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第四章《指数函数与对数函数》4.1指数【知识梳理】知识点一根式(1)如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根．(2)式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.知识点二分数指数幂正数的正分数指数幂，m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，m na-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．知识点三指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ；sr s r a aa -=(a >0，b >0，r ，s ∈R )．【基础自测】1．已知(a －b )2＝a －b ，则()A ．a >bB ．a ≥bC ．a <bD ．a ≤b2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A ．－x ＝()12x -(x >0)B ．6y 2＝13y (y <0)C ．34x -x >0)D ．13x-＝－3x (x ≠0)3．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y x a +等于()A ．9＋5B ．452C ．95D ．654．化简(1－a )2·41(a －1)3＝________.5．计算：238＋4(3－π)4＋162[(2)]-＝______.【例题详解】一、n 次方根的概念跟踪训练1(1)已知x 7＝8，则x 等于()A ．22B.78C ．－78D ．±78(2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________；若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________．二、利用根式的性质化简或求值(2)化简：(i)4(3－π)4；(ii)(a －b )2(a >b )；(iii)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.三、根式与分数指数幂的互化例3(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）四、运用指数幂运算公式化简求值例4计算或化简下列各式：五、分数指数幂运算的综合应用【课堂巩固】A ．1B ．2C ．3D ．42．在①4(－4)2n；②4(－4)2n ＋1，③5a 4，④4a 5中，n ∈N *，a ∈R 时各式子有意义的是()A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①②④71－4·(－2)－3－129-＝________.8．化简(1－a )2·41(a －1)3＝________.9．若10x＝183-，10y＝427，则102x－y＝________.10．设f(x)＝x2－4，若0<a≤1，则f________.【课时作业】a－b a＋b 的值．18．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求。
高一课程 “简单的指数方程” 学生姓名
授课日期 教师姓名
授课时长
知识定位
本讲内容： 指数方程的概念；几类简单的指数方程及解法
掌握目标： 1.理解指数方程的概念，掌握几类简单的指数方程。
2.掌握简单的指数方程的基本解法，从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、
函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式.
重点：指数方程的概念、简单的指数方程及其解法.
难点：感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法.
考试分析： 一般以填空选择形式出现，有时也会以解答题的形式出题，难度一般。
知识梳理
指数方程定义
指数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程。
下面给出常见的五种指数方程及其一般解法
➢ 知识点一：型
型， 此类方程的解法： b log )x (f a = （取对数）
【试题来源】2014上海模拟
【题目】方程
33
11331-=+-x x 的实数解为（ ）
➢ 知识点二：型
型， 此类方程的解法： )x (g )x (f = （比较指数）
()(0,1,0)f x a b a a b =>≠>()(0,1,0)f x a b a a b =>≠>()()(0,1,)f x g x a a a a =>≠()()(0,1,)f x g x a a a a =>≠
【试题来源】
【题目】已知（a 2+2a +5）
3x >（a 2+2a +5）1−x ，则x 的取值范围是___________．
➢ 知识点三：型
型，此类方程的解法：b lg )x (g a lg )x (f ⋅=⋅
【试题来源】
【题目】方程5
x 4log 3=125log 3的解集是 .
➢ 知识点四：()1002≠>=+⋅+⋅a .a C a B a A x x 型
()1002≠>=+⋅+⋅a .a C a B a A x x 型， 此类方程的解法：换元，令t a x =，注意新变量范围，将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 。
【试题来源】
【题目】函数y =a 2x +2a x −1(a >0且a ≠1)在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．
【试题来源】
【题目】解方程3x+2−32−x =80
【试题来源】
【题目】解关于x 的方程：a 2·4x +(2a -1)·2x +1=0.
【试题来源】
【题目】 当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a +1)·2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1.
【试题来源】
【题目】关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在区间[]0,2上有解，求k 的取值范围。
()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠
➢ 知识点五：()a b ,b ,a ,b ,a Cb b a B a A x x x x ≠≠>=+⋅+⋅10022型
()a b ,b ,a ,b ,a Cb b a B a A x x x x ≠≠>=+⋅+⋅10022型，此类方程的解法：变形为x
x b a B b a A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅20=+C ，然后再换元，根据（4）的解法求解。
【试题来源】
【题目】 解方程： 9x +6x =22x +1；
【试题来源】
【题目】解关于x 的方程24(1)62()9x x x
a a a -+⋅=-⋅。
➢ 知识点六：其他
此外，求方程的近似解或者求解的个数时，用图像法比较容易的到结果。
在解题中要用到的想方法：
（1）方程与函数之间的转化。
（2）数形结合、分类讨论的数学思想方法
【试题来源】
【题目】函数的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．无数
【试题来源】
【题目】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1x 21x x )(x ，，丨丨x f ，若关于的方程有3个不同的实根，则实
数的取值范围是（ ）
【试题来源】
【题目】函数由确定，则方程3
)(2x x f =的实数解有( ).
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知函数f (x )=x 2−bx +c 满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(b x )与f(c x )的大小关系是_____
【试题来源】
【题目】求函数y=√1−6x−2的定义域和值域
【试题来源】
【题目】为了得到函数y=9×3x +5的图象，可以把函数y=3x 的图象（ ）．
【选项】 A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
【试题来源】2014湖北模拟
【题目】已知函数），（丨丨1a x a
2)(>∈+=R a x f x x （1）求函数f(x)的值域；
（2）记函数
，若的最小值与无关，求的取值范围；
（3）若
，直接写出（不需给出演算步骤）关于的方程的解集
【试题来源】2014成都模拟
【题目】已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+===+11x x 2x 01-2-4.a x 1x x 丨，丨B A ，若，则实数的
取值范围为（ ）.
A ．
` B ． C ． D ．
【试题来源】2014安徽模拟 【题目】已知函数
（1）当时，求函数在的值域；
（2）若关于的方程有解，求的取值范围.
课后练习 【试题来源】
【题目】曲线C 1,C 2C 3C 4, 分别是指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x 和y =d x 的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是 ( ).
A.
B.
C.
D.
【试题来源】
【题目】求下列函数的定义域与值域.
(1)y ＝231 x ; (2)y ＝4x +2x+1+1.
【试题来源】
【题目】已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值
【试题来源】
【题目】若函数 f(x)= 1
2x −1+a 是奇函数，求a 的值．
【试题来源】
【题目】画出函数y=|3x −1|的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x －１｜＝k 无 解？有一解？有两解？
【试题来源】
【题目】已知函数f （x ）=a －22x +1（a ∈R ） （1） 求证：对任何a ∈R ，f （x ）为增函数． （2） 若f （x ）为奇函数时，求a 的值。
【试题来源】
【题目】已知9x −10×3x +9≤0，求函数y= (14)x−1−4(12
)x +2的最大值和最小值
【试题来源】 【题目】已知函数f(x)＝a x −1
a x +1 (a>0且a ≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
【试题来源】
【题目】方程的解集为______________.
【试题来源】
【题目】关于x 的方程
在上有两个不同的实数根，则实数a 的取
值范围是___________.
【试题来源】2013湖南模拟 【题目】已知函数31
3)(丨丨x x x f -=
(1)若f(x)=2，求x 的值；
(2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若0)()2(3≥+t mf t f x 对于t ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,2
1恒成立，求m 的取值范围。
【试题来源】2013黑龙江模拟
【题目】设关于x 的方程=0． (Ⅰ) 如果b=1，求实数x 的值； (Ⅱ) 如果且，求实数b 的取值范围．
【试题来源】2013辽宁模拟 【题目】已知函数212)(丨丨x x x f -= （Ⅰ）若
，求的值； （Ⅱ）若对于恒成立，求实数m 的取值范围。
