备战2016(重庆版)高考数学分项汇编专题05平面向量(含解析)文

一、多选题1．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．在ABC 中，3AB =，1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．2π 3．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 4．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．33B ．3161C ．833D ．831616．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC ∆是钝角三角形C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆ 9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等11．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 13．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形 14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．317．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为αβ-B ．a b ⋅的最大值为1C ．2a b +≤D ．()()a b a b +⊥-18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 19．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4320．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-21．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．233B ．33C ．332D ．43322．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A ．62-B ．1(62)2- C ．62+ D ．1(62)2+ 24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33(,)22B ．3(,3)2 C ．3(,3]2D ．3(,3)226．题目文件丢失！27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（）A．0 B．833C．-4D．429．在梯形ABCD中，//AD BC ，90ABC∠=︒，2AB BC==，1AD=，则BD AC⋅=（）A．2-B．3-C．2D．530．已知点O是ABC∆内一点，满足2OA OB mOC+=，47AOBABCSS∆∆=，则实数m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-431．如图所示，设P为ABC∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+，则BPC∆与ABC∆的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．1432．在ABC∆中，下列命题正确的个数是（）①AB AC BC-=；②0AB BC CA++=；③点O为ABC∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA-⋅+-=，则ABC∆为等腰三角形；④0AC AB⋅>，则ABC∆为锐角三角形．A．1B．2C．3D．433．在ABC中，AB AC BA BC CA CB→→→→→→⋅=⋅=⋅，则ABC的形状为（）．A．钝角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不确定34．如图，在直角梯形ABCD中，22AB AD DC==，E为BC边上一点，BC3EC=，F为AE的中点，则BF＝（）A．2133AB AD-B．1233AB AD-C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 35．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=，222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．AD 【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦解析：AD 【分析】由余弦定理得2222cos ACBC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅， 即21322BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.3．ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.4．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．BC 【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC 【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】解：根据正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.8．ACD 【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为解析：ACD 【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以2R =，解得：7R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.9．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°10．BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD 【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.11．ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查解析：ABD 【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.12．BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C解析：BC 【分析】由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 13．BD【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，对于A ，若，则或， 当A ＝解析：BD 【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．14．AB 【分析】若，则反向，从而； 若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选解析：AB 【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．无二、平面向量及其应用选择题16．D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 17．D 【分析】由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得1b =，a 与b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，()()22220a b a b ab a b +⋅-=-=-=，所以，()()a b a b +⊥-，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．D 【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosCa b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B CA B C ==，即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A CB AC A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得3k =，∴tan 3B k ==B ＝3π．故选：D . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键19．A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 20．B 【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.21．A【分析】首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在ABD△和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值.【详解】AB=3==，222cos22AB BC ACBAB BC+-∴===⋅，又因为角B是三角形的内角，所以6Bπ=，90BAC∴∠=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠==，sin cosDAC BAD∴∠=∠=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinBD BADBAD⋅=∠，在ADC中，由正弦定理可得sinsinDC CADDAC⋅=∠，()17DC DC⨯=，解得：DC=.故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.22．B【分析】根据方程有实根得到24cos0a a bθ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b++⋅=有实根240a a b∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 23．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=，△ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒， ∴124AE=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 7．F1、F3[2016·天津卷] 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE ＝2EF ,则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B [解析] 如图所示,AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →＝4,BF →·CF →＝－1,则BE →·CE →的值是________．13.78 [解析] 设BD →＝a ,DF →＝b ,则由题意得BA →＝a ＋3b ,CA →＝－a ＋3b ,BF →＝a ＋b ,CF →＝－a ＋b ,BE →＝a ＋2b ,CE →＝－a ＋2b ,所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4,BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1,解得b 2＝58,a 2＝138,于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13．F2[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a ＝(m ,4),b ＝(3,－2),且a ∥b ,则m ＝________． 13．－6 [解析] 因为a ∥b ,所以－2m －4×3＝0,解得m ＝－6. F3 平面向量的数量积及应用 7．F1、F3[2016·天津卷] 已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE ＝2EF ,则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B [解析] 如图所示,AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝(－12BA →＋32DE →)·BC →＝(－12BA →＋34AC →)·BC →＝－12BA →·BC →＋34AC →·BC →＝－14＋38＝18.12．C4,F3[2016·上海卷] 如图1-1,已知点O (0,0),A (1,0),B (0,－1),P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点,则OP →·BA →的取值范围是________．图1-112．[－1,2] [解析] 由题意,设P (cos α,sin α),α∈[0,π],则OP →＝(cos α,sin α)．又BA →＝(1,1),所以OP →·BA →＝cos α＋sin α＝2sin(α＋π4)∈[－1,2]．13．F3[2016·山东卷] 已知向量a ＝(1,－1),b ＝(6,－4)．若a ⊥(t a ＋b ),则实数t 的值为________．13．－5 [解析] ∵a ＝(1,－1),b ＝(6,－4),且a ⊥(t a ＋b ),∴a ·(t a ＋b )＝0,即2t ＋10＝0,解得t ＝－5.15．F3[2016·浙江卷] 已知平面向量a ,b ,|a|＝1,|b |＝2,a·b ＝1.若e 为平面单位向量,则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．15.7 [解析] 由|a|＝1,|b|＝2,得a·b ＝|a||b|cos 〈a ,b 〉＝2cos 〈a ,b 〉＝1,得cos 〈a ,b 〉＝12,则〈a ,b 〉＝π3.不妨设a ＝(1,0),e ＝(cos θ,sin θ),b ＝(1,3),则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|.当θ为锐角时,才能取得最大值,此时|a·e|＋|b·e|＝2cos θ＋3sin θ＝7sin(θ＋φ)≤7,故|a·e|＋|b·e|的最大值是7.13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →＝4,BF →·CF →＝－1,则BE →·CE →的值是________．13.78 [解析] 设BD →＝a ,DF →＝b ,则由题意得BA →＝a ＋3b ,CA →＝－a ＋3b ,BF →＝a ＋b ,CF →＝－a ＋b ,BE →＝a ＋2b ,CE →＝－a ＋2b ,所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4,BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1,解得b 2＝58,a 2＝138,于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.9．F3[2016·北京卷] 已知向量a ＝(1,3),b ＝(3,1),则a 与b 夹角的大小为________．9.π6[解析] 根据题意得|a |＝1＋3＝2,|b |＝3＋1＝2,a ·b ＝3＋3＝2 3.设a 与b 的夹角为θ,则cos θ ＝a ·b |a |·|b |＝232×2＝32,因为θ∈[0,π],所以θ＝π6. 13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a ＝(x ,x ＋1),b ＝(1,2),且a ⊥b ,则x ＝________． 13．－23 [解析] 由题意,a·b ＝0,即x ＋2(x ＋1)＝0,∴x ＝－23.F4 单元综合9．F4[2016·四川卷] 已知正三角形ABC 的边长为23,平面ABC 内的动点P ,M 满足|AP →|＝1,PM →＝MC →,则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋23349．B [解析] 方法一：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系,则B ,C 两点的坐标分别为(3,－3),(3,3)．由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π)． 而PM →＝MC →,即M 是PC 的中点, 所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2, 则|BM →|2＝⎝⎛⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎫θ－π64. 又θ∈[0,2π),所以当θ－π6＝π2,即θ＝23π时,|BM →|2取得最大值494.方法二：设AC 的中点为T ,则|BT →|＝3.因为PM →＝MC →,所以M 是PC 的中点．易知BM →＝12(BP →＋BC →)＝12(BA →＋AP →＋BC →)＝12(2BT →＋AP →)＝BT →＋12AP →,所以|BM →|2＝(BT →＋12AP →)2＝|BT →|2＋14|AP →|2＋BT →·AP →＝|BT →|2＋14|AP →|2＋|BT →||AP →|cos 〈BT →,AP →〉≤9＋14＋3×1×1＝494,当且仅当〈BT →,AP →〉＝0,即BT →与AP →同向时,等号成立．1. [2016·山东枣庄质检]在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,CO →＝λ()AB →＋AD→,则实数λ＝( ) A. －12 B. 12C. －2D. 21. A [解析] 根据向量平行四边形法则得AB →＋AD →＝AC →＝2OC →,因为CO →＝λ()AB →＋AD→,所以λ＝－12.1. [2016·北京海淀区期末]如图K22­1所示, 正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAC →,则λ＋μ的值为( )A. 12B. －12C. 1D. －1 1. A [解析] 因为E 为DC 的中点,所以AC →＝AB →＋AD →＝ 12AB →＋12AB →＋AD →＝12AB →＋()DE →＋AD →＝12AB →＋AE →,即AE →＝－12AB →＋AC →,又AE →＝λAB →＋μAC →,所以μ＝1,λ＝－12,故λ＋μ的值为12.15. [2016·合肥一检]如图K23­1所示,已知等边三角形ABC 的边长为2,若BC →＝3BE →,AD →＝DC →,则BD →·AE →＝________．15. －2 [解析] ∵AD →＝DC →,∴D 为AC 的中点,即AD →＝12AC →,∴BD →＝BA →＋12AC →.∵BC →＝3BE →,∴AE →＝AB →＋13BC →,∴BD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫BA →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝BA →·AB →＋ 13BC →·BA →＋12AC →·AB →＋16AC →·BC →＝－4＋13×4×cos 60°＋12×4×cos 60°＋16×4×cos 60°＝－2.。

2016年高考数学文试题分类汇编平面向量一、选择题1、（2016年四川高考）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449 (C) 43637+ (D) 433237+ 【答案】B2、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ∙的值为（ ）（A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B3、（2016年全国III 卷高考）已知向量1(,)22BA =uu v ,1),22BC =uu u v 则ABC ∠= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知向量=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30.2、（2016年江苏省高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】783、（2016年山东高考）已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．【答案】5-4、（2016年上海高考）如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是 .【答案】[-5、（2016年全国I 卷高考）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 【答案】23- 6、（2016年全国II 卷高考）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6-7、（2016年浙江高考）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．。

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第五章 平面向量一、选择题1. 【2014，安徽理10】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q满足)OQ a b =+．曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤ ，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω 为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 【答案】A ．考点：1．平面向量的应用；2．线性规划．【名师点睛】对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和特征长度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示出要题中给定的条件，再利用几何意义进行求解.尤其要与平面几何结合考虑.2．【2015高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B【答案】D【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向量的差OA OB BA -= ，这是一个易错点，两个向量的和2OA OB OD+=（D 点是AB 的中点）.另外，要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,AB AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.3. 【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4（B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B 【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+ ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B. 考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.4. 【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D 【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=- ，由(a b )b +⊥ 得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：5.【2015高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ） （A ）232a - （B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D 【解析】因为()B DC D B D B ⋅=⋅=+⋅()22223c o s 2BA B C +⋅=+故选D.【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.6. 【2015高考陕西，理7】对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．【名师点晴】本题主要考查的是向量的模和向量的数量积，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“不”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是向量的模和向量的数量积，即cos ,a b a b a b ⋅=，22a a = ．7.【2014新课标，理3】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 5 【答案】A 【解析】因为22||()a b a b +=+=r u r r r 222a b a b++⋅r r r r =10，22||()a b a b -=-=r u r r r 2226a b a b +-⋅=r r r r ，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8. 【2014四川，理7】平面向量(1,2)a = ，(4,2)b =，c ma b =+ （m R ∈），且c 与a的夹角等于c 与b的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.9. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯= ，选C.【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.10. 【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD表示为AC CD + ，再用已知条件和向量减法将CD 用,AB AC表示出来.11. 【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA =uu v ，1)2BC =uu u v，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba bθ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．12. 【2014年.浙江卷.理8】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b为平面向量，则（ ） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+答案：Ｄ考点：向量运算的几何意义.【名师点睛】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将 a b a b a b +-，，， 放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有有效的方法.13. 【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=-”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.14. 【2014高考重庆理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.152【答案】C考点：1、平面向量的坐标运算；2、平面向量的数量积.【名师点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的条件，属于基础题，利用向量垂直的条件的坐标条件可将两向量垂直的条件转化为所求实数k 的方程，解之即得结果.15. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34πD 、π【答案】A【解析】由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，即223cos 20a a b b θ--= ，所以23(2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A . 【考点定位】向量的夹角.【名师点晴】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.16. 【2014高考广东卷.理.5】已知向量()1,0,1a =- ，则下列向量中与a 成60的是( )A .()1,1,0-B .()1,1,0-C .()0,1,1-D .()1,0,1- 【答案】B【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于基础题.【名师点晴】本题主要考查的是空间向量数量积的坐标运算，属于中等题．解题时要抓住关键字眼“成60”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是空间向量数量积的坐标运算，即若()111,,a x y z =，()222,,b x y z = ，则cos ,a b =．17.【2014天津，理8】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD? ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF?-，则l m += （ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C ． 【解析】试题分析：cos 120,120 2.AB ADAB AD BE BC BAD l ?鬃==Ð-=\，()(),.1,1AE AB AD AF AB AD AE AFAB AD ABADl m l m \=+=+?\+?=，即3222l m l m +-=①，同理可得23l m l m --=-②，①+②得56l m +=，故选C ． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算．【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，运用向量的加法、减法正确表示向量，利用向量的数量积求值，本题属于基础题.解决向量问题有两种方法，第一种是本题的做法，借助向量的几何意义，利用加法、减法、数乘、数量积运算，借助模运算解题，另一种方法是建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解题.18. 【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BCAB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．19. 【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i = ，cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．【考点】数量积的定义与几何意义． 【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos <a ，b> ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．20. 【2014上海,理17】已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 （C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解 【答案】B【解析】由题意，直线1y kx =+一定不过原点O ，,P Q 是直线1y kx =+上不同的两点，则OP 与OQ 不平行，因此12210a b a b -≠，所以二元一次方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩一定有唯一解．【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by cdx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

第五章 平面向量一．基础题组1. 【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】如图，在平行四边形ABCD 中，AB的中点为M ，过A 作DM 的垂线，垂足为H ，若3AH =，则向量AH AC =uuu r uuu rg ▲ ．DACBMH【答案】27 【解析】 试题分析：2(+)(+2)(++22)327.AH AC AH AD AB AH AD AM AH AH HD AH HM AH ===+==uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u r uuu r g g g g考点：向量数量积2. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.考点：向量数量积3. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD=，则四边形ABCD 的面积是．【答案】【解析】试题分析：设BA a BA=，BC b BC=，BD c BD=，则|a |=|b |=|c |=1，a +b ，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC =，所以，可得四边形ABCD 为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 考点：向量加法几何意义4. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．【答案】⎣⎡⎦⎤32，2考点：向量的数量积.5. 【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 ▲ ．【答案】12⎡⎢⎣考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模；3.平面向量的线性运算；6. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，若12AC BD ⋅=-uuu r uu u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r．【答案】0 【解析】 试题分析：0AD DC CB BA +++=，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-12AC BD ⋅=-，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．考点：向量数量积7. 【泰州市2015届高三第三次调研测试】如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】5-xy考点：向量数量积的坐标运算.8. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知点A (1，-1)，B (4,0)，C (2,2)．平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1＜λ≤a ，1＜μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为8，则a +b 的最小值为 ． 【答案】4 【解析】试题分析：由条件可知D 是为平行四边形，其面积为8，又以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为8，故得(a －1)(b －1)=1，故a +b ≥4． 考点：向量的运算，基本不等式.9. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】在矩形ABCD 中，已知2AB AD ==，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，若3AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是. 1- 【解析】试题分析：cos AB AF AB AF BAF AB DF ⋅=⋅⋅∠=⋅，则1DF =，1CF =-，()()AE BF AB BE BC CF ⋅=+⋅+=3(1121AB CF BE BC ⋅+⋅=-+⨯=.FEDCBA考点：向量的数量积.10. 【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】在△ABC 中， ∠ABC ＝120︒，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则→BD ·→BE 的值 为 ▲ ． 【答案】119考点：向量的运算，向量的数量积.11. 【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】如图，半径为2的扇形的圆心角为N M ,,120︒分别为半径OQ OP ,的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AN AM ⋅的取值范围是▲.【答案】35[,]22【解析】试题分析：建立如图所示直角坐标系，则(2cos ,2sin )(0120)A θθθ︒≤≤︒，1((1,0)2M N -，1(2cos 2sin )2AM θθ=---，(12cos ,2sin )AN θθ=--，所以17(2cos )(12cos )2sin )(2sin )2sin(30)22AM AN θθθθθ⋅=---+--=-+︒，因为0120θ︒≤≤︒，所以13030150,sin(30)12θθ︒≤+︒≤︒≤+︒≤，3522AM AN ≤⋅≤.考点：1.向量的坐标表示；2.向量的坐标运算； 3.三角函数性质.12. 【江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）】已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB ＋12AC ＝AD ，且|CD |，那么DA DC ⋅＝ ． 【答案】3考点：向量的坐标运算、向量的数量积.13.【扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高三数学】已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =【答案】－1 【解析】试题分析：由向量c 与向量k +a b 共线可得()()331220k k +--=,解得1k =-. 考点：向量共线.14. 【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上一点，则PB PD ⋅的最大值为 ▲ . 【答案】12-考点：平面向量的数量积运算.15. 【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<） （1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-.【答案】（1）17-（2 【解析】考点：三角函数定义，向量加法及数量积。

平面向量一、回归课本：1、实数与向量的积与坐标运算： （1）实数与向量的积：当0λ>时，与方向______；当0λ<时，与方向______；当0λ=时， 与 方向______； （2）两非零向量共线的充要条件是___________________。

（3）平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得_________。

（4）平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则=______；=_______。

2、平面向量的数量积及坐标表示：（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则=_______________=_____________。

（2）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则//a b ⇔________________________。

a b ⊥⇔_______________________。

3、线段的定比分点与平移：（1）定比分点坐标公式：设00111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，若分有向线段所成的比为，则00__________x y =⎧⎨=⎩。

（2）平移公式：设(,)P x y 按向量(,)a h k =平移得到点(,)P x y '''=，则__________x y '=⎧⎨'=⎩。

4、解三角形及运用：（1）正弦定理：已知ABC ∆，,,a b c 为三个角的对边，则______=_______=_______=（ 为ABC ∆外接圆直径）（2）余弦定理：____________________。

二、典型例题： 例一、如图，ABCD 中，,OA a OB b ==，11,33BM BC CN CD ==，试用表示,,OM ON MN 。

例二、1、设两非零向量和不共线，（1）如果21e e AB +=，2182e e BC +=，()213e e CD -=，求证，，三点共线． （2）试确定实数，使21e e k +和21e k e +共线．2、已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则=____3、如图，设平行四边形ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一边为E ，对角线BD 的五等分点中靠近B 的一点为F ，求证C F E ,,三点在一条直线上．4、已知点G 是ABC ∆的重心。

数学《平面向量》知识点一、选择题1．已知向量()1,3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =r ，转化条件得36x y +=-，()34x y λ+=-，整体代换即可得解.【详解】 设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴362a b x y b⋅+==-r rr 即312x y +=-. 又 ()a b b λ+⊥r r r ，∴()0a b b λ+⋅=r r r即1330x y λλ+++=，∴()34x y λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.2．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u ur 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论.【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．3．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （ ）A ．3B 3C 3D 3【答案】D 【解析】∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r，∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．4．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v（）A ．4B ．6C ．23D ．43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3 302|3262BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5．延长线段AB 到点C ，使得2AB BC =u u u r u u u r ，O AB ∉，2OD OA =u u u v u u u v，则（ ）A ．1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vB ．5263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vC ．5163BD OA OC =-u u u v u u u v u u u vD ．1163BD OA OC =+u u u v u u u v u u u v【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法的几何意义，即可得答案；【详解】Q BD OD OB =-u u u v u u u v u u u v ，()22123333OB OA AC OA OC OA OA OC =+=+-=+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，12OD OA =u u u v u u u v ，∴1263BD OA OC =-u u u v u u u v u u u v ，故选：A. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r（ ）A．2133 BA AC+u u u r u uu rB．2133BA AC-u u u r u u u rC．1233BA AC+u u u r u u u rD．4233BA AC+u u u r u u u r【答案】A【解析】【分析】连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，列出相应式子得出结论.【详解】解：连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，则()()221121332333OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===⨯+=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选：A.【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.7．在ABC∆中，已知3AB=23AC=D为BC的三等分点(靠近C)，则AD BC⋅u u u v u u u v的取值范围为（）A．()3,5B．(5,53C．()5,9D．()5,7【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB ACu u u r u u u r，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅-⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()11213333AC AB AC AC AB AC AB AC ABu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AB AC =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r ＝8﹣113233cos BAC -⨯⨯∠ ＝7﹣2cos ∠BAC ∵∠BAC ∈（0，π）， ∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1）， ∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9）， 故选C ．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．8．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C 【解析】 【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA ACθ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u， 故夹角为120°， 故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.9．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8λμ，则双曲线的离心率为（ ）A．3B．5C．2D ．98【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出,u λ，再代入225+=8λμ求出双曲线的离心率. 【详解】由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a-因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a aλλ=+-.所以,,bu c u cλλ+=-= 解之得,.22b c c bu c cλ+-== 因为225+=8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v求出,u λ.10．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v的值是（ ）A ．45-B ．1516-C ．14-D ．58-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量表示化简数量积，即得结果. 【详解】()()()()•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ,选B.【点睛】本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.11．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可 【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r|＝|NM u u u u r |，取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6，【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.13．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14．如图，两个全等的直角边长分别为1,3的直角三角形拼在一起，若AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）A 323-+ B 323+ C 31 D 31+【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，求出D 点坐标，从而得出λ，μ的值． 【详解】解：1AC =Q ，3AB =30ABC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒，以AB ，AC 为坐标轴建立坐标系，则13,12D ⎛+ ⎝⎭． )3,0AB =u u u r，()0,1AC =uu u r ，∴13,122AD ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭u u u r． Q AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴132312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴36312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，2313λμ∴+=+． 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的最小值是（ ）A ．21-B ．2C ．0D ．1【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为1，故答案选D.考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.17．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r 的取值范围（ ）A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4) 【答案】A【解析】【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r ，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r 求解. 【详解】 因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为2EF ===u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u ， 因为AB 不平行于CD ， 所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 【答案】C【解析】【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 19．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力． 20．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16 C．D．【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．。

专题05 平面向量
1. 【2005高考北京理第3题】| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为
（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
【答案】C
考点：数量积公式。

2. 【2006高考北京理第2题】若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】C
3. 【2007高考北京理第4题】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）
Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =
4. 【2009高考北京理第2题】已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【答案】D
考点：向量的共线（平行）、向量的加减法.
5. 【2010高考北京理第6题】a ，b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”
的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B。

专题12 平面向量文考纲解读明方向分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.数量积的定义(1)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题理解选择题填空题★★★2.平面向量的长度问题掌握选择题填空题★★★3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用掌握选择题填空题★★★分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D. 0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2017年高考全景展示1.【2017北京，文7】设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若0λ∃<，使m n λ=r r ，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r r r r T ，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦ ，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要 ，同时q 是p 的必要不充分条件，若p q ⇔，那互为充要条件，若p q <≠>，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若:,:p x A q x B ∈∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件，若A B =，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.2.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【考点】向量数量积 【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r r r r r r r r r r3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOBu u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r ＝，则A ．321I I I <<B ．231I I I <<C ．213I I I <<D ．312I I I <<【答案】C 【解析】试题分析：因为90AOB COD ∠=∠>o，所以0(,)OB OC OA OB OC OD OA OC OB OD ⋅>>⋅>⋅<<u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ选C ．【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得90AOB COD ∠=∠>o ，由AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，可求OC OA <，OD OB <，进而解得213I I I <<． 4.【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于AB →与AC →共线.5.【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r的最大值为_________． 【答案】6 【解析】试题分析：||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r所以最大值是6. 【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO u u u r 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若AO AP⋅u u u r u u u r最大，即向量AP u u u v在AO u u u r方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点P 在圆与x 轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果236⨯=.6.【2017课标3，文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=r r，且a b ⊥r r ，则m = .【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。

重庆市新高考数学平面向量多选题之知识梳理与训练含解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，23AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG 长的最大值为421 D ．PA PB ⋅的最小值642+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y ，23AB =G 为弦AB 的中点， 3GB ∴=，而()()22:114C x y +++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ： 由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.5．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=，故B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=，故a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==-，故D 正确。