简单的指数对数方程

3.11 指数方程与对数方程【知识要点】1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

3.指数方程的基本类型：（1）(0,0,0),x a c a a c =>≠>其解为log a x c =；（2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；（3）()()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；（4）()0(0,0)x F a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x a y =。

4. 对数方程的基本类型：（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b x a =；（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪>⎨⎪>⎩求解；（3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程log a x y =。

5.指数方程和对数方程的近似解利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解.【基础训练】1．方程4220x x +-=的解是 。

2．方程lg lg (3)1x x ++=的解____________x =。

3．已知函数34()log (2)f x x =+，则方程14()7f x -=的解__________x =。

4．已知137x =， 则( ) （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<15．方程22log 3x =的解集是（ ）（A ）φ （B）{ （C）{- （D）{-【精选例题】例1．解下列方程：（1）16=（251x -=5；（3）2523532x x ++=⋅+。

指对数计算公式在咱们学习数学的过程中，指对数计算公式那可是相当重要的一部分啊！就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多数学难题的大门。

先来说说指数运算。

咱假设一个数 a 的 n 次方，这里的 a 叫做底数，n 叫做指数。

比如说 2 的 3 次方，那就是 2×2×2 = 8。

这就像你有 3 个盒子，每个盒子里都装着2 个苹果，那总共的苹果数就是2 的3 次方。

再讲讲对数运算。

这对数啊，就像是指数运算的逆运算。

比如说，log₂8 等于 3，因为 2 的 3 次方等于 8。

这就好比你知道了总共有 8 个苹果，每个盒子装 2 个，然后去算有几个盒子，这算出来的盒子数就是对数。

我记得有一次给学生们讲指对数运算，有个小同学怎么都理解不了。

我就拿分糖果来举例，假设每个袋子能装 2 颗糖，现在有 8 颗糖，问他需要几个袋子，他一下就明白了2 的多少次方等于8 就是求袋子数。

这之后，他再遇到类似的问题就不犯迷糊了。

咱们再深入点儿，指数运算有好多规则。

像 a 的 m 次方乘以 a 的 n次方，就等于 a 的（m + n）次方。

比如说 2 的 2 次方乘以 2 的 3 次方，那就是 2 的（2 + 3）次方，也就是 2 的 5 次方，结果是 32。

对数运算也有它的规则。

logₐ（MN）= logₐM + logₐN。

这就好比把一堆糖果分成两堆，然后分别算装这两堆糖果需要几个袋子，加起来就是装所有糖果需要的袋子数。

在实际解题的时候，指对数计算公式能让复杂的问题变得简单。

比如说，让你求方程 2 的 x 次方等于 16，那通过对数运算就能很快得出x = 4。

总之，指对数计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多琢磨，就像掌握了神奇的魔法，能在数学的世界里畅游无阻。

就像那个一开始不明白的小同学，后来不也能熟练运用了嘛。

所以啊，大家别怕，多花点时间和心思，一定能把这部分知识拿下！。

指数与对数方程的解法指数与对数方程是数学中常见的问题，涉及指数函数和对数函数的运算与求解。

本文将介绍指数与对数方程的基本概念，并讨论它们的解法。

一、指数方程指数方程是形如a^x=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为指数函数的值。

解法：1. 对于指数方程a^x=b，可以采用取对数的方法来求解。

即，两边同时取以a为底的对数，得到x=loga(b)。

这里的对数表示以a为底b的对数。

2. 如果底数是e（自然对数的底），则指数方程可以简化为x=ln(b)。

这是因为以e为底的对数即为自然对数。

例题1：解方程2^x=8。

解：对数的底数取2，两边同时取以2为底的对数得到x=log2(8)。

计算得x=3。

例题2：解方程e^x=20。

解：底数是e，所以可以写成x=ln(20)。

计算得x≈3.00。

二、对数方程对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为未知数，b为对数函数的值。

解法：1. 对于对数方程loga(x)=b，可以采用指数化为算式的方法来求解。

即，将方程转化为指数函数的形式，即a^b=x。

2. 如果底数是e（自然对数的底），则对数方程可以简化为e^b=x。

这是因为以e为底的对数即为自然对数。

例题3：解方程log2(x)=3。

解：底数是2，按照指数化为算式的方法，可以得到2^3=x。

计算得x=8。

例题4：解方程loge(x)=4。

解：底数是e，所以可以写成e^4=x。

计算得x≈54.88。

总结：通过以上的解题方法，我们可以解决各种形式的指数与对数方程。

对于特殊的底数2和e，分别采用不同的求解方法。

在实际问题中，指数与对数方程有广泛的应用，尤其在科学、工程和经济等领域。

因此，熟练掌握这些解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

【2000字】。

指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。

解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。

故选B 。

解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。

例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。

解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。

又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。

指数方程与对数方程【知识梳理】1. 指对方程的概念指数里含有未知数的方程称为指数方程; 对数符号后含有未知数的方程称为对数方程.2. 指数方程的求解(1) 基本方法: 去指数运算;(2) 基本原理: 指数函数是单调的, 即()()()()(0,1)p x q x a a p x q x a a =⇔=>≠;(3) 注意事项: 若要使用换元法令()p x a t =, 则至少有0t >.3. 对数方程的求解(1) 基本方法: 去对数符号;(2) 基本原理: 对数函数是单调的; ()()log ()log ()()0(0,1)()0a a p x q x p x q x p x a a q x =⎧⎪=⇔>>≠⎨⎪>⎩;(3) 注意事项: 解方程()()p x q x =后需要验根.4. 换元法若指对方程的形式较为复杂, 则可以考虑换元法——将方程中的某部分看作一个整体, 使得方程变为相对熟悉的方程(如一元二次方程)的形式. 注意: 换元过程中须指出新变元的范围, 以免增根的产生.5. 解的存在性问题此类问题往往有两种转化的途径: 其一, 对于方程()f x a =有解, 则要求实数a 落在函数()y f x =的值域中; 其二, 转化为二次函数的根的分布的问题. 其中, 后者较为繁琐.【典型例题】例1. 解下列方程.(1)123x -=; (2)1335102x x x -⋅=;(3) 42log (2)log (1)1x x -=--;(4)40.2540.25log (3)log (3)log (1)log (21)x x x x -++=-++.例2. 求下列方程的解集.(1)221237330x x --⋅-⋅+=; (2)2+=;(3)224[log (1)]log (1)5x x +++=; (4)lg 2310x x x -=;(5)22log (95)log (32)2x x -=-+.例3. 已知关于x 的方程2212730x x a a ---+=有一个根为2, 求a 的值和方程的其余的根.例4. 已知2()log (21)x f x =-, 解方程1(2)()f x f x -=.例5. 关于x 的方程4230x x k k -⋅++=, 试根据下列条件, 求实数k 的取值范围:(1) 有实根;(2) 仅有一个实根.例6. 已知0,1a a >≠, 若方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解, 求实数k 的取值范围.例7. 已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+, (1) 证明: 函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2) 用反证法证明方程()0f x =没有负根.【巩固练习】1. 方程2232x x =-的解的个数是.……………….………………………………….……..............................( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果方程22lg lg 20x x --=的两根为,αβ, 则log log αββα+=…………………...............................( )A. 0B. 2-C. 4D. 4-3. 设1()f x -是2()log (1)f x x =+的反函数, 若11[1()][1()]8f a f b --++=, 则()f a b +=.........................( )A. 1B. 2C. 3D. 2log 34. 方程lg 30x x +-=的根所在的区间是…………………..………………………………...........................() A. (1,2) B. 511(,)24 C. 95(,)42 D. 13(3,)45. 方程2lg lg 60x x --=的解为____________;6. 方程||770x x --=的解为________________;7. 关于x 的方程9430x x m +⋅-=有实数解, 则实数m 的取值范围是________________;8. 已知方程1x 是方程lg 3x x +=的解, 2x 是方程103x x +=的解, 则12x x +=____________;9. 解下列方程.(1)2486227x x x ++=⋅; (2)155log (1)log (3)1x x +--=.10. 已知关于x 的方程224log (3)log x x a +-=的解在区间(3,4)内, 求实数a 的取值范围.。

指数对数公式
指数和对数公式是数学中的重要概念。

指数一般用符号“^”或“a^x”表示，表示一个数（底数）自乘若干次（指数）的结果，例如2^3=8。

对数
则表示一个数的指数次幂等于另一个数时，该数（对数）是多少，例如
log(2)8=3，因为2^3=8。

具体来说，有理数指数可以表示为an/m=m√an(a≥0,m,n∈N)，而无理数
指数则取近似值后，按照有理数指数的方法计算。

对数的定义是如果ab=N (a>0,a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做底数，N叫做真数。

对数有一些重要的性质，例如零和负数没有对数，1的对数等于0等。

在运算方面，对数的运算法则包括loga(MN)=logaM+logaN (M>0,N>0)，loga(M/N)=logaM-logaN (M>0,N>0)，logaMn=nlogaM (M>0)等。

此外，简写lgx=log10x，lnx=logex也常用于表示对数。

总的来说，指数和对数是数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

了解这些公式和性质对于数学学习和应用都非常重要。

高中数学中的指数与对数方程在高中数学学习中，指数与对数方程是一个重要的内容，它们在各个数学领域有着广泛的应用。

本文将介绍指数与对数方程的概念、性质及解题方法。

一、指数方程介绍指数方程是形如a^x=b的方程，其中a称为底数，x称为指数，b称为底数的幂。

解指数方程的一般思路是将底数相同的底数的幂方程转化为等式。

例如，对于指数方程2^x=8，我们可以发现8可以表示为2的幂，即8=2^3。

因此，原方程可以转化为2^x=2^3，进一步化简得到x=3。

二、对数方程介绍对数方程是形如loga(x)=b的方程，其中a为底数，x为真数，b为对数。

解对数方程的一般思路是将对数方程转化为指数方程。

以对数方程log2(x)=3为例，我们可以根据对数和指数的关系将其转化为指数方程2^3=x，最终得到x=8。

三、指数方程与对数方程的性质指数与对数方程具有以下性质：1. 指数方程中，底数a必须为正实数且不等于1；2. 对数方程中，底数a必须为正实数且不等于1，真数x必须大于0；3. 指数与对数方程都可以通过转化为指数方程或对数方程来求解；4. 两边都取对数，会改变等式的性质，检查解时需注意。

四、指数方程与对数方程的解题方法1. 对于简单的指数方程或对数方程，可以通过观察底数的幂与对数的关系来求解；2. 对于复杂的指数方程或对数方程，可以通过换底公式、对数运算法则、指数函数性质等方法进行变形和化简；3. 对于无法通过直接求解的指数方程或对数方程，可以考虑利用图像、数学建模等方法来求解。

五、实际应用举例指数与对数方程在实际应用中有着广泛的应用，例如金融领域中的复利计算、科学实验中的指数增长与衰减等。

通过学习指数与对数方程，我们可以更好地理解和应用这些实际问题。

六、总结指数与对数方程是高中数学中的重要内容，掌握其概念、性质和解题方法对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

通过不断的练习与应用，我们可以提高解题能力和数学思维水平，为今后的学习和发展打下良好的基础。

指数对数运算公式指数对数运算公式是数学中重要的一篇文献，其基础概念在中学数学课程中扮演着重要的角色。

指数对数运算公式可以帮助我们对复杂的函数类型，如对数函数，指数函数和多项式函数进行分析与求解。

本文将详细阐述指数对数运算公式，以期帮助读者更好地理解数学中的概念与规则。

首先，我们来了解指数对数运算公式的基本概念。

指数对数运算公式可以简单地描述为：给定正数 a正整数 n，则有 a^n=n√a（其中 n√a示 a n幂根）。

其中，指数函数的公式为 y=a^x，而对数函数的公式为x=log_a(y)（其中log_a(y)表示以 a 为底的 y对数）。

因此，指数对数运算公式可以很容易地用于将指数函数转换为对数函数。

接下来，我们来看一个更具体的例子，即用指数对数运算公式将指数函数 y=2^x换为对数函数的形式。

首先，将指数函数的公式写成 y=a^x形式，即 y=2^x。

接着，用指数对数运算公式将其转换为对数函数的形式，即 x=log_2(y)，其中 a 为 2，即指数函数的幂为2。

接着，我们来看另一个例子，即将多项式函数 y=x^3+2x+1换为对数函数的形式。

首先，将多项式函数写成 y=a^x形式，即y=x^3+2x+1。

接着，我们也可以用指数对数运算公式来将其转换为对数函数的形式，即 x=log_a(y)，其中 a 为多项式函数中最高次幂的系数，即 a=x^3，因此 x=log_x(y)。

最后，我们来看一下指数对数运算公式如何用于求解复杂的方程。

此时，我们可以将方程的右边改写成 a^x形式，然后利用指数对数运算公式将其转换为 log_a(y)形式，即 x=log_a(y)，然后将 x值代入方程中即可解出 y值。

总而言之，指数对数运算公式可以被用于解决复杂的函数类型，从而拓展数学中的知识结构。

它对于熟悉对数函数，指数函数和多项式函数等数学概念有着重要的意义，并且还可以为解决复杂的方程提供有效的解决方案。

本文详细阐述了指数对数运算公式的基本概念以及其在解决复杂的函数类型和方程中的应用，以期帮助读者更好地理解数学中的概念与规则。