12AF F 的面积； （Ⅲ）在椭圆Γ上是否存在点P ，使得点P 同时满足：①过点P 且平行于AB 的直线与椭圆Γ有且只有一个公共点；②线段1PF 的中点在直线AB 上？若存在，求出点P 的坐标；否则请说明理由．22．(本小题满分14分)设函数2()4ln f x x ax bx =++(,)a b ∈R ，()f x '是()f x 的导函数，且1和4分别是()f x 的两个极值点．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间(,3)m m +上是单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立，求实数λ的取值范围．2015年三明市普通高中毕业班质量检查文科数学参考答案及评分标准一、选择题：1－6 BCDCBC 7—12 BACADB 二、填空题：13．8 14．7 15．4 16．(,1)-∞- 三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，又CD ⊂平面ACD ，BE ⊄平面ACD ，所以BE ∥平面ACD ． …………………………（5分） （Ⅱ）因为CD 和BE 都垂直平面ABC ，所以BE ∥CD ，则四边形BCDE 是直角梯形， ………………………………（6分） 在平面BCDE 内过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ， 因为1BE =，3CD =，DE =，………………（7分） 在直角三角形DEF中，2EF ==，所以2BC EF ==，……………………………………（8分）在直角三角形ABC中，AC =，…………（9分） 因为AC BC ⊥，AC DC ⊥，所以AC ⊥平面DCBE ，而四边形BCDE 的面积1()42S BE CD BC =+⋅=，………………（10分） 因此多面体ABCDE的体积为13V S AC =⋅ …………………………………（12分） 18．解：（Ⅰ）设高度高在[140,150)的另一株高度为y （其中140y x =+），由13010146134136128124127122119116=+++++++++y，得148=y ，于是8=x ． ……………………………………………………（5分） （Ⅱ）由题知，从高度在[130,140)和[140,150)内的树苗中随机选取两株有以下10种选法： （132，134），（132，136），（134，136），（132，146），（134，146），（136，146），（132，z ），（134，z ），（136，z ），（146，z ），（其中140z x =+） ………………（7分）FEDCBA则前六组的平均数分别为133，134， 135，139，140，141，有4组平均高度不高于139， 由于21=p ，后四组中只能有一组的平均高度不高于139，………………………………（10分） 显然是（132，z ）这一组满足题意． 又由1321392z+≤，得146z ≤，注意到]9,6[∈x ，于是6=x ． …………………（12分）19．解：（Ⅰ）22()cos f x x x x x =⋅+mcos x x +π2sin()6x =+，…………………………………………………………………………（3分）由π2sin()06x +=，得ππ()6x k k +=∈Z ，所以ππ()6x k k =-∈Z ， 所以函数()f x 的零点为ππ()6x k k =-∈Z ． ……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知π8()2sin()65f αα=+=，所以π4sin()65α+=，………………………………（8分）因为π(,π)2α∈，所以2ππ7π366α<+<，则π3c o s ()65α+=-，…………………………………（10分）所以ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 666666αααα=+-=+++341552=-+⋅=． ………………………………………………………（12分）20．解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-，11(1)2n S na n n d =+-，且539a S ==，得1149,339,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为12(1)21n a n n =+-=-．…………………………………………（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)知21n a n =-，所以12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，…………（6分）（ⅰ）121111111(1)()()()335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+ 1121n =-+． …………………………………………………………………………（8分） （ⅱ）因为1112(1)(1)02321(21)(23)n n T T n n n n +-=---=>++++， 所以数列{}n T 是递增数列，即123n T T T T <<<< ，所以当1n =时，n T 取得最小值为23，而,i T j T ∈Ω(,1,2,,)i j n = ， ………………（9分） 故1i j ==时，||i j T T ⋅取得最小值为49． …………………………………………………（10分）又11()21n T n n +=-∈+N ，所以1n T <，则||1i j T T ⋅<，……………………………………（11分）因此419i j T T ≤⋅<． …………………………………………………………………………（12分）21．解法一：（Ⅰ）由已知，12c e a ==，1c =，解得2a =，b = 从而椭圆Γ的标准方程为：22143x y +=． …………………………………………………………（3分）（Ⅱ）由椭圆定义可得：1253||2||=422AF a AF =--=， ……………………………………………（4分）又12||2F F =，因此有2222112||||||AF AF F F =+，即112A F FF ⊥， ……………………………（5分）故可得△12AF F 的面积为32． ……………………………………………………………………（6分）（Ⅲ）存在，点P 的坐标为4(,)33±．理由如下： 当直线AB y ⊥轴时，与题意不符． 故设直线AB ：1x ty =+，由此可得过点P 且平行于AB 的直线为:l x ty m =+（1m ≠），∵线段1PF 的中点在直线AB 上，∴点1F 到直线AB 的距离等于两平行直线AB 与l 之间的距离，=解得1m =-或3m =． ………………………………………………（9分）由于1m =-时，直线:l 1x ty =-过点1F ，不符合条件，故舍去．……………………………（10分）由此得直线l 为3x ty =+，并与方程22143x y +=联立， 得到22(34)18150t y ty +++=， …① …………………………………………………（11分）由于直线为l 与椭圆有且只有一个公共点，故22(18)4(34)150t t ∆=-⨯+⨯=，解得t =，此时方程①为2350y ±+=，y =为点P 的纵坐标，满足题意的点P 的坐标为4(,3． ………………………………………………………（12分）解法二：（Ⅰ），（Ⅱ）同解法一． ……………………………………（6分）（Ⅲ）存在，点P 的坐标为4(,)33±．理由如下： 当AB x ⊥轴时，不合题意．故设直线:(1)AB y k x =-，过P 平行于AB 的直线l 的方程为：y kx m =+，=，得m k =或3m k =-， ………………………………………（9分）当m k =时，直线:l y kx m =+过左焦点1F ，不合题意，舍去，所以3m k =-，…………（10分）由22(3),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(34)2436120k x k x k +-+-=，…………………………（11分）由0∆=，得235k =， 设00(,)P x y ，则20224234k x k =+，将235k =代入得0823x =，043x ∴=， 于是053y =±，45(,)33P ∴±即为所求． ……………………………………………（12分）22． 解：（Ⅰ）4()2f x ax b x '=++224ax bx x++=（0x >），………………………………………（2分）由题意可得：1和4分别是()0f x '=的两根，即142b a +=-，4142a⨯=，解出12a =，5b =-．∴21()4ln 52f x x x x =+-．………………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由上得4()5f x x x '=+-(1)(4)x x x--=（0x >）， 由()0f x '>01x ⇒<<或4x >； 由()0f x '<14x ⇒<<．故()f x 的单调递增区间为(0,1)和(4,)+∞，单调递减区间为(1,4)，…………………………（6分）从而对于区间(,3)m m +，有0,31,m m ≤⎧⎨+≤⎩或1,34,m m ≤⎧⎨+≤⎩或4m ≥， ……………………………（8分）解得m 的取值范围：{1}[4,)+∞ ． …………………………………………………………（9分）（Ⅲ）“对于1[1,e]x ∀∈，2[1,e]x ∃∈，使得12()[()5]0f x f x λ'++<成立”等价于“2[1,e]x ∃∈，使21min [()5][()]f x f x λ'+<-（1[1,e]x ∈）成立”．由上可得：1[1,e]x ∈时，1()f x 单调递减，故1()f x -单调递增，∴1min [()]f x -9(1)2f =-=； ………………………………………………………………………………（11分）又2[1,e]x ∈时，2224()50f x x x '+=+>且在[1,2]上递减，在[2,e]递增， ∴2min [()](2)4f x f ''==， ……………………………………………………………………（12分）从而问题转化为“2[1,e]x ∃∈，使49()2x x λ+<”，即“2[1,e]x ∃∈，使942()x x λ<+成立”， 故max 999[]42482()x xλ<==⨯+． ∴9(,)8λ∈-∞． …………………………………………………………………………………（14分）-END-。

2015年福建省三明市中考数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）2．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将1008003．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）B=±2 5．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次6．（4分）（2015•福建）如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是（ ）7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n 满足的关系式为（）﹣二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）11．（4分）（2015•福建）化简：=．12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有人．13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：．14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=度．15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有个“•”．16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是．三、解答题（共9题，满分86分）17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x=．18．（8分）（2015•福建）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正（1）统计表中的a=，b；（2）统计表后两行错误的数据是，该数据的正确值是；（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．2015年福建省三明市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）2．（4分）（2015•福建）一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将1008003．（4分）（2015•福建）如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）B=±2，5．（4分）（2015•福建）在九（1）班的一次体育测试中，某小组7位女生的一分钟跳绳次6．（4分）（2015•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）7．（4分）（2015•福建）在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外l=l==l=9．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）10．（4分）（2015•福建）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n 满足的关系式为（）﹣，横坐标是：，，，）﹣二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）11．（4分）（2015•福建）化简：=．=12．（4分）（2015•福建）某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度，对全班50名学生进行调查，根据调查结果绘制了扇形统计图（如图所示），其中A表示“很喜欢”，B表示“一般”，C表示“不喜欢”，则该班“很喜欢”数学的学生有18人．13．（4分）（2015•福建）在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值：2．14．（4分）（2015•福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=36度．====72ADB=×15．（4分）（2015•福建）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有111个“•”．16．（4分）（2015•福建）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是1．==4三、解答题（共9题，满分86分）17．（8分）（2015•福建）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（x+2），其中x=．时，原式18．（8分）（2015•福建）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．，19．（8分）（2015•福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB 与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，∠BCA=62°，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）BCA=，即20．（8分）（2015•福建）某校开展校园“美德少年”评选活动，共有“助人为乐”，“自强自立”、“孝老爱亲”，“诚实守信”四种类别，每位同学只能参评其中一类，评选后，把最终入选的20位校园“美德少年”分类统计，制作了如下统计表，后来发现，统计表中前两行的数据都是正（1）统计表中的a=4，b0.15；（2）统计表后两行错误的数据是0.32，该数据的正确值是0.30；（3）校园小记者决定从A，B，C三位“自强自立美德少年”中随机采访两位，用画树状图或列表的方法，求A，B都被采访到的概率．==．21．（8分）（2015•福建）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄22．（10分）（2015•福建）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．，23．（10分）（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．PQ===2PQ=2，即PQPQ=2．24．（12分）（2015•福建）如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．．（OA=时，（=，即=b=，得b=，=，即=，得，25．（14分）（2015•福建）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DF，MG=BM=第21页（共21页）。

2014-2015学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定为（）A．∀x∈R，都有ln（x2+1）≤0B．∃x 0∈R，使得ln（x02+1）＞0C．∀x∈R，都有ln（x2+l）＜0D．∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤02．（5分）如图所示，图中有5组数据，去掉（）组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大．A．A B．C C．D D．E3．（5分）命题“若x=0，则x2+x=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）已知向量=（1，x，﹣3），=（2，4，y），且，那么x+y等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（）A．9B．27C．81D．2436．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点，设E是棱DD1上的点，且=，若=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．B．﹣C．﹣D．7．（5分）与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3）的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线x=2π和y=4与坐标轴围成一个矩形，现向该矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若用分层抽样的方法从该地区高中生中抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且（x ﹣1）f′（x）＜0（x≠1），则“对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则f（1）+f′（1）=．12．（4分）如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为．13．（4分）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．14．（4分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为．15．（4分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是直线a上一定点，且AP与直线a所成角θ=，点A到平面α的距离为2，若过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，则动点P的轨迹方程为．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知m∈R，设命题p：方程+=1表示的曲线是双曲线；命题q：椭圆=1的离心率e∈（，1）（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题“p∧q”为真命题，求m的取值范围．17．（13分）某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|≤10”的概率．18．（13分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（1）求证：AC⊥平面BB1D；（2）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值；（3）试判断线段CD1上是否存在点P，使A1P∥平面B1CD，若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．19．（13分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2=4x 的焦点F重合．椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P，|PF|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C1交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围．20．（14分）如图，某工业园区有一边长为2（单位：千米）的正方形地块OABC，其中OCE（阴影部分）是一个已建工厂，计划在地块OABC内修一条与曲边OE相切的直路l（宽度不计），切点为P，直线l把该地块分为两部分，已知曲线段OE是以点O为顶点，OC为对称轴且开口向上的抛物线的一段，CE=．（1）建立适当的坐标系，求曲线段OE的方程；（2）在（1）的条件下设点P到边OC的距离为t．（i）当t=1时，求直路l所在的直线方程；（ii）若≤t，试问当t为何值时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（14分）设函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=f（x）﹣（a﹣2）x，若不等式g（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+（n∈N，n≥2）2014-2015学年福建省三明市B片区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定为（）A．∀x∈R，都有ln（x2+1）≤0B．∃x0∈R，使得ln（x02+1）＞0C．∀x∈R，都有ln（x2+l）＜0D．∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，都有ln（x2+1）＞0”的否定是：∃x0∈R，使得ln（x02+1）≤0．故选：D．2．（5分）如图所示，图中有5组数据，去掉（）组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最大．A．A B．C C．D D．E【解答】解：∵A、B、C、D四点分布在一条直线的附近且贴近某一条直线，E点离得较远些；∴去掉E点后剩下的4组数据的线性相关性最大．故选：D．3．（5分）命题“若x=0，则x2+x=0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由题意，原命题为：若x=0，则x2+x=0”，显然0是方程的解，为真命题；逆命题为：若x2+x=0，则x=0，因为方程还有另一根为﹣1，故为假命题；因为原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真；逆命题与否命题等价，故否命题为假．故选：B．4．（5分）已知向量=（1，x，﹣3），=（2，4，y），且，那么x+y等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：∵，∴存在实数λ，使得，∴（1，x，﹣3）=λ（2，4，y），∴，解得x=2，y=﹣6．∴x+y=﹣4．故选：A．5．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是（）A．9B．27C．81D．243【解答】解：模拟执行流程图，可得a=1，a=3不满足条件a＞30，a=9不满足条件a＞30，a=27不满足条件a＞30，a=81满足条件a＞30，退出循环，输出a的值为81．故选：C．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点，设E是棱DD1上的点，且=，若=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵=，==，=，∴=﹣+，与=x+y+z，∴，y=﹣，z=﹣．∴x+y+z=﹣．故选：C．7．（5分）与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3）的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由于所求椭圆与双曲线C：=1共焦点，且过点（0，3），可设椭圆方程为，（a＞b＞0），b=3，c2=12+4，∴a2=b2+c2=25，∴椭圆的离心率e==．故选：D．8．（5分）已知直线x=2π和y=4与坐标轴围成一个矩形，现向该矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，矩形的面积为π×4=8π，曲线y=在第一象限部分的面积为=π，由几何概型的公式得所投的点恰好在曲线y=与x轴围成区域内的概率为；故选：A．9．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若用分层抽样的方法从该地区高中生中抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据分层抽样定义可知，A类学校抽取人数为，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为=，故选：B．10．（5分）若定义在R上的可导函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且（x ﹣1）f′（x）＜0（x≠1），则“对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，∵（x﹣1）f′（x）＜0，∴x＜1时，f'（x）＞0，可得函数f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，可得函数f（x）单调递减①当f（x1）＞f（x2）时，结合x1＜x2，由函数单调性可得1＜x1＜x2，或1＞x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2成立，故充分性成立；②当x1+x2＞2时，因为x1＜x2，必有x1＞2﹣x2成立，所以结合函数的单调性，可得f（x1）＞f（x2）成立，故必要性成立综上所述，“f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＞2”的充分必要条件，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则f（1）+f′（1）=5．【解答】解：由题意值，y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，由导数的几何意义得f′（1）=1，且f（1）=4，所以f（1）+f′（1）=5，故答案为：5．12．（4分）如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为l5，乙组数据的平均数为16.8，则x+y的值为13．【解答】解：根据茎叶图知，甲组数据是9，12，10+x，24，27；它的中位数为l5，∴x=5；乙组数据的平均数为=16.8，∴y=8；∴x+y=5+8=13．故答案为：13．13．（4分）设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．14．（4分）已知双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点到双曲线C1渐近线的距离为2，则C2的方程为y2=x．【解答】解：双曲线C1：=1的渐近线方程为y=x，抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点F为（，0），则F到渐近线的距离为d==2，由双曲线的离心率为2，即e==2，b==a，则有=2，解得p=，则有抛物线的方程为y2=x．故答案为：y2=x．15．（4分）如图，已知直线a∥平面α，在平面α内有一动点P，点A是直线a上一定点，且AP与直线a所成角θ=，点A到平面α的距离为2，若过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，则动点P的轨迹方程为x2﹣y2=4．．【解答】解：过点A作AO⊥α于点O，在平面α内，以过点O作直线a的平行线为x轴，以过点O作x轴的垂线为y轴建立直角坐标系，作PB⊥y轴，连接AB，设P点坐标为：（x，y），由题意可得：∠APB=θ=，AB=xtanθ=x，OB=y，AO=d=2．所以，由勾股定理可得：（xtanθ）2=d2+y2，即：x2=22+y2，整理可得动点P的轨迹方程为：x2﹣y2=4．故答案为：x2﹣y2=4．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知m∈R，设命题p：方程+=1表示的曲线是双曲线；命题q：椭圆=1的离心率e∈（，1）（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；（2）若命题“p∧q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1）命题p为真命题，即方程+=1表示的曲线是双曲线；∴（3﹣m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2或m＞3，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）（2）∵命题“p∧q”为真命题，∴p与q都为真命题，∵椭圆=1的离心率e∈（，1），∴＜＜1，即＜＜1，∴＜＜1，且m＞0，∴0＜m＜15，由（1）知m＜﹣2或m＞3，∴3＜m＜15，故m的取值范围（3，15）17．（13分）某校为了解高一年级期末考试数学科的情况，从高一的所有数学试卷中随机抽取n份试卷进行分析，得到数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩在[70，80）的人数为20，规定：成绩≥80分为优秀．（1）求样本中成绩优秀的试卷份数，并估计该校高一年级期末考试数学成绩的优秀率；（2）从样本成绩在[50，60）和[90，100）这两组随机抽取2名同学，设其测试成绩分别为m，n，求事件“|m﹣n|≤10”的概率．【解答】解：（1）成绩在[70，80）的人数为20，频率为0.04×10=0.4，所以n=20÷0.4=50，∵样本中成绩优秀的试卷份数所占频率为（0.032+0.006）×10=0.38∴样本中成绩优秀的试卷份数0.38×50=19∴估计该校高一年段期中考试数学成绩的优秀率为38%；（2）样本成绩在[50，60）和[90，100）学生人数分别为2和3人，分别用a，b，c，d，e，表示，则这两组随机抽取2名同学共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10种情况，其中测试成绩分别为m，n，事件“|m﹣n|≤10，则说明是来自同一组，共有ab，ac，bc，de，4种故事件“|m﹣n|≤10”的概率P==18．（13分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3．（1）求证：AC⊥平面BB1D；（2）求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值；（3）试判断线段CD1上是否存在点P，使A1P∥平面B1CD，若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），B1（，0，3），C（，1，0），D（0，3，0），D1（0，3，3），故=（，1，0），=（﹣，3，0），=（0，0，3），∵•=0，•=0，∴AC⊥BD，AC⊥BB1，∵BD∩BB1=B，BD⊂平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D；（2）∵=（0，1，﹣3），=（﹣，2，0），∴设平面B1DC的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1，=，∵AC⊥平面BB1D，∴为平面BB 1D的一个法向量，∴cos＜＞==，故二面角B﹣B1D﹣C的余弦值为．（3）不存在，假设线段CD1上存在点P，使A1P∥平面B1CD，设=λ，λ∈[0，1），∵=（），∴=（，﹣2λ，﹣3λ），∴==（，3﹣2λ，﹣3λ），要使A1P∥平面B1CD，∴，即，解得λ=3∉[0，1），∴线段CD1上不存在点P，使A1P∥平面B1CD．19．（13分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C2：y2=4x 的焦点F重合．椭圆C1与抛物线C2在第一象限内的交点为P，|PF|=．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C1交于不同的两点A、B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C2：y2=4x的焦点F（1，0），准线x=﹣1．设P（x0，y0），由|PF|=，∴，解得x0=．∵椭圆C1与抛物线C2的交点P在第一象限内，∴=．∴P．代入椭圆方程可得，又c=1，a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=3．∴椭圆C1的方程为．（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为7x2+8mx+4m2﹣12=0，△=64m2﹣4×7（4m2﹣12）＞0，解得．又x1+x2=，∴y1+y2=x1+x2+2m=﹣=，∴线段AB的中点为M．∵线段AB的中点不在圆x2+y2=内，∴≥，解得m2≥1，解得m≥1，m≤﹣1，又．解得，或．∴m的取值范围是∪．20．（14分）如图，某工业园区有一边长为2（单位：千米）的正方形地块OABC，其中OCE（阴影部分）是一个已建工厂，计划在地块OABC内修一条与曲边OE相切的直路l（宽度不计），切点为P，直线l把该地块分为两部分，已知曲线段OE是以点O为顶点，OC为对称轴且开口向上的抛物线的一段，CE=．（1）建立适当的坐标系，求曲线段OE的方程；（2）在（1）的条件下设点P到边OC的距离为t．（i）当t=1时，求直路l所在的直线方程；（ii）若≤t，试问当t为何值时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是多少？【解答】解：（1）以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，设曲线OE的方程为y=ax2，由E（，2）在抛物线上，可得a=1，则有OE：y=x2（0≤x≤）；（2）（i）y=x2的导数为y′=2x，当t=1时，k=2，由直线过P（1，1），则有直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0；（ii）由（i）知切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t），令y=0可得x=，令y=2可得x=+，由≤t，x′（t）=﹣+=＜0，x（t）=+递减，x（t）∈[，]⊆[，2]，面积S=4﹣（++）×2=4﹣（t+），令g（t）=t+，g′（t）=1﹣，由≤t，可得g′（t）＞0，g（t）在定义域内递增，即有g（t）min=g（）=，S max=4﹣=．故当t=时，地块OABC在直路l不含已建工厂那侧的面积取到最大，最大值是．21．（14分）设函数f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣lnx（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=f（x）﹣（a﹣2）x，若不等式g（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+（n∈N，n≥2）【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．∵f′（x）=，∴a≤0时，f′（x）＜0，函数的单调减区间为（0，+∞）；a＞0时，f′（x）＜0，可得0＜x＜，f′（x）＞0，可得x＞，∴函数的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）∵g（x）=ax2﹣lnx≥0，∴a≥，设h（x）=，则h′（x）=∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴h （x ）≤h （）=，∴a ≥；（3）由（2）知，，∴，∴+++…+＜（++…+）（n ≥2）∵++…+＜++…+=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）＜， ∴：+++…+（n ∈N ，n ≥2）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值第21页（共22页）设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f(p)f(q)()2bfa-xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x第22页（共22页）。