10-3 特殊三角形(2).讲义教师版

特殊三角形二讲义例题讲解一1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12 DC．3、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高,求CD的长．【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12 DB．4、如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．（1）E是CF的中点吗？试说明理由；（2）试说明：∠B=2∠BCF．5、如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC于E．求证：BD+CE ＞DE．例题讲解二1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．，求此三角形的面积．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为263、长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．4、如图所示，在一棵树的10m高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)5、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A ′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？例题讲解三1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果2x =，那么24x =；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．3、（2016春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为36cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为多少 cm 2.4、如图所示，MN 以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN 线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里，缉私艇B 测得C 与其距离为12海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？同步练习一一.选择题1．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A ．51-B ．51-+C ．51+D ．52．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S 1=4，S 2=9，S 3=8，S 4=10，则S=（）A ．25B ．31C ．32D ．403. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（ ）cm ．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，长方形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ）A ．172B ．52C ．24D ．76.（2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm ，宽4cm 的长方形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为__________cm .9.在△ABC 中，AB=13cm ，AC=20cm ，BC 边上的高为12cm ，则△ABC 的面积为cm 2．10．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a+b ）2的值是 _________ ．11. 已知长方形ABCD ，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13.如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动多少m ？14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求： 在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.同步练习二一.选择题1．下列各组数中，可以构成勾股数的是（）A．13，16，19 B．，，C．18，24，36 D．12，35，372. 下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角之比为5∶6∶1B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D. 三边之比为1.5 : 2 : 33. 下列命题中，不正确的是（）A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3:2的三角形是直角三角形；C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:2的三角形是直角三角形.4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6. c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形 ③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④hb a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二.填空题7．若△ABC 中，()()2b a b ac -+=，则∠B ＝____________.8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是______三角形．9．（2016春•罗定市期中）若△ABC 的三边长分别为x +1，x +2，x +3，要使此三角形成为直角三角形，则x= ． 10．△ABC 的两边a b ，分别为5，12，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______． 11．如果三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则三角形为 三角形． 12. 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形，那么2,2,2cb a ________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答题13．已知a b c 、、是△ABC 的三边，且222244a cbc a b -=-，试判断三角形的形状．14．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）15.在等边△ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将△APB绕A点逆时针旋转60°，使P点到达Q点，连PQ，猜想△PQC的形状，并论证你的猜想.答案特殊三角形二讲义例题讲解一1、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．举一反三：【变式】在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数．【答案】解：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°．类型二、含有30°的直角三角形2、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵∠C=90°，CD⊥AB，∴AB=2AC，AC=2AD，∴AB=4AD，∴BD=3AD．（2）取AB的中点O，连接CO，∵BD=3AD，∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，∵∠C=90°，O是AB的中点，∴OC=OA=2x，∴OD＝x＝12 CO，∵CD⊥AB，∴∠OCD=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴∠A=60°．【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12 DC．【答案】解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=12（180°-120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，∴BD=12 DC，∴AD=12 DC．3、如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高,求CD的长．【思路点拨】过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【答案与解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠DAC=30°，∵AB=AC=2a，∴在直角△ACD中CD= 12AC=a．【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．举一反三：【变式】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=12∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=12 DB．【答案】解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，∴△BED≌△AED （ASA），∴AD=BD，∠2=∠∵∠BAD=∠2=1 2B，∠BAC，∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，在直角三角形ACD中，∠1=30°，∴CD=12AD=12BD．类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，且DC=BF，DE⊥CF于E．（1）E是CF的中点吗？试说明理由；（2）试说明：∠B=2∠BCF．【思路点拨】（1）连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=BF=AB，然后求出CD=DF，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）根据等边对等角可得∠DCF=∠DFC，∠B=∠BDF，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．【答案与解析】（1）解：如图，连接DF，∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，∴DF=BF=AB，∵DC=BF，∴CD=DF，∵DE⊥CF，∴E是CF的中点；（2）证明：由（1）的结论DF=BF得∠FDB=∠FBD，∵DC=BF，∴∠DCF=∠DFC，由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∴∠FBD=2∠DCF，即∠B=2∠BCF．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．5、（2016春•广饶县期末）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．【思路点拨】（1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．【答案与解析】解：（1）如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=BC，ME=BC，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BMD+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），=360°﹣2（∠ABC+∠ACB），=360°﹣2（180°﹣∠A），=2∠A，∴∠DME=180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵DM=ME=BM=MC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°﹣∠A）=360°﹣2∠A，∴∠DME=180°﹣（360°﹣2∠A）=2∠A﹣180°．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC于E．求证：BD+CE ＞DE．【答案】证明：如图，延长DM到F，使MF=DM，连接EF、CF，∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，∴△BDM≌△CFM （SAS），∴BD=CF，∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共边，∴△DEM≌△FEM （SAS），∴DE=FE，在△ECF中，EC+FC＞EF，∴BD+EC＞DE．例题讲解二1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．【答案与解析】解：延长AD、BC相交于点E∵∠B＝90°，∠A＝45°∴∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2∵∠ADC＝90°，∴∠DCE＝45°，∴ CD＝DE＝1∴12222ABES=⨯⨯=△，111122DCES=⨯⨯=△．∴13222ABE DCEABCDS S S=-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．举一反三：【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．【思路点拨】欲求Rt △的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则2222262a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩ 即2264a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③－②，得22ab =，所以1122ab = 因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．3、长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE ．从而设BE 即可表示AE ．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、利用勾股定理解决实际问题4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解． 举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+=则AB ＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（2016•贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A ′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【思路点拨】（1）利用勾股定理直接得出AB 的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC ′的长，进而得出答案．【答案与解析】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA ′=20米，BC ′==15（米），则：CC ′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．例题讲解三1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）如果2x =，那么24x =；（3）等腰三角形两底角相等；（4）全等三角形的对应角相等．（5）对顶角相等．（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．【思路点拨】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可．【答案与解析】解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．（2）逆命题是：如果24x =，那么2x =，它是假命题．（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题．（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题．（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题．（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题．【总结升华】写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论．每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题． 举一反三：【变式】下列定理中，有逆定理的个数是（ ）①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若a b =，则22a b =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等；④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题，不可能是定理． 类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ BD ＝4，∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【高清课堂 勾股定理逆定理 例4】【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】如图所示，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝CD ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．【答案】解：连接BD ．∵ CD ⊥CP ，且CD ＝CP ＝2，∴ △CPD 为等腰直角三角形，即∠CPD ＝45°．∵ ∠ACP+∠BCP ＝∠BCP+∠BCD ＝90°，∴ ∠ACP ＝∠BCD ．∵ CA ＝CB ，∴ △CAP ≌△CBD(SAS)，∴ DB ＝PA ＝3．在Rt △CPD 中，22222228DP CP CD =+=+=．又∵ PB ＝1，则21PB =．∵ 29DB =，∴ 222819DB DP PB =+=+=，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．3、（2016春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少cm2.【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？【答案与解析】解：∵22222251216913AB BC AC+=+===，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可设CD＝x，∴22222212,(13)5,x BDx BD⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x-+-=，解得14413x=．∴1441441313169÷=≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．同步练习一一.选择题1．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．51- B．51-+ C．51+ D．52．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）A ．25B ．31C ．32D ．403. 如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，EC 的长为（ ）cm ．A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，长方形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为（ ）A. 30 B ．32 C ．34 D ．165．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为2 , 2l ，3l 之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ）A ．172B ．52C ．24D ．76.（2016•漳州）如图，△ABC 中，AB=AC=5,BC=8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二.填空题7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．8. 如图，将长8cm ，宽4cm 的长方形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为__________cm .9.在△ABC 中，AB=13cm ，AC=20cm ，BC 边上的高为12cm ，则△ABC 的面积为cm 2．10．（2016•黄冈校级自助招生）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长的直角边长为b ，那么（a+b ）2的值是 _________ ．11. 已知长方形ABCD ，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．三.解答题13.如图所示，一架长为2.5米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底0.7米，求梯子顶端离地多少米？如果梯子顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动多少m ？14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】－1所表示的点到点A5OA51.2.【答案】B；【解析】解：如图，由题意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，∴BC2=AB2+AC2=31，∴S=BC2=31，故选B．3.【答案】A ；【解析】设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF ＝2222108AF AB -=-=6cm ．∴ FC ＝10－6＝4(cm )．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EC 的长为3cm ．4.【答案】A ；【解析】由题意CD ＝DE ＝5，BE ＝4，设OE ＝x ，AE ＝AC ＝4x +，所以()22284x x +=+，6x =，阴影部分面积为1168433022⨯⨯+⨯⨯=. 5.【答案】A ； 【解析】如图，分别作CD ⊥3l 交2l 于点E ，作AF ⊥3l ，则可证△AFB ≌△BDC ，则AF ＝3＝BD, BF ＝CD ＝2＋3＝5，∴DF ＝5＋3＝8＝AE ，在直角△AEC 中，勾股定理得AC ＝.6. 【答案】C【解析】过点A 作AE ⊥BC,则由勾股定理得AE=3，点D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）.所以3≤AD ＜5，AD=3或4，共有3个符合条件的点.二.填空题7. 【答案】13119【解析】没有指明这两边为直角边，所以要分类讨论，12也可能是斜边.8. 【答案】25【解析】设AE ＝EC ＝x ，EB ＝8x -，则()22284x x -+=，解得5x =，过E 点作EH ⊥DC 于H ，EH ＝4，FH ＝5－3＝2，EF 224225+=9. 【答案】126或66；【解析】解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=21，∴S△ABC==×21×12=126cm2；当∠B为钝角时（如图2），在Rt△ABD中，BD===5cm，在Rt△ADC中，CD===16cm，∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11cm，∴S△ABC==×11×12=66cm2，故答案为：126或66．10．【答案】25；【解析】根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．11.【答案】78 cm；【解析】连接BE ，设AE ＝x ，BE ＝DE ＝4x -，则()22234x x +=-，78x =. 12．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=.三.解答题13.【解析】解：由题意可得：AB=2.5m ，AO=0.7m ，故BO==2.4（m ），∵梯子顶端沿墙下滑0.4m ，∴DO=2m，CD=2.5m ，∴由勾股定理得CO=1.5m ，∴AC=CO﹣AO=1.5﹣0.7=0.8（m ）．答：梯子底端将向左滑动0.8m ．14.【解析】解：如图所示：15.【解析】解：（1）连接DP ，作DH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠CAB ＝30°，∴BC ＝１，AC ＝3.∵BP 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBP ＝30°，CP ＝3. 在Rt △ADC 中，DH ＝AH ＝HC ＝12AC ＝3， ∴HP ＝333236-=，。

FE CAD CEB AF_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、精讲精练1．①三边都相等；②有一个角是60°；有两个角是60°；③三边都相等，三个内角都是60°．2．①直角；②有两个角是45°；③两直角边相等，两底角都是45°．3．30°角所对的直角边是斜边的一半．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、精讲精练1．150°2．①②③④3． 8cm4． 证明：如图，延长BC 到E ，使CE =CD ，连接DE ，BD ． ∵∠BCD =120° ∴∠1=60°∴△DCE 为等边三角形∴DC =DE ，∠2=60°∵AB =AD ，∠BAD =60° ∴△ABD 为等边三角形 ∴AD =BD ，∠3=60° ∴∠2=∠3∴∠ADC =∠BDE 在△ADC 和△BDE 中AD BD ADC BDE DC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ADC ≌△BDE （SAS ） ∴AC =BE ∵BE =BC +CE =BC +DC ∴BC +DC =AC 5． （1）略；（2）四边形AEDF 的面积保持不变，S =12ABC S ∆（3）△ABC 仍为等腰直角三角形 6． △EMC 是等腰直角三角形 7． C321EA B C D特殊三角形（作业）1. 如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向外作等边△ABE ，则∠BED 的度数为________．B C EADOAC DE第1题图 第2题图2. 如图，△ABD ，△ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于点O ，连接BC ，则∠BOC =__________．3. 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =DC ，点E在边BC 上，点F 在边CD 上．若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形．FABCDE4. 已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E为AC 中点，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．求证：EF =EG ．F 为BC 的中点．连接DE ，DF ，EF ．求证：∠FED =∠FDE ．F ABC DE6. 纳米技术（nanotechnology ）是用单个原子、分子制造物质的科学技术，研究结构尺寸在0.1至100纳米范围内材料的性质和应用．已知，某分子的直径约为0.399纳米，则这个分子的直径可用科学记数法表示为（ ）米．（保留两个有效数字） A ．3.9×10-1B ．3.9×10-10C ．4.0×10-10D ．4.0×10-17. 如图1，在长方形ABCD 中，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC →CD →DA 运动至点A 停止．设点P 运动的时间为x ，△ABP 的面积为y ，若y 与x 的关系图象如图2所示，则m 的值是（ ） A ．2.5B ．4.5C ．5D ．7【参考答案】1．45° 2．120° 3．证明：如图，连接AC∵∠B=∠D =60°，AB=BC,AD=DC ∴△ABC 和△ACD 是等边三角形 ∴∠ACE=∠CAD =60°AC=AD ∵∠EAF =60°∴∠CAD -∠CAF=∠EAF -∠CAF ∴∠EAC=∠F AD 在△EAC 和△F AD 中ACE D AC ADEAC FAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAC ≌△F AD （ASA ） ∴AE=AFFEDCBA 第3题图∴△AEF 是等边三角形 4．证明：连接DE∵AC=BC ，∠ACB=90°∴∠A =45° ∵CD ⊥AB∴∠ADC =90°，AD =12AB∴CD =12AB∴AD =CD∵E 为AC 中点∴DE =12AC=AE ，DE ⊥AC ，∠1=45°∴∠AED =90°，∠A =∠1 ∴∠2+∠DEF =90° ∵EF ⊥BE∴∠3+∠DEF =90° ∴∠2=∠3在△AEF 和△DEG 中123A EA ED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△DEG （ASA ）∴EG =EF5．证明：∵BD ，CE 分别为AC ，AB 边上的高 ∴∠BDC =∠CEB =90°∵F 是BC 的中点∴EF =12BC ，DF =12BC∴∠FED =∠FDE6．C 7．B8．15AD <<321E FCBAG D第4题图FA B CDE特殊三角形随堂测试题姓名________1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上的一点，EC⊥BC，EC=BD，连接AD，AE，DE．点F为DE中点，连接AF，CF．求证：（1）AD=AE；（2）AF=CF．AEFD【参考答案】略。

八年级数学第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版11特别三角形之直角三角形满分晋级三角形 10 级勾股定理与逆定理三角形 11 级特别三角形之直角三角形三角形 12 级成比率线段漫画释义秋天班第十讲秋天班第十一讲暑期班第四讲知识互联网题型一：直角三角形的性质及判断思路导航有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特别三角形，它的性质和判断是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1.直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边知足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷30 角所对的直角边等于斜边的一半．此外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch ．2.直角三角形的判断：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特别图形，除具备等腰三角形和直角三角形的全部性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特色，堪称“集大成者”．另外，等腰直角三角形还能够当作是正方形的“半成品”，所以“复原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．例题精讲【引例】如图，正方形ABCD 的边长为 4 ，E、F分别在BC、CD上，且A B A B图1BE CF 3 ， AE、BF 订交于M，求BM的长．【分析】∵ ABCD 是正方形，∴ AB BC 4 ，ABC C 90 ，∵ BE CF 3 ，∴ △ ABE ≌△ BCF ，∴BAE CBF ，∴BME 90又由勾股定理可知AE 5 ，在 Rt△ ABE 中，BM AE ，∴AB BE AE BM ，∴ BM AB BE12 ．AE5典题精练【例 1】 1.在△ ABC 中，若 A35，B55，则这个三角形是__________三角形．C2.如图，在△ ABC 中，ACB90， CD AB ，若 A 28，则 B _______，ACD________，BCD ________．A BDA3.如图，已知图中每个小正方形的边长为1，则点 C 到AB所在直线的距离等于．（十三中分校期中）BC4.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A＝ 60°，∠ B＝∠ D＝ 90°，BC ＝2，CD＝ 3，则 AB ＝．A ADDB C B C E5.已知 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB 边上的中线长为2，且 AC＋ BC＝ 6，则 S△ABC＝．【分析】 1.直角2.62 ； 62 ； 283.24.8 3 ．经过向外补形，将四边形问题转变为三角形问题来解决．35.∵AB 边上的中线长为 2，∴ AB=4，∴ AC2+BC2=AB2=16∵ AC＋ BC＝ 6，∴ AC BC 22+BC2+2AC BC=3636 ，即 AC1∴S △ ABCAC BC 52【例 2】 若直角三角形的两条直角边长为 a 、 b ，斜边为 c ，斜边上的高为 h ，求证：⑴ 1 1 1 ；⑵ a b c h ．2 2 2a b h【分析】 ⑴ ∵ a 2 b 2 c 2 ， ab ch ，∴ c ab 2 2a 2b 2 ，h ， 代入得 a b2h1 1 1∴ 2 b 2h 2．a⑵ 由 a 2b 2c 2 ， ab ch ，则 a 22ab b 2 c 2 2ch ，22∴ 22ab222ch2，即 aabch bc h ，∴ a b ch ．题型二：特别直角三角形的边角关系思路导航特别的直角三角形是指30 ，60 ，90 和 45 ，45 ，90 的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比率关系， 分别是 1: 3 : 2 和 1:1: 2 ，娴熟运用这类特别的比率关系， 能够在解题过程中大幅提升解题的速度与正确率．例题精讲【引例】 已知， Rt △ ABC 中， C 90 ， A 30， AC6 ，求 BC 、AB 的长．【分析】 解法一： ∵ C90 ，A30 ，∴ BC1AB ，2设 BC x ，则 AB 2x ，那么 x 2 622x 22 （舍负），解得 x ∴ BC2 ， AB2 2 ．解法二： ∵ C 90 ，A 30 ，∴ BC : AC : AB1: 3 :2 ，∴ BCAC 62 ， ∴ AB 2BC 22 ．33典题精练【例 3】⑴在△ ABC中，a、b、c分是A、B、C的，且A :B :C 1 : 2 ，: a 与 c 的关系是____________．⑵如，把两同样的含30 角的三角尺如搁置，A E若 AD 6 6 cm，三角尺的最．DBC（四中期中）⑶ 如，以等腰直角三角形AOB 的斜直角向外作第 2 个等腰直角三B 2角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜直角向外作第 3 个等腰直角三角形 A1BB1，⋯，这样作下去，若OA OB 1 ，第8个等腰直A1角三角形的面是．A【分析】⑴ c 2a ；⑵12cm ；⑶64 ．O BB 1【例 4】如，点D、E是等△ ABC的BC、AC上的点，且点， BQ ⊥ AD 。

特殊三角形一、知识归纳1. 等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

2. 等腰三角形的“三线合一”性——顶角平分线；底边中线；底边高【注意】等腰三角线的对称轴是“三线”所在的直线，也是底边的中垂线3. 等腰三角形的画法（1）任作一线段为等腰三角形的底；（2）分别以此线段的两端点为圆心，以腰长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的顶点。

4. 三角形的分类（1）（2）5. 等腰三角形的性质（1）两腰相等；（2）两底角相等（等边对等角，等角对等边）；（3）“三线合一”；（4）轴对称；（5）两腰上的中线相等；（6）两底角的平分线相等；（7）两腰上的高相等；（8）底边的一半＜腰长＜周长的一半；6. 等腰三角形的判定（1）两角相等；（2）两边相等；（3）两边上中线相等；（4）一边的中线垂直这条边（平分这条边的对角）；（5）一个角的角平分线垂直于这个角的对边（平分对边）；（6）两个角的角平分线相等；（7）一边上的高平分这条边（平分这条边的对角）；（8）两条高相等；7. 等边三角形：三边相等的三角形叫等边三角形（正三角形）。

等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形所有的性质。

8. 等边三角形的性质（1）三边相等，三个角都相等（都为60°）；（2）轴对称性；9. 等边三角形的判定（1）三边相等；（2）三个角相等；（3）有一个角是60°的等腰三角形；10. 等边三角形的作法（1）作线段等于等边三角形的边长；（2）分别以此线段的两端点为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于一点；（3）分别连此交点与已画线段的两端点。

11. 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

用“R t△”表示。

等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形。

12. 直角三角形的性质（1）两锐角互余；（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半（及其逆定理）；（3）斜边上的中线等于斜边的一半；（4）勾股定理：13. 直角三角形的判定（1）有一个角为直角；（2）两角互余；（3）勾股定理的逆定理；（4）一边上的中线等于这边的一半；14. 勾股定理的变形15. 直角三角形全等的判定方法（1）SAS（2）SSS（3）ASA（4）AAS（5）HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

特殊三角形三讲义例题讲解一1、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．2、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.3、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.5、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【变式】如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：∠APC=∠BPC．例题讲解二1、如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使PA﹣PB的值最大．2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△A FD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？举一反三：【变式】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．试判断△COD的形状，并说明理由．3.用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．【变式】尺规作图是指（）A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图4. 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．5、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．6、已知，如图，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90° .求证：OC＝OD.7、如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD的面积．【变式】如图，已知AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．例题讲解三1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【变式】如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．【变式1】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°3.（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°4、如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ．5、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.6、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【变式】如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．同步练习一一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）A.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.有一条边相等的两个等腰直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等2. 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对3. 如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是（）A.1B.2C.3D.44. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A. △ABE≌△ACFB. 点D在∠BAC的平分线上C. △BDF≌△CDED. 点D是BE的中点5．5.（2016春•泰山区期末）如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=AD B．AB=AB C．∠ABC=∠ABD D．∠BAC=∠BAD6. 已知,如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定二、填空题7. （2016秋•亭湖区校级月考）如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD相交于点O，图中有对全等的直角三角形．8. 已知，如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________ 度．9. 判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.10.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．11. 如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF＝AC，FD＝CD.则∠BAD＝_______.12. 如图所示的网格中（4×4的正方形），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝________.三、解答题13．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．14. 求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．15. 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，•若AB＝CD，试证明BD平分EF．16.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．同步练习二一.选择题1. 如图，三个小正方形组成的图形，请你在图形中补画一个小正方形，使得补画的图形为轴对称图形或中心对称图形，补画成轴对称图形或中心对称图形的个数分别是（）A．3个或2个B．3个或3个C．4个或2个D．4个或3个2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里3.如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab4．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定5.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A． 30°B．35°C． 40°D． 50°6. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1B．1.5 C．2D．2.57. 如图，已知AB＝AC，PB＝PC，且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：①EB＝EC；②AD⊥BC；③EA平分∠BEC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D. 4个8. 用尺规作图“已知底边和底边上的高线，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D；③在直线m上截取DA=h，连接AB、AC．这样作法的根据是（）A．等腰三角形三线合一B．等腰三角形两底角相等C．等腰三角形两腰相等D．等腰三角形的轴对称性二.填空题9.命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是．10. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．11. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是BC 上任意一点，OE 、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE ＋OF 的值为 ．12．如图所示，△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，线段DE ＝_______．13. 如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若点O 到三角形三边的距离相等，则∠AOC ＝_________.14.（2016•道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为 ．15．如图，矩形AOBC 中，点A 的坐标为（0，8)，点D 的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD 折叠，则顶点C 恰好落在边OB 上E 处，那么图中阴影部分的面积为 .16. 如图，小明要给正方形桌子买一块正方形桌布．铺成图1时，四周垂下的桌布，其长方形部分的宽均为20cm ；铺成图2时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，则要买桌布的边长是___________cm 2 1.4≈3 1.7≈）三.解答题17．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．18．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数．20．已知：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ADC＝60°．问题1：如图1，若∠ACB＝90°，AC＝m AB，BD＝n DC，则m的值为_________，n的值为__________．问题2：如图2，若∠ACB为钝角，且AB＞AC，BD＞DC．（1）求证：BD－DC＜AB－AC；（2）若点E在AD上，且DE＝DB，延长CE交AB于点F，求∠BFC的度数．答案特殊三角形三讲义例题讲解一1、（2016春•苏仙区期末）如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC ，∠1=∠2．（1）Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗？并说明理由；（2）△CDE 是不是直角三角形？并说明理由．21A DB CE【思路点拨】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE ，利用“HL ”可证明Rt △ADE ≌Rt △BEC ；（2）是直角三角形，由Rt △ADE ≌Rt △BEC 得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE 是直角三角形．【答案与解析】 解：（1）全等，理由是： ∵∠1=∠2，∴DE=CE ， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC ， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC(HL)； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt △ADE ≌Rt △BEC ，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE 是直角三角形．【总结升华】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.45321A D BC E【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DEBF ⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、如图AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．【思路点拨】若能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．【答案与解析】证明： 在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD ＝AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC，∴△OBC是等腰三角形.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝12BC＝12AC，且AC＝12．∴BD＝6（cm）．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件类型二、角平分线的第二个性质定理5、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC．【思路点拨】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的第二性质定理可证AE平分∠FAC．【答案与解析】证明：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA，∴EH=EG．∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC，∴EI=EG，∴EI=EH（等量代换），∴AE平分∠FAC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．【总结升华】本题主要考查角平分线的性质及其第二性质定理；准确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：∠APC=∠BPC．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．（2）证明：分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，∵△ACE≌△DCB．∴AE=BD，∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面积相等），∴CH=CG，∴∠APC=∠BPC（角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．例题讲解二1、（2016秋•和平区期中）如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使PA﹣PB的值最大．【思路点拨】直接利用轴对称的性质去作图【答案与解析】解：（1）如图1所示：此时：PA=PB，如图所示：（2）此时：PA+PB最小；（3）如图所示：此时：PA﹣PB最大．【总结升华】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△A FD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？【思路点拨】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论．【答案与解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△A GC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GD F=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．【总结升华】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．举一反三：【变式】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．试判断△COD的形状，并说明理由．【答案】解：△OCD是等边三角形，理由为：由旋转可得△BCO≌△ACD，∴OC=CD，∠BCO=∠ACD，又△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，即∠BCO+∠OCA=60°，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=60°，又OC=CD，则△OCD是等边三角形；类型三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理3.用圆规和直尺作图，在∠DEC中找一点P，使点P到∠DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等（保留作图痕迹）．【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知作出∠DEC的平分线与线段MN的垂直平分线，交点即为所求．【答案与解析】解：因为点P到∠DEC两边的距离相等，所以点P在∠DEC的角平分线上；又因为点P到M、N两点的距离，所以点P在MN的垂直平分线上，因而点P是∠DEC的角平分线和MN的垂直平分线的交点．所以，点P即为所求作的点．【总结升华】本题主要考查了角平分线的作法与线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】尺规作图是指（）A . 用量角器和刻度尺作图B . 用圆规和有刻度的直尺作图C . 用圆规和无刻度的直尺作图D . 用量角器和无刻度的直尺作图【答案】C．4. 如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．【思路点拨】1、根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上来判定．2、把筝形看成两个等底等高的三角形来求面积．【答案与解析】解：（1）王云同学的判断是正确的．理由：根据题设，∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上．∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∴AC为BD的垂直平分线，BE=DE，AC⊥BD．（2）由（1）得AC⊥BD．∴SABCD=S△CBD+S△ABD=12BD×CE+12BD×AE=12BD×AC=12ab．【总结升华】本题利用了线段垂直平分线的判定定理和三角形的三角形的面积公式求解．类型四、直角三角形的性质及全等判定5、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．【答案与解析】解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°，在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．∴BH＝2EH＝4．同理可得，CH＝2HD＝2，∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．6、已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【思路点拨】根据已知条件Rt △ABD 和Rt △BAC 利用HL 可以判定全等，之后利用全等三角形的性质，再次证明三角形全等，从而得到结论.【答案与解析】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．【总结升华】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △BAC ，再利用全等性质为二次证明三角形全等补充条件，这是全等判定和性质的综合应用题.类型五、勾股定理及其逆定理的运用7、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】 解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以AC2=AB2+BC2=32+42=52=9+16=25，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以DC2+AC2=52+122=25+144=169=132=AD2，即DC2+AC2=AD2．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×AB×AC+12×AC×DC=12×3×4+12×5×12=6+30=36.【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，应想到连接AC，则在Rt△ABC中即可求出△ABC的面积，也可求出线段AC的长．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．举一反三：【变式】如图，已知AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．【答案】解：连接AC，过点C作CE⊥AD于点E，∵AB⊥BC，AB=5，BC=12，∴AC===13，∵CD=13，∴A C=CD=13，∵AD=10，∴AE=AD=5，∴CE===12．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AD•CE=×5×12+×10×12=30+60=90．例题讲解三1、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）【思路点拨】作A关于ON的对称点E，点B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC=EC，BD=FD，FR=BR，AT=ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．【答案与解析】解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：如图（2），在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC=EC，同理BD=FD，FR=BR，AT=ET，∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF，AT+TR+BR=ET+TR+FR，∵ET+TR+FR＞EF，∴AC+CD+DB＜AT+TR+BR，即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线．【总结升华】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．（1）用尺规作图，作出点P；（作图要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）求出PA+PB的最小值．【答案】解：（1）作图，如右图，作出A点的对称点A′，连接BA′，找到交点P点；（2）连接AB，由题意知AB=3km，A A′=4km，在Rt△A A′B中，根据勾股定理得：A′B2=42+32，∴A′B=5km，即PA+PB=A′B=5km，答：PA+PB的最小值是5km．类型二、等腰三角形及等边三角形的性质定理和判定定理2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BC E，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．（1）求证：△ABE≌△DBC．（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等；（2）三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形．【答案与解析】解：（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵，∴△ABE≌△DBC（SAS）；（2）△BMN为等边三角形，理由为：证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°﹣60°﹣60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形．【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．同时做第二问时注意利用第一问已证的结论．举一反三：【变式1】若等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求该三角形各边的长.【答案】解：设腰长为xcm，底边长为ycm，分两种情况:(1)15262xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴10;1xy=⎧⎨=⎩(2)62,152xxxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴4;13xy=⎧⎨=⎩∵4＋4＜13，不能形成三角形，应舍去.∴等腰三角形三边长分别为10cm，10cm，1cm.【变式2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D. 提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．类型三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理3.（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60° C．55° D．45°【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【答案与解析】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠D AC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A ．【总结升华】此题中尺规作图的做法恰好是线段垂直平分线的做法，然后根据线段垂直平分线的性质，三角形的内角和解得此题．类型四、直角三角形的性质及全等判定4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【思路点拨】等边三角形的三个内角都是60°，如果能在直角三角形中出现60°的角，则就会有30°角，利用直角三角形的性质可以推得边的2倍关系.【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°．∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ．【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP ＝2PQ 联想到要求∠PBQ ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP ＝2PQ ⇒∠PBQ ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD ≌△BAE ⇒∠BPQ ＝60°⇒∠PBQ ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．5、已知：如图，DE⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BCDE BF⎧⎨⎩＝，＝∴Rt△ADE≌Rt△CBF （HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，DE BFDEC BFAEC FA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.举一反三：【变式】如图, △ABC中, ∠ACB=90°, ∠ABC=60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE=2.则 AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.类型五、勾股定理及其逆定理的运用6、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝23，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数．【答案与解析】解：∵ AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，222222(23)16BD AB AD=+=+=．∴ BD＝4，∴12AB BD=，可知∠ADB＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°，∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°． 【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理． 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形ABCD 一边，点D 落在BC 边的点F 处，若AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．【答案与解析】解：设CE ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ．∵ △ADE 折叠后的图形为△AFE ，∴ △ADE ≌△AFE ．即AF ＝AD ＝BC ＝10cm ，EF ＝ED ＝(8－x )．在Rt △ABF 中，由勾股定理，得BF 2222108AF AB --=6．∴ FC ＝10－6＝4．在Rt △EFC 中，由勾股定理，得222EF EC FC =+，即222(8)4x x -=+．解得3x =．即EF 的长为3cm ．。