(优辅资源)山东省青岛市高三5月模拟考试数学理试题Word版含答案
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山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ,集合{}2320A x x x =-+≤,{}131x B x -=≥,()U A B =I ð( )A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ,B 化简,再求出U A ð,根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤,{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥,所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>. 故选:B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算,同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法,属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i -=(其中i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =,从而可得z =,再根据复数的乘除运算即可求出复数z ,再根据共轭复数的定义,求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==,所以)1422i z i ===+,所以12z i =,所以z的虚部为12-. 故选:C.【点睛】本题主要考查复数的模,复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念,属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ,()sin ,1b x =r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若//a b r r ,则sin x =( )A.45B.35C.25D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-,代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r,所以1cos 2sin 0x x +-=,所以cos 2sin 1x x =-,又因为22sin cos 1x x +=,所以22sin (2sin 1)1x x +-=, 即25sin 4sin 0x x -=,解得4sin 5x =或sin 0x =,又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以4sin 5x =. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示,同角三角函数平方关系,属于基础题. 4.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数解析式来分析函数的图象与性质,下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可.【详解】当0x =时,对于A ,()00sin sin20y e e =+=>,故排除A ;对于B ,()00sin 0y e e=-=,故排除B ; 对于C ,()00tan 0y e e=-=,故排除C ;对于D ,()00cos cos20y e e =+=<,符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系,可利用从函数图象上的特殊点,排除不合要求的解析式.5.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( ) A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种,利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种,根据古典概型概率计算公式,即可求出答案.【详解】从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,有36个基本事件,其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示):(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6), (4,4),(5,5),(6,6),共14个,所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选:C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法,属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,则椭圆C 的蒙日圆方程为( ) A. 229x y += B.227x y += C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =,根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点,即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,12=,解得3a =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=,所以椭圆的上顶点A ,右顶点(2,0)B ,所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =,所以两条切线的交点坐标为,又过A ,B 的切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选:B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质,同时考查圆的方程,属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点,20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=,则OACV 的面积为( )A.B.23C.D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ,可得BO OD =u u u r u u u r ,从而可得O 为BD 的中点,进而可得12AOC ABC S S =△△,由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ,再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u u u r u u u r △即可求出ABC S V .【详解】在ABC V 中,由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r,所以BO OD =u u u r u u u r,所以O 为BD 的中点,所以12AOC ABC S S =△△, 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ,所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r, 所以83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ,所以183123||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △, 所以1233233=AOC S =⨯△. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积及三角形的面积公式,属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =,若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立, 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m e >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立,令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可,利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立, 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可, 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==,令()0g x '=,得12x e -=, 当120x e -<<时,()0g x '>;当12x e ->时,()0g x '<, 所以()g x 在12(0)e -,上是单调递增,在12(,)e -+∞上是单调递减, 所以当12max ()()2e g x g e -==, 所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选:B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题,同时考查利用导数求函数的最值,属于中档题.二、多项选择题9.设a ,b ,c 为实数,且0a b >>,则下列不等式中正确的是( ) A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ,利用作差法比较即可;对B ,利用不等式的性质判断即可;对C ,利用作差法比较即可;对D ,利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ,因为0a b >>,所以1ab>,所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=, 所以222log ()log ab b >,故A 正确;对B ,当0c =时,22ac bc >不成立,故B 错误; 对C ,因为0a b >>,所以10b b a a a --=<,10a b a b b--=<, 所以1b aa b<<,故C 正确; 对D ,因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,又a b >,所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 错误. 故选:AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小,不等式的性质及指数函数的单调性,属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时,n S 取得最大值D. 当0n S >时,n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=,由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-,联立方程可求出120a =,2d =-,即可判断A ,B 选项,求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,即可判断C ,D.【详解】因为690S =,所以1656902a d ⨯+=,即12530a d +=,① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项,所以2739a a a =⋅, 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++,整理得110a d =-,②由①②解得120a =,2d =-,故A 错误; 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+, 又n *∈N ,所以当10n =或11n =时,n S 取得最大值,故C 正确;令2210n S n n =-+>,解得021n <<,又n *∈N ,所以n 的最大值为20,故D 正确. 故选:BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列前n 项和公式,等比中项的应用,同时考查等差数列和的最值问题,属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ,B ;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π,可判断C ;结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论,将函数()f x 的绝对值去掉,再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ,因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以()f x 是偶函数,故A 正确;因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=,所以()f x 是以π为周期的周期函数,故B 正确;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π, 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故C 错误;由于函数()f x 是以π为周期的周期函数,故只需研究一个周期内的最大值即可, 不妨取[0,]x π∈,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+, 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当32x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π, 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 所以32x ππ-=,即56x π=时,()f x 取得最大值2, 故当[0,]x π∈时,()f x 取得最大值2,故D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法,同时考查两角和与差的正弦公式的逆用,属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系,写出各点坐标,计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ;分别求出平面1B CE ,平面1A BD 的法向量,判断它们的法向量是否共线,即可判断B ;利用等体积法,求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则 (0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,1(0,0,4)A ,1(2,0,4)B ,(0,2,2)E ,所以1(2,2,2)B E =--u u u r ,1(2,0,4)A B =-u u u r , 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ,所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直,故A 错误; 1(0,2,4)CB =-u u u r ,(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r,则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,所以11112y z x z =⎧⎨=⎩,不妨取11z =,则11x =,12y =所以(1,2,1)n =r,同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r,故不存在实数λ使得n λm =r u r,故平面1B CE 与平面1A BD 不平行,故B 错误;在长方体1111ABCD A B C D -中,11B C ⊥平面11CDD C ,故11B C 是三棱锥11B CEC -的高, 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△, 故C 正确;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==,故D 正确. 故选:CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行,等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题,则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题,则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ,解得22a -≤≤. 答案为:[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项,进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为:25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法,解题时要认真审题,注意二项式定理的合理运用,属于基础题.15.已知()f x 为奇函数,当0x >时,()ln xf x x=,则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______. 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数,可求出当0x <时,()f x 的表达式为ln()()x f x x-=,然后根据在一点处的切线方程的求法,即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程.【详解】因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-, 当0x <时,则0x ->,所以ln()ln()()()x x f xf x x x--=--=-=-, 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==, 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=, 所以切线方程是01y x -=+,即10x y -+=. 故答案为:10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,在一点处的切线方程的求法,同时考查复合函数的导数,属于中档题.16.已知抛物线C :22y px =()06p <<的准线交圆1O :()2234x y ++=于A ,B 两点,若23AB =,则抛物线C 的方程为______,已知点()1,2M ,点E 在抛物线C 上运动,点N 在圆2O :()2221x y -+=上运动,则EM EN +的最小值为______.【答案】 (1). 28y x = (2). 2.【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ,抛物线C 的准线方程为2px =-,则22211AO AD DO =+,即224|3|2p =+-+, 整理得212320p p -+=,解得4p =或8p =,又06p <<,所以4p =,所以抛物线C 的方程为28y x =.(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合, 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线,垂足为F ,则2||||EO EF =, 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-, 所以当M ,E ,F 三点共线时,EM EF +最小,最小值为3, 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=, 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为:①28y x =;②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程,圆中的弦长公式,抛物线中的最值问题,同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______. 给出下列三个条件:条件①:数列{}n a 为等比数列,数列{}1n S a +也为等比数列;条件②:点{}1,n n S a +在直线1y x =+上;条件③:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈;(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一:选条件①.数列{}1n S a +也为等比数列,可根据其前3项也成等比数列列出方程,再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q,即可求出n a ;方案二:选条件②,可得11n n a S +=+()N n *∈,再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212a a =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;方案三:选条件③.可得当2n ≥时,1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈,再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212a a =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;(2)由(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈,代入化简可得()12n b n n =+,利用裂项相消法求和,即可求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)方案一:选条件①. 因为数列{}1n S a +为等比数列,所以()()()2211131S a S a S a +=++,即()()2121123222a a a a a a +=++, 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为11a =, 所以()()22222q q q+=++,解得2q =或0q =(舍), 所以1112n n n a a q --==()N n *∈,(2)由(1)得12n n a -=()N n *∈, 所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭,所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪, 方案二:(1)选条件②.因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上,所以11n n a S +=+()N n *∈,所以11n n a S -=+()2n ≥,两式相减得1n n n a a a +-=,12n na a +=()2n ≥, 因为11a =,211112a S a =+=+=,212a a =适合上式, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三:(1)选条件③.当2n ≥时,因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅(i )所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅(ii )(i )-(ii )得122(1)n n n a na n a +=--,即12n na a +=()2n ≥, 当1n =时,122a a =,212a a =适合上式, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法,裂项相消法求和,属于基础题.18.在ABC V 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足cos2cos sin a C a C c A =-. (1)求角C ;(2)若ABC V 为锐角三角形,12c =,求ABC V 面积S 的最大值.【答案】(1)4C π=;(2))361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-,利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-,进而可得cos2cos sin C C C =-,再利用二倍角公式即可求出角C ;(2)由已知可得4C π=,故要求ABC V 面积S 的最大值,只需求出ab 的最大值即可,利用余弦定理可得222144c a b ==+,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-,所以由正弦定理可得:sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-, 因为()0,A π∈,sin 0A ≠,所以cos2cos sin C C C =-, 所以22cos sin cos sin C C C C -=-, 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=, 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=, 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=, ①若cos sin C C =,则4C π=,②若cos sin 10C C +-=,则sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为5444C πππ<+<,所以344C ππ+=,即2C π=, 综上,4C π=或2C π=.(2)因为ABC V 为锐角三角形,所以4C π=,因为(222221442cos 224c a b ab a b ab ab π==+-=+-≥=,即(722ab ≤=(当且仅当a b =等号成立),所以()11sin sin 72236122444S ab C ab π===≤+=,即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理,二倍角公式,基本不等式及三角形的面积公式,同时考查三角形中面积的最大值求法,属于基础题.19.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.(1)求证:平面11CC D D ⊥底面ABCD ;(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π,求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;6 【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ,只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可,可证1D E ⊥底面ABCD ,由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,可得BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,从而可得1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,从而可证出1D E ⊥底面ABCD ;(2) 取AB 的中点F ,以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系,设1ED a =()0a >,写出各点坐标,分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ,()20,,1n a =-u u r,根据它们所成的锐二面角的大小为3π,利用夹角公式列出方程可求出1a =,再求出()11,1,1CA =-u u u r ,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,所以BC CD ⊥,1BC CC ⊥,又1CD CC C =I ,1,CD CC ⊂平面11DCC D , 所以BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,所以1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,BC CD C ⋂=,,BC CD ⊂底面ABCD , 所以1D E ⊥底面ABCD ,又1D E ⊂平面11CC D D , 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD .(2)取AB 的中点F ,因为E 是CD 的中点,底面ABCD 是矩形,所以EF CD ⊥,以E 为原点,以EF ,EC ,1ED 所在直线分别为x ,y ,z 轴, 建立空间直角坐标系E xyz -,如图所示:设1ED a =()0a >,则()0,0,0E ,()1,1,0B ,()10,0,D a ,()0,1,0C ,()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ,()1,1,0EB =u u u r ,()10,0,ED a =u u u u r.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得:11100x y az +=⎧⎨=⎩, 令11x =可得11y =-,10z =,所以()11,1,0n =-u r,设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ,()1,0,0CB =u u u r ,()10,1,CC a =u u u u r. 由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得,22200x y az =⎧⎨+=⎩,令21z =可得2y a =-,所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π, 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r u r u u r ,解得1a =.所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r,由于()1,1,0A -,()0,1,0C ,()0,1,0D -,()10,0,1D ,所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r, 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,则12126sin 323CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值,属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲乙两地的试验的结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按(]7,8,(]8,9,(]9,10,(]10,11,(]11,12分组进行统计,甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图(其中a ,b ,c 成等差数列,且23c b =),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.(1)求a ,b ,c 的值并计算甲地实验结果的平均数x .(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列的22⨯列联表: 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地试根据上面完成的22⨯列联表,通过计算分析判断,能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关? 附:临界值表其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件,在甲地实验条件下,以频率为概率,随机打开一个4个装的零件包装箱,记其中特优件的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.1a =,0.2b =,0.3c =,平均数9.3x =万次;(2)见解析,有;(3)见解析,1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1,可得0.6a b c ++=,再由a ,b ,c 成等差数列,可得2b a c =+,再结合23c b =解方程即可求出a ,b ,c 的值;利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ;(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数,即可完成22⨯列联表,然后根据22⨯列联表求出观测值k ,查对临界值,即可作出判断;(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =,ξ的取值可能为0,1,2,3,4,根据二项分布分别求出相应的概率,即可列出分布列并求出数学期望.【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得:0.050.351a b c ++++=,即0.6a b c ++= 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b a c =+,所以0.2b = 又23c b =,解之得:0.3c =,0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件,不超过9万次的件数为1006040-=件,由乙地试验结果的分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=, 不超过9万次的零件数为25件,所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为零件质量优秀与否与气候条件有关, 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25, 以频率为概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P81256 2764 27128 364 1256ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质,利用组中值估计平均数,独立性检验的应用,二项分布及数学期望,属于中档题.21.已知椭圆E :22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12,其左右顶点分别为1A ,2A ,上下顶点分别为2B ,1B ,四边形1122A B A B 的面积为43.(1)求椭圆E 的方程;(2)若椭圆E 的左右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,记1F MN △的内切圆的半径为r ,试求r 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)304r <≤【解析】 【分析】(1)根据离心率为12,四边形1122A B A B 的面积为222a b c =+,即可求出,a b ,进而求出椭圆E 的方程;(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==,可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△,即114F MN r S =△, 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论,当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,可求得34r =;当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ,由根与系数的关系可求出12y y +,12y y ,代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数,利用换元法即可求出r 的取值范围. 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12,所以12c e a ==,因为四边形1122A B A B 的面积为1222a b ⨯⨯=又222a b c =+,解得:2a =,b =1c =,所以椭圆E方程为:22143x y +=.(2)设()11,M x y ,()22,N x y ,则1F MN △的周长48a ==,()111142F MN S F M F N MN r r =++=△,即114F MN r S =△, 当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,3MN =,11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△, 当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()22243690k y ky k ++-=,所以122643k y y k +=-+,2122943k y y k =-+,112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=,则3t >,r ===, 因为3t >,所以1103t <<,所以304r << 综上可知:304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,同时考查椭圆中的范围问题,对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△,将问题转化为求1MN F S V 的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-( 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)有两个极值点1x ,2x . (1)求a 的取值范围; (2)求证:122ln x x a +<. 【答案】(1)(),e +∞;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()x f x e ax '=-,令()()xg x f x e ax '==-,利用导数研究函数()g x 的单调性:当0a ≤时,()0xg x e a '=->,此时()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;当0a >时,只需()()min ln 0g x g a =<,同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可;(2) 不妨设12x x <,则()1,ln x a ∈-∞,()2ln ,x a ∈+∞,所以12ln x a x <<,要证122ln x x a +<,即证122ln x a x <-,而当(),ln x a ∈-∞时,函数()g x 单调递减,即证()()122ln g x g a x >-,而()()12g x g x =,即证()()222ln g x g a x >-,故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--,利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-,因为函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ,2x设()()xg x f x e ax '==-,则()xg x e a '=-①当0a ≤时,()0xg x e a '=->,所以()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意 ②当0a >时,由()0xg x e a '=-=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时,()0g x '<,函数()g x 单调递减; 当()ln ,x a ∈+∞时,()0g x '>,函数()g x 单调递增. 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<,即a e >, 令()2ln a a a ϕ=-()0a >,则()221a a a aϕ-'=-=, 当()0,2a ∈时,()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数; 当()2,a ∈+∞时,()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数; 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=->所以()0a ϕ>,即2ln a a >,从而ln 2aa a <<,2a e a > 所以()20ag a e a =->,又因为()010g =>,所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点,符合题意, 综上,实数a 的取值范围为(),e +∞.(2)不妨设12x x <,则()1,ln x a ∈-∞,()2ln ,x a ∈+∞,所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+,则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=, 当且仅当2x x e a e -=,即ln x a =时,等号成立. 所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >,可得()()2ln 0p x p a >=,即()()222ln 0g x g a x -->, 又因为1x ,2x 为函数()g x 的两个零点,所以()()12g x g x =, 所以()()122ln g x g a x >-, 又2ln x a >,所以22ln ln a x a -<, 又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减, 所以122ln x a x <-,即122ln x x a +<.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,构造函数证明不等式,同时考查极值点偏移问题,属于难题.。
青岛市高三统一质量检测数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{||1|1}A x x +≥=,{|1}B x x =≥-,则 R ()A B =ðA .[1,0]-B .[1,0)-C .(2,1)--D .(2,1]--2. 设(1i)(i)x y +-2=,其中,x y 是实数,i 为虚数单位,则x y += A .1 BC.2 3. 已知R λ∈,向量()()3,,1,2a b λλ==-,则“3λ=”是“//a b ”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件4. 中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图, 当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样, 把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,中国古代的算筹数码纵式 横式2 3 1 4 5 6 7 8 9以此类推.例如6613用算筹表示就是,则8335用算筹可表示为 A .B .C .D .5. 已知实数[1,10]x ∈,执行如右图所示的程序框图, 则输出的x 不大于63的概率为A . 310B .13C . 35D .236. 若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z y x =-的最大值为A .8B .4C .1D .2 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .883π+B .1683π+C .8163π+D .16163π+8. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan 21tan A c B b+=,则A =A .30︒B .45︒C .60︒D .120︒ 9. 已知1x >,1y >,且lg x ,14,lg y 成等比数列,则xy 有 A .最小值10B C .最大值10D 10. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>,圆22223:204C x y ax a +-+=,若双曲线1C 的一条渐近线与圆2C 有两个不同的交点,则双曲线1C 的离心率的范围是A .B .)+∞C .(1,2)D .(2,)+∞俯视图侧视图第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. 已知变量x ,y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-,则m = ;12. 设随机变量2~(,)N ξμσ,且(3)=()=0.2P P ξξ<->1, 则(1)=P ξ-<<1 ;13. 已知函数2,2,()(1),2,x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩则2(log 7)f = ;14. 已知29cos m xdx π=⎰,则)m x -展开式中常数项为 ; 15. 已知函数23()123x x f x x =+-+,23()123x x g x x =-+-,设函数()(4)(3)F x f x g x =-⋅+, 且函数()F x 的零点均在区间[,]a b (,,Z a b a b <∈)内,则b a -的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数()sin(2)cos(2)2sin cos 36f x x x x x ππ=++++.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象,求()y g x =在[,2]3ππ上的值域.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121n n a S +=+,N n *∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令32log n n c a =,21n n n b c c +=⋅ ,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意N n *∈,n T λ<恒成立,求实数λ的取值范围.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的菱形,60ABC ∠=︒,PA ⊥平面ABCD ,3PA =,F 是棱PA 上的一个动点,E 为PD 的中点. (Ⅰ)若1AF =,求证://CE 平面BDF ; (Ⅱ)若2AF =,求平面BDF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某科技博览会展出的智能机器人有,,,A B C D 四种型号,每种型号至少有4台.要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人,且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的.现在有4个人要购买机器人.(Ⅰ)在会场展览台上,展出方已放好了,,,A B C D 四种型号的机器人各一台,现把他们排成一排表演节目,求A 型与B 型相邻且C 型与D 型不相邻的概率;(Ⅱ)设这4个人购买的机器人的型号种数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.ABCDEPF20.(本小题满分13分)已知函数21()2f x x ax =+,()xg x e =,R a ∈且0a ≠, 2.718e =,e 为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数()()()h x f x g x =⋅在[1,1]-上极值点的个数;(Ⅱ)令函数()()()p x f x g x '=⋅,若[1,3]a ∀∈,函数()p x 在区间[,)ab a e +-+∞上均为增函数,求证:37b e ≥-.21.(本小题满分14分)已知椭圆:Γ2221x y a +=(1)a >的左焦点为1F ,右顶点为1A ,上顶点为1B ,过1F 、1A 、1B 三点的圆P 的圆心坐标为. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线:l y kx m =+(,k m 为常数,0k ≠)与椭圆Γ交于不同的两点M 和N . (ⅰ)当直线l 过(1,0)E ,且20EM EN +=时,求直线l 的方程;(ⅱ)当坐标原点O 到直线l MON ∆面积的最大值.青岛市高三统一质量检测数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分. B D A B D B A C B A二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.3.1; 12. 0.3; 13.72; 14.84-; 15.6. 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)()sin(2)cos(2)2sin cosf x x x x x ππ=++++2sin 22sin(2)3x x x =+=+ , ……………………………………………4分由2,Z 32x k k πππ+=+∈可得: 1+,Z 122x k k ππ=∈,∴函数()f x 图象的对称轴方程为 1+,Z 122x k k ππ=∈.………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知()2sin(2)3f x x π=+,将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位得到函数2sin(2)6y x π=+的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数1()2sin()26g x x π=+的图象,…………………………………………10分∵23x ππ≤≤,∴173266x πππ≤+≤ ∴当1262x ππ+=,即23x π=时,max 2()23y g π==当17266x ππ+=,即2x π=时,min (2)1y g π==- ∴函数()y g x =的值域为[1,2]- ………………………………………………………12分命题意图:本题考查三角变换,三角函数的对称轴的性质,图象平移,最值问题。
山东省2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题:题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题:题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利(Bernoulli)不等式为:1212(1)(1)(1)1n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+,其中实数1x ,2x ,...,n x 同号,且均大于1-.特别地,当*n ∈N ,且1x >-时,有(1)1n x nx +≥+.已知伯努利不等式还可以推广为:设x r ∈R ,,若1r ≥,且1x >-,则(1)1r x rx +≥+.设a ,b 为实数,则下列结论正确的为A .任意(0,)a ∈+∞,且任意[1,)b ∈+∞,都有1(1)(1)2(1)b b a b a +++≥+B .任意(1,)b ∈+∞,存在(0,)a ∈+∞,使得1b a b ab +<+C .任意(0,1]a ∈,且任意(1,)b ∈-+∞,都有(1)1a b ab +≤+D .任意[1,)b ∈+∞,存在*a ∈N ,且a b ≤,使得1()1b b a a b ≤-+解析:(1)考查选项A :若1b ≥,则(1)1b a ab +≥+,且1(1)1bb a a+≥+,∴11(1)(12(b b a a b a a +++≥++,又0a >,由基本不等式可知12a a+≥,∴1(1)(1)2(1)b b a b a+++≥+,故选项A 正确;(2)考查选项B :∵0a >,∴11a ->-,又1b >,∴(11)1(1)b b a a b a =+-≥+-,∴1b a b ab +≥+恒成立,故选项B 错误;(3)考查选项C :∵01a <≤,且1b >-,∴11a≥,且1ab >-,∴11(1)11aab ab b a+≥+⋅=+,即101(1)a b ab <+≤+,∴(1)1ab ab +≤+,故选项C 正确;(4)考查选项D :①若*b ∈N ,则当a b =时,不等式1()1b b aa b ≤-+显然成立,②若*b ∉N ,∵1b ≥,∴([1()]1b ba ab a b b b -=+≥+-,∴当(1,)a b b ∈-时,(10b a a b b ≥+->,∴1()1b ba ab ≤-+,记[]b 为不超过b 的最大整数,易知[](1,)b b b ∈-,∴当[]a b =时,1(1b ba ab ≤-+成立,∴任意[1,)b ∈+∞,存在*a ∈N ,且a b ≤,使得1(1b ba ab ≤-+,故选项D 正确;综上所述,应选ACD .三、填空题:13.22x -或(42x -,2||x -等);14.;15.0或1;16.2-.16.已知等边△ABC 的边长为2,将其绕着BC 边旋转角度θ,使点A 旋转到A '位置.记四面体A ABC '的内切球半径和外接球半径依次为r ,R ,当四面体A ABC '的表面积最大时,A A '=,rR=.(注:本题第一空2分,第二空3分.)解析:显然当π2A BA '∠=时,四面体A ABC '的表面积最大,此时A A '=,故应填;当四面体A ABC '的表面积最大时(易知四面体A ABC '的表面积最大值为4+,设A A '的中点为O ,易知12OB OC AA '==,∴OB OC OA OA '====,即O 为四面体A ABC '的外接球球心,∴四面体A ABC '的外接球半径R =,∵OB OC ==,且2BC =,∴222BC OB OC =+,∴π2BOC ∠=,易知OC ⊥平面A AB ',∴不难求得四面体A ABC '的体积为12233A AB V S OC '=⋅⋅=,又1(43V r =⋅+⋅=r =,∴2r R ==-,故应填2-.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{}n a 的首项13a =,其前n 项和为n S ,且对任意的*n ∈N ,点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设log 3n n a b =,求数列1{}n n b b +的前n 项和n T .解:(1)(法一)∵对任意的*n ∈N ,点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上,∴183n n a S +=+,………………………………………………………………………………1分∴当2n ≥时,183n n a S -=+,………………………………………………………………2分∴118()8n n n n n a a S S a +--=-=,即19n n a a +=(2)n ≥,……………………………………3分又∵113S a ==,∴218327a S =+=,∴219a a =,………………………………………4分∴19n n a a +=*()n ∈N ,∴数列{}n a 是以3为首项,9为公比的等比数列,……………5分∴121393n n n a --=⨯=.………………………………………………………………………6分(法二)∵对任意的*n ∈N ,点1(,)n n S a +均在直线83y x =+上,∴183n n a S +=+,………………………………………………………………………………1分∴183n n n S S S +-=+,即193n n S S +=+,…………………………………………………2分∴1339()88n n S S ++=+,又113327888S a +=+=,∴数列3{}8n S +是以278为首项,9为公比的等比数列,…………………………………3分∴21132739888n n n S +-+=⨯=,∴21338n n S +-=,…………………………………………4分∴当2n ≥时,21212113333388n n n n n n a S S +-----=-=-=,………………………………5分又13a =,亦满足上式,∴213n n a -=*()n ∈N .……………………………………………6分(2)311log 3log 21n n a n b a n ===-,………………………………………………………7分∴11111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+,…………………………………………9分∴12231111111[(1)(()]2335212121n n n n T b b b b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-++,即21n nT n =+.………………………………………………………………………10分18.(12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos sin 1b C c Ba c+=+.(1)求角B 的大小;(2)设D ,E 分别为边AB ,BC 的中点,已知△BCD的周长为3+且2AE CD =,若5c a <,求a .解:(1)由正弦定理,得sin cos sin sin sin B C C B A C =+,……………………1分∵A ,B ,C 为△ABC 的内角,∴πA B C ++=,∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,i n c n s s os s n i i n C B C C B +=,………………………………………………………3分∵(0,π)B ∈,(0,π)C ∈,∴sin 0C ≠cos 1B B -=,…………………………4分∴2πsin 1(6B -=,……………………………………………………………………………5分易知ππ5π66(6,B --∈,∴ππ66B -=,即π=3B .…………………………………………6分(2)设BE m =,BD n =,则2a m =,2c n =,在△ABE 中,由余弦定理,得222222cos 42AE BE BA BE BA B m n mn =+-⋅⋅=+-,…………………………………7分在△BCD 中,同理有222222cos 42CD BC BD BC BD B m n mn =+-⋅⋅=+-,…………8分∵2AE CD =,∴22194AE CD =,即22224219=424m n mn m n mn +-+-,…………………………………9分整理得221024=0n mn m -+,解得=4n m ,或=6n m ,∵5c a <,即210n m <,∴=4n m ,且CD =,……………11分∵△BCD 的周长为3+,∴2(63m n m ++=+=+∴12m =,∴21a m ==.…………………………………………………………………12分19.(12分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动,凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK 赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为:游戏共三局,每局游戏开始前,在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同之外,其余完全相同).每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码).若双方摸出的两球号码之差为奇数,则甲被扣除2个积分,乙增加2个积分;若号码之差为偶数,则甲增加*()n n ∈N 个积分,乙被扣除n 个积分.PK 游戏开始时,甲、乙的初始积分均为零,PK 游戏结束后,若双方的积分不等,则积分较大的一方视为获胜方,将获得“购书劵”奖励;若双方的积分相等,则均不能获得奖励.(1)设PK 游戏结束后,甲的积分为随机变量ξ,求ξ的分布列;(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据,当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时,记正整数n 的最小值为0n .(i)求0n 的值,并说明理由;(ii)当0n n =时,求在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书劵”奖励的概率.解:(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ,“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ,由题可知3()5P A =,2()5P B =,…………………………………………………2分当三局均为甲被扣除2个积分时,6ξ=-,当两局为甲被扣除2个积分,一局为乙被扣除n 个积分时,4n ξ=-,当一局为甲被扣除2个积分,两局为乙被扣除n 个积分时,22n ξ=-,当三局均为乙被扣除n 个积分时,3n ξ=,∴3327(6)()5125P ξ=-==,2233254(4)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=,1233236(22)(55125P n C ξ=-=⋅⋅=,328(3)(5125P n ξ===,∴ξ的分布列为ξ6-4n -22n -3nP2712554125361258125………………………6分(2)(i)由(1)易知2754368618()(6)+(4)+(22)31251251251255n E n n n ξ-=-⋅-⋅-⋅+⋅=,显然甲、乙双方的积分之和恒为零,当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时,则需618()05n E ξ-=>,…………8分∴3n >,即正整数n 的最小值04n =.……………………………………………………9分(ii)当4n =时,记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ,则32117()1()5125P C =-=,………………………………………………………………10分由题设可知,若甲获得“购书劵”奖励,则甲被扣除积分的局数至多为1,记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D ,易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”,∴1233236()(55125P CD C =⋅⋅=,……………………………………………………………11分∴36()4125()117()13125P CD P D C P C ===,即在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书劵”奖励的概率为413.……………………………………………………………………12分20.(12分)如图,平面⊥ABCD 平面ABE ,点E 为半圆弧 AB 上异于A ,B 的点,在矩形ABCD中,=AB ,设平面ABE 与平面CDE 的交线为l .(1)证明:∥l 平面ABCD ;(2)当l 与半圆弧 AB 相切时,求二面角--A DE C 的余弦值.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为矩形,∴∥AB CD ,………1分∵⊂AB 平面ABE ,⊄CD 平面ABE ,∴∥CD 平面ABE ,………………………………………………2分又⊂CD 平面CDE ,平面 ABE 平面=CDE l ,………………3分∴∥l CD ,………………………………………………………………………………………4分∵⊂CD 平面ABCD ,⊄l 平面ABCD ,∴∥l 平面ABCD .………………………………5分(2)(法一)取AB ,CD 的中点分别为O ,F ,连接OE ,OF ,则⊥OF AB ,∵平面⊥ABCD 平面ABE ,且交线为AB ,∴⊥OF 平面ABE ,又⊂OE 平面ABE ,⊥OF OE ,当l 与半圆弧 AB 相切时,⊥OE l ,即⊥OE AB ,…………………………………………7分以OE ,OB ,OF 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设=BC ,易得(0,1,0)-A,C,(0,-D ,(1,0,0)E ,则(1,1,=DE,= AD ,(0,2,0)= DC ,……………………………………8分设111(,,)=m x y z 为平面DAE 的一个法向量,则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,AD m DE m即111100=+-=⎪⎩,,x y ∴1110=⎧⎨=-⎩,,z x y 令1=1x ,则(1,1,0)=- m ,…………………9分设222(,,)= n x y z 为平面DCE 的一个法向量,则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,,DC n DEn (第20题图)即2222200=⎧⎪⎨+=⎪⎩,,y x y∴2220=⎧⎪⎨=⎪⎩,,y x 令2=1z -,则(1)n =- ,…………………10分∴3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>===,………………………………………………11分易知二面角--A DE C 的平面角大小即为,m n <>,∴二面角--A DE C的余弦值为3-.……………………………………………………12分(法二)当l 与半圆弧 AB 相切时,⊥AE EB ,=AE EB,∴=AB ,…………6分∵平面⊥ABCD 平面ABE ,平面ABCD 平面ABE AB =,且⊥DA AB ,DA ⊂平面ABCD ,∴⊥DA 平面ABE ,又⊂AE 平面ABE ,∴⊥DA AE ,同理,⊥CB BE ,……………………………………………7分不妨设=BC,则===BE AE AD 2==AB DC ,∴由勾股定理得2==DE CE ,……………………………8分取DE 的中点F ,连接AF ,FC ,AC ,则⊥DE AF ,⊥DE CF ,∴∠AFC 是二面角--A DE C 的平面角,…………………………………………………9分易知112==AF DE,32=CF DEAC ==,……………10分∴在△AFC中,有2223cos 3∠==-AFC ,…………………………11分∴二面角--A DE C 的余弦值为33-.……………………………………………………12分21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)A -,(1,0)B ,设△ABC 的内切圆与AC 相切于点D ,且||1CD =,记动点C 的轨迹为曲线T .(1)求T 的方程;(2)设过点11(,)32R 的直线l 与T 交于M ,N 两点,已知动点P 满足1PM MR λ= ,且2PN NR λ=,若120λλ+=,且动点Q 在T 上,求||PQ 的最小值.解:(1)不妨设△ABC 的内切圆与BC ,BA 分别相切于点E ,F ,由切线长相等可知,||||1CD CE ==,||||AD AF =,||||BE BF =,……………………1分∴||||||||2AD BE AF BF +=+=,∴||||||||||||4||CA CB CD AD CE BE AB +=+++=>,…………………………………2分∴动点C 的轨迹为以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(且C 不在直线AB 上),设动点C 的轨迹方程为:22221(0)x y y a b+=≠,易知2a =,且221a b -=,解得23b =,∴T 的方程为:221(0)43x y y +=≠.………………………………………………………4分(2)设11(,)M x y ,22(,)N x y ,00(,)P x y ,∵1PM MR λ= ,∴101011111(,)(,)32x x y y x y λ--=--,若11λ=-,则21λ=,PM MR =-,即P 与R 重合,与PN NR = 矛盾,∴11λ≠-,∴1011131x x λλ+=+,1011121y y λλ+=+,∴1010111132(,)11x y M λλλλ++++,…………………………6分代入22143x y +=,化简得22210010032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=,…………7分同理可得,22220020032(61272)912360x y x y λλ-++-++-=,…………………………8分∴1λ,2λ为方程222000032(61272)912360x x y x x y -++-++-=的两根,∵120λλ+=,∴00612720x y +-=,即002120x y +-=,即动点P 在定直线1:2120l x y +-=上,…………………………………………………9分显然直线1l 与T 没有交点,令直线2:20(0)l x y m m +-=>,当2l 与T 相切时,记1l ,2l 的距离为d ,则||PQ d ≥,联立2220,1,43x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2242120x mx m -+-=,由22(2)16(12)0m m =---=∆,解得4m =±,又0m >,∴4m =,………………10分此时,解得1x =,32y =,即切点为3(1,2,且直线1l ,2l的距离为d ==||5PQ ≥,当Q 点坐标为3(1,)2,且1PQ l ⊥时,经计算,得1347(,510P ,此时,|PQ ,且不难知道直线PR 即直线l 不过点(2,0)和(2,0)-,符合题设条件,∴||PQ的最小值为5.…………………………………………………………………12分(注:本题未说明点P ,Q 的存在性及未论证直线l 不过点(2,0)和(2,0)-总共扣1分.)22.(12分)已知函数()ln(1)1axf x x x =+-+()a ∈R .(1)若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,求a 的取值范围;(2)证明:*n ∀∈N,1(1(1e n--⋅⋅⋅-.解:(1)221(1)()1(1)(1)a x a f x x x x --'=-=+++,………………………………………………1分当1a ≤时,(0,)x ∀∈+∞,(1)0x a -->,∴当0x >时,()0f x '>,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,……………………………2分当1a >时,(0,1)x a ∀∈-,(1)0x a --<,∴当01x a <<-时,()0f x '<,……………………………………………………………3分∴()f x 在区间(0,1)a -上单调递减,不合题意,∴若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围为(,1]-∞.…………………4分(2)欲证1(1(1en -⋅⋅⋅-,只需证e n<,………………………………5分即证e (1(1n <++⋅⋅⋅+,…………………………6分只需证<ln(1ln(1ln(1n ++++⋅⋅⋅++,……………7分由(1)可知当1a =时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,∴()(0)0f x f >=,∴当0x >时,不等式ln(1)01xx x +->+恒成立,即ln(1)1x x x +>+恒成立,…………8分∴1>+,即>,…………………9分同理>,…,ln >将上述不等式累加得:ln(1ln(1ln(1++⋅⋅⋅+………………………………………………………………………10分n =++⋅⋅⋅+==,∴不等式<ln(1ln(1ln(1n +++⋅⋅⋅++得证,∴不等式1(1(1e n-⋅⋅⋅-得证.………………………12分。
山东省青岛市第五中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 设复数(其中为虚数单位),则的虚部为A. B. C. D.参考答案:D2. 等腰三角形中,边中线上任意一点,则的值为A. B. C.5 D.参考答案:D略3. 已知平面向量,,且,则=( )A. –3B. –1C. 1 D . 3参考答案:C4. 已知函数,设方程的四个实根从小到大依次为,对于满足条件的任意一组实根,下列判断中正确的个数为()(1);(2);(3);(4)。
A.3 B.2 C.1 D.0参考答案:【知识点】函数与方程B9A不妨令b=0,函数f(x)图象与函数的图象如图,则方程的根即为两个函数图象交点的横坐标,由图象可知,则,所以,,所以,由图象可知,,所以,得,综上知(1)(2)(3)正确,(4)错误,所以选A..【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生,再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.36+12πB.36+16πC.40+12πD.40+16π参考答案:C【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体,作出直观图,代入数据计算.【解答】解:由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体,作出几何体的直观图如图所示:其中半圆柱的底面半径为2,高为4,长方体的棱长分别为4,2,2,∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40.故选C.6. 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(A)(B)(C)(D)2参考答案:A圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),,解得,故选A.7. 已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的值为( ) A.1 B.﹣3 C.1或﹣3 D.0参考答案:A【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截距为2,即可作出不等式组表示的平面区域三角形;再由三角形面积公式解之即可.【解答】解:不等式组表示的平面区域如下图,解得点B的坐标为(2,2k+2),所以S△ABC=(2k+2)×2=4,解得k=1.故选A.【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法.8. 设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,则下列命题中不成立的是()A.若m?α,n?α,m∥n,则n∥αB.若α⊥γ,α∥β,则β⊥γC.若m?β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则m⊥nD.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β参考答案:D【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,由线面平行的判定定理得n∥α;在B中,由面面垂直的判定定理得β⊥γ;在C中,由三垂直线定理得m⊥n;在D中,l与β相交、平行或l?β.【解答】解:由l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,知:在A中,若m?α,n?α,m∥n,则由线面平行的判定定理得n∥α,故A正确;在B中,若α⊥γ,α∥β,则由面面垂直的判定定理得β⊥γ,故B正确;在C中,若m?β,n是l在β内的射影,若m⊥l,则由三垂直线定理得m⊥n,故C正确;在D中,若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l与β相交、平行或l?β,故D错误.故选:D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.9. 函数在区间上的最小值是()A. B. C. D.2参考答案:C略10. 已知函数y=lgx的定义域为集合A,集合B={0,1,2},则A∩B=()A.(0,+∞)B.(0,2] C.{0,1,2} D.{1,2}参考答案:D【考点】交集及其运算.【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解:由函数y=lgx,得到x>0,即A=(0,+∞),∵B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.故选:D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列{a n}的前n项和S n,若a1=2,S3=12,则a6= .参考答案:12【考点】等差数列的前n项和.【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可.【解答】解:∵S3=12,∴S3=3a1+d=3a1+3d=12.解得d=2,则a6=a1+5d=2+2×5=12,故答案为:1212. 抛物线的准线方程为_____.参考答案:13. 等差数列前项和为已知为____时最大.参考答案:714. 如右图所示的程序框图的输出值,则输入值。
第1页共4页数学试青岛市2023年高三年级第三次适应性检测题本试卷共4页,22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟2023.05。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集R =U ,集合A ,B 满足)(B A A ⊆,则下列关系一定正确的是A .BA =B .AB ⊆C .()U A B =∅ðD .()U A B =∅ð2.设数列}{n a 是等比数列,则“531a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为A .95B .245C .41D .324.某比赛决赛阶段由甲,乙,丙,丁四名选手参加,在成绩公布前,C B A ,,三人对成绩作出如下预测:A 说:乙肯定不是冠军;B 说:冠军是丙或丁;C 说:甲和丁不是冠军.成绩公布后,发现三人中只有一人预测错误,则冠军得主是A .甲B .乙C .丙D .丁5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC 的顶点)0,3(-A ,)0,3(B ,)3,3(C ,若直线2:(3)90l ax a y +--=与△ABC 的欧拉线平行,则实数a 的值为A .2-B .1-C .1-或3D .3第2页共4页6.将函数)0)(3πsin()(>+=ωωx x f 图象向左平移ω2π后,得到)(x g 的图象,若函数)(x g 在2π,0[上单调递减,则ω的取值范围为A .]3,0(B .]2,0(C .34,0(D .]32,0(7.已知向量,,a b c 满足:||||1a b == ,1()2a ab ⋅-= ,()(3)0bc b c -⋅-= ,则||a c -的最小值为A1-B .3C .2D .18.已知O 为坐标原点,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过C的右焦点2F 且倾斜角为π3的直线交C 于,A B 两点,AB 中点为W,2||F W =,1F AB ∆的周长等于12,则A .3=aB .双曲线C 的渐近线方程为x y 2±=C .9||=AB D.||OW =二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
山东省青岛市2022届高三下学期5月二模考试数 学2022.05本试卷共6页,22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2,4,5},B ={1,3,5,7},则A ∪(∁U B )=A .{3,6}B .{2,4}C .{1,2,4,5,6}D .{3,5,7} 2.复数2i1-i(i 是虚数单位)的虚部是A .1B .-iC .2D .-2i 3.函数f (x )=2xx 2-1的图象大致为4.二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌,体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中,每一句诗歌的开头-字代表着季节,每-一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气,这2个节气恰好在一个季节的概率为A .146B .123C .523D .165.若a >b ,则A .1a >1bB .(12)a >(12)b C .a >b D .a 3>b 36.下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增的是A .y =sin4xB .y =cos4xC .y =tan xD .y =-tan2x7.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语,指的是一段类似隧道形状的几何体,如图,羡除ABCDEF 中,底面ABCD 是正方形,EF //平面ABCD ,EF =2,其余棱长都为1,则这个几何体的外接球的体积为A .23π B .43π C .823π D .4π8.设O 为坐标原点,抛物线C 1:y 2=2px (p >0)与双曲线C 2:x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)有共同的焦点F ,过F 与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,与C 2在第一象限内的交点为M ,若→OM =m →OA +n →OB (m ,n ∈R ),mn =18,则双曲线C 2的离心率为A .5+13 B .5+12 C .6+22 D .6+223二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ,集合{}2320A x x x =-+≤,{}131x B x -=≥,()U A B =I ð( )A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞2.若复数z 满足(3)|3|i z i -=+(其中i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A.12B.12i C. 12-D. 12i -3.已知向量()1cos ,2a x =+r ,()sin ,1b x =r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若//a b r r ,则sin x =( )A.45B.35C.25D.254.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数解析式来分析函数的图象与性质,下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e-=-D. ()cos x xy e e -=+5.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( ) A.29B.14C.718D.1126.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,则椭圆C的蒙日圆方程为( ) A. 229x y +=B.227x y +=C. 225x y +=D. 224x y +=7.已知O 是ABC V 内部一点,20OA OB OC ++=u u u ru u u r u u u rr ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r且6ABC π∠=,则OAC V 的面积为( )A.B.23C.D.438.已知函数()2ln x f x x =,若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立, 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A.m e >B. 2em >C. 1m >D. m >二、多项选择题9.设a ,b ,c 为实数,且0a b >>,则下列不等式中正确的是( ) A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时,n S 取得最大值D. 当0n S >时,n 的最大值为2011.声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值212.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题,则实数a 的取值范围是_______14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.15.已知()f x 为奇函数,当0x >时,()ln xf x x=,则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______. 16.已知抛物线C :22y px =()06p <<的准线交圆1O :()2234x y ++=于A ,B 两点,若23AB =则抛物线C 的方程为______,已知点()1,2M ,点E 在抛物线C 上运动,点N 在圆2O :()2221x y -+=上运动,则EM EN +的最小值为______.四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______. 给出下列三个条件:条件①:数列{}n a 为等比数列,数列{}1n S a +也为等比数列;条件②:点{}1,n n S a +在直线1y x =+上;条件③:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在ABC V 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足cos2cos sin a C a C c A =-.(1)求角C ;(2)若ABC V 为锐角三角形,12c =,求ABC V 面积S的最大值.19.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.(1)求证:平面11CC D D ⊥底面ABCD ;(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π,求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值. 20.某专业机械生产厂为甲乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲乙两地的试验的结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按(]7,8,(]8,9,(]9,10,(]10,11,(]11,12分组进行统计,甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图(其中a ,b ,c 成等差数列,且23c b =),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.(1)求a ,b ,c 的值并计算甲地实验结果的平均数x .(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列的22⨯列联表: 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地总计试根据上面完成的22⨯列联表,通过计算分析判断,能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关?附:临界值表()2P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中2K的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d-=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件,在甲地实验条件下,以频率为概率,随机打开一个4个装的零件包装箱,记其中特优件的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.21.已知椭圆E:22221x ya b+=()0a b>>的离心率为12,其左右顶点分别为1A,2A,上下顶点分别为2B,1B,四边形1122A B A B的面积为43.(1)求椭圆E的方程;(2)若椭圆E左右焦点分别为1F,2F,过2F的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,记1F MN△的内切圆的半径为r,试求r的取值范围.22.已知函数()22xaf x e x=-( 2.71828e=⋅⋅⋅为自然对数的底数)有两个极值点1x,2x.(1)求a的取值范围;(2)求证:122ln x x a +<.山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ,集合{}2320A x x x =-+≤,{}131x B x -=≥,()U A B =I ð( )A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ,B 化简,再求出U A ð,根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤,{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥,所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>.故选:B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算,同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法,属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i =(其中i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =,从而可得z =,再根据复数的乘除运算即可求出复数z ,再根据共轭复数的定义,求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i =得)2i z ==,所以2(3)2(3)31=4223(3)(3)i i z i i i i ++===+--+,所以3122z i =-,所以z的虚部为12-. 故选:C.【点睛】本题主要考查复数的模,复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念,属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ,()sin ,1b x =r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若//a b r r ,则sin x =( ) A.45B.35C.25D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-,代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r,所以1cos 2sin 0x x +-=,所以cos 2sin 1x x =-,又因为22sin cos 1x x +=,所以22sin (2sin 1)1x x +-=, 即25sin 4sin 0x x -=,解得4sin 5x =或sin 0x =,又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以4sin 5x =. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示,同角三角函数平方关系,属于基础题.4.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数解析式来分析函数的图象与性质,下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可.【详解】当0x =时,对于A ,()00sin sin20y e e =+=>,故排除A ;对于B ,()00sin 0y e e=-=,故排除B ; 对于C ,()00tan 0y e e=-=,故排除C ;对于D ,()00cos cos20y e e =+=<,符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系,可利用从函数图象上的特殊点,排除不合要求的解析式.5.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( ) A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种,利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种,根据古典概型概率计算公式,即可求出答案.【详解】从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,有36个基本事件,其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示):(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6), (4,4),(5,5),(6,6),共14个,所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选:C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法,属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,则椭圆C的蒙日圆方程为( ) A. 229x y += B.227x y += C. 225x y += D. 224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =,根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点,即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,12=,解得3a =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=,所以椭圆的上顶点A ,右顶点(2,0)B ,所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =,所以两条切线的交点坐标为,又过A ,B 的切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选:B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质,同时考查圆的方程,属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点,20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=,则OAC V 的面积为( ) A.3 B.23C.23D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ,可得BO OD =u u u r u u u r ,从而可得O 为BD 的中点,进而可得12AOC ABC S S =△△,由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ,再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u uu r u u u r △即可求出ABC S V . 【详解】在ABC V 中,由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r,所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r,所以BO OD =u u u r u u u r,所以O 为BD 的中点,所以12AOC ABC S S =△△, 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ,所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以83||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ,所以11||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △,所以1233AOC S =⨯△. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积及三角形的面积公式,属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =,若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立, 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( ) A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立,令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可,利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立, 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可, 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==,令()0g x '=,得12x e -=, 当120x e -<<时,()0g x '>;当12x e ->时,()0g x '<, 所以()g x 在12(0)e -,上是单调递增,在12(,)e -+∞上是单调递减, 所以当12max ()()2e g x g e -==, 所以实数m 取值范围是2e m >. 故选:B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题,同时考查利用导数求函数的最值,属于中档题.二、多项选择题9.设a ,b ,c 为实数,且0a b >>,则下列不等式中正确的是( ) A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ,利用作差法比较即可;对B ,利用不等式的性质判断即可;对C ,利用作差法比较即可;对D ,利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ,因为0a b >>,所以1ab>, 所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=, 所以222log ()log ab b >,故A 正确;对B ,当0c =时,22ac bc >不成立,故B 错误; 对C ,因为0a b >>,所以10b b a a a --=<,10a b a b b--=<, 所以1b aa b<<,故C 正确; 对D ,因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,又a b >,所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 错误. 故选:AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小,不等式的性质及指数函数的单调性,属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时,n S 取得最大值D. 当0n S >时,n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=,由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-,联立方程可求出120a =,2d =-,即可判断A ,B 选项,求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,即可判断C ,D.【详解】因为690S =,所以1656902a d ⨯+=,即12530a d +=,① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项,所以2739a a a =⋅, 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++,整理得110a d =-,②由①②解得120a =,2d =-,故A 错误; 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+, 又n *∈N ,所以当10n =或11n =时,n S 取得最大值,故C 正确;令2210n S n n =-+>,解得021n <<,又n *∈N ,所以n 的最大值为20,故D 正确. 故选:BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列前n 项和公式,等比中项的应用,同时考查等差数列和的最值问题,属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ,B ;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π,可判断C ;结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论,将函数()f x 的绝对值去掉,再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ,因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以()f x 是偶函数,故A 正确;因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=+=+-sin ()x x f x =+=,所以()f x 是以π为周期的周期函数,故B 正确;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭π, 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故C 错误;由于函数()f x 是以π为周期的周期函数,故只需研究一个周期内的最大值即可, 不妨取[0,]x π∈,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+, 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当32x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π, 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 所以32x ππ-=,即56x π=时,()f x 取得最大值2, 故当[0,]x π∈时,()f x 取得最大值2,故D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法,同时考查两角和与差的正弦公式的逆用,属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系,写出各点坐标,计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ;分别求出平面1B CE ,平面1A BD 的法向量,判断它们的法向量是否共线,即可判断B ;利用等体积法,求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,1(0,0,4)A ,1(2,0,4)B ,(0,2,2)E ,所以1(2,2,2)B E =--u u u r ,1(2,0,4)A B =-u u u r , 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ,所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直,故A 错误; 1(0,2,4)CB =-u u u r ,(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r,则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,所以11112y z x z =⎧⎨=⎩,不妨取11z =,则11x =,12y =所以(1,2,1)n =r,同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r,故不存在实数λ使得n λm =r u r,故平面1B CE 与平面1A BD 不平行,故B 错误; 在长方体1111ABCD A B C D -中,11B C ⊥平面11CDD C ,故11B C 是三棱锥11B CEC -的高, 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△, 故C 正确;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==,故D 正确. 故选:CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行,等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题,则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题,则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ,解得22a -≤≤. 答案为:[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项,进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为:25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法,解题时要认真审题,注意二项式定理的合理运用,属于基础题.15.已知()f x 为奇函数,当0x >时,()ln xf x x=,则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______. 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数,可求出当0x <时,()f x 的表达式为ln()()x f x x-=,然后根据在一点处的切线方程的求法,即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程. 【详解】因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-, 当0x <时,则0x ->,所以ln()ln()()()x x f x f x x x--=--=-=-, 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==,所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=, 所以切线方程是01y x -=+,即10x y -+=. 故答案为:10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,在一点处的切线方程的求法,同时考查复合函数的导数,属于中档题.16.已知抛物线C :22y px =()06p <<的准线交圆1O :()2234x y ++=于A ,B 两点,若23AB =,则抛物线C 的方程为______,已知点()1,2M ,点E 在抛物线C 上运动,点N 在圆2O :()2221x y -+=上运动,则EM EN +的最小值为______. 【答案】 (1). 28y x = (2). 2. 【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ,抛物线C 的准线方程为2px =-,则22211AO AD DO =+,即224(3)|3|2p =+-+, 整理得212320p p -+=,解得4p =或8p =,又06p <<,所以4p =,所以抛物线C 的方程为28y x =.(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合, 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线,垂足为F ,则2||||EO EF =,所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-, 所以当M ,E ,F 三点共线时,EM EF +最小,最小值为3, 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=, 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为:①28y x =;②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程,圆中的弦长公式,抛物线中的最值问题,同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______. 给出下列三个条件:条件①:数列{}n a 为等比数列,数列{}1n S a +也为等比数列;条件②:点{}1,n n S a +在直线1y x =+上;条件③:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈;(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一:选条件①.数列{}1n S a +也为等比数列,可根据其前3项也成等比数列列出方程,再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q ,即可求出n a ;方案二:选条件②,可得11n n a S +=+()N n *∈,再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212aa =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;方案三:选条件③.可得当2n ≥时,1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈,再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212a a =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;(2)由(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈,代入化简可得()12n b n n =+,利用裂项相消法求和,即可求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)方案一:选条件①. 因为数列{}1n S a +为等比数列,所以()()()2211131S a S a S a +=++,即()()2121123222a a a a a a +=++, 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为11a =, 所以()()22222q q q+=++,解得2q =或0q =(舍), 所以1112n n n a a q --==()N n *∈, (2)由(1)得12n n a -=()N n *∈,所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭,所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪, 方案二:(1)选条件②.因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上,所以11n n a S +=+()N n *∈,所以11n n a S -=+()2n ≥,两式相减得1n n n a a a +-=,12n na a +=()2n ≥, 因为11a =,211112a S a =+=+=,212a a =适合上式,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2). 方案三:(1)选条件③.当2n ≥时,因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅(i )所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅(ii )(i )-(ii )得122(1)n n n a na n a +=--,即12n na a +=()2n ≥, 当1n =时,122a a =,212a a =适合上式, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法,裂项相消法求和,属于基础题.18.在ABC V 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足cos2cos sin a C a C c A =-. (1)求角C ;(2)若ABC V 为锐角三角形,12c =,求ABC V 面积S 的最大值. 【答案】(1)4C π=;(2))361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-,利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-,进而可得cos2cos sin C C C =-,再利用二倍角公式即可求出角C ;(2)由已知可得4C π=,故要求ABC V 面积S 的最大值,只需求出ab的最大值即可,利用余弦定理可得222144c a b ==+,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-,所以由正弦定理可得:sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-, 因为()0,A π∈,sin 0A ≠,所以cos2cos sin C C C =-, 所以22cos sin cos sin C C C C -=-, 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=, 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=, 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=, ①若cos sin C C =,则4C π=,②若cos sin 10C C +-=,则2sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为5444C πππ<+<,所以344C ππ+=,即2C π=, 综上,4C π=或2C π=.(2)因为ABC V 为锐角三角形,所以4C π=,因为()222221442cos 222224c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=+-≥-=-,即()722222ab ≤=+-(当且仅当a b =等号成立),所以()()1122sin sin 7222362122444S ab C ab ab π===≤⨯+=+,即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理,二倍角公式,基本不等式及三角形的面积公式,同时考查三角形中面积的最大值求法,属于基础题.19.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.(1)求证:平面11CC D D ⊥底面ABCD ;(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π,求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ,只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可,可证1D E ⊥底面ABCD ,由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,可得BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,从而可得1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,从而可证出1D E ⊥底面ABCD ;(2) 取AB 的中点F ,以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系,设1ED a =()0a >,写出各点坐标,分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ,()20,,1n a =-u u r ,根据它们所成的锐二面角的大小为3π,利用夹角公式列出方程可求出1a =,再求出()11,1,1CA =-u u u r,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,所以BC CD ⊥,1BC CC ⊥,又1CD CC C =I ,1,CD CC ⊂平面11DCC D , 所以BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,所以1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,BC CD C ⋂=,,BC CD ⊂底面ABCD , 所以1D E ⊥底面ABCD ,又1D E ⊂平面11CC D D , 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD .(2)取AB 的中点F ,因为E 是CD 的中点,底面ABCD 是矩形,所以EF CD ⊥,以E 为原点,以EF ,EC ,1ED 所在直线分别为x ,y ,z 轴, 建立空间直角坐标系E xyz -,如图所示:设1ED a =()0a >,则()0,0,0E ,()1,1,0B ,()10,0,D a ,()0,1,0C ,()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ,()1,1,0EB =u u u r ,()10,0,ED a =u u u u r.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得:11100x y az +=⎧⎨=⎩,令11x =可得11y =-,10z =,所以()11,1,0n =-u r,设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ,()1,0,0CB =u u u r ,()10,1,CC a =u u u u r.由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得,22200x y az =⎧⎨+=⎩,令21z =可得2y a =-,所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π, 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r ur u u r , 解得1a =.所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r,由于()1,1,0A -,()0,1,0C ,()0,1,0D -,()10,0,1D ,所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r, 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,则12126sin 23CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值,属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲乙两地的试验的结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按(]7,8,(]8,9,(]9,10,(]10,11,(]11,12分组进行统计,甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图(其中a ,b ,c 成等差数列,且23c b =),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.(1)求a ,b ,c 的值并计算甲地实验结果的平均数x .(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列的22⨯列联表: 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地 总计试根据上面完成的22⨯列联表,通过计算分析判断,能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关? 附:临界值表()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件,在甲地实验条件下,以频率为概率,随机打开一个4个装的零件包装箱,记其中特优件的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)0.1a =,0.2b =,0.3c =,平均数9.3x =万次;(2)见解析,有;(3)见解析,1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1,可得0.6a b c ++=,再由a ,b ,c 成等差数列,可得2b a c =+,再结合23c b =解方程即可求出a ,b ,c 的值;利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ;(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数,即可完成22⨯列联表,然后根据22⨯列联表求出观测值k ,查对临界值,即可作出判断;(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =,ξ的取值可能为0,1,2,3,4,根据二项分布分别求出相应的概率,即可列出分布列并求出数学期望.【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得:0.050.351a b c ++++=,即0.6a b c ++= 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b a c =+,所以0.2b = 又23c b =,解之得:0.3c =,0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件,不超过9万次的件数为1006040-=件,由乙地试验结果分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=, 不超过9万次的零件数为25件,所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为零件质量优秀与否与气候条件有关, 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25, 以频率为概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以()40043181044256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质,利用组中值估计平均数,独立性检验的应用,二项分布及数学期望,属于中档题.21.已知椭圆E :22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12,其左右顶点分别为1A ,2A ,上下顶点分别为2B ,1B ,四边形1122A B A B 的面积为43.(1)求椭圆E 的方程;(2)若椭圆E 的左右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,记1F MN △的内切圆的半径为r ,试求r 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)304r <≤【解析】 【分析】 (1)根据离心率为12,四边形1122A B A B 的面积为3222a b c =+,即可求出,a b ,进而求出椭圆E 的方程;(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==,可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△,即114F MN r S =△, 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论,当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,可求得34r =;当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ,由根与系数的关系可求出12y y +,12y y ,代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数,利用换元法即可求出r 的取值范围. 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12,所以12c e a ==, 因为四边形1122A BA B 的面积为1222a b ⨯⨯= 又222a b c =+,解得:2a =,b =1c =,所以椭圆E的方程为:22143x y +=.(2)设()11,M x y ,()22,N x y ,则1F MN △的周长48a ==,()111142F MN S F M FN MN r r =++=△,即114F MN r S=△, 当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,3MN =,11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△, 当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()22243690k y ky k ++-=,所以122643k y y k +=-+,2122943k y y k =-+,112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△ 1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=,则3t >,r ===, 因为3t >,所以1103t <<,所以304r <<综上可知:304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,同时考查椭圆中的范围问题,对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△,将问题转化为求1MN F S V 的面积问题. 22.已知函数()22xa f x e x =-( 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)有两个极值点1x ,2x . (1)求a 的取值范围; (2)求证:122ln x x a +<. 【答案】(1)(),e +∞;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()xf x e ax '=-,令()()xg x f x e ax '==-,利用导数研究函数()g x 的单调性:当0a ≤时,()0x g x e a '=->,此时()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;当0a >时,只需()()min ln 0g x g a =<,同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可;(2) 不妨设12x x <,则()1,ln x a ∈-∞,()2ln ,x a ∈+∞,所以12ln x a x <<,要证122ln x x a +<,即证122ln x a x <-,而当(),ln x a ∈-∞时,函数()g x 单调递减,即证()()122ln g x g a x >-,而()()12g x g x =,即证()()222ln g x g a x >-,故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--,利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-,因为函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ,2x设()()xg x f x e ax '==-,则()xg x e a '=-①当0a ≤时,()0xg x e a '=->,所以()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意 ②当0a >时,由()0xg x e a '=-=得ln x a =.。
山东省青岛市高考数学自主检测试卷〔三模〕一、单项选择题〔共8小题,每题5分,共40分〕.1.集合A={x∈N|y=log4〔x3﹣8〕},集合B={y∈N|y=2|x﹣1|,x∈R},那么〔∁R A〕∩B=〔〕A.〔0,2]B.〔﹣1,2]C.{0,1,2}D.{1,2}2.z〔1+i〕=2i〔i为虚数〕,那么复数z对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设α,β是空间两个不同平面,a,b,cA.假设α∥β,b∥α,那么b∥βB.假设直线a与b相交,a∥α,b∥β,那么α与β相交C.假设β⊥α,a∥α,那么a⊥βD.假设α⊥β,α∩β=a,b⊂α,b⊥a,c⊥β,那么b∥c4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具,其中最简单的二阶行列式的运算定义如下:=a11a22﹣a21a12,S n是等差数列{a n}的前n项和,假设=0,那么S15=〔〕A.B.45C.75D.1505.1<<,M=a a,N=a b,P=b a,那么M,N,P的大小关系正确的为〔〕A.N<M<P B.P<M<N C.M<P<N D.P<N<M6.直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,那么以下说法正确的选项是〔〕A.“m>1〞是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=﹣3〞是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=﹣2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点7.假设将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔|φ|<〕的图象向左平移个后得到的图象关于y轴对称,那么函数f〔x〕在[0,]上的最大值为〔〕A.2B.C.1D.8.定义在R上的奇函数f〔x〕的图象连续不断,其导函数为f'〔x〕,对任意正实数x恒有xf'〔x〕>2f 〔﹣x〕,假设g〔x〕=x2f〔x〕,那么不等式g〔log3〔x2﹣1〕+g〔﹣1〕<0〕的解集是〔〕A.〔0,2〕B.〔﹣2,2〕C.〔﹣,2〕D.〔﹣2,﹣1〕∪〔1,2〕二、多项选择题:此题共4小题,每题5分,共20分。
山东省青岛市2020届高三数学5月模拟检测试题(含解析)一、单项选择题1.已知全集U =R ,集合{}2320A x x x =-+≤,{}131x B x -=≥,()U A B =( )A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞ D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ,B 化简,再求出UA ,根据交集的定义即可得到答案.【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤,{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥,所以(){|1UA B x x ⋂=<或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>.故选:B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算,同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法,属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i =(其中i 是虚数单位),则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =,从而可得z =,再根据复数的乘除运算即可求出复数z ,再根据共轭复数的定义,求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==,所以)1422i z i ===+,所以312z i =-,所以z 的虚部为12-.故选:C.【点睛】本题主要考查复数的模,复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念,属于基础题. 3.已知向量()1cos ,2a x =+,()sin ,1b x =,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若//a b ,则sin x =( ) A.45B.35C.25D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-,代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b ,所以1cos 2sin 0x x +-=,所以cos 2sin 1x x =-, 又因为22sin cos 1x x +=,所以22sin (2sin 1)1x x +-=, 即25sin 4sin 0x x -=,解得4sin 5x =或sin 0x =,又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以4sin 5x =. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示,同角三角函数平方关系,属于基础题. 4.在数学的学习和研究中,常用函数的图象研究函数的性质,也常用函数解析式来分析函数的图象与性质,下列函数的解析式(其中 2.71828e =为自然对数的底数)与所给图象最契合的是( )A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可.【详解】当0x =时,对于A ,()00sin sin20y e e =+=>,故排除A ;对于B ,()00sin 0y e e=-=,故排除B ; 对于C ,()00tan 0y e e=-=,故排除C ;对于D ,()00cos cos20y e e =+=<,符合题意.故选:D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系,可利用从函数图象上的特殊点,排除不合要求的解析式.5.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( ) A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种,利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种,根据古典概型概率计算公式,即可求出答案. 【详解】从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,有36个基本事件,其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示):(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6), (4,4),(5,5),(6,6),共14个,所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选:C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法,属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,则椭圆C 的蒙日圆方程为( )A. 229x y +=B. 227xy +=C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =,根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点,即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C :2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12,12=,解得3a =,所以椭圆C 的方程为22143x y +=,所以椭圆的上顶点A ,右顶点(2,0)B ,所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =,所以两条切线的交点坐标为,又过A ,B 的切线互相垂直,由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227xy +=.故选:B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质,同时考查圆的方程,属于基础题. 7.已知O 是ABC 内部一点,20OA OB OC ++=,4BA BC ⋅=且6ABC π∠=,则OAC的面积为( ) A.3 B.23C.23D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=可得1()2BO OA OC =+,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+,可得BO OD =,从而可得O 为BD 的中点,进而可得12AOC ABC S S =△△,由4BA BC ⋅=可得83||||BA BC ⋅=,再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出ABCS.【详解】在ABC 中,由20OA OB OC ++=,得22OA OC OB BO +=-=, 所以1()2BO OA OC =+,设D 为AC 的中点,则1()2OA O OC D =+, 所以BO OD =,所以O 为BD 的中点,所以12AOC ABC S S =△△,因为4BA BC ⋅=,所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=,所以83||||3BA BC ⋅=, 所以11||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=△, 所以1233=AOC S =⨯△. 故选:A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算,向量的数量积及三角形的面积公式,属于中档题.8.已知函数()2ln x f x x =,若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立, 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数,则实数m 的取值范围是( )A. m e >B. 2e m >C. 1mD. m >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立,令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可,利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立,即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立, 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=,故只需max ()g x m <即可, 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==,令()0g x '=,得12x e -=, 当120x e -<<时,()0g x '>;当12x e ->时,()0g x '<, 所以()g x 在12(0)e -,上是单调递增,在12(,)e -+∞上是单调递减,所以当12max ()()2e g x g e -==, 所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选:B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题,同时考查利用导数求函数的最值,属于中档题.二、多项选择题9.设a ,b ,c 为实数,且0a b >>,则下列不等式中正确的是( ) A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ,利用作差法比较即可;对B ,利用不等式的性质判断即可;对C ,利用作差法比较即可;对D ,利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ,因为0a b >>,所以1ab>, 所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=, 所以222log ()log ab b >,故A 正确; 对B ,当0c时,22ac bc >不成立,故B 错误;对C ,因为0a b >>,所以10b b a a a --=<,10a b a b b--=<, 所以1b aa b<<,故C 正确; 对D ,因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,又a b >,所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 错误.故选:AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小,不等式的性质及指数函数的单调性,属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时,n S 取得最大值D. 当0n S >时,n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=,由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-,联立方程可求出120a =,2d =-,即可判断A ,B 选项,求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,即可判断C ,D.【详解】因为690S =,所以1656902a d ⨯+=,即12530a d +=,① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项,所以2739a a a =⋅, 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++,整理得110a d =-,②由①②解得120a =,2d =-,故A 错误; 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+, 又n *∈N ,所以当10n =或11n =时,n S 取得最大值,故C 正确;令2210n S n n =-+>,解得021n <<,又n *∈N ,所以n 的最大值为20,故D 正确. 故选:BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列前n 项和公式,等比中项的应用,同时考查等差数列和的最值问题,属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ,B ;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π,可判断C ;结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论,将函数()f x 的绝对值去掉,再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ,因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以()f x 是偶函数,故A 正确;因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=,所以()f x 是以π为周期的周期函数,故B 正确;当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭π, 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,故C 错误;由于函数()f x 是以π为周期的周期函数,故只需研究一个周期内的最大值即可, 不妨取[0,]x π∈,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+, 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以当32x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,13()3cos sin 2sin cos 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭π, 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 所以32x ππ-=,即56x π=时,()f x 取得最大值2, 故当[0,]x π∈时,()f x 取得最大值2,故D 正确. 故选:ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法,同时考查两角和与差的正弦公式的逆用,属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形,高为4,E 是1DD 的中点,则( )A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系,写出各点坐标,计算11B E A B ⋅值即可判断A ;分别求出平面1B CE ,平面1A BD 的法向量,判断它们的法向量是否共线,即可判断B ;利用等体积法,求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则 (0,0,0)A ,(2,0,0)B ,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,1(0,0,4)A ,1(2,0,4)B ,(0,2,2)E ,所以1(2,2,2)B E =--,1(2,0,4)A B =-, 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠,所以1B E 与1A B 不垂直,故A 错误; 1(0,2,4)CB =-,(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =,则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩,所以11112y z x z =⎧⎨=⎩,不妨取11z =,则11x =,12y = 所以(1,2,1)n =,同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =,故不存在实数λ使得n λm =,故平面1B CE 与平面1A BD 不平行,故B 错误; 在长方体1111ABCD A B C D -中,11B C ⊥平面11CDD C ,故11B C 是三棱锥11B CEC -的高,所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△, 故C 正确;三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球,故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==,故D 正确. 故选:CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行,等体积法的应用及几何体外接球的表面积. 三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题,则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题,则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤,解得22a -≤≤.答案为:[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项,进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为:25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法,解题时要认真审题,注意二项式定理的合理运用,属于基础题.15.已知()f x 为奇函数,当0x >时,()ln xf x x=,则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______. 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数,可求出当0x <时,()f x 的表达式为ln()()x f x x-=,然后根据在一点处的切线方程的求法,即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程. 【详解】因为()f x 为奇函数,所以()()f x f x -=-, 当0x <时,则0x ->,所以ln()ln()()()x x f x f x x x--=--=-=-, 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==, 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=, 所以切线方程是01y x -=+,即10x y -+=. 故答案为:10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,在一点处的切线方程的求法,同时考查复合函数的导数,属于中档题.16.已知抛物线C :22y px =()06p <<的准线交圆1O :()2234x y ++=于A ,B 两点,若AB =C 的方程为______,已知点()1,2M ,点E 在抛物线C 上运动,点N 在圆2O :()2221x y -+=上运动,则EM EN +的最小值为______.【答案】 (1). 28y x = (2). 2. 【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ,抛物线C 的准线方程为2px =-,则22211AO AD DO =+,即224(3)|3|2p =+-+, 整理得212320p p -+=,解得4p =或8p =,又06p <<,所以4p =,所以抛物线C 的方程为28y x =.(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合, 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线,垂足为F ,则2||||EO EF =, 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-, 所以当M ,E ,F 三点共线时,EM EF +最小,最小值为3, 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=, 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为:①28y x =;②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程,圆中的弦长公式,抛物线中的最值问题,同时考查数形结合思想和转化与化归思想. 四、解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,______. 给出下列三个条件:条件①:数列{}n a 为等比数列,数列{}1n S a +也为等比数列;条件②:点{}1,n n S a +在直线1y x =+上;条件③:1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设21231log log n n n b a a ++=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈;(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一:选条件①.数列{}1n S a +也为等比数列,可根据其前3项也成等比数列列出方程,再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q ,即可求出na ;方案二:选条件②,可得11n n a S +=+()N n *∈,再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212a a =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;方案三:选条件③.可得当2n ≥时,1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈,再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,两式相减可得12n n a a +=()2n ≥,再验证212a a =即可,从而可得数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,即可求出n a ;(2)由(1)不论选择哪个条件,1=2n n a -()N n *∈,代入化简可得()12n b n n =+,利用裂项相消法求和,即可求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)方案一:选条件①. 因为数列{}1n S a +为等比数列,所以()()()2211131S a S a S a +=++,即()()2121123222a a a a a a +=++, 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为11a =, 所以()()22222q q q+=++,解得2q或0q =(舍),所以1112n n n a a q --==()N n *∈,(2)由(1)得12nn a ()N n *∈,所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭,所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪, 方案二:(1)选条件②.因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上,所以11n n a S +=+()N n *∈,所以11n n a S -=+()2n ≥,两式相减得1n n n a a a +-=,12n na a +=()2n ≥, 因为11a =,211112a S a =+=+=,212a a =适合上式, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三:(1)选条件③.当2n ≥时,因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅(i )所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-,所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅(ii )(i )-(ii )得122(1)n n n a na n a +=--,即12n na a +=()2n ≥, 当1n =时,122a a =,212a a =适合上式, 所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法,裂项相消法求和,属于基础题.18.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且满足cos2cos sin a C a C c A =-. (1)求角C ;(2)若ABC 为锐角三角形,12c =,求ABC 面积S 的最大值. 【答案】(1)4C π;(2))361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-,利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-,进而可得cos2cos sin C C C =-,再利用二倍角公式即可求出角C ;(2)由已知可得4Cπ,故要求ABC 面积S 的最大值,只需求出ab 的最大值即可,利用余弦定理可得222144c a b ==+,再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-,所以由正弦定理可得:sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-, 因为()0,A π∈,sin 0A ≠,所以cos2cos sin C C C =-, 所以22cos sin cos sin C C C C -=-, 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=, 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=, 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=,①若cos sin C C =,则4Cπ,②若cos sin 10C C +-=,则2sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因为5444C πππ<+<,所以344C ππ+=,即2C π=, 综上,4Cπ或2C π=.(2)因为ABC 为锐角三角形,所以4C π,因为()222221442cos 222224c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=+-≥-=-,即()722222ab ≤=+-(当且仅当a b =等号成立),所以()()1122sin sin 7222362122444S ab C ab ab π===≤⨯+=+,即ABC 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理,二倍角公式,基本不等式及三角形的面积公式,同时考查三角形中面积的最大值求法,属于基础题.19.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,E 是CD 的中点,1D E CD ⊥,22AB BC ==.(1)求证:平面11CC D D ⊥底面ABCD ;(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π,求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;6 【解析】【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ,只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可,可证1D E ⊥底面ABCD ,由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形,可得BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,从而可得1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,从而可证出1D E ⊥底面ABCD ;(2) 取AB 的中点F ,以1{,,}EF EC ED 为正交基底建系,设1ED a =()0a >,写出各点坐标,分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-,()20,,1n a =-,根据它们所成的锐二面角的大小为3π,利用夹角公式列出方程可求出1a =,再求出()11,1,1CA =-,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,由12sin cos CA n =〈⋅〉θ即可求出答案. 【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形, 所以BC CD ⊥,1BC CC ⊥,又1CDCC C =,1,CD CC ⊂平面11DCC D ,所以BC ⊥平面11DCC D ,又1D E ⊂平面11DCC D ,所以1BC D E ⊥,又1D E CD ⊥,BC CD C ⋂=,,BC CD ⊂底面ABCD , 所以1D E ⊥底面ABCD ,又1D E ⊂平面11CC D D , 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD .(2)取AB 的中点F ,因为E 是CD 的中点,底面ABCD 是矩形,所以EF CD ⊥,以E 为原点,以EF ,EC ,1ED 所在直线分别为x ,y ,z 轴, 建立空间直角坐标系E xyz -,如图所示:设1ED a =()0a >,则()0,0,0E ,()1,1,0B ,()10,0,D a ,()0,1,0C ,()10,2,C a 设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =,()1,1,0EB =,()10,0,ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得:11100x y az +=⎧⎨=⎩,令11x =可得11y =-,10z =,所以()11,1,0n =-,设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =,()1,0,0CB =,()10,1,CC a =.由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得,22200x y az =⎧⎨+=⎩,令21z =可得2y a =-,所以()20,,1n a =-由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π,所以121212cos ,cos32n n n n n n π⋅===⋅,解得1a =.所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-,由于()1,1,0A -,()0,1,0C ,()0,1,0D -,()10,0,1D ,所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-,设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ,则1212sin 32CA n CA n θ⋅===⋅. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值,属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地(两地仅气候条件差异较大,其他条件相同)的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件,在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验,统计每个零件的抗疲劳次数(抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数),将甲乙两地的试验的结果,即每个零件的抗疲劳次数(单位:万次)分别按(]7,8,(]8,9,(]9,10,(]10,11,(]11,12分组进行统计,甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图(其中a ,b ,c 成等差数列,且23c b =),乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.(1)求a ,b ,c 的值并计算甲地实验结果的平均数x .(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次,则认为零件质量优秀,完成下列的22⨯列联表: 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地 总计试根据上面完成的22⨯列联表,通过计算分析判断,能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关? 附:临界值表()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件,在甲地实验条件下,以频率为概率,随机打开一个4个装的零件包装箱,记其中特优件的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.1a =,0.2b =,0.3c =,平均数9.3x =万次;(2)见解析,有;(3)见解析,1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1,可得0.6a b c ++=,再由a ,b ,c 成等差数列,可得2b a c =+,再结合23c b =解方程即可求出a ,b ,c 的值;利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ;(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数,即可完成22⨯列联表,然后根据22⨯列联表求出观测值k ,查对临界值,即可作出判断;(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =,ξ的取值可能为0,1,2,3,4,根据二项分布分别求出相应的概率,即可列出分布列并求出数学期望.【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得:0.050.351a b c ++++=,即0.6a b c ++= 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b a c =+,所以0.2b = 又23c b =,解之得:0.3c =,0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件,不超过9万次的件数为1006040-=件,由乙地试验结果分布表可得:抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=, 不超过9万次的零件数为25件,所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯, 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为零件质量优秀与否与气候条件有关, 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下,随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25, 以频率为概率,所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质,利用组中值估计平均数,独立性检验的应用,二项分布及数学期望,属于中档题.21.已知椭圆E :22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12,其左右顶点分别为1A ,2A ,上下顶点分别为2B ,1B ,四边形1122A B A B 的面积为43.(1)求椭圆E 的方程;(2)若椭圆E 的左右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,记1F MN △的内切圆的半径为r ,试求r 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)304r <≤ 【解析】 【分析】 (1)根据离心率为12,四边形1122A B A B 的面积为43222a b c =+,即可求出,a b ,进而求出椭圆E 的方程;(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==,可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△,即114F MN r S =△, 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论,当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,可求得34r =;当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ,由根与系数的关系可求出12y y +,12y y ,代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△()2122112142F F y y y y =+-k 的函数,利用换元法即可求出r 的取值范围. 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12,所以12c e a ==, 因为四边形1122A B A B的面积为1222a b ⨯⨯= 又222a b c =+,解得:2a =,b =1c =,所以椭圆E的方程为:22143x y +=.(2)设()11,M x y ,()22,N x y ,则1F MN △的周长48a ==,()111142F MN S F M FN MN r r =++=△,即114F MN r S =△, 当l x ⊥轴时,l 的方程为:1x =,3MN =,11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△, 当l 与x 轴不垂直时,设l :()()10y k x k =-≠,由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()22243690k y ky k ++-=,所以122643k y y k +=-+,2122943k y y k =-+,112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△ 1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=,则3t >,r ===, 因为3t >,所以1103t <<,所以304r << 综上可知:304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,同时考查椭圆中的范围问题,对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△,将问题转化为求1MNF S的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-( 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)有两个极值点1x ,2x . (1)求a 的取值范围;(2)求证:122ln x x a +<. 【答案】(1)(),e +∞;(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()xf x e ax '=-,令()()xg x f x e ax '==-,利用导数研究函数()g x 的单调性:当0a ≤时,()0xg x e a '=->,此时()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;当0a >时,只需()()min ln 0g x g a =<,同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可;(2) 不妨设12x x <,则()1,ln x a ∈-∞,()2ln ,x a ∈+∞,所以12ln x a x <<,要证122ln x x a +<,即证122ln x a x <-,而当(),ln x a ∈-∞时,函数()g x 单调递减,即证()()122ln g x g a x >-,而()()12g x g x =,即证()()222ln g x g a x >-,故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--,利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-,因为函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ,2x设()()xg x f x e ax '==-,则()xg x e a '=-①当0a ≤时,()0xg x e a '=->,所以()g x 在R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意②当0a >时,由()0xg x e a '=-=得ln x a =.当(),ln x a ∈-∞时,()0g x '<,函数()g x 单调递减; 当()ln ,x a ∈+∞时,()0g x '>,函数()g x 单调递增. 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<,即a e >, 令()2ln a a a ϕ=-()0a >,则()221a a a aϕ-'=-=, 当()0,2a ∈时,()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数; 当()2,a ∈+∞时,()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数; 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=-> 所以()0a ϕ>,即2ln a a >,从而ln 2aa a <<,2a e a > 所以()20ag a e a =->,又因为()010g =>,所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点,符合题意, 综上,实数a 的取值范围为(),e +∞.(2)不妨设12x x <,则()1,ln x a ∈-∞,()2ln ,x a ∈+∞,所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+,则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=, 当且仅当2x x e a e -=,即ln x a =时,等号成立. 所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >,可得()()2ln 0p x p a >=,即()()222ln 0g x g a x -->, 又因为1x ,2x 为函数()g x 的两个零点,所以()()12g x g x =, 所以()()122ln g x g a x >-, 又2ln x a >,所以22ln ln a x a -<,又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减, 所以122ln x a x <-,即122ln x x a +<.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质,构造函数证明不等式,同时考查极值点偏移问题,属于难题.。
2018年青岛市高考模拟检测
数学(理科)
本试题卷共6页,23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
祝考试顺利
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
A
D
2.位于
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D . 第四象限
3.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大
若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是
A
B
C
D
4.
A
B
C
D
5
.
A
B
C
D
6.
,
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.
A
B
C
D 8.
离原
点最近的对称轴方程为 A
B
C
D
9.
是
A
B
C
D
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A
B
C
D
11.已知过抛物
焦
直线
与抛物线交
点,
且
A
B
C
D
12.
③
对称函数”.现给出四个函
数:
;
则其中是“偏对称函数”的函数个数为A
B
C
D
二、填空题:本大题共4
个小题,每小题5分.
13.
为
.
14.
15.
“均倒数”,
项
b b
+
16.
体积最大时,其外接球的体积为
.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17
题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求解答.
(一)必考题:共60分.
17.(
12
(1
(
2
18.(12分)
.
(1.
(2.
19.(12分)为了解某市高三数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.
(1(精确到个位)
(2
,按以往的统计数据,理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分?(精确到个位)
.
20.(12分)
.
(1
(2
21.(12分)
(1
(2
.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
2210分)
单
位,曲线的极坐标方程为
,曲线的参数方程是
. (1
(2
23
10分)
(1
(2)在(1
2018年青岛市高考模拟检测
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分. C B C D C A B A C D A B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13 14 15 16 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求解答. (一)必考题:共60分. 17. (本小题满分12分)
解:(1 ………………2分
4分
6分
(27分
ACD ∆中,
………………………………………………………………………………9分
12分18.(本小题满分12分)
解:(1
3分
5分
AC C
=
AD⊂面ADC6分
(2)如图,设AC
=
2
A
1,0,2),(3,0,0),
∴=-………………………………………………………8分MN
(
……………………10分
414
=
n AD
||||
αsin|cos n
α=<12分19.(本小题满分12分)
解:(1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为:
…3分
(2)
. …………7分
10分
…………………………12分20.(本小题满分12分)
解:(1
3分
5分(2
6分
12分21.(本小题满分12分)
解:(1
1分
1
3分
2
5分
3
……………………………………6分
(2
…………………………………9分
…………………………………………………………………………………12分
(二)选考题:共10分.请考生在第22
、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10
解:(1
……………………………………………2分
…………………………………………
4分(2
6分
………………………………………………………………10分
23.(本小题满分10
解:(1
………………………………………………………………5分 (2)由(1
……………………………………………………………………………10分。