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刚体平面运动微分方程
一般来说，物体运动过程中都受到各种力的作用，此外，如果是连续体，由于运动而产生的声学变化也都会影响运动状态，因此就需要研究物体运动中力和声学变化之间的关系。
在力学分析中，相对论块集体动力学（Classical Dynamics）是最基本的物理系统，它描述了物体运动的微分方程，从而可以求出物体的运动状态。
平面运动动力学是指物体运动过程中的动力学分析，可以用来描述物体在平面上的运动状态，包括具体的位置、速度、加速度等。
可以使用牛顿第二定律将机械力和物体加速度联系起来，写成机械力和物体加速度的微分方程，它的形式为：
F=m·a，
其中F表示机械力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
物体在平面上的运动还会受到一些拖拽力的影响，比如阻力和空气阻力等，如果将拖拽力也考虑在内，则可以将上述方程修正为：
其中b表示拖拽力，v表示物体运动状态时的速度。
此外，如果物体处于受到旋转力作用的情况下，则可以将其表述为：
F=m·a+b·v+c·(ω×r)，
其中c表示旋转抗力，ω表示旋转角速度，r表示物体圆心到物体某一点的距离。
由此可以得到物体平面运动的微分方程：
其中Δp表示物体加速度变化，F表示物体受到机械及其拖拽力和旋转抗力的作用。
从而可以根据上述微分方程，求出物体在平面上运动过程中的状态和性质，从而又可以了解物体在机械及其拖拽力和旋转抗力作用下，在平面上的运行状态。
6 刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出y C x C F ym F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得Cz CzM tL =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组m (8.1.57)Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x ===∑∑==ϕ&&&&&&,,11称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y&0和0ϕ&。
3、平面运动刚体的运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程y x C ''：过质心平移参考系平面运动随质心平移 绕质心转动()()e e ()C C C ma FJ M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2e 22e 2d d d ()d C C C r m F tJ M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()()()e e e ()Cx xCy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()()()e te ne ()Ct C n C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭以上各组均称为刚体平面运动微分方程平面运动刚体的运动微分方程已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C 例 1M平面运动刚体的运动微分方程解： N 2Cx Cy C ma Fma F mg m M Fr ρα⎫=⎪=-⎬⎪=-⎭()()2222N ,,,CC C C F r Mra M r m r F ma F mgρρ+==+==纯滚动的条件： s NF f F ≤即22s Cr M f mgρ+≤C a 0C a r α=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
由平面运动刚体运动微分方程：平面运动刚体的运动微分方程例2已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C 的运动规律.平面运动刚体的运动微分方程t Ca rα=解: t sin Cma F mg θ=-C J Frα=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θr R s -=0d d 2322=-+s rR gt s )sin(00βω+=t s s ()r R g -=3220ω0,0v s== s 初始条件 ()gr R v s 23,000-==β运动方程为()⎪⎫ ⎛⋅-=t gr R v s 2sin 30分析圆轮，受力和运动情况如图所示。
6 刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动可简化成刚体的平面图形S 在某一固定平面内的运动，用3个独立坐标
描述。
作用在刚体上的外力可简化为S 平面内的一平面力系F i (=1, 2,…,n )。
设坐标系Oxy 为固定的惯性参考系，Cx ′ y ′为质心平移坐标系，如图8-6所示。
平面图形的运动可用质心坐标x C , y C 和绕质心的转动角ϕ描述。
刚体的绝对运动可分解成跟随质心的平移和相对质心平移坐标系的转动。
由动量定理所述，刚体跟随质心的平移仅与外力系的主矢有关，由质点系相对质心的动量矩定理可知，刚体相对质心平移坐标系的运动仅与外力系对质心的主矩有关。
于是，由式(8.1.11)可写出
y C x C F y
m F x m R R ,==&&&& (8.1.55) 式中m 为刚体的质量，F R x , F R y 分别是外力系的主矢在y x ,方向上的分量。
由式(8.1.54)在垂直于平面图形S 方向上的投影，可得
Cz Cz
M t
L =d d (8.1.56) 其中M Cz 是外力系对通过质心且垂直于平面图形S 的轴之矩的代数和。
而ϕ
&C Cz J L =，J C 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形S 的轴的转动惯量。
应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得到了三个动力学方程，给出了三个广义
坐标x C , y C 和ϕ的封闭方程组，用以解决刚体的平面运动问题。
动力学方程组
m (8.1.57)
Cz C n
i iy C n i ix C M J F y
m F x ===∑∑==ϕ
&&&&&&,,1
1
称为刚体平面运动微分方程组。
给出相应的初始条件，例如，t ＝0时，刚体质心的位置分别为x C 0和y C 0，质心在初始时
的速度分别为和，平面图形S 在初始时的角位移和角速度分别为ϕ0C x &0C y
&0和0ϕ&。
作用力已知时，方程(8.1.57)和该初始条件构成一初始值问题。
可解得任意时刻的质心坐标和转角。
刚体平面运动的动力学的分析过程中建立了质心平移坐标系，将运动分解为跟随质心的
平移和相对质心的转动，实际上就是采用运动学中的基点法来分析运动。
但是，在运动学中基点是可以任意选择的。
而在动力学中，平移参考系的原点应选在刚体的质心上。
从动力学角度来看，方程组(8.1.57)已经封闭，可提供三个独立的方程来解刚体平面运动问题。
但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。
例8.1-7： 半径为r ，质量为m 的均质圆柱体，
放置于固定的倾角为θ的粗糙斜面的顶端，在重力的作用下向下运动。
设轮与斜面间的滑动摩擦因数为f s ，不计滚动摩阻，求圆柱体质心的运动规律。
(a)
解：圆柱体作平面运动，建立Oxy 为固定坐
标系，如图 (a)所示。
圆柱体受到的作用力有，静滑动摩擦力F ，斜面对圆柱体的约束力F N ，如图 (b)所示。
设x C , y C 和α分别为圆柱体质心坐标和角加速度，则柱体的运动微分方程为
F mg x
m C −=θsin && θcos N mg F y m C −=&& (a)
Fr mr =α2
2
1
初始条件为
t (b) 0,0,0===C C x x &在上述方程组中，除，还有4个未知量, F 0=C y &&C x
&&N , F 和α。
补充方程可从运动学关系中寻找。
圆柱体运动时只滚不滑，有
αr x C =&& (c) 联立求解方程(a)和(c)得到
θθθcos ,sin 3
1
,sin 32N mg F mg F g x
C ===&& (d) 利用初始条件(b)，可以积分得到圆柱体质心的运动规律
θsin 3
1
2gt x C = (e)
圆柱体作纯滚动的条件为F ≤f s F N ，所以滑动摩擦因数因满足
θtan 3
1
≥s f (f)
圆柱体运动时即滚又滑，式(a)仍成立，但其中F 为动摩擦力，满足
(g)
N F f F s =O
B A 联立求解方程(a)和(g)并利用初始条件(b)，得到
)cos (sin 2
2
θθs C f g t x −= (h)
例8.1-8：质量为m 均质杆AB 长为l ，放置
在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地面上，并与水平面成ϕ0角，如图所示。
此后，杆由静止状态倒下。
试求：(1) 杆在任意位置时的角速度和角加速度；(2) 当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
解：研究平面运动的杆，Oxy 为固定坐标系，杆在脱离墙之前受有重力m g ，墙面和地面的约束力F AB A 和F B ，如图所示，在杆与水平面成ϕ角的任一位置时，杆的运动微分方程为
A C F x m =&&, mg F y
m B C −=&&,
ϕ2121l ϕsin 2
cos l
F A −ϕ2F ml B =&& (a) 例8.1-8图
上述三个方程包含五个未知数：x C , y C , F A , F B 和ϕ，所以必须补充方程，补充方程可由运动关系得到。
因在任一位置，有
ϕϕsin 2
,cos 2l
y l x C C == (b)
上两式两边分别求导两次，得
ϕϕϕϕsin 2cos 22&&&&&l l x C −−=, ϕϕϕϕcos 2
sin 22&&&&&l l y C +−= (c) 式(c)即为补充方程。
因为，而当0>C x
&&0ϕϕ=时，0=ϕ&，所以0<ϕ&&。
联立求解方程(a)和(c)，并注意杆的角加速度ϕ
α&&−=，得
)sin (sin 302ϕϕϕ−=l
g
&, ϕαcos 23l g = (d) 通过式(b)，将ϕ
&和ϕ&&的值代入式(a)中第一式，得 ]sin 4
3)sin (sin 23[cos 0ϕϕϕϕg
g m F A +−−= (f)
当杆脱离墙时，0=A F ，所以
)sin 3
2arcsin(0ϕϕ= (g) 例8.1-9：质量为m 的均质杆AB 长为l ，A 端用光滑铰链与天花板连接，另一端B 用水平细绳系于墙上，使杆与水平面成θ角，如图(a)所示。
试求细绳剪断瞬时铰链的约束力。
A
解：取杆AB 为研究对象，建立固定坐标
系Axy 。
细绳剪断瞬时，杆受到重力m g ，铰链A 的约束力F x 和F y 的作用，如图(b)所示。
设杆的角加速度为α，由刚体平面运动微分方程得
例8.1-9图
θcos mg F x m x C −=&&, θsin mg F y
m y C −=&&, 2
1212l
F ml x =α (a) 剪断细绳瞬时，杆没有运动，角速度ω=0。
质心加速度的分量分别是切向和法向加速度，故
α2
l
x C −=&&, (b) 02==ωr y
C &&式(b)即为补充方程。
由式(a)和(b)消去加速度量，可解出
θsin mg F y =, θcos 4
1
mg F x =
例8.1-9代表了一种类型的问题，称为突然解除约束问题。
此类问题解除约束的前、后瞬时，系统的速度与角速度连续，而加速度与角加速度将发生突变。
