(安徽专用)2020年高考数学总复习 第八章第6课时 椭圆随堂检测(含解析)

教学资料参考范本【精品】2019-2020年度最新人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1．设0≤α<2π，若方程x2sin α－y2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.∪B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π4 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为＋＝1， ∴－>>0，故选C.2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x±3y＝0B ．3x±4y＝0C ．4x±5y＝0D ．5x±4y＝0[答案] A[解析] 由题意知双曲线C 的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a ＝3，c ＝5，∴b＝＝4，∴渐近线方程为y ＝±x ，即4x ±3y ＝0.(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x 的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [答案] B[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c<b，从而c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴0<e<，故选B.4．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )A. B. C.D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，。

第八章第6课时椭圆课时闯关(含解析)• b = a — c =-J 3,x 轴上， 2 2 x y—+ — = 14十3.2 222x y B.2x + 3y = n(m>0)?+ = 1, m m2 3c c2 =c ,• e =-=—22，将b =c 代入可得 e =.a也 + c222 24•已知椭圆x2+首=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+ y 2 — 6x + 8= 0的圆心，且短轴长为a b椭圆的左顶点为( )A. ( — 3,0) B . ( — 4,0) C. ( — 10,0)D. ( — 5,0)解析：选D. •••圆的标准方程为(x — 3)2+ y 2= 1 , •圆心坐标为(3,0) , • c = 3,又b = 4, • a = J b + c 2 = 5.、选择题 1已知椭圆的一个焦点为 F (1,0)，离心率1e=2, 则椭圆的标准方程为()2X 2 A . ? + y = 1 2 2 C x_+ y_= 1 C.4 + 3 =1 22yB . x +专=12 2用Xr 1解析：选C.由题意，c = 1, e =c _1 a =2 •- a = 2, 又椭圆的焦点在 2. (2020 1A .3 C虚.2 -成都质检)已知椭圆的方程为 2x 22 . . + 3y = m m>0)，则此椭圆的离心率为(B 並B. 3 1 D.— 2•••椭圆的方程为 解析：选 m • C= 2 - • e=f .故选 B.3.在一椭圆中以焦点e 等于(1A.— 2应.2 解析：选m m 21——— * a ——3 = 6，…= 3,F i 、 B. ：•以椭圆焦点F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则此椭圆的离心率a 亚B.——2D -5 2F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，•椭圆满足8,则•••椭圆的焦点在x轴上，•椭圆的左顶点为(一5,0).5. 已知圆(x+ 2)2+ y2= 36的圆心为M设A为圆上任一点，N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA 于点P,则动点P 的轨迹是( ) A.圆B .椭圆 C.双曲线D.抛物线解析：选B.点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故| PA T PN .又AM 是圆的半径，••• I PM +1 PN =丨PM +1 PA =丨AM = 6>|MN ，由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆. 二、填空题 6. ______________________ 已知椭圆C 的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(一4,0)和(4,0)，且经过点(5,0), 则该椭圆的方程为 .解析：由题意，c = 4,且椭圆焦点在x 轴上，2 2 2 •••椭圆过点(5,0) .••• a = 5,• b = a - c = 9.2 2 •椭圆方程为务+y = 1.2 2答案：25+ 9= 12 2x y 、”7. 已知椭圆1的焦点分别是F 1, F 2, P 是椭圆上一点，右连接16 25能构成直角三角形，则点 P 到y 轴的距离是 _________ . 解析：F 1(0，- 3) , F 2(0,3)，: 3<4,FF 2P = 90° 或/ F 2FP = 90°.16 设P (x, 3)，代入椭圆方程得 x =±严. 5即点P 到y 轴的距离是罟. &如图Rt △ ABC 中, AB= AC= 1,以点C 为一个焦点作一个椭圆，使 这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上，且这个椭圆过 A 、B 两点，则这个 椭圆的焦距长为 _______________ . 解析：设另一焦点为 D,则由定义可知. AC F AD= 2a , AC + AE + BC= 4a ,又••• AC= 1,「. BC= 2 ,• a =扌+^. • AD=¥. 在Rt △ ACC 中焦距CD=三、解答题9•已知椭圆的两焦点为 F 1( — 1,0)、F 2(1,0) , P 为椭圆上一点，且 2I F 1F 2I = |PF | + |P 冋.(1)求此椭圆的方程；⑵ 若点P 在第二象限，/ F 2F 1P = 120°,求厶PFF 2的面积.解: (1)依题意得 | F 1F 2I = 2, 又 2| F 1F 2I =| PF | + | PFF , • I PF | + | PF | = 4 = 2a .2• a = 2, c = 1, b = 3.2 2•所求椭圆的方程为x + y = 1.4 3⑵ 设P 点坐标为(x ,y ) ,•••/ F2FP = 120°, • PF 所在直线的方程为 y = (x +1) • tan 120°,F l , F 2, P 三点恰好答案: 16~5X 1+ X 2-X 0 =2m my , y 0= x °+ m= 3.•••点 2 2MX 0, y °)在圆 x + y = 1 上,2m 2 m 2+ - 3 3m=±3 .5511. (2020 •高考课标全国卷)设R 、F 2分别是椭圆22yE ： x + b = 1(0<b <1)的左、右焦点，过F 的直线l 与E 相交于 A B 两点，且|AF | , |AB , | BF |成等差数列. (1)求 I AB ；⑵若直线l 的斜率为1，求b 的值.解：(1)由椭圆定义知|A 冋+ |AB + | B 冋=4,f 4又 2| AB =| AR| + | BR|，得 | AB = §.即 y =— ,：3(x + 1).y =— '3x + 1=i ,并注意到x <0, y >0,x =—••• S A PFF 2= 2厅冋•羊=攀10.已知椭圆 C ： a 2+ £= 1(a >b >o )的离心率为-2，其中左焦点 F ( — 2,0). (1) 求椭圆C 的方程；2 2(2) 若直线y = x + m 与椭圆C 交于不同的两点 A , B,且线段AB 的中点M 在圆x + y = 1上, 求m 的值.c = a 2，c = 2,2 2,2a =b +c .a = 2 远,解得b = 2.2 2•椭圆C 的方程为x+七=1.⑵ 设点A B 的坐标分别为(X 1, y 1) , (X 2, y 2), 线段AB 的中点为 Mx °, y 。

高三数学一轮复习 8.6 椭圆课时训练解析 新人教A 版(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由题意知a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15解析：由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．答案：B3．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m＋y 21n＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之，若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C4．(2011·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：由x 2＋y 2－2x －15＝0， 知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1.答案：A5．若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )A ．[14，13]B ．[13，12]C ．(13，1)D ．[13，1)解析：设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.答案：D6．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是____________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 9．(2010·湖北高考)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________，直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆C 的公共点个数为________．解析：依题意得点P 位于椭圆C 的内部(异于原点O )，因此有|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＜2a ，即22－1≤|PF 1|＋|PF 1|＜22，2≤|PF 1|＋|PF 2|＜22，|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)；依题意，可考虑取特殊点P (－1,0)，相应的直线为x ＝－2，显然该直线与椭圆没有公共点，即直线x 0x2＋y 0y ＝1与椭圆的公共点的个数为0.答案：[2,2 2 ) 0三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，是否存在实数m ，使直线l 与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，使|AM |＝|AN |，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2＝1，设右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式，得|c ＋22|2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝3，∴所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，∴4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－3m2，x 1·x 2＝3m 2－14，∴y 1＋y 2＝m2.∵|AM |＝|AN |，∴x 21＋y 1＋12＝x 22＋y 2＋12∴－3m 2＝－(m2＋2)， ∴m ＝2，此时判别式Δ＝0，∴满足条件的m 的值不存在．11．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶3，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4. 因为MP ＝(x －m ，y )，所以|MP |2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12·(1－x 216)＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2.因为当|MP |最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当x ＝4时，|MP |2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，所以－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是[1,4]．12．(2010·全国新课标)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c, 其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1.化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2.因为直线AB 斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝ 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |得k PN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.。

第八章⎪⎪⎪平面解析几何第六节椭__圆1．椭圆的定义平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是线段； (3)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质x ∈[－a ，a ] x ∈[－b ，b ]， 1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22 D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，若该椭圆的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得，m 2＜16，因为m ＞0，所以0＜m ＜4.故实数m 的取值范围为(0,4)． 答案：(0,4)3．(教材习题改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1， 所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1， 把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， ∴点P 坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－11．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，|x |≤a ，|y |≤b ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 当m ＞4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0＜m ＜4时，4－m ＝1， ∴m ＝3，故m 的值为5或3.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝4－3＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2， 则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94， 所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3， 故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.考点一 椭圆的标准方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时， b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1[谨记通法]求椭圆标准方程的 2种常用方法[典例引领]1．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12解析：选C 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12.2．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74C.72D.752解析：选C 由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8. ∴|AF 1|＝72.∴△AF 1F 2的面积 S ＝12×72×22×22＝72.[由题悟法]椭圆定义的应用技巧1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．(2018·永康适应性测试)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且△PF 1F 2的周长为6，则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由F 1(－1,0)，F 2(1,0)，△PF 1F 2的周长为6，得|PF 1|＋|PF 2|＝4＞|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是F 1，F 2为焦点的椭圆(不包括左右顶点)．∵2a ＝4，c ＝1，∴a ＝2，b ＝3，∴轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点三 椭圆的几何性质(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角度有： (1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围1．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1， 所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2．椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则m 的最大值为________．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时等号成立，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. 答案：25[通法在握]1．应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．[演练冲关]1．(2018·瑞安期末)已知椭圆x 2a 2＋y 212＝1(a ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该椭圆的离心率为( )A.14B.12C.32D.34解析：选B 由题可得，抛物线的焦点坐标为(2,0)，所以a 2＝12＋4＝16，所以a ＝4，所以离心率e ＝c a ＝24＝12.2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为椭圆的右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 由题意，可设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 因为在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|＝b 2a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝60°， 所以2acb 2＝ 3. 又因为b 2＝a 2－c 2，所以3c 2＋2ac －3a 2＝0， 即3e 2＋2e －3＝0， 解得e ＝33或e ＝－3， 又因为e ∈(0,1)，所以e ＝33. 3．(2018·温州十校联考)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]， ∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22. 答案：⎣⎡⎦⎤33，22考点四 直线与椭圆的位置关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·浙江名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为12，直线y ＝1与C 的两个交点间的距离为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过F 1，F 2作l 1，l 2满足l 1∥l 2，设l 1，l 2与C 的上半部分分别交于A ，B 两点，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．解：(1)易知椭圆过点⎝⎛⎭⎫263，1，所以83a 2＋1b 2＝1，①又c a ＝12，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设直线l 1：x ＝my －1，它与椭圆C 的另一个交点为D . 与椭圆C 的方程联立，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 则Δ＝144(m 2＋1)＞0， |AD |＝1＋m 2·121＋m 23m 2＋4，又F 2到l 1的距离为d ＝21＋m2， 所以S △ADF 2＝12×|AD |×d ＝121＋m 23m 2＋4.令t ＝1＋m 2≥1，则S △ADF 2＝123t ＋1t ，因为y ＝3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，S △ADF 2取得最大值3. 又S 四边形ABF 2F 1＝12()|BF 2|＋|AF 1|·d＝12(|AF 1|＋|DF 1|)·d ＝12|AB |·d ＝S △ADF 2， 所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3.[由题悟法]1．直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法(2017·浙江新高考联盟)椭圆C 1 ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点与抛物线C 2 ：y 2＝2px (p＞0)的焦点重合， 曲线C 1与C 2相交于点⎝⎛⎭⎫23，263.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过右焦点F 2的直线l (与x 轴不重合)与椭圆C 1交于A ，C 两点，线段AC 的中点为G ，连接OG 并延长交椭圆C 1于B 点(O 为坐标原点)，求四边形OABC 的面积S 的最小值．解：(1)∵点⎝⎛⎭⎫23，263在y 2＝2px 上， ∴249＝2×p ×23，解得p ＝2， ∴椭圆C 1的右焦点为(1,0)，∴⎩⎨⎧a 2－b 2＝1，49a 2＋249b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AC 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1消去x ，整理得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2.由弦长公式可得|AC |＝1＋m 2·|y 1－y 2| ＝1＋m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 4＋3m 22＋4×94＋3m 2＝1＋m 2·12·1＋m 24＋3m 2＝12(1＋m 2)4＋3m 2.由中点坐标公式可知，y 0＝－3m4＋3m 2，x 0＝my 0＋1＝44＋3m 2∴G ⎝⎛⎭⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2.∴直线OG 的方程为y ＝－3m 4x ，代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝164＋3m 2，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫44＋3m 2，－3m 4＋3m 2，故B 到直线AC 的距离d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪44＋3m 2＋3m 24＋3m 2－11＋m 2＝4＋3m 2－11＋m 2，O 到直线AC 的距离d 2＝11＋m 2， ∴S ＝12·|AC |·(d 1＋d 2)＝12·12(1＋m 2)4＋3m 2·4＋3m 21＋m 2＝6×1＋m 24＋3m 2＝613－13(4＋3m 2)≥3，当且仅当m ＝0时取得最小值．综上所述，四边形OABC 的面积S 的最小值是3.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“2＜m ＜6”是“方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆．则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4.故“2＜m ＜6”是“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．(2019·湖州一中月考)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 24＝1 B.x 225＋y 24＝1C.y 220＋x 24＝1 D.x 24＋y 225＝1解析：选C 法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，故c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝25， 由c 2＝a 2－b 2，得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1，故选C.法二：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k ＜9)，将点(3，－5)的坐标代入可得525－k ＋39－k＝1，解得k ＝5或k ＝21(舍)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1，故选C.3．(2019·丽水质检)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( )A.43 B ．1 C.45D.34解析：选D 法一：不妨设点A 在点B 上方，由题意知F 2(1，0)，将F 2的横坐标代入方程x 24＋y 23＝1中，可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)．故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，而△ABF 1的周长C 周＝4a ＝8，由S △ABF 1＝12C 周·r 得r ＝34，故选D.4．(2018·长兴中学适应测试)已知椭圆C ：y 216＋x 29＝1，则该椭圆的长轴长为________；焦点坐标为________．解析：长轴长为2a ＝8，c 2＝16－9＝7，所以c ＝7，所以焦点坐标为(0，－7)和(0，7)． 答案：8 (0，－7)和(0，7)5．(2018·宁波五校联考)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________；离心率为________．解析：因为椭圆的左焦点为F 1(－4,0)，所以25－m 2＝42，解得m ＝3.所以离心率为e ＝ca ＝45. 答案：345二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·丽水高三质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＝b 在第一象限交于点P ，若直线OP 的倾斜角为30°，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.33C.63D.23解析：选B 由题意可得P ⎝⎛⎭⎫b ，bca ，因为直线OP 的倾斜角为30°，所以bc ab ＝c a ＝tan 30°，所以e ＝33.故选B. 2．(2018·东阳调研)椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则b a 的值为( ) A.32B.233C.932D.2327解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1， 两式相减得ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，即b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1，∴b a ＝233，故选B.3．(2019·德阳模拟)设点P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，如果|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：选C ∵点P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝8. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴△PF 1F 2是直角三角形， S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，∵△PF 1F 2的重心为G ， ∴S △PF 1F 2＝3S △GPF 1， ∴△GPF 1的面积为8，故选C.4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．5.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝1解析：选B 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．(2018·达州模拟)以圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点为焦点，以抛物线y 2＝10x 的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是( )A.15B.25C.45D.110解析：选C 根据题意，圆x 2＋y 2＝4与x 轴的交点为(±2,0)，抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，即椭圆的焦点为(±2,0)，椭圆的一个顶点为⎝⎛⎭⎫52，0，则椭圆中c ＝2，a ＝52，则椭圆的离心率e ＝c a ＝252＝45.7．(2019·温州模拟)设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________________．解析：由题意知|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|， ①又由椭圆的定义知|AF 2|＋|AF 1|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ②联立①②，解得|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝43a ，|AF 1|＝|BF 1|＝23a ，所以S△F 2AB ＝12|AB |·|AF 2|sin 60°＝43，所以a ＝3，|F 1F 2|＝32|AB |＝23，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.答案：x 29＋y 26＝18．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：39．(2018·新乡一模)已知直线l ：y ＝2x －2与椭圆Ω：x 24m 2＋y 2m 2＝1(m ≠0)交于A ，B 两点．(1)求Ω的离心率；(2)若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点，求Ω的方程及圆C 的标准方程． 解：(1)e ＝1－b 2a2＝ 1－m 24m2＝ 1－14＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 24m 2＋y 2m 2＝1，得17x 2－32x ＋16－4m 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝322－68(16－4m 2)＞0， x 1＋x 2＝3217，x 1x 2＝16－4m 217.由已知得OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋4(x 1－1)(x 2－1)＝5x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋4＝0， 即5×16－4m 217－4×3217＋4＝0，解得m 2＝1，且满足Δ＝322－68(16－4m 2)＞0， 故Ω的方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝1617，y 0＝2(x 0－1)＝－217. 由x 1x 2＝16－4m 217＝1217，得|AB |＝1＋22·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46517. 故圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22， 即⎝⎛⎭⎫x －16172＋⎝⎛⎭⎫y ＋2172＝260289. 10．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程．(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q |，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4 . 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·绍兴一中质检)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，55 B.⎝⎛⎦⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎤0，355D.⎝⎛⎦⎤0，455解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2. 设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45， 解得0＜e ≤255.2.(2018·杭州模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫2，22.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l ，与该椭圆交于P ，Q 两点，直线OP ，P Q ，O Q 的斜率依次为k 1，k (k ≠0)，k 2，满足k 1,2k ，k 2依次成等差数列，求△OP Q 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧c a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为 y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.因为k 1,2k ，k 2依次成等差数列， 所以k 1＋k 2＝4k ，即y 1x 1＋y 2x 2＝4k ，所以m (x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ，即m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 24(m 2－1)1＋4k 2＝2k ，解得m 2＝12. 所以|P Q |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4(m 2－1)1＋4k 2＝1＋k 2·216k 2＋21＋4k 2，O 到直线P Q 的距离d ＝12＋2k 2， 所以S △OP Q ＝12·d ·|P Q |＝8k 2＋14k 2＋1.令8k 2＋1＝t ，t ＞1， 则S △OP Q ＝t t 2－12＋1＝2t ＋1t ，因为t ＞1时，t ＋1t ＞2，所以0＜2t ＋1t ＜1，所以△OP Q 面积的取值范围为(0,1)．。

教学资料范本2020】人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案编辑： ________________时间： ________________、选择题轴上的椭圆，则 α 的取值范围是 （B. π2，34π3π 3πD. 34π，3π2[ 答案 ]（ 附参考答案 ）1．设 0≤α <2π，若方程 x2sin α－ y2cos α＝ 1 表示焦点在 yA.∪ C. [ 解析 ] 化为＋＝ 1，∴－ >>0，故选 C.2．（文）（20xx ·瑞安中学 ） 已知双曲线 C 的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝ 1 的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为 （）A ．4x ±3y ＝ 0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0 [ 答案 ] AD ．5x ±4y ＝0[ 解析] 由题意知双曲线 C 的焦点（ ±5,0） ，顶点（ ±3， 0） ，∴a ＝3，c ＝5，∴ b ＝＝4，∴渐近线方程为 y ＝± x ，即 4x ±3y ＝0.（ 理 ）（20xx ·广东中山 ） 若椭圆＋＝ 且与双曲线 x2－y2＝1，有相同的焦点， 1 过抛物线y2 ＝ 8x 的焦点，则该椭圆的方程是 A. ＋＝1 B.＋y2＝1C.＋＝1D ．x2＋＝12|PF1| ·|PF2| ·cos60°＝ |F1F2|2.又|PF1| ＋|PF2| ＝20，代入化简得 |PF1| ·|PF2| ＝， ∴S △F1PF2＝|PF1|·|PF2| ·sin60[ 答案 ] A[ 解析 ] 抛物线 y2＝8x 的焦点坐标为 (2,0) ，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为 (2,0) ，又椭圆与双曲线 x2－y2＝1 有相同的焦∴a ＝2，c ＝，∵c2＝a2－b2，∴ b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝ 1.3．分别过椭圆＋＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点 F1、 F2 作两条互相垂直的直线 l1 、 l2 ，它们的交点在椭圆的内部， 则椭圆的离心率的 取值范围是 (A ．(0,1) B. 0，22C. D. 0，[ 答案 ][ 解析 ] 依题意，结合图形可知以 F1F2 为直径的圆在椭圆的内部，∴ c<b ， 从而 c2<b2＝a2－c2，a2>2c2，即 e2＝<，又∵ e>0， ∴0<e<，故选 B.4．椭圆＋＝ 1 的焦点为F1、F2，椭圆上的点 P 满足∠ F1PF2＝60°，则△ F1PF2的面积是 (A. B. C. D.634 [ 答案 ] A [ 解 析 ] 由 余弦定 理 ： |PF1|2 ＋ |PF2|25．（20xx ·××市模拟）若椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，则双曲线－＝ 1 的渐近线方程为（）A．y＝± x B．y＝± 2xC．y＝± 4x D．y＝±x[ 答案] A[ 解析] ∵由椭圆的离心率e＝＝，∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝± x，选 A.6．（文）（20xx ·××市模考）已知椭圆 E 的短轴长为6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆 E 的离心率等于（）A. B.C. D.455[ 答案] A[ 解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9 或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝（a ＋c）（a －c）＝36，故，∴，∴ e＝＝.（理）（20xx ·北京崇文区）已知点F，A 分别是椭圆＋＝1（a>b>0）的左焦点、右顶点，B（0，b）满足·＝0，则椭圆的离心率等于（A.C.D.5＋12[ 答案] B[ 解析] ∵＝（c ，b），＝（－a，b），·＝0，∴－ac＋b2＝0，∵ b2＝a2－c2，∴ a2－ac－c2＝0，∴ e2＋e－1＝0，1D. 0，12C.[ 答案] C[解析] 点B的横坐标是c，故B的坐标，已知k∈，∴ B. 斜率k＝＝＝＝.由<k<，解得<e<.（理）（20xx ·宁波余姚）如果AB 是椭圆＋＝ 1 的任意一条与x 轴不垂直的弦，O为椭圆的中心， e 为椭圆的离心率，M 为AB的中点，则kAB·kOM的值为（）A．e－1 B．1－eC．e2－ 1 D．1－e2[ 答案] C[ 解析] 设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴ kAB· kOM＝·＝＝＝e2－1.故选 C.二、填空题11．（文）过椭圆C：＋＝1（a>b>0）的一个顶点作圆x2＋y2＝b2 的两条切线，切点分别为A，B，若∠ AOB＝90°（O 为坐标原点），则椭圆C的离心率为．[ 答案] 2[ 解析] 因为∠ AOB＝90°，所以∠ AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.（理）（20xx ·××市模拟）若椭圆＋＝1（a>b>0）与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是．[ 答案] 0，2∴＝c＝ 2 3∴ c＝2∴椭圆 C 的焦距为4(2) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2)由题可知y1<0，y2>0 直线l 的方程为y＝(x －2)由消去x 得，(3a2 ＋b2)y2 ＋4b2y－3b2(a2－4) ＝0 由韦达定理可得错误!∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得③2得＝· 错误!④又a2＝b2＋ 4 ⑥由⑤⑥解得a2＝9 b2＝ 5 ∴椭圆 C 的方程为＋＝ 1.17．(文)(20xx ·安徽文)椭圆E经过点A(2,3) ，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e＝.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 求∠ F1AF2的角平分线所在直线的方程．[ 解析] (1) 由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)∵ e＝，即＝，∴ a＝2c又b2＝a2－c2＝3c2∴椭圆方程为＋＝ 1. 又∵椭圆过点A(2,3) ∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝ 1.(2) 法一：由(1) 知F1(－2,0) ，F2(2,0) ，∴直线AF1的方程y＝(x ＋2) ，即3x－4y＋6＝0，联立消去 y 得（1 ＋3k2）x2 －6k （k －1）x ＋3k2－6k －1＝0 ∵点 A （1,1） 在椭圆上∵直线 AC 、AD 倾斜角互补∴ AD 的方程为 y ＝－ k （x －1）＋1 又 yC ＝k （xC － 1） ＋ 1，yD ＝－ k （xD －1） ＋1 yC －yD ＝k （xC ＋xD ）－2k1所以 kCD ＝＝ 13即直线 CD 的斜率为定值 .xC ＝ 3k2－6k －1 3k2＋1同理 xD ＝ 3k2＋6k －13k2＋1。

8—5 椭圆课时规范练A组基础对点练1．（2018·长春质检)已知椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为( C ) A．4 B。

6C．8 D.162．（2018·武汉调研)曲线C1：错误!＋错误!与曲线C2：错误!＋错误!＝1(0〈k<9)的( D )A．长轴长相等B。

短轴长相等C．离心率相等 D.焦距相等解析：因为0<k〈9，所以25－k>9－k>0,所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2,则c2，2＝a22－b错误!＝25－k－(9－k）＝16。

曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1,短半轴长为b1，半焦距为c1，则c错误!＝a错误!－b错误!＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等,故选D。

3．若对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆错误!＋错误!＝1恒有公共点,则实数m的取值范围是（ C ）A．(1,2] B.[1，2）C．[1,2）∪（2，＋∞) D.［1，＋∞)4．(2017·高考浙江卷)椭圆错误!＋错误!＝1的离心率是（ B )A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!5．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝错误!,且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合,则此椭圆方程为（ A ）A。

x24＋错误!＝1 B.错误!＋错误!＝1C.错误!＋y2＝1 D。

错误!＋y2＝16．若椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的右焦点F是抛物线y2＝4x的焦点，两曲线的一个交点为P，且|PF｜＝4，则该椭圆的离心率为( A ) A。

错误! B.错误!C。

23D。

127．已知椭圆错误!＋错误!＝1，其中α∈错误!,则椭圆形状最圆时的方程为（ A ）A．x2＋错误!＝1 B。

x2＋错误!＝1C．x2＋错误!＝1 D.x2＋错误!＝18．若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__（0,1）__．9．（2018·福州质量)在三角形MAB中，点A（－1,0），B（1，0)，且它的周长为6,记点M的轨迹为曲线E。

2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.5椭圆课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 年浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B ．53C.23D ．59解析：由椭圆方程，得a 2＝9，b 2＝4.∵c 2＝a 2－b 2＝5，∴a ＝3，c ＝5，e ＝c a ＝53. 答案：B2．(xx 年全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B ．33C.23D ．13解析：∵点A 1，A 2是椭圆的左、右顶点， ∴|A 1A 2|＝2a ，∴以线段A 1A 2为直径的圆可表示为x 2＋y 2＝a 2， 该圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又∵该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，∴圆心(0,0)到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离等于半径， 即|b ·0－a ·0＋2ab |b 2＋－a2＝a ， 整理得a 2＝3b 2.又∵在椭圆中，a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝63，故选A. 答案：A3．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，所以c ＝4，所以两个曲线的焦距相等． 答案：D4．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，即4－x 20＝43y 20.①由题意知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2，所以k 1·k 2＝y 20x 20－4.②由①②得k 1·k 2＝－34.因为k 2∈[－2，－1]，所以k 1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34，故选B. 答案：B5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或 x 225＋y 216＝1 解析：∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∵焦点的位置不确定，∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.答案：B6．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14 B ．13 C.12D ．23解析：如图，由椭圆的性质可知，AB ＝2c ，AC ＝BC ＝a ，OC ＝b ，S △ABC ＝12AB ·OC ＝12·2c ·b ＝bc ，S △ABC ＝12(a ＋a ＋2c )·r ＝12·(2a ＋2c )×b 3＝b a ＋c 3，∴b a ＋c3＝bc ，a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.答案：C7．椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( )A ．2(2＋3)B ．2＋2 3 C.2＋ 3D ．4＋2 3解析：如图，因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|.同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形．由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝ 3.由a 2＝b 2＋c 2，知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝2(3＋2)，选A.答案：A8．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B ．x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D ．x 245＋y 225＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝452－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.答案：B9．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c <b ，即c 2<b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，所以e 2<12，又因为0<e <1，所以0<e <22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2210．(xx 届安徽江南十校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点O 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在第一象限，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，在Rt △POA 中，cos ∠POA＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，34a ，代入椭圆方程得，116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，则c 2a 2＝45，所以离心率e ＝255.答案：25511．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2， 设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b24b2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2，① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1，② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.12.(xx 届河北邯郸质检)如图，已知F 1、F 2是椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)经过左焦点F 1，且与椭圆G 交于A 、B 两点，△ABF 2的周长为4 3.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)是否存在直线l ，使得△ABF 2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆G 的半焦距为c ，因为直线l 与x 轴的交点为(－1,0)，故c ＝1. 又△ABF 2的周长为43，即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝43，故a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2.因此，椭圆G 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)不存在．理由如下：先用反证法证明AB 不可能为底边，即|AF 2|≠|BF 2|. 由题意知F 2(1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设|AF 2|＝|BF 2|， 则x 1－12＋y 21＝x 2－12＋y 22，又x 213＋y 212＝1，x 223＋y 222＝1，代入上式，消去y 21，y 22，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2－6)＝0. 因为直线l 斜率存在，所以直线l 不垂直于x 轴，所以x 1≠x 2，故x 1＋x 2＝6(与x 1≤3，x 2≤3，x 1＋x 2≤23<6，矛盾)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k x ＋1，得(3k 2＋2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝－6k23k 2＋2<6，矛盾．故|AF 2|≠|BF 2|.再证明AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设△ABF 2为等腰直角三角形，不妨设A 为直角顶点． 设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝23－m ，在△AF 1F 2中，由勾股定理得m 2＋(23－m )2＝4，此方程无解． 故不存在这样的等腰直角三角形．[能 力 提 升]1．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：b 2＝2，c ＝a 2－2，故|F 1F 2|＝2a 2－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得cos120°＝42＋2a －42－2a 2－222×4×2a －4＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3，故选B.答案：B2．(xx 届陕西省五校联考)椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△FAB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3. 故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：233．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，e ＝c a ＝63. 解得a ＝2 3. 又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为 y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.4．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →.(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，即m 2－4<2k 2. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2，又由AP →＝2PB →，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m29m 2－4>0，解得49<m 2<4，此时Δ>0.解不等式49<m 2<4，得23<m <2或－2<m <－23， 所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.2019-2020年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(xx 届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(xx 届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(xx 届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝c a＝13.答案：C6．(xx 届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(xx 届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(xx 年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。