八年级数学下册第1章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边的垂直平分线作业课件新版北师大版

感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上 . 条件： 点到线段两个端点距离相等 . 结论： 点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言 如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
垂线
作法
(1)如图，以点 P 为圆心， 适当长为半径画弧， 交直线 l 于点 A， B. (2) 作线段 AB 的垂直 平分 线 m. 直线 m 为所求作的垂线 .
感悟新知
归纳总结
知4－讲
作图题的一般思路：
1. 假设所求作的图形已作出，画出草图；
2. 在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的
交点字母；
知3－讲
感悟新知
知3－练
例3 如图 1-3-7， OE， OF 所在 直线分 别是 △ ABC 中 AB， AC 边的垂直平分线，∠ OBC，∠ OCB 的平分 线相交于点 I，试判断 OI 与 BC 的位置关系，并给予 证明 .
感悟新知
知3－练
解题秘方：根据三角形三边的垂直平分线相交 于一点和三个内角的平分线也相交 于一点这两条性质进行证明 .
感悟新知
知4－练
解题秘方：紧扣尺规作图作线段垂直平分线及过 直线上一点作已知直线的垂线的步骤 作出三角形，并按提供的数据求高 .
感悟新知
解：如图 1-3-9，△ ABC 即为所求 .
知4－练
Hale Waihona Puke 感悟新知知4－练(2)若在(1)作出的Rt△ ABC中，AB=4 cm，求 AC 边上 的高 .
感悟新知
感悟新知
证明：连接BD. ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． 又∵BC＝DC， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线． ∵点E是AC上一点，∴BE＝DE.

的距离都相等的地方蹲守，则猎狗应蹲守在（ B ）
A.三个角的角平分线的交点处
B.三条边的垂直平分线的交点处
C.三角形三条高的交点处
D.三角形三条中线的交点处
3.如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是
（C ）
A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
4.如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，F为AC的中点.求证：PF垂 直平分AC. 证明：连接AP，BP，CP. ∵PD垂直平分AB，PE垂直平分BC， ∴AP＝BP，BP＝CP， ∴AP＝CP. ∵F为AC的中点， ∴AF＝FC， ∴PF垂直平分AC.
5.如图，在△ABC中，D是边AC，AB的垂直平分线的交点.若∠DCA＝30°，∠DAB＝ 50°，求∠DCB的度数.
知识点二 尺规作图 6.用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ C
7.（贵阳南明区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕
迹，可知∠BCG的度数为（ C ）
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数.
解：（2）由（1）知AD＝BD，AE＝EC， ∴∠DAM＝∠B，∠EAN＝∠C. 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°， ∴∠DAM＋∠EAN＝∠B＋∠C＝80°， ∴∠DAE＝∠BAC－（∠DAM＋∠EAN）＝100°－80°＝20°.
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
8.已知一条线段长为a，求作等腰直角三角形ABC，使它的斜边长为a.（不写作法， 保留作图痕迹）
解：如图所示.
A
A.8
B.10

1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
2.线段的垂直平分线的作法.
活动探究 问题1：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，画一画，你发现了什么？
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.这一点到三个顶点的距离相等. 问题2：继续探索，连一连、测一测，你还能发现什么？
课堂小结
谈谈你本节课的收获吧！
三角形三边的垂直 平分线重要结论
线段垂直平分线的 运用
作等腰三角形
作直线的垂线
认识 知识
运用 知识
积累 经验
课后作业
完成本节课课ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习题.
直平分线的性质和判定定理.先独立画图、思考2分钟，再小组讨论，确定方法）
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
画图
写出已知、求证
证明
活动探究
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点.，这一点到三个顶点的距离相等. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证：边AC垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC. 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上. ∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）. 同理，PB=PC， ∴ PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上）， 即 边AC的垂直平分线经过点P.
灵活运用
1.下列说法错误的是（ D ）
A. 三角形三条边的垂直平分线必交于一点. B. 如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶 点的直线必垂直于底边. C. 平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等. D. 三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称.

No 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．。∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O。定
理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。已知：三角形 的一条(yī tiáo)边a和这边上的高h。课后小结
Image
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第十三页，共十三页。
讲授新课
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作(dānɡ zuò)完此题时 你发现了什么?
发现：三角形三边(sān biān)的垂直平 分线交于一点．这一点到三角形三个顶 点的距离相等．
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讲授(jiǎngshòu)新课
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分
北师版 八年级
下册
第一章 三角形的证明
(zhèngmíng)
3 线段(xiànduàn)的垂直平分线 （第2课
时）
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复习(fùxí)旧知
C
1.线段(xiànduàn)的垂直平分线的性
质定理和判断定理．
A
B
2.线段的垂直平分线的作法．
D
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这样的等腰三角形应该只有两个，并 且它们(tā men)是全等的，分别位于已知底 边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三角 形吗?
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讲授(jiǎngshòu)新课
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h 作法：1．作BC=a；
（2）拓展：如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经 过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.

A．AO 平分∠EAF
B．AO 垂直平分 EF
C．GH 垂直平分 EF
D．GH 平分 AF
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▪ 9．△ABC中，∠A＝62°，O是边AB和边BC的垂直平分线 的交点，28那° 么∠BCO＝__________.
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10．【内蒙古通辽中考】如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 A 和点 C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点；②作直线
B．50° D．70°
6
3．已知 D 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 BD＝8，∠B＝15°，则点 A 到 BD 的距离是______4____.
4．在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂 a
直平分线交于点 O，则点 O 到点 A 的距离为___2_______.
3
知识点 2 线段垂直平分线的尺规作图法 (1)分别以已知线段 AB 两端点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于 C、 D 两点． (2)作直线 CD，则直线 CD 为线段 AB 的垂直平分线．
4
基础过关
▪ 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个D 三角形的
()
▪ A．三条高的交点
2
▪ 分析：延长CP交AB于点E，易证CE⊥AB，从而可得∠BCP 的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠DPC的度 数解．答：延长 CP 交 AB 于点 E.由△ABC 为等边三角形，可知 CA＝CB．∵PA＝
PB，∴CE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠BCE＝12∠ACB＝30°.∵PC＝PB，∴∠PBC＝∠ BCE＝30°.∵BP＝BD，∴∠BDP＝12×(180°－30°)＝75°.又∵∠BDP 为△PDC 的外 角，∴∠DPC＝∠BDP－∠DCP＝75°－30°＝45°.

二、填空题
11、等腰三角形的一个内角是100°，则其底角是；
12、在△ABC中，AB=AC，则△ABC的对称轴是；
13、如图，在等边△ABC中，点D为AB的中点，DE⊥BC于E，若BE=2，则CE=；
14、如图，AB∥CD，∠A=45°，且OC=OE，则∠C的度数为；
15、已知点A关于x轴的对称点为B（m，3），关于y轴的对称点为（2，n），那么m+n=；
[教学说明]学生先独立思考完成 , 然后交流 , 说出做法并解释作图的理由.
三.运用新知 , 深化理解
1.如以下图 , 已知 : 在△ABC中 , AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证 : 点P在AC的垂直平分线上.
证明 : P是AB、BC边上的垂直平分线 ,
∴AP=BP,BP=CP ,
∴AP=CP ,
本节课通过推理证明了〞到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点 , 及三角形三条边的垂直平分线交于一点〞的结论 , 并能根据此结论〞已知等腰三角形的底和底边的高 , 求作等腰三角形〞．
五.教学板书
布置作业:教材〞习题1.8”中第1、2 题.
让学生动手画出符合要求的三角形 , 训练他们的作图技能 , 要注意提醒学生准确使用直尺和圆规 , 规范作图.
4、在平面直角坐标系中，点（-2，-4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. （-2，4） B. （2，-4） C. （2，4） D. （-2，-4）
5、在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. （2，-5） B. （-2，-5） C. （2，4） D. （-2，5）
6、已知等腰三角形两边的长分别是4和10，则此三角形的周长是（ ）

解：同理得∠M＝40°.
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(3)你发现了怎样的规律？试证明；
解：规律是：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相
交所成的锐角等于顶角的一半，
证明：设∠A＝α，
则有∠B＝12(180°－α)． ∠M＝90°－12(180°－α)＝12α.
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(4)将(1)中的∠A 改为钝角，(3)中的规律仍成立吗？若不成立， 应怎样修改．
第一章 三角形的证明
3．线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边垂直平分线的性质
1
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2
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学点一 三角形三边垂直平分线的性质
三角形三边垂直平分线的交点到 三三个个顶顶点点 的距离相等．
3
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如图，某公园的三个出口 A、B、C 构成△ABC，想要 在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等，则公
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解：如图，连接 BD，CD. 由题意：DA＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DBC＝∠DCB，∠DAC＝∠DCA， ∵∠AEC＝3∠BAE＝3α，∠AEC＝∠BAE＋∠ABE， ∴∠ABE＝2α， ∴∠DAB＝∠DBA＝∠DBC＝∠DCB＝α， ∴∠EAC＝12(180°－4α)＝90°－2α.
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5．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，∠A＝40°.
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(1)求∠M 的度数；
解：∵∠B＝12(180°－∠A)＝70°， ∵MN 垂直平分 AB， ∴∠BNM＝90°，,∴∠M＝20°.
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(2)若将∠A 的度数改为 80°，其余条件不变，再求∠M 的大 小；
A．AC、BC 两边高线的交点处

如图，在△ABC中,点O是AB,BC的垂直平分线 的交点.
（1）此三角形是什么三角形？并说明理由。
（2）若AO=2,求BO,CO的长。 （3）若CAB 62 ，则OCB 的度数是多少？
A
O
C
B
选 做 题 2 探究三角形三边中垂线性质
有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市准备共建 一个污水处理厂M,使该厂到B，C两城市距离相等，且使 A市到该厂的管线最短，试用尺规作图确定污水处理厂M 的位置
检 查 预 习 1 探究三角形三边中垂线性质 1、 三人一组，其中两人分别剪一个直角三角
形、锐角三角形的纸片。
2、第三个人在稿纸上画一个钝角三角形，再剪 一个三角形纸片。
发现新知 1 探究三角形三边中垂线性质
➢ 有纸片同学通过折叠描出每条边的垂直 平分线，观察这三条垂直平分线,你发 现了什么?
➢ 利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直 平分线.观察这三条垂直平分线,你发现 了什么?
课外作业
小练P8 大练P15能力提升T2，T3,T4,T5,T6 选做T7
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相 应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵 循的原则.
读书当将破万卷；求知不叫一疑存。读书之法，在循序而渐进，熟读而精思，喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻 善名。有时间读书，有时间又有书读，这是幸福；没有时间读书，有时间又没书读，这是苦恼。不读书的人，思想就会停止。读书时要深 就可能人云亦云，沦为书本的奴隶；或者走马看花，所获甚微。为乐趣而读书。立身以立学为先，立学以读书为本读书而不能运用，则所 可以培养一个完人，谈话可以训练一个敏捷的人，而写作则可造就一个准确的人。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。养心 书。身边永远要着铅笔和笔记本，读书和谈话时碰到的一切美妙的地方和话语都把它记下来。凿壁偷光，聚萤作囊；在读书上，数量并不 的品质与所引起的思索的程度。劳于读书，逸于作文。、没有比读书更廉价的娱乐，更持久的满足了。从来没有人为了读书而读书，只有 发现自己，或检查自己。不怕读得少，只怕记不牢。莫等闲，白了少年头，空悲切！书籍是培育我们的良师，无需鞭答和根打，不用言语 不拘形式，对图书倾注的爱，就是对才智的爱。熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。书到精绝潜心读；文穷情理放声吟读万卷书，行万里 可以医愚。如果把生活比喻为创作的意境，那么阅读就像阳光。书籍是少年的食物，它使老年人快乐，也是繁荣的装饰和危难的避难所， 快乐的种子，在外也不致成为障碍物，但在旅行之际，却是夜间的伴侣。读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。饭可以一日不 书不可以一日不读。、读过一本好书，像交了一个益友。读书有三到，谓心到，眼到，口到立身以立学为先，立学以读书为本。读书而不 化。为中华之崛起而读书。来书籍是在时代的波涛中航行的思想之船，它小心翼翼地把珍贵的货物运送给一代又一代。书籍是最好的朋友 难的时候，你都可以向它求助，它永远不会背弃你。1、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。有些事情本身我们无法控制，只 像大树一样，被砍了，还能再长；也要像杂草一样，虽让人践踏，但还能勇敢地活下去。人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而 应该更大胆、更积极地向不幸挑战！一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。志在山顶的人，不会贪念山腰的风景。当一个人先从自己的内 有价值的人。旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。强者向人们揭示的是确认人生的价值，弱者向人们揭示的却是对人生的怀疑。不 这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。成功源于不懈的努力。积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。对的，坚 的路总是为有信心的人预备着。这社会你改变不了就得适应，适应不了就得被淘汰！这叫适者生存！宁愿跑起来被拌倒无数次，也不愿规 跌倒也要豪迈的笑。没有伞的孩子必须努力奔跑。你不勇敢，没人替你坚强。态度决定一切，实力捍卫尊严！人要经得起诱惑耐得住寂寞 宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥有一切宇宙智慧 弃者绝不会成功。人生不售来回票，一旦动身，绝不能复返。自己要先看得起自己，别人才会看得起你。即使爬到最高的山上，一次也只 人生的光荣，不在于永不言败，而在于能够屡扑屡起。——拿破仑游手好闲的人最没有空闲不经风雨，长不成大树；不受百炼，难以成钢 于你自己。人的一生，是很短的，短暂的岁月要求我好好领会生活的进程……攀登顶峰，这种奋斗的本身就足以充实人的心。人们必须相 老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。大鹏一日同风起，扶摇直上九万里。不会宽容人的人，是不配受到别人的宽容的。不经过本 到自己的目的，任何外来的帮助也不能代替本身的努力。子女中那种得不到遗产继承权的幼子，常常会通过自身奋斗获得好的发展。而坐 大业。明日复明日，明日何其多！日日待明日，万事成蹉跎。世人皆被明日累，明日无穷老将至。晨昏滚滚水东流。今古悠悠日西坠。百 我《明日歌》我希望你照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。百金买骏马，千金买美人；万金买高爵，何处 量的工作要做，否则他不可能从懒散空闲中得到乐趣。如果我们以为只有野心和爱情这类强烈的激情才能抑制其他情感，那就错了。懒惰 把我们征服：它渗透进生活中一切目标和行为，时钟随着指针的移动滴答在响：“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时 的军官。，所以当你百无聊赖，胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马；你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是 的作用。沧海可填山可移，男儿志气当如斯。从来便没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己。任何人都应 性，不然就是奴才。但自尊不是轻人，自信不是自满，独立不是弧立。三更灯火五更鸡，正是男儿发愤时。黑发不知勤学早，白首方悔读 笑凌骇浪济川舟。富贵不淫贫贱乐，男儿到此是豪雄。滴自己的汗，吃自己的饭。自己的事情自己干，靠人靠天靠祖上，不算是好汉。你 不可为一些芝麻小事在那儿大惊小怪。你知道，弱者在这世界上是不好过日子的。真正的敏捷是一件很有价值的事。因为时间是衡量事业 货物的标准时间是一位可爱的恋人，对你是多么的爱慕倾心，每分每秒都在叮嘱；劳动创造别虚度了一生。与善人居，如入兰芷之室，久 如入鲍鱼之肆，久而不闻其。光勤劳是不够的，蚂蚁也非常勤劳。你在勤劳些什么呢？有两种过错是基本的，其他一切过错都由此而生： 破青春的华丽精致，会把平行线刻上美人的额角，会吃掉稀世珍宝，天生丽质，什么都逃不过他横扫的镰刀。人，只要有一种信念，有所 受，什么环境也都能适应。我年轻时注意到，我每做十件事有九件不成功，于是我就十倍地去努力干下去。滴自己的汗，吃自己的饭。自 靠天靠祖上，不算是好汉。”天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物。古今中外，凡成就事业，对人类有所作为的人，无一不 结

第2课时 三角形三边的垂直平分线
北师版八年级数学下册
新课导入
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
三条边的垂直平分
线交于一点P
P
新课探究
例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线
相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相
等. 已知：如图，在△ABC
A
中，边 AB 的垂直平分线与边
BC 的垂直平分线相交于点 P.
B
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
A
D
C
做一做
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂
线，使它经过点 P.
m
A
P
l B
你明白这个作法吗？
议一议
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用 尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的 作法，并与同伴交流. m
P
A
D
= AC + BC = 27 + BC
E
= 50.
B
C
所以 BC = 23 .
2. 分别作出直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分 别在什么位置.
在三角形内 在斜边中点 在三角形外
3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请 找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
这是个等腰直角三角形
5. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是
BC边一上的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于
O.
求证：OA = OB = OC.
A
O
B DC
证明：∵AB = AC，