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第四章图形的相似7相似三角形的性质第2课吋相似三角形中的周长和面积之比（续表）【探究1] (1)请大家在图4-7-40的6X6方格(方格的边长为单位1)上，画出一个与AABC相似，且相似比不是1的格点三角形A'B'C f.图4-7-40(2)请同学们分别计算图4一7—40中两个三角形的相似比、周长比及面积比；归纳总结相似三角形的周长比、而积比分别与相似比有什么关系•由上面问题可以得到结论：相似三角形的周长比等于,面积比等于【应用举例】例（教材例2）如图4一7—43,将AABC沿BC方向平移得到ADEF,AABC与ADEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是∆ABC的面积的一半.已知BC=2,求AABC平移的距离.图4—7—43［变式题1］如图4一7—44所示，M是ZkABC内一点，过点M分别作直线平行于AABC的各边，所形成的三个小三角形△】、△2、z‰（图中阴影部分）的面积分别是4,9和49,则AABC的面积是.图4-7-44［变式题2］如图4—7—45所示，分别取等边三角形ABC各边的中点D,E,F,得ADEF.若AABC的边长为a.（1）ΔDEF与AABC相似吗？（2）求ADEF与AABC的周长比与而积比.图4—7—45【拓展提升】1.运用相似三角形的性质求边长学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的常握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.(续表)本课以学生的自主探究为主线，引入新课时，从学生身边熟悉的例子出发，来激发学生的学习兴趣.在猜想、证明相似三角形和相似多边形的性质时，也遵循学生的认知规律，循序渐进，易于学生理解.②［讲授效果反思］通过思考、探究、讨论，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探总结 反思提纲挈领，重点突出.反思，更进一 步提升.索发现和创造打下了良好的基础.加强课内探究、分组讨论等形式，丰富课堂气氛，激发学生们的求知欲望，使学生们的主体地位得到了尊重.课后布置思考题，学有余力的学生继续挖掘题目资源，提髙学习效率，培养学生思维的深刻性.③［师生互动反思］④［习题反思］好题题号 ____错题题号(3)想一想：如图4一7-41,如果△ABC^∆A,B Z C Z,且相似比为k,那么AABC与AA，B,C*1的周长比是多少？面积比呢？说说你的理由.【探究2】如图4一7—42,四边形ABCDS四边形A，j√C,D',其相似比为k.试回答下面问题：图4一7—42(1) 四边形ABCD与四边形MB,C z D'的周长比是多少？为什么？(2)四边形ABCD与四边形AB Z CD,的面积比是多少？归纳得出结论：相似多边形的周长比等于,而积比等于。
第 1 页 共 2 页第2课时 相似三角形的周长和面积之比学习目标：1． 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2． 能用三角形的性质解决简单的问题．重点：相似三角形的性质与运用．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．【预习案】1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？【探究案】（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？推导见教材P109．结论：相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k A C C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆． 四、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．【训练案】（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积第 2 页 共 2 页 的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．(第3题)。
第2课时 相似三角形的对应周长比与面积比【知识与技能】理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系.【过程与方法】经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程,发展合理推理和有条理的表达能力.【情感态度】培养学生积极进取的学习态度,发展学生的认知,使学生体会数学知识的价值.【教学重点】相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系.【教学难点】相似三角形的面积比等于相似比的平方.一、情境导入,初步认识我们已经学过哪些三角形的性质?有一块面积为100平方米,周长为80米的三角形绿地一块,由于学校改建,绿地被削去一角,变成一个梯形,原来绿地一边AB 的长由原来的30米,缩短成20米,你能求出被削去的部分面积和周长是多少吗?【教学说明】通过这个情境,目的是为了让学生了解学习相似三角形的性质是生活的需要.激发学生探索新知,验证自己猜想的欲望,同时揭开本节课所要学习内容的实质.二、思考探究,获取新知如图,△ABC ∽△A ′B ′C ′,=''AB k A B ,AD 、A ′D ′为高线. （1）这两个相似三角形周长比为多少?（2）这两个相似三角形面积比为多少?分析：（1）由于△ABC ∽△A ′B ′C ′,所以AB ︰A ′B ′=BC ︰B ′C ′=AC ︰A ′C ′=k , 由等比性质可知（AB +BC +AC ) ︰(A ′B ′+B ′C ′+A ′C ′)=k ,（2）由题意可知 △ABD ∽△A ′B ′D ′,所以AB ︰A ′B ′=AD ︰A ′D ′=k , 因此可得△ABC 的面积︰△A ′B ′C ′的面积=（AD ·BC ）︰（A ′D ′·B ′C ′）=k 2.【教学说明】通过这两个问题,引导学生通过合作交流,找出解决问题的方法.【归纳结论】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.三、运用新知,深化理解1.已知△ABC ∽△DEF ,且AB ∶DE =1∶2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为（ B ）A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶12.在△ABC 和△DEF 中,AB =2DE ,AC =2DF ,∠A =∠D ,如果△ABC 的周长是16,面积是12,那么△DEF 的周长、面积依次为（ A ）A.8,3B.8,6C.4,3D.４,6分析：根据相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方可得周长为8,面积为3.3.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,且S △ABC ∶S △A ′B ′C ′=1∶2,AB ∶A ′B ′=分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得AB ∶A ′B ′=4.把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的12倍,那么边长应缩小到原来的 倍.解析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为2,所以边长应缩小到原来的2倍. 5. 已知△ABC 的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26,求△A ′B ′C ′的面积S.解：设△ABC 的三边依次为：BC =5,AC =12,AB =13,则∵AB 2=BC 2+AC 2,∴∠C =90°.又∵△ABC ∽△A ′B ′C ′,∴∠C ′=∠C =90°.BC AC AB B C A C A B =='''''' =1326=12,而11·5123022∆==⨯⨯=ABC S AC BC .所以2∆=ABC S k S,S=120. 6.（1）已知235==x y z ,且3x +4z -2y =40,求x ,y ,z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10,且这两个三角形的周长之差为560cm,求它们的周长.分析：（1）用同一个字母k 表示出x ,y ,z .再根据已知条件列方程求得k 的值,从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比,求得周长比,再根据周长差进行求解.解：（1）设235==x y z =k ,那么x =2k ,y =3k ,z =5k , 由于3x +4z -2y =40,∴6k +20k -6k =40,∴k =2,∴x =4,y =6,z =10.（2）设一个三角形周长为C cm,则另一个三角形周长为（C+560）cm,则356010=+CC,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm.【教学说明】“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点,学生不易把握,通过这些例题,进一步巩固这个难点,让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系.【归纳结论】（1）解此类题目先设一个未知量,再根据已知条件列方程求得未知量的值,从而代入求解；（2）此题需熟悉相似三角形的性质：相似三角形周长比等于对应高的比.四、师生互动、课堂小结1.两个相似三角形周长的比等于它们的相似比,对应高的比等于它们的相似比,面积比等于相似比的平方.2.相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.3.能够利用相似三角形的性质解决问题.1.布置作业：教材“习题4.12”中第2 、3 题.2.完成练习册中相应练习.本节课从实际问题引入课题,强调自主学习,让学生在探究过程中进行观察分析、合理猜想、解决问题,体验并感悟相似三角形的性质,使学生感受到学习的快乐,真正成为学习的主人.。
4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比教学目标【知识与能力】1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.【过程与方法】1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.【情感态度价值观】1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.教学重难点【教学重点】1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.【教学难点】相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式课前准备投影片.教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］（1）∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴CA CB B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC. 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议 投影片.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？ （2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A =∠B 1=∠B 2.∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. ∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业习题4.12●板书设计4.7 相似三角形的性质第2课时相似三角形的周长和面积之比一、1.做一做2.想一想。
