上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析

2019-2019学年度第一学期第一次综合测试试题卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）1.___________________________________________________________ 已知全集U = R, A={X|X2-3X<O}B=&|X>2},则人门：3= ______________________________ .2.在复数集内方程/ + 2乂 + 2 = 0的解为 _______ ■3.方程lg（5 ・ 2X-5）=lg（4* — 1）的解是“ __ •4.已知AB为抛物线x2=y的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是y = -x + 3,则弦AB所在直线的方程是 _________ •5.函数丁 =』茴的递增区间是__________ .6.设a、bw R*,贝!] lim ~— = .”—8（a + b）"7.已知函数/（x）-log2（4r+l）+fcc是偶函数则实数k的值是_________ .&正方体的体对角线与面对角线所成的角a的集合是_____________ •9.某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是 _______ （用分数作答）•10.观察下列等式：照此规律，第n个等式可以为 ___________ •11 .已知二次函数y = /（%）的图像为开口向下的抛物线，且对任意x e R都有：/（1 -x） = /（1 + x）,若向# a = （y/m, — 1^ =（4m, — 2j 则满足不等式的实数m取值范围为 _________ •12.某班共有50名学生，已知以下信息:x>0 x<0 D.无反函16.定义“正对ln + x = O,OV 兀 VI lnx, ，现有四个C.有反函数f~\x) = < ":十°2,①男生共有33人；②女团员共有7人；③住校的女生共有9人；④不住校的团员共有6人； ⑤住校的男团员共有6人；⑥男生中非团员且不住校的共有8人；⑦女生中非团员且不住校 的共有3人。

2023届上海市复旦大学附属中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．设()f x 在0x 处可导，下列式子与()0f x '相等的是（ ） A ．()()000limx f x f x x x∆→-+∆∆B ．()()000lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002lim x f x x f x x∆→+∆-∆D ．()()000lim x f x f x x x∆→--∆-∆【答案】B【分析】根据导函数的定义，将各选项中的式子化简，即可判断出答案.【详解】对于A ，()()()()0000000limlim ()x x f x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→-+∆-+∆'=-=-∆-∆,A 错误；对于B ，()()()()0000000limlim ()22x x f x x f x x f x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆+∆--∆'==∆∆，B 正确； 对于C, ()()()()()00000Δ0Δ02Δ2Δlim 2lim 2Δ2Δx x f x x f x f x x f x f x x x→→+-='+-=，C 错误；对于D ，()()()()0000000limlim ()x x f x f x x f x f x x f x x x∆→∆→--∆--∆'=-=--∆∆，D 错误， 故选：B2．已知无穷等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，若11ni i i i a a +∞==>∑∑对任意正整数n 恒成立，则下列结论正确的是（ ）A ．100a q <⎧⎨<⎩B ．100a q <⎧⎨>⎩C ．100a q >⎧⎨<⎩D ．100a q >⎧⎨>⎩【答案】B【分析】根据题意得到数列{}n a 为递减数列，且()02k a k <≥，AC 选项可举出反例，写出通项公式后得到D 选项各项均为正，B 选项各项均为负，选出正确答案. 【详解】因为11ni i i i a a +∞==>∑∑对任意正整数n 恒成立，所以无穷等比数列{}n a 为递减数列，且()02k a k <≥，A 选项，10a <，0q <，则210a a q =>，不满足要求，A 错误；B 选项，110n n a a q -=<，满足要求，C 选项，2310a a q =>，不满足要求，C 错误；D 选项，110n n a a q -=>，不满足要求，D 错误.故选：B3．已知ABC 是斜三角形，则“A B >”是“tanA tanB >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若A B >，则tanA tanB >”与“若tanA tanB >，则A B >”的真假，即可得出结果.【详解】当A B >时，若A B ，均为锐角，则tanB 0tanA >>，此时tanA tanB >；若A 为钝角，则πA -为锐角，πB A <-，则()tan πtanA tanB 0A -=->>，此时tanA tanB >，综上：“A B >”是“tanA tanB >”的充分条件； 当tanA tanB >时，若A B ，均为锐角，则tanB 0tanA >>，此时A B >；若A 为钝角，则πA -为锐角，πB A <-，则()tan πtanB 0A tanA -=->>，满足条件； 若A 为锐角，B 为钝角，显然不满足； 综上“A B >”是“tanA tanB >”的必要条件. 所以，“A B >”是“tanA tanB >”的充要条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与必要条件的概念等即可，属于常考题型.4．已知函数()f x 的定义域和值域均为R ，有两个命题：命题:p 若对于任意12,R,x x ∈且12()()f x f x <，都有12x x <，则()f x 是增函数；命题:q 若对于任意12,R,x x ∈且12x x ≠，都有 ()22221212()()0x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则函数()f x 是奇函数；则正确的是（ ） A ．命题p 是真命题，q 是假命题 B ．命题p 是假命题，q 是真命题 C ．命题p 是真命题，q 是真命题D ．命题p 是假命题，q 是假命题【答案】A【分析】利用函数单调性的定义可证命题p 为真，举出反例可证命题q 为假. 【详解】因为对于任意12,R,x x ∈且12()()f x f x <，都有12x x <，所以[]()1212()()0f x x f x x -->，根据函数单调性的定义可知：命题p 为真命题，q 为假命题，理由如下：()()()0,0ln ,,00,x f x x x ∞∞=⎧=⎨∈-⋃+⎩，满足定义域和值域均为R ，且满足对于任意12,R,x x ∈且12x x ≠，都有()22221212()()0x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，但()()()0,0ln ,,00,x f x x x ∞∞=⎧=⎨∈-⋃+⎩为偶函数，故q 为假命题， 故选：A二、填空题5．若幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则表达式()f x =___________. 【答案】2x【分析】设()af x x =，由()24f =可求得实数a 的值，即可得解.【详解】设()af x x =，则()224a f ==，解得2a =，()2f x x ∴=.故答案为：2x .6．已知(){}(){},3,,23A x y x y B s t s t =+==-=，则A B =_________. 【答案】(){}2,1【分析】联立方程，求出交点即为答案.【详解】联立方程323x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，所以(){}2,1A B ⋂=.故答案为：(){}2,17．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【答案】5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） 【分析】由sin y x =的单调递增区间为2,2,22k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，可得当222232k x k πππππ-+≤-≤+，k z ∈时候，函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增，解之可得答案.【详解】解：易得sin y x =的单调递增区间为2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故当222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈时候，函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增，即：51212k x k ππππ-+≤≤+，k z ∈，故答案为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. 【点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，相对简单.8．若双曲线22215x y a -=的焦距为6，则该双曲线的离心率是_________.【答案】321.5【分析】由双曲线的标准方程易得25b =，而26c =，利用222a c b =-求得a ，进而可求离心率c e a=. 【详解】依题意得，25b =，26c =，即3c =， 所以222954a c b =-=-=，故2a =， 所以该双曲线的离心率为32c e a ==. 故答案为：32.9．若α是锐角，且π3cos()45α+=-，则sin α=________.【分析】利用同角三角函数基本关系以及差角的正弦公式求解. 【详解】因为α是锐角，所以ππ3π+444α∈（，）， 又π3cos()045α+=-<，所以ππ3π+424α∈（，），所以π4sin()45α+==，所以ππππππsin sin[()]sin()cos cos()sin 444444αααα=+-=+-+43()55=-=. 10．已知函数()2()23,(,R,)f x x x x a b a b a b =+-∈∈<，，若()5f x <，则b a -的最大值是_________.【答案】6【分析】解不等式，求出()5f x <的解集为42x -<<，从而确定4,2a b =-=时，b a -取得最大值，求出最大值.【详解】()5f x <，即2235x x +-<，解得：42x -<<， 因为(),(,R,)x a b a b a b ∈∈<，所以当4,2a b =-=时，b a -取得最大值，最大值为()246--=. 故答案为：611，该圆锥侧面的展开图是弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为_________. 【答案】2π3【分析】根据圆锥的侧面积及侧面展开图扇形的弧长可求圆锥的母线长与底面圆的半径，从而可求圆锥的高，根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】解：设该圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 由已知条件可得:π2π2πrl r ⎧⎪⎨=⎪⎩,解得1,r l =⎧⎪⎨=⎪⎩故圆锥的高2h =,所以该圆锥的体积为2112πππ12333r h =⨯⨯=. 故答案为:2π3. 12．正项数列{}n a 满足221112,2()3n n n n a a a a a ++=-=，则2023a =_________. 【答案】20232【分析】先对22112()3n n n n a a a a ++-=变形得到1132n n n n a a a a ++-=，设10n n a m a +=>，求出2m =，得到{}n a 为等比数列，求出答案. 【详解】因为22112()3n nn n aa a a ++-=，所以221132n nn n a a a a ++-=， 即1132n n n n a a a a ++-=，设1n n a m a +=，则132m m -=， 解得：2m =或12-，因为{}n a 为正项数列，所以0m >，故2m =，所以{}n a 为等比数列，首项为2，公比为2，所以202202220233222a =⨯= 故答案为：2023213．已知函数ππ()sin()cos()44f x x x =++-，若对于任意实数x 都有0()()f x f x ≤和1()()f x f x ''≤成立，则01x x -的最小值为________.【答案】π2【分析】先化简得到()π2sin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出0π2π4x k =+，Z k ∈，求导得到()π2cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，进而求出11π2π4x k =-+，1k Z ∈，从而求出01x x -的最小值. 【详解】ππ()sin()cos()44f x x x x x x x x x=++-=+=+π2sin 4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0()()f x f x ≤恒成立， 所以0ππ2π42x k +=+，Z k ∈，解得：0π2π4x k =+，Z k ∈；()π2cos 4f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，因为1()()f x f x ''≤恒成立， 所以11π2π4x k +=，1k Z ∈，解得：11π2π4x k =-+，1k Z ∈， 所以()0111πππ2π2π2π442k k x k x k -==⎛⎫+--++- ⎪⎝⎭， 当10k k -=时，01x x -取得最小值，最小值为π2.故答案为：π214．已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ，且115a b +=，nb 是正整数，设()N n n bc a n *=∈,则数列{}n c 的前n 项和n S =__________.【答案】2722n n+【分析】求出{}{},n n a b 的通项公式，从而得到{}n c 的通项公式，得到{}n c 为首项为4，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可.【详解】数列11n a a n =+-，11n b b n =+-，所以111111523n n b n c a a b a b n n n ==+-=++--=+-=+， 则11n n c c --=，2n ≥，且14c =，所以{}n c 为首项为4，公差为1的等差数列， 所以()2174222n n n n nn S -=+=+. 故答案为：2722n n +15．已知,R ωϕ∈且0ω≠，若关于x 的方程2sin ()x m ωϕ+=的所有正实根从小到大排列构成等差数列，则实数m 的所有取值构成的集合是_________. 【答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据半角公式得到cos(22)12x m ωϕ+=-，结合图象可知120m -=，或±1，从而求出实数m 的所有取值构成的集合. 【详解】2sin ()x m ωϕ+=，即1cos(22)2x m ωϕ-+=，所以cos(22)12x m ωϕ+=-，要想所有正实根从小到大排列构成等差数列， 则120m -=，或±1，所以0,1m =或12，实数m 的所有取值构成的集合为10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭故答案为：10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．已知0a >，函数()f x =a 的值为_____. 【答案】1【分析】将原式变形为222224(444)(42)0y a a x y ay x y ++--++=，根据方程有解，得到0∆≥，从而求出y 的范围，再根据最大值即可求a .【详解】y ax =y ∴两边平方得：22222y x x ax x --=-，即222y x ax +-=再平方得：4222222222442484y x a x xy axy ax xy x y +++--=-，化简得：222224(444)(42)0y a a x y ay x y ++--++=， 当224440y a a ++-=，即224(2)0y a +-=时，2,0a y ==， 此时22()222(1)1f x x x x =-=--+最大值为2，不符题意. 所以224440y a a ++-≠. 因为方程有解，所以0∆≥，即222422(42)4(444)0y ay y y a a ∆=+-++-≥， 化简得：22y a ≤，因为0y ≥，所以02y a ≤≤， 又因为y 的最大值为2，所以22a =， 所以1a =. 故答案为：1.三、解答题17．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ︒∠=，2,==PA AD E 为AD 的中点.(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ； (2)求PC 与平面PAD 所成的角的正切值； 【答案】(1)证明见解析 15【分析】（1）由平面几何知识证明CE AD ⊥，由线面垂直的性质定理得CE PA ⊥，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）由（1）得CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角，求出这个直角三角形（需证明）中两直角边长，然后可得结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 为菱形，∴DA DC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC 为等边三角形，∴CA CD =，在ADC 中，E 是AD 中点，∴CE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，∴CE PA ⊥，∵PA AD A ⋂=，PA ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴EC ⊥平面P AD ，∵CE ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面P AD .(2)∵EC ⊥平面P AD ，∴斜线PC 在平面内的射影为PE ， 即CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角， ∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，在Rt PAE 中，PE =Rt CED 中，CE ==∵EC ⊥平面P AD ，PE ⊂平面P AD ，∴EC PE ⊥，在Rt CEP 中，tan CE CPE PE ∠==，∴PC 与平面P AD 18．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 为椭圆C 上的动点，点Q 为圆N ：()2214x y ++=上的动点，求线段PQ 长的最大值.【答案】(1)2214x y +=2【分析】（1）将x c =-代入椭圆方程，结合2221,2b a bc a ==+得出椭圆C 的方程； （2）设(,),(0,1)P x y N -，由2PQ PN NQ PN ≤+=+结合距离公式以及二次函数的性质得出线段PQ 长的最大值.【详解】(1)由于222c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x ya b +=，得2b y a=±由题意知，221b a =，即22a b =，又2221,,2b a b c a ==+所以2,1a b == 所以椭圆C 的方程为2214x y +=(2)由题意可知2PQ PN NQ PN ≤+=+，设(,),(0,1)P x y N -则||PN ==所以当13y =时，max 4||33PN =，即max 4||323PQ =+ 19．如图，有两条相交成60︒角的直路12,l l ，交点是O ，警务岗A 、B 分别在12,l l 上，警务岗A 离O 点1千米，警务岗B 离O 点3千米.甲沿AC 方向，乙沿BO 方向，均以4千米/小时的速度沿途巡逻.(1)当警员甲行至点C 处时，45OBC ∠=︒，求OC 之间距离；(2)设t 小时后甲、乙两人的距离是S 千米，试将S 表示为t 的函数，并当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最近？ 【答案】(1)333 (2)1,min 24t ==【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设警员乙从B 出发沿BO 方向所走的位置设为D ，沿途巡逻的时间为t ，分D 在O 的右边或D 在O 的左边，利用余弦定理表示出CD 的长，根据t 的范围，利用二次函数的性质即可求出两人距离最短时的时间t 的值． 【详解】(1)解：60AOB ∠=︒，45OBC ∠=︒，75OCB ∴∠=︒，62sin 75sin(4530)+︒=︒+︒=根据正弦定理得：sin 75sin 45OB OC=︒︒，即23233362OC ==+，故OC 的距离为333；(2)解：设警员乙从B 出发沿BO 方向所走的位置设为D ，沿途巡逻的时间为t ， 当304t时，D 在O 的右边或D 与OC 重合，则t 小时走的路为4t ，则414OC OA t t =+=+，434OD OB t t =-=-，60AOD ∠=︒，根据余弦定理得：可得2222CD OC OD OC OD =+-⋅222211(14)(34)2(14)(34)4824748()424t t t t t t t =++--+-⨯=-+=-+， 当14t =时，CD 有最小值，最小值为2， 当34t >时，D 在O 的左边，则t 小时走的路为4t ， 则414OC OA t t =+=+，43OD t =-，120AOD ∠=︒，根据余弦定理得：2222CD OC OD OC OD =+-⋅222211(14)(43)2(14)(43)()1681316()1224t t t t t t t =++--+-⨯-=-+=-+，当3t 4=时，CD 有最小值，最小值为4， 综上所述，22348247,04316813,4t t t S t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当14t =时，CD 有最小值，最小值为2． 20．若点()00,x y 在函数()f x 的图象上，且满足()000y f y ⋅≥，则称0x 是()f x 的ζ点．函数()f x 的所有ζ点构成的集合称为()f x 的ζ集． (1)判断43π是否是函数()tan f x x =的ζ点，并说明理由； (2)若函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，求ω的最大值； (3)若定义域为R 的连续函数()f x 的ζ集D 满足D R ，求证：(){}0x f x =≠∅．【答案】(1)不是，理由见解析； (2)π； (3)见解析【分析】（1）直接求出0y ()00f y <，即可得到()000y f y ⋅<，即可得到结论；（2）先说明ωπ≤，若ωπ>，则2T <，由题设得到2T ≥，推出矛盾即可证得；再说明ω的值可以等于π，令0ϕ=，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理说明函数()f x必存在零点，即可证明.【详解】(1)43π不是函数()tan f x x =的ζ点，理由如下：设043x π=，则04tan3y π==()0f y =因为2ππ<<，所以()00f y =<，所以()000y f y ⋅<，所以43π不是函数()tan f x x =的ζ点；(2)先证明ωπ≤，若ωπ>，则函数()f x 的最小正周期22T πω=<，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，所以对0x ∀∈R ，0x 是()f x 的ζ点，令()00y f x =，则()000y f y ⋅≥，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的值域为[]1,1-，所以当[]00,1y ∈时，必有()00f y ≥，即()()sin 0f x x ωϕ=+≥对于[]0,1x ∈恒成立， 所以102T≥-，即()f x 的最小正周期2T ≥，与2T <矛盾； 再证明ω的值可以等于π，令()sin f x x π=，对0x ∀∈R ，当()[]000,1y f x =∈时，()[]00,1f y ∈，()000y f y ⋅≥；当()[]001,0y f x =∈-时，()[]01,0f y ∈-，()000y f y ⋅≥，所以0x 是()f x 的ζ点， 即函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ；综上所述，ω的最大值是π； (3)因为函数()f x 的ζ集D 满足DR ，所以存在0x ∈R ，使得()00y f x =且()000y f y ⋅<，即()()000f x f y ⋅<，因为若00x y =，则()()()()20000f x f y f y ⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()f x 的图象是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在()100,x x y ∈使得()10f x =，所以()f x 存在零点，即(){}0x f x =≠∅.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设ωπ>，利用周期推出矛盾，进而证得ωπ≤，再利用三角函数的值域说明ω的值可以等于π即可；第三小问的关键点在于得到存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理即可证明.21．已知数列{}n a 的首项为1，对任意的*N n ∈，定义1n n n b a a +=-.(1)若1n b n =+，求4a ；(2)若()112n n n b b b n +-=≥，且()12,0b a b b ab ==≠. （i ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项的和；（ii ）当1a =时，求证：数列{}n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. 【答案】(1)10 (2)（i ）3732n n S +=；（ii ）证明见解析【分析】（1）根据递推公式一一计算可得；（2）（i ）依题意可得6n n b b +=，即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6，再对n 分奇、偶讨论，分别计算可得.（ii ）由（i ）可得6n n b b +=，设()60n n i c a n +=≥，即可得到数列{}6n i a +均为以222b b++为公差的等差数列，即可得证.【详解】(1)解：因为11a =，11n n n b a a n +=-=+， 所以211123a a b =+=+=，322336a a b =+=+=，4336410a a b =+=+=.(2)解：（i ）因为11n n n b b b +-=（2n ≥）， 所以，对任意的*N n ∈有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6.又数列{}n b 的前6项分别为111,2,2,1,,22，且这六个数的和为7.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则， 当*N )2(n k k =∈时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当*21(N )n k k =+∈时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++ 123775k b b b k =+++=+，所以，当n 为偶数时，372n S n =； 当n 为奇数时，3732n n S +=. （ii ）证明：由（i ）知：对任意的*N n ∈有6n n b b +=，又数列{}n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b，且这六个数的和为222b b ++.设()60n n i c a n +=≥，（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈），所以166666162636465n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++ 222b b=++. 所以，数列{}6n i a +均为以222b b++为公差的等差数列. 因为0b >时，2220b b++>，0b <时，22220b b ++≤-<，所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列{}n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次， 即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次.。

复旦大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题2023.11(满分 150分, 时间120分钟)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.已知复数 (i是虚数单位)，则z的虚部是 .2.已知3sinα=cosα,则tan(π-α)的值是 .3.已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .4.已知两点P(3,4),Q(-5,6),则以线段PQ为直径的圆的标准方程是 .5.已知向量则向量在向量上的投影向量的坐标为 .6 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 .8.已知一组数据: 10, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 记这组数据的第60百分位数为a, 众数为b,则a和b的大小关系是 . (用“<”,“>”,“=”连接)9.已知函数f(x)=3sinx+2cosx, 当f(x)取得最大值时,= .10.已知则abc的值为 .11. 如图在△ABC中, AB=2,AC=．5,∠BAC=60°,边BC、 AC上的中线AM、 BN相交于点P,则cos∠MPN= .l2.已知函数若有且仅有一个正整数使得不等式成立，则实数a的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)13. 设ab>0, 则“a>b”是的 ( ) .A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件14. 定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)的函数f(x), 如果对于任意给定的非常数等比数列{an},{f(an)}仍是 等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是( ) .B. f(x)=2x+1 D. f(x)=log ₃|x|15.《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺， 捕影而视之， 空正掩目，而日应空之孔.”意为：“取竹空这一望筒，当望筒直径d 是一寸，筒长t 是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察， 则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示， O 为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB 的正切值为 ( ) . A.16. 已知F ₁、F ₂是椭圆的左、右焦点，Q 是Γ上一动点，记 ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ 若 ₁ ₂ ₂ ₁ 则的值为( ) .三、解答题(本题共5道题，满分78分)17. (本题满分14分,第1题 6分, 第2题8分)如图，长方体 ₁ ₁ ₁ ₁的底面ABCD 是正方形, 点E 在棱AA ₁上, BE⊥EC ₁. (1)证明: BE⊥平面EB ₁C ₁;(2)若AA ₁=2,AB=1, 求四棱锥 ₁ ₁ 的体积.18. (本题满分14分,第1题6分,第2题8分)已知数列 ，若对于任意正整数n ， ₂ ₁仍为数列 中的项，则称数列 为“回归数列”. (1)已知 判断数列 是否为“回归数列”，并说明理由；(2)若数列 为“回归数列”，且对于任意正整数n ，均有 ₁成立，证明：数列 为等差数列.19. (本题满分14分,第1题6分, 第2题8分)“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接,经测量知AB=BC=CD=1,AD=2.(1) 霍尔顿发现无论BD多长，2cosA-cosC都为一个定值. 请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；(2) 霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系. 记△ABD与的面积分别为S₁和S₂，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.20.(本题满分18分,第1题4分, 第2题6分,第3小题满分8分)已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M,N两点.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；(3)若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.21. (本题满分18分,第1题4分,第2题6分,第3小题满分8分)已知函数其中λ为实数.(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,若p,q(p<q)为g(x)的两个驻点,当λ在区间上变化时，求|g(p)-g(q)|的取值范围.复旦大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中数学试题解析 2023.11(满分 150分, 时间120分钟)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1. 2.3.0.0154. =175.6.7.8.= 9.10. 或者11.12.10. 或者【详解】 得 ,由 得所以 所以 1；即 即 所以 或故答案为：10或11.【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到 各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，以A 为原点，AC 所在直线为x 轴， 过A 作AC 的垂线为y 轴，如图所示，因为所以 ， ，则，即为向量 与 的夹角，则, 则故答案为：12.【详解】 函数 有且仅有一个正整数 使得不等式 成立，① ②③恒成立， 由②-①且③-②得：④ ⑤恒成立，恒成立,.二、选择题(本大题共有4题, 13、14每题4分, 15、16每题5分, 满分18分)13. C 14.A 15.B 16.A14.A.【分析】根据等比数列的定义及函数的性质计算即可一一选定.【详解】不妨设的公比为即；对于A项，仍是常数，即B项符合题意；对于B项，由题意可得，因为an非常数，则非常数，故非常数，即B项不符合题意；对于C项，,同B项可知，该比值非常数，即C项不符合题意；对于D项，，同B项可知，该比值非常数，即D项不符合题意.故选: A.16.A.【详解】中由勾股定理得：===即=,= ===,又 ₁ ₂ ₂ ₁，6=4,,=, c=a=, 故选A三、解答题(本题共5道题，满分78分)17.(1)证明：由长方体的性质可知，平面 ₁ ₁ 平面 ₁ ₁∴⊥平面E .(2)取棱 ₁的中点F, 连接EF、 ₁ 则由(1)知, ₁由题设可知， ₁ ₁₁ ₁ ₁∵在长方体 ₁ ₁ ₁ ₁中, ₁ 平面 ₁ ₁ ₁平面 ₁ ₁ ∴点E到平面 ₁ ₁ 的距离∴四棱锥 ₁ ₁ 的体积棱锥侧18.(1)对于任意仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.己知则 ₂ ₁显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”.(2)由题意知:必存在使得： ₂ ₁由题意可知： ₁₂ ₁故 ₂ 因此即: ₂ ₁ ₁整理得： ₂ ₁ ₁则数列为等差数列.19.【详解】(1)在中,在中,,则为定值.(2)因为设则,所以，当时,取得最大值即时,的最大值为.20.【详解】(1)由题意得解得:∴椭圆C的标准方程为(2)设 ₁ ₁ ₂ ₂直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：①②，,=-2代入①和②得：③④③④得：=-2，解得：;(2)设 ₁ ₁ ₂ ₂直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：①②由解得=③把①和②代入③得：=4,④又+=16,又,,④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为21.已知函数其中λ为实数.(1)若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；(2)若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；(3)记g(x)=h(x)-λx,若p,q(p<q)为g(x)的两个驻点,当λ在区间上变化时，求|g(p)-g(q)|的取值范围.【详解】(1)易得定义域为，-=,①当且仅当0时，恒成立，y=h(x)是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0时，既不恒正，也不恒负，即y=h(x)不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得:实数λ的取值范围为，；(2)函数y=h(x)有两个不同的零点，y=h(x)不是定义域上的单调函数，即0；由①得：y=h(x)在上为单调递减函数，在，上为单调递增函数，函数y=h(x)有两个不同的零点=;(3)p,q(p<q)为g(x)=h(x)-λx=-λx的两个驻点,p,q(0p<q)为=--λ=0一元二次方程-x+的两个不同的正根，即, 又，===又=或者=, =- =,在p上为单调递增函数，=，.。

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合,用列举法表示__________.2.已知集合,集合,则__________.3.某班有42名同学,参加物理竞赛的有15人,参加化学竞赛的有13人,两科竞赛都不参加的有20人，则两科竞赛都参加的有__________人.4.已知集合,集合,若则实数__________.5.若集合,则满足条件的集合的个数是__________.6.若不等式的解集是,则不等式的解集是__________.7.已知,则的取值范围为__________.8.记为集合中所有元素之和,对于集合,则所有之和等于__________.9.若不等式的解集是,则不等式的解集为__________.10.若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.11.对于非空实数集合,记对任意,设非空实数集合满足条件“若,则”且,给出下列命题:①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有;②对于任意给定符合题设条件的集合M ,P ，必有;③存在符合题设条件的集合M ,P ，使得；④存在符合题设条件的集合M ,P ，使得.其中所有正确命题的序号是__________.12.已知集合,集合满足:①每个集合都恰有3个元素;②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为,则的最大值与最小值的和为__________.2,1A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z A ={}21A yy x ==-∣{(,)|2||}B x y y x ==-A B ⋂={1,3,2}A m =-{}23,B m =B A ⊆m ={1,5}{1,2,3,4,5}M ⊂⊂M (2)340a b x a b -+-<{1}x x >∣(4)230a b x a b -+->14,23a b a b -≤+≤≤-≤32a b -()S A A {1,2,3,4,5},M A M =∅⊂⊆()S A 20ax bx c --<{23}x x <<∣20cx bx a -->[1,5]x ∈20ax -≤a A *{A y =∣,}x A y x ∈≤P 1x <x P ∉M P ⊆¡A *A A =**P M ⊆*M P ⋂=∅*M P ⋂≠∅{19}M x x =∈≤≤¥∣123,,A A A 123A A A M ⋃⋃=i A i A (1,2,3)i X i =123X X X ++二、选择题（共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）13.俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要14.下列命题正确的是（ ）（A ）若，则；（B，则；（C ）若，则；（D，则15.设,若是方程的两相异实根，则有（ ）（A ）（B ）（C ）（D）16.定义集合运算且;将称为集合A 与集合的对称差，命题甲：；命题乙：，则下列说法正确的是（ ）（A ）甲乙都是真命题（B ）只有甲是真命题（C ）只有乙是真命题（D ）甲乙都不是真命题三、解答题（共5题，满分78分）17.（本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分）已知集合。

2024~2025学年上海市复旦大学第二附属中学九年级上学期9月月考数学试卷（考试时间100分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。

与考试无关的所有物品放置在考场外。

3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。

4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂。

若因填涂模糊导致无法识别的后果自负。

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.是同类二次根式，那么a 的值为（）A.2 B.3 C.4 D.52.方程的根的情况是（ ）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法确定3.下列说法中错误的是（）A.一个负数的绝对值是它的相反数B.数轴上离原点越远的点所表示的数越大C.任何有理数都有相反数D.正数都大于零4.某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）.规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品.经过多次试行，发现转动n 次转盘时，其中指针有m 次落在“铅笔”区域，则估计“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是（ ）A. B. C. D.5.已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（）2220x x --=1360n m ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭1360m n ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭360m n ︒360n m︒()33y m x n =-++(),2P m n n -A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内，，，，则点A 到OC 的距离为（ ）A. B.C. D.二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.在不等式中，m ，n 是常数且，当时，不等式的解集为_____8.已知关于x 的方程有实数根，则整数a 的最大值是_____9.在比例尺为1:3000的地图上，甲、乙两地的距离为5cm ，则甲、乙两地的实际距离为________米.10.已知：点与点关于原点成中心对称，则________11.一个三位正整数（其中a 、b 都是正整数，，），满足各数位上的数字互不相同.将n 的任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为.若，则_______12.张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是_______13.小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆.使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点E ，C ，A 在一直线上），量得，，，则电线杆的长为______m.14.如图，正方形的边长为a ，E ，F 分别是对角线上的两点，过点E ，F 分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为________.ABCD OC OB ⊥1AB =4AD =BCO α∠=tan 4sin αα+tan 4cos αα+sin 4cos αα+cos 4sin αα+0mx n +>0m ≠0m <()21230a x x +-+=()2025,1A -(),B a b O a b +=100103n a b =++19a ≤≤19b ≤≤()M n ()999M n =a b +=AB D CD DE BE 2m ED =6m DB =1.3m CD =AB ABCD BD AD AB15.如图，中，G 是重心，，，那么________16.在中，点，分别为，的中点，与交于点O ，已知四边形DFOE 的周长为4，的周长为_______.17.对于二次函数（a 是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y 随自变量x 增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是________（填写序号）18.如图，中，，，，将线段绕点B 逆时针旋转90°得到线段，取的中点E ，连接，用含m ，n 的式子表示的长是________.三、解答题（满分78分）19.计算：20.解不等式组：.21.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分ABC △GD BC ⊥AH BC ⊥GD AH=ABCD □E F AD AB AC BD ABCD □223y x ax =-+1a =-y x =-1a ≥1x >ABC △135BAC ∠=︒AB m =AC n =BC BD AD BE 212tan 602-⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭()3121223x x x x ⎧->+⎪⎨+>-⎪⎩AB CD EF OE OF别与交于点和点，与交于点，.（1）求证：；（2）若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数.22.2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，（1）求：大号“龙辰辰”的单价（2）某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，求：该网店所获的最大利润23.如图，在中，，过点C 的直线，D 为边上一点，过点D 作，垂足为F ，交直线于E ，连接，.（1）求证：；（2）当D 为AB 中点时，当满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？24.已知：如图1，二次函数的图像交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点A 的直线交该二次函数的图像于另一点，交y 轴于M .CD G D AB DM N AOE BNM ∠=∠OE DM ∥OE AOF ∠30ODC ∠=︒AB DM AND ∠Rt ABC △90ACB ∠=︒MN AB ∥AB DE BC ⊥MN CD BE CE AD =ABC △2344y ax ax =++134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()11,C x y（1）直接写出A 点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B 作交于D ，若且点Q 是线段上的一个动点，求出当与相似时点Q 的坐标：（3）设，图2中连接交二次函数的图像于另一点，连接交y 轴于N ，请你探究的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值25.如图，在中，AD 平分交BC 边于点D ，在CA 边上取点E ，使得，连接DE .（1）如图1，当时，求：的正切值（2）如图2，过点C 作于点F ，当时，请：的值（3）如图3，在（2）问的条件下，连接BE ，当时，若四边形ABDE 内部的点Q 到四边形ABDE 四条边的距离相等，求：的值BD AC ⊥AC (M DC DBQ △AOM △()1,2P --CP ()22,E x y AE OM ON ⋅ABC △CAB ∠CE CD =120ABC ∠=︒ADE ∠CF ED ⊥AB BC =AD CFBE AD ⊥sin QEB ∠参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）CABBDD填空题（7~18题）7. 8.-1 9.150 10.2024 11.6 12.13.5.2 14. 15. 16.8 17.①②④解答题（19~25题）19.原式=720.21.（1）证内错角相等即可（2）85°22.（1）55（2）126023.（1）证：平行四边形ADEC（2）当时24.（1）（2）或（3）值不变，25.（1（2）2（3n x m <-1515112x x -=+22a 1334x <<45A ∠=︒()3,0A -21344x y x ++=(1,Q -(2Q -92。

……○……学校:____……○……绝密★启用前2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．直线24x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）的倾角是（ ）A ．1arctan(2-B ．arctan(2)-C ．1arctan2π- D ．arctan 2π-2．“0x >，0y >”是“2y xx y+≥”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为（ ）A ．1BC ．2+D ．14．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．函数()ln f x x =+________.6．若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 .7．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______8．若方程20x x p ++=有两个虚根α、β，且||3αβ-=，则实数p 的值是________. 9．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．10．将函数sin(26y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到的函数()y f x =在区间,1212π5π[-上单调递减，则m 的最小值为_______ .11．若231(3)2n x x-的展开式中含有常数项，则当正整数n 取得最小值时，常数项的值为______.12．若关于x y z ，，的三元一次方程组21232sin 3x z x ysin z x z θθ+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则θ的取值的集合是____．13．若实数x 、y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥，则||2z x y =+的最大值是_______.○…………外……线…………○…………内……线…………14．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ．15．已知1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=______.16．已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______ 三、解答题17．若向量(3sin ,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->，在函数()()f x m m n t =⋅++的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,,()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．18．如图，O 为信号源点，A 、B 、C 是三个居民区，已知A 、B 都在O 的正东方向上，10OA km =，20OB km =，C 在O 的北偏西45°方向上，CO =，现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A 、B 、C 分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆EF ，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/2km ，设AOE θ∠=，（0θπ≤<），铺设三条分支光缆的总费用为w （元）.……装…………○……○…………线……※不※※要※※在※※装※※订※……装…………○……○…………线……（1）求w 关于θ的函数表达式； （2）求w 的最小值及此时tan θ的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，//BE CD ，BE AD ⊥，2PA AE BE ===，1CD =.（1）求二面角C PB E --的余弦值；（2）在线段PE 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置，若不存在，说明理由.20．如图，在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆上一点，从原点 向圆 作两条切线分别与椭圆 交于点 ，直线 的斜率分别记为 ．（1）若圆 与 轴相切于椭圆 的右焦点，求圆 的方程； （2）若．①求证：； ②求 的最大值21．设数列 共有 项，记该数列前 项 中的最大项为 ，该数列后 项 中的最小项为 ， ． （1）若数列 的通项公式为 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式；（3）试构造一个数列 ，满足 ，其中 是公差不为零的等差数列， 是等比数列，使得对于任意给定的正整数 ，数列 都是单调递增的，并说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】直线的参数方程消去参数t ，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角． 【详解】由直线24x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数得到直线的普通方程：20x y +-=, 则直线的斜率为2k =-.设直线的倾斜角为α，则tan 2k α==- ， 所以直线的倾斜角为arctan 2απ-= 故选：D 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，是中档题． 2．A 【解析】当x 0,y 0>>时，由均值不等式y x 2x y +≥成立．但y x2x y+≥时，只需要0xy >,不能推出x 0,y 0>>．所以是充分而不必要条件．选A. 3．C 【解析】 【分析】根据题意，画出原来的平面图形，结合图形，得出原来是直角梯形，平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积． 【详解】根据平面图形的斜二测直观图的画法，作出图形原来的平面图形图形，如图所示图1平面图形的斜二测直观图，图2为图形原来的平面图形. 根据平面图形的斜二测直观图的画法,则原来的平面图形2为直角梯形，且上底是1，下底是2，它的面积是2故选：C ． 【点睛】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，属于基础题． 4．D 【解析】对于①,令k=1得，11n n a a λ+=,又{}n a 是等比数列，所以存在1q λ=，①正确． 对于②，令k=2得2112n n n a a a λλ++=+，因为{}n a 是等差数列，所以122122n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒=-，故存在122,1λλ==-，②正确．对于③，令k=3得312213n n n n a a a a λλλ+++=++，因22222123(3)(2)(1)n a n n n n n λλλ=+=++++为，所以22123121269()(42)4n n n n λλλλλλλ++=++++++，123112212313{426{3491λλλλλλλλλλ++==+=⇒=-+==,所以③正确 5．(0,1] 【解析】 【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数()ln f x x =+10x x >⎧⎨-≥⎩解得01x <≤所以函数()ln f x x =(0,1] 故答案为：(0,1] 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．． 6．【解析】试题分析：双曲线 的右焦点为 抛物线 的焦点 所以考点：双曲线焦点及抛物线焦点 7．17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 考点：分层抽样 8．52【解析】 【分析】方程20x x p ++=有两个虚根αβ，，由求根公式可解出方程的根，然后代入||3αβ-=即可得出答案. 【详解】实系数方程20x x p ++=有两个虚根α、β， 则140p =-<，则14p >,由求根公式有x =,则3αβ-====解得：52p =故答案为：52【点睛】本题考查求实系数一元二次方程的虚根，属于中档题． 9．59【解析】试题分析：没有偶数的概率为224339⨯=⨯，所以所求概率为45199P =-= 考点：古典概型概率 10．4π【解析】 【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()y f x =的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m 的最小值． 【详解】将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度， 可得到()sin(2+2)6f x x m π=+，其减区间满足:32222,262k x m k k Z πππππ+≤++≤+∈即2,63k m x k m k Z ππππ-+≤≤+-∈ 所以函数()sin(2+2)6f x x m π=+的减区间为2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 又()y f x =在区间,]1212π5π[-上单调递减，则,]1212π5π[-⊆2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 则612k m πππ-+≤-且25,312k m k Z πππ+-≥∈, 即4m k ππ≥+且(0)4m k m ππ≤+>，所以m 的最小值为：4π. 故答案为：4π 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 11．67.5 【解析】 【分析】用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于0,求出满足条件的n 值，再求常数项． 【详解】231(3)2nx x-展开式的通项为： 2251311(3)()()322r n r r r n r r n rr n n T C x C xx ---+=-=- 由231(3)2n x x -的展开式中含有常数项，即250n r -=且*,,n N r N ∈∈有解. 则当正整数n 取得最小值时,5,2n r ==, 此时常数项为：252251135()3=22C -- 故答案为：67.5. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题． 12．{|}2k k Z πθθ≠∈， 【解析】 【分析】由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解． 【详解】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，∴21012sin 30sin 01θθ≠，∴2sin 32sin 001sin 0θθθ+≠，∴sin θ﹣sin 3θ≠0，∴sin θ≠0或sin 2θ≠1，∴,2k k Z πθ≠∈. 故答案为|,2k k Z πθθ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了矩阵的应用，考查三元一次方程组有唯一解，关键是转换为三元一次方程组的系数行列式不为0，属于基础题． 13．14 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图由||2z x y =+，得11||22y x z =-+， z 表示曲线11||22y x z =-+在y 轴上的截距的2倍，将曲线11||22y x z =-+平移经过可行域, 由图可知，当曲线11||22y x z =-+经过点A 时，曲线在y 轴的截距最大，由510y x y =⎧⎨+-=⎩得(4,5)A -所以z 的最大值为：|4|2514z =-+⨯= 故答案为：14 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 14．2- 【解析】 试题分析：2()()3221[()]()()333AD BC AC CD BC AC CB BCAC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积 15．4 【解析】 【分析】 化简arcsin ()222x x x f x -=++ ，再设arcsin ()22x xxg x -=+，可得()g x 为奇函数，可得()g x 的最值互为相反数，即可得到所求最值之和． 【详解】由1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+有： 2(22)arcsin arcsin ()22222x x x x x xx xf x ---++==+++ 设arcsin ()22x x x g x -=+，则arcsin()()()22x xx g x g x ---==-+所以()g x 为奇函数,若()g x 在定义域内的最大值为t ，则其最小值为t -， 所以()f x 最大值2M t =+，最小值2m t =-， 则224M m t t +=++-=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16．⎪⎪⎩⎭【解析】 【分析】因为公比不为1，所以不能删去1a 和4a ，设{}n a 的公差为d ，分类讨论，即可得出结论。

上海市复旦大学附属复兴中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________10．在体积为9的斜三棱柱三棱锥S—A1B1C1的体积为A ．1122-++r r r a b cC ．1122a b c--+r r r 15．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为(1)求证：侧面PAC ^侧面PBC ；(2)E 为PC 的中点，EF PA ^，垂足为F ，求BF 与侧面PAC 所成角的大小．19．三棱台111ABC A B C -中，若1A A ^面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ^====，,M N分别是,BC BA 中点.(1)求证：1//A N 平面1C MA ；(2)求点C 到平面1C MA 的距离．20．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的动点，OP 垂直于圆O 所在的平面，且2PO OB ==．故答案为：()3,1,5.5．12π【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π´=，故侧面积为34π12π´=.故答案为：12π6．平行或异面【分析】根据面面平行的性质进行判断即可.【详解】∵平面//a ∥平面b ，∴平面a 与平面b 没有公共点∵,a b a b ÌÌ，∴直线,a b 没有公共点∴直线,a b 的位置关系是平行或异面故答案为：平行或异面．7．60°或120°【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小【详解】设点P 是二面角l a b --内的一点，过P 分别作直线,a b 的平行线,PA PB ，且PA垂直于a 于A ，PB 垂直于b 于B ，设平面PAB 交直线l 于点O ，连接OA ，OB ，由于PA a ^，PB b ^，l a Ì，l b Ì，则3OA=，由截面圆的周长为解得2AB=，球的半径是所以该球的表面积为4π13´。

2016学年 第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级 数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U =R ，集合P =x |x -2{³1}，则C U P = 2、设复数z 1=1+i ,z 2=-2+xi (x ÎR ),若z 1·z 2ÎR ，则x 的值等于3、已知圆C: x 2+y 2=r 2与直线3x -4y +10=0相切，则圆C 的半径r =4、如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的 边长为3，BD 1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该 正四棱柱的高等于5、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x 27-y 22=1的右焦点重合，则抛物线C 的方程是6、在二项式(x 2-2x)5的展开式中，x 的一次项系数为 。

（用数字作答） 7、已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角a 的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A (x A ,-45)，则sin2a = 。

（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n }(n ÎN *)的公比q =-13,a 1=1, 则n ®¥lim (a2+a 4+a 6+···+a 2n )=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积是 cm 3 10、在D ABC 中，已知且D ABC 的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f (x )是定义域在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f (x )=ax +1,-1£x £0bx +2x +1,0£x £1ìíïîï其中a ,b ÎR ，若f (12)=f (32)，则b a 3 的值为13、定义：曲线C 上的点到直线L 的距离的最小值称为曲线C 到直线L 的距离。

上海复旦大学第二附属中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=log2x的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】对数函数的图像与性质．【分析】函数y=log2x为对数函数，又底数大于1，可选答案．【解答】解：函数y=log2x为对数函数，且2＞1故选C．【点评】本题考查对数函数的图象问题，属基本题．2. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A．2 B． C． D．参考答案：B3. 圆的圆心坐标和半径分别为A． B．C．D．参考答案：D4. 函数（）．A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数参考答案：A【分析】先化简函数，再利用三角函数的周期公式求周期,再判断函数的奇偶性得解.【详解】．∴最小正周期为，．∴函数为奇函数．故选:A．5. 定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B 的所有元素之和为( )A．0 B．6 C．12 D．18参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．【解答】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．6. 在等腰直角三角形中，过直角顶点C在直角内随机作射线CM交斜边AB于点M，则概率（）A．B．C．D．参考答案：C略7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．5盏B．4盏C．3盏D．2盏参考答案：C设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：C．8. 下列函数中，周期为，且在[]上单调递增的奇函数是A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x-）C．y=cos（2x+ D．y=sin（x-）参考答案：C 9. 正三角形所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直，则到面的距离为（）A. B . C . D.参考答案：C10. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【分析】直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）?f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算所得结果为参考答案：12. 已知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则_______． 参考答案： 25因为二次函数在给定的区间上增减性，可知x=-2是对称轴，且开口向上，那么可是m=-16,将x=1代入函数式中得到f(1)=25.故答案为25.13. 若{1，a ，}=（0，a 2，a+b}，则a 2017+b 2017的值为．参考答案：-1考点： 集合的相等． 专题： 计算题；集合．分析： 集合内的元素的特征要满足：无序性，互异性；化简即可． 解答： 解：∵{1，a ，}={0，a 2，a+b}， ∴0∈{1，a ，}， ∴=0， 解得，b=0．则{1，a ，}={0，a 2，a+b}可化为， {1，a ，0}={0，a 2，a}， 则a 2=1且a≠1， 解得a=﹣1． 故a2017+b 2017=﹣1．故答案为：﹣1．点评： 本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性；属于基础题14. 若线段AB 的端点A ，B 到平面的距离分别为2,4，则线段AB 的中点M 到平面的距离为 ▲ .参考答案：3或1；15. 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 ． 参考答案：略16. 函数的最小值是_________________。