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基本不等式题型总结在数学学习中，不等式是一个重要而又常见的概念。
而基本不等式，作为不等式的基础和基本类型，是我们解决更复杂的不等式问题的关键。
本文将对一些常见的基本不等式题型进行总结和探讨，希望能帮助读者更好地掌握和应用这些不等式。
一、根式不等式根式不等式是一种常见的基本不等式题型。
在解决根式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是化简根式表达式，二是确定根式的范围。
以求解不等式$\sqrt{x+1} > 3$为例，可以通过平方两边来消除根式，得到$x+1 > 9$。
然后解得$x > 8$。
但我们需要注意的是，由于根式的非负性质，我们还需要考虑$x+1\geq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > 8$。
二、分式不等式分式不等式是另一类常见的基本不等式题型。
在解决分式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是去分母，二是确定分式的范围。
以求解不等式$\frac{1}{x-2} \geq 2$为例，我们可以通过去分母的方法得到$x-2 \geq \frac{1}{2}$。
然后解得$x \geq\frac{5}{2}$。
但我们需要注意的是，由于分式的定义域，我们需要考虑$x-2\neq 0$的条件。
综合考虑，解集为$x > \frac{5}{2}$。
三、绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的一种特殊类型。
在解决绝对值不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是分情况讨论，二是确定绝对值的范围。
以求解不等式$|2x-1| \leq 3$为例，我们可以分别讨论$2x-1$的正负情况。
当$2x-1\geq 0$时，不等式可以化简为$2x-1 \leq 3$，解得$x \leq 2$。
当$2x-1<0$时，不等式可以化简为$1-2x \leq 3$，解得$x \geq -1$. 综合考虑，解集为$x \in [-1,2]$。
四、幂函数不等式幂函数不等式是一种常见而又稍微复杂的不等式类型。
基本不等式题型20种不等式是数学中重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在解决实际问题和推导数学推论中，不等式起着非常重要的作用。
本文将介绍20种常见的基本不等式题型。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式类型。
例如：解不等式3x+4>10。
解：首先将不等式转化为等式：3x+4=10；然后解方程：3x=6；得到解：x=2。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次函数的不等式形式。
例如：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出一元二次函数的根：(x-2)(x-3)>0；然后画出函数的图像或根据韦达定理判断函数的正负；得到解：x<2或x>3。
三、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
例如：解不等式|2x-3|≥5。
解：将含有绝对值的不等式拆分为两个不等式：2x-3≥5或2x-3≤-5；然后求解这两个不等式得到：x≥4或x≤-1。
四、分式不等式分式不等式是含有分式的不等式。
例如：解不等式(3x-2)/(2x+1)≤1。
解：首先将不等式化简：3x-2≤2x+1；然后解方程：x≤3。
五、根式不等式根式不等式是含有根式的不等式。
例如：解不等式√(x-4)≥2。
解：将不等式平方得：x-4≥4；然后解方程：x≥8。
六、乘法不等式乘法不等式是含有乘法的不等式。
例如：解不等式2x(x-1)≤0。
解：将不等式化简：2x(x-1)≤0；然后求解这个不等式得到：0≤x≤1。
七、除法不等式除法不等式是含有除法的不等式。
例如：解不等式(3x+6)/(x+2)≤4。
解：首先将不等式转化为等式：(3x+6)/(x+2)=4；然后解方程：x=-5；由于分母不能为0，所以解为x<-2或x>-5。
八、加法不等式加法不等式是含有加法的不等式。
例如：解不等式x+2>5。
解：将不等式化简：x>3。
九、减法不等式减法不等式是含有减法的不等式。
例如：解不等式2x-5≥1。
初一数学不等式题型及解题方法
初一数学不等式题型及解题方法
一、不等式的概念
什么是不等式？ 不等式就是用符号表示两个数量或几个数量之间的关系和大小的算术表达式，它一般由“大于、小于、大于等于、小于等于”等符号和“=”符号两部分组成，如：
3x-5 > 6
二、不等式的解题方法
（一）解不等式的共同方法：
1.把不等式的左右两边与右边的数比较：
(1)如果比较时左边的数大于右边的数，则原式为真，所以真不等式的结果是无穷大；
(2)如果比较时左边的数小于右边的数，则原式为假，所以假不等式的结果是无穷小。
2.变形法：
(1)把不等式左边的式子变形，使其变为等式或假不等式，继续上面的比较；
(2)把不等式转化为等式，再求解出等式的解，再进行排除法，排除掉不符合要求的解或将满足要求的解组成结果。
（二）不等式的分类
1.一元一次不等式
一元一次不等式是指x的一次幂不大于1，如：2x-3≤5。
解法：求得x ≤ 4/2，故不等式的解集为 x ≤ 4/2 。
2.一元二次不等式
一元二次不等式是指x的幂不大于2，如：2x2-3x+4≥2。
解法：首先方程的左边式子求得最小值，然后再以最小值与右边比较，确定原式的真假。
3.多元一次不等式
多元一次不等式指的是有一个或多个变量，且变量的幂均不大于1，如：x+2y ≤ 4
解法：先把不等式变成一元一次不等式，然后再求解：先把不等式中的y变量消去，即 x+2y ≤ 4 → x ≤ 4-2y 。
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
不等式题型及解题方法不等式是数学中常见的一种问题，其解题方法也多种多样。
不同的不等式题型需要采用不同的解题方法才能得出正确的答案。
下面将介绍一些常见的不等式题型及其解题方法。
一、一次不等式一次不等式是指只含有一次项的不等式，如：ax + b > c。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 移项，将不等式中的常数项移到右边，将未知数的系数移到左边，得到ax > c - b。
2. 如果a > 0，则解为x > (c - b)/a；如果a < 0，则解为x <(c - b)/a。
二、二次不等式二次不等式是指含有二次项的不等式，如：ax + bx + c > 0。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将不等式化为标准形式，即将常数项移到左边，得到ax + bx + c - 0 > 0。
2. 求出方程的根，即x1和x2，根据二次函数的性质可知，当x < x1或x > x2时，函数值大于0。
3. 根据a的正负性分别讨论，如果a > 0，则解为x < x1或x > x2；如果a < 0，则解为x1 < x < x2。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值的不等式，如：|x - a| > b。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将绝对值拆开，得到x - a > b或x - a < -b。
2. 分别解出不等式两边的未知数，得到x > a + b或x < a - b。
四、分式不等式分式不等式是指不等式中含有分式的不等式，如：(ax + b)/(cx + d) > 0。
解这种不等式可以采用以下步骤：1. 将不等式转化为分子和分母的符号相同的形式，即当分子和分母同为正数或同为负数时，不等式成立。
2. 分别讨论分子和分母的正负性，得到不等式的解集。
以上是一些常见的不等式题型及其解题方法，当然，不同的不等式题型还有其他的解题方法，需要根据实际情况进行分析和求解。
基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型如下：
1. 求最值：这种题型的特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉。
如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。
2. 分式结构的基本不等式：这种题型有一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型。
对于一次比二次型和二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。
对于二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。
3. 带限制条件的基本不等式问题：这类问题通常需要结合其他数学知识，如代数、方程、函数等，通过设立代数式、方程或不等式来解决。
4. 直接应用基本不等式：题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。
如需更多信息，建议请教数学老师或者查看数学教材。
初一数学不等式题型及解题方法一、不等式的基本概念1.不等式符号及含义不等式是指两个数之间大小关系的一种表示方法。
不等号符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
其中，大于（>）表示左边的数比右边的数大；小于（<）表示左边的数比右边的数小；大于等于（≥）表示左边的数大于或等于右边的数；小于等于（≤）表示左边的数小于或等于右边的数。
2.不等式的解解不等式的过程就是求出不等式中未知数的取值范围。
一般情况下，我们通过对不等式进行变形、化简，再利用一些不等式性质和数轴上的图示可以求出不等式的解集。
解不等式的过程也包括反证法、分段讨论等方法。
二、不等式的性质不等式有一些特殊的性质，了解这些性质有助于我们更好地理解和运用不等式。
1.不等式的性质①两个相等的数之间没有大小关系，所以两个相等数代入一个不等式时不等式的成立与否是无法判断的。
②不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。
即如果a>b，则a+c>b+c。
③不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的方向不变。
即如果a>b，c>0，则a×c>b×c。
④不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式的方向改变。
即如果a>b，c<0，则a×c<b×c。
2.不等式的转化不等式的转化是指将不等式进行变形、化简，以便更好地求解。
①不等式中可以进行加减、乘除、倒数、取对数等运算，但要注意符号的变化，需根据不等式的大小关系来进行变换。
②对于含绝对值的不等式，也可以通过转化为分段函数的方式来求解。
即根据不同的不等式形式，将绝对值进行分段讨论，再求解不等式。
三、不等式的解题方法1.一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数和一次项的不等式，通常可以用数轴解题法、图像法、代入法等方法来求解。
①数轴解题法：首先将不等式化简，再根据不等式的方向在数轴上做出相应的标记，并根据不等式的特点来判断解集的范围。
数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。
1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论，以找到合适的解题方法。
例如，当不等式中存在绝对值时，可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。
又如，当不等式中有分式时，可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。
通过分类讨论，可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。
2. 套路法解不等式题时，有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。
例如，对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式，可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0，并根据乘积为正的性质得到解集。
又如，对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式，可以直接得到解集为全体实数。
掌握这些套路可以极大地提高解题效率。
3. 变量替换法有时候，通过合适的变量替换可以简化不等式的形式，从而更容易求解。
例如，当不等式中存在平方根时，可以通过令变量等于平方根的形式，将其转化为简单的二次不等式。
又如，当不等式中存在分式时，可以通过变量替换将其转化为一次不等式。
变量替换的关键是找到合适的变量，使得不等式的形式更简单。
4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。
递推法的关键是找到递推关系式，通过递推关系式将问题化简为简单的情况。
例如，对于形如a^n - b^n > 0的不等式，可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。
递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。
5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。
反证法的关键是假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论。
通过反证法可以排除一些不可能的情况，从而找到合适的解集。
例如，对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式，可以假设a^2 + b^2 < 2ab，然后推导出矛盾的结论，从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。
不等式题型、方法、及应试技巧总结一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc >）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
第10讲不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
一、知识整合1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题，2.建立不等式模型，3.解数学问题，4.作答。
7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．二、方法技巧1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解，。
2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。
3．不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。
如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
4．根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。
三、例题分析b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1≤y≤3时，所以当y=1时，x= 4．m in简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式例2．已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 例3．数列{}n x 由下列条件确定：*+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=N n x a x x a x n n n ,21,011 （1）证明：对于a x n n ≥≥总有,2,（2）证明：对于1,2+≥≥n n x x n 总有． 证明：（1）)()(21,0)(210111*∈=⋅≥+=>+=>=++N n a x a x x a x x x x a x x a x nn nn n n nn n 从而知及成立时当a x n n ≥≥∴2（2）当2≥n 时，)(21),(21,011n nn n nn n n x x ax x x a x x a x -=-∴+=>≥++=成立时12,2.021+≥≥∴≤-∙n n nnx x n x x a 。
例4．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。
本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。
解：当()⎩⎨⎧≤--≥⎩⎨⎧≤-≥≥029929222a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为a bx a 173+≤≤∴⎩⎨⎧≥+-<⎩⎨⎧≤-<<02992)(222a ax x ax a x a ax a x a x 即时不等式可化为当]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋃-∞<≤≤∴a a a ax a a x 6173,323,(323故不等式的解集为或。
例5．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围． 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax 2+bx ．于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组(Ⅰ)变形得(Ⅰ)所以f(-2)的取值范围是[6，10]． 解法二(数形结合)建立直角坐标系aob ，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b ，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ① 所以 3≤3f(-1)≤6． ② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：2b ，8≤4a ≤12，-3≤-2b ≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．例6．设函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相交.试证明对一切x R ∈都有214ax bx c a++>.分析：因为x ∈R ，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x 0)2+f(x0)． 证明：由题意知，a ≠0．设f(x)=a(x-x 0)2+f(x 0)，则又二次方程ax 2+bx+c=±x 无实根，故Δ1=(b+1)2-4ac ＜0，Δ2=(b-1)2-4ac ＜0．所以(b+1)2+(b-1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即b 2-4ac ＜-1，所以|b 2-4ac|＞1．简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。
为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆。
由题意得)06.0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=-+=++即万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06.0)94.013030(,6006.094.0)06.030(11≤≤∞→⨯-+≤≤+-=--x a n n n x a x x a n n n n n。
