广西南宁三中2015届高三第二次月考数学(理)试题(WORD版)

南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果，则正确的是（ ）A ．若a >b，则B ．若a >b ，则C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd3．设命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若不等式的解集是或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）{}22M x x =-<<{1,0,1,2}N =-M N = {1,0,1}-{0,1,2}{}12x x -<≤{}12x x -≤≤,,,R a b c d ∈11a b<22ac bc >{}3|0x x <<{|||}12x x <－14,23x y -<<<<z x y =-{|31}z z -<<{|42}z z -<<{|32}z z -<<{|43}z z -<<-20x ax b ++>{3x x <-1a =6b =1a =-6b =1a =6b =-1a =-6b =-2y ax bxc =++ay x=()y b c x =+A．{m|－2<m<2}B．{m|－1<m<2}C．{m|－3<m<2}D．{m|1<m<2}8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（一）理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先分别求出集合A和B，由此能求出．详解：A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，∴故选：D点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.2.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可.【详解】如图所示，在棱长为的正方体中，为棱的中点，则三视图所对的几何体为三棱锥，则，棱锥的高，据此可知该几何体的体积.本题选择C选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．5.5.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为圆与圆的位置关系，据此求解实数a的取值范围即可，据此确定a的最大值即可.【详解】若点P满足，则点P在以AB为直径的圆上，据此可知，满足题意时，圆与圆有公共点，两圆的圆心距：，两圆的半径，，满足题意时应有：，即：，求解关于实数a的不等式可得：，则的最大值为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.6.已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可.【详解】展开式二项式系数和为，则：，故.则各项系数和为，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查二项式系数与各项系数和的含义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.7.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，则，当时，单调递减，当时，单调递增，即函数在区间内先单调递减，再单调递增，据此可排除B选项，本题选择A选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8.8.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9.9.已知的三边满足条件，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.10.已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】由题意可知，当时，，据此可得：，令可得，则函数的解析式为，函数的对称轴满足：，解得：，令可知函数的一条对称轴为，且很明显选项ACD不是函数的对称轴.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.11.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得到关于a,c的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】由双曲线的通径公式可得，由结合双曲线的对称性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性质有：，即：，据此有：，，解得：，双曲线中，故的离心率为.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12.12.已知函数是单调函数，对任意，都有，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】函数是单调函数，则为常数，设，则，，函数单调递增，且，据此可知，函数的解析式，，.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，基本初等函数的导函数等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.13.已知向量，，若与垂直，则实数__________．【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.14.若变量、满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】8【解析】【分析】首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，其最大值为：.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小15.15.在三棱锥中，，，两两相互垂直，，则此三棱锥内切球的半径为__________．【答案】或【解析】【分析】首先求得棱锥的表面积，然后利用等体积法求解三棱锥的内切球半径即可.【详解】由题意可知，三棱锥的三个面是直角边长为1的等腰直角三角形，一个面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为：，设三棱锥的内切球半径为，利用等体积法可知：，即：，解得：，即.【点睛】本题主要考查三棱锥的空间结构特征，棱锥内切球半径的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.16.已知抛物线，过的焦点的直线与交于，两点。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学参考答案(2月月考)1.【答案】B.解析：}41|{<<=x x N ，选B. 2.【答案】D. 解析：i i i i i i i i z 2321231)1)(1()1)(2(12-=-=-+--=+-=，错误！未找到引用源。

复数iiz +-=12在复平面内对应的点的坐标为)23,21(-，错误！未找到引用源。

在第四象限.故选D ． 3.【答案】B.解析：根据离心率公式33===aaa c e .选B. 4.【答案】A.解析：圆2)1(22=+-y x ，圆心（1,0）到直线0=+-m y x 的距离小于半径2，由点到直线的距离公式：22|1|<+m ，计算31m -<<，所以选A. 5.【答案】B.解析：该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为()2111122323V π⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯=+=⎪⎝⎭.选B. 6.【答案】A解析：整理得n n a n na )1(1+=+，则n a n a n n =++11，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是常数数列，通项公式111==a n a n ，即n a n =，选A. 7.【答案】A.解析：由sin C B =，结合正弦定理得b c 32=，又22a b -=，那么227b a =,由余弦定理得233462cos 22222==-+=b b bc a c b A ，所以030=A .8.【答案】A.解析：依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为-1，这时，如果输出的y 值恰好是-1，则函数关系式可能为21y x =+.故应选A. 9.【答案】C.解析：样本中产品净重小于100克的频率为3.02)100.0050.0(=⨯+，所以样本总数1603.048==n ，样本净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数等于12075.0160=⨯个.选C.10.【答案】A.解析：由222AB BC AC +=Q ，ABC ∴V 为直角三角形，其外接圆半径为52AC=，即截面的圆的半径为5r =，又球心到截面的距离为2R d =，222()25,2R R r ∴-==R =240043S R ππ∴==．选A. 11.【答案】D.解析：过A 和B 分别作准线的垂线，垂足分别为1A 和1B ,由抛物线定义知：MN BB AA BF AF 211=+=+,故ABBF AF ABMN 2+=,又在三角形ABF 中，BF AF BF AF BF AF BF AF AB ++=-+=22222120cos 2ο，所以()BF AF BF AF AB-+=22，而()42BF AF BF AF +≤,则()2243BF AF AB +≥，即AB BF AF 332≤+,因此332≤+=AB BF AF AB MN ，当且仅当BF AF =取等号.12.【答案】D.解析：不妨设函数)()(x xf x F =，则)()()(x f x x f x F '+='，其中2)(ln )(b x x x F -+=，则存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 使得0122)(21)(2>+-=-+='x bx x b x x x F 成立.解法1：设122)(2+-=bx x x G ，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 使得0)(>x G ，则0)21(>G 或0)2(>G ，求解得49<b . 解法2:存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 使得0)(>x G ，即存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 使得x x b 21+<成立，所以max )21(x x b +<，由函数x x y 21+=的单调性知，4921≤+=x x y ，所以49<b .13.【答案】10.解析：作出可行域如图，令y x z 34+=，在点C （1,2）处达到最大值10，则10=z . 14.【答案】6π. 解析：由公式：b 在a 上的投影||a 得，233||3ma +==，求解得3=m ，所以)3,3(=，由向量夹角公式233433||||,cos =+=<b a ，则与夹角6π. 15.【答案】57|122x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或. 解析：当1x ≤时，()1121,2122x x f x x =-<-∴<⇒<-；当1x >时，()15731222f x x x =--<-⇒<<，∴不等式()12f x <-的解集为57|122x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或.16.【答案】323. 解析：设(),P x y ，由2PA PT =可得()()2222141x y x y ++=+-，化简得2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可转化为直线340x y a +-=与圆2211639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有公共点，所以1453a d -=≤，解得172333a -≤≤. 17．解：(Ⅰ)∵222b c bc a +=+…………1分∴22211,cos 2222b c a bc A bc bc +-===．……4分 又(0,)A π∈，∴3A π=；……5分(Ⅱ)设{}n a 的公差为d ，由已知得112cos a A==，…………6分 且2428,a a a =2(23)(2)(27)d d d ∴+=++．…………7分又d 不为零，∴2d =，……8分2n a n ∴=……9分 14111(1)1n n a a n n n n +∴==-++……10分 ∴111111(1)()()1223111n nS n n n n =-+-+-=-=+++L ……12分 18.解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=.………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90)内的学生有5人，记这5人分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为1b ，2b .抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（2a ，3a ）， （2a ，4a ），（2a ，5a ），（2a ，1b ），（2a ，2b ），（3a ，4a ），（3a ，5a ），（3a ，1b ）， （3a ，2b ），（4a ，5a ），（4a ，1b ），（4a ，2b ），（5a ，1b ），（5a ，2b ），（1b ，2b ）…8分 其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（2a ，3a ），（2a ，4a ），（2a ，5a ）， （3a ，4a ），（3a ，5a ），（4a ，5a ）.∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率101112121P =-=.……………12分19.解析：(Ⅰ)1EC 与AD 是相交直线．……1分证明如下：连接11,AB C D ,则11AB C D 是平行四边形，E Q 也是1AB 的中点，111,2AE C D AE C D ∴=P 1AEC D ∴为梯形，1,,,A E C D 四点共面，1EC 与AD 为梯形两腰，故1EC 与AD 相交．……5分(Ⅱ)设1111212,2,(2)(2)()12ABCD A B C D b b AB b AD b V b b AA b b -+-==-=-⨯=-≤= 当且仅当2,1b b b =-=时取等号……7分解法1：连接BD ，设点B 到平面1A CD 的距离为h ，则根据等体积法BCD A CD A B V V --=11，其中222111=⨯⨯=∆D A CD S CD A ，613111=⨯=∆-AA S V BCD BCD A ，所以22=h ，…………10分则直线1BA 与平面1A CD 所成角θ满足21sin 1==BA h θ，所以6πθ=.……………………12分解法2：分别以边1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示直角坐标系，则1(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)B A C D ，11(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)BA CD CA =-=-=--u u u r u u u r u u u r，………………8分设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =r，则00x x y z -=⎧⎨--+=⎩，取1z =，则(0,1,1)n =r ……10分11sin cos ,222BA n θ∴=<>==⨯u u u r r ，6πθ∴=．……12分20.解析：(Ⅰ)因为22211a b +=且2c a =即224,2a b ==，∴椭圆1C 的方程为22142x y +=……4分(Ⅱ)当直线AC的斜率不存在时，必有(P ，此时2AC =，AOC S =V 5分当直线AC 的斜率存在时，设其斜率为k 、点00(,)P x y ，则AC ：00()y y k x x -=-与椭圆1C 联立，得2220000(12)4()2()40k x k y kx x y kx ++-+--=，设1122(,),(,)A x y C x y ，则0012022()2(12)k y kx x x x k -+==-+，即002x ky =-……8分 又220012x y +=，∴202112y k=+……9分12AOCS ∆====，综上，无论P 怎样变化，△AOC12分21.解析：(Ⅰ)函数0,1)(>+='x a xx f ………………1分 ①当0≥a 时，0)(>'x f ，∴)(x f 在),0(+∞上单调递增；………………2分 ②当0<a 时，令01)(=+='a x x f ，解得ax 1-=。

2019-2020学年广西壮族自治区南宁市第三中学高二12月月考数学（理）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】依题意得：，所以，故，故选C.2．若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于( )A ．2B 3C ．32D ．1【答案】D【解析】由222231323x y c a b e a a 可知虚轴，而离心率+-=====，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.3．若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-⎧⎪≥-+⎨⎪≤+⎩，则3z x y =-的最大值是A ．2-B ．1-C ．5D ．3【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点()3,4处取得最大值为5.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1 B．13C．12D．32【答案】B【解析】由三视图确定几何体的直观图，根据棱锥的体积公式求解即可.【详解】根据三视图得到的几何体如上图所示，该几何体是四棱锥，底面积111S=⨯=，高1h=，四棱锥的体积11111333V Sh==⨯⨯=，故选：B．【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体的体积，属于基础题. 5．“x a >”是“x a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.6．已知22log 3a =，4logb π=，0.6c =a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】采用“0,1”分段法，找到小于0、在0~1之间和大于1的数，由此判断出三者的大小关系. 【详解】因为010.6c >=，401log 4b <<=，0a <，所以c b a >>.故选B. 【点睛】本题考查指数与对数值的大小比较，考查运算求解能力，属于基础题.7．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是关联函数，[],a b 称为关联区间，若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是关联函数，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],2-∞-D ．[]1,0-【答案】B【解析】根据题意，得到()254h x x x m =-+-在[]0,3上有两个不同的零点，故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，由此求得m 的取值范围. 【详解】∵()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，故函数()()()254y h x f x g x x x m ==-=-+-在[]0,3上有两个不同的零点， 故有()()0030502h h h ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩∴402025254042m m m ⎧⎪-≥⎪--≥⎨⎪⎪-+-<⎩∴924m -<≤- 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，属于中档题.9．已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n n a a n N +⋅=∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅- C ．数列21{}n a -是等差数列D ．数列{}n a 是等比数列【解析】分析：由11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈可知数列{}n a 隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判断.详解：数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈， 当n 2≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项135a a a L ，，，，成等比， 偶数项246a a a L ，，，，成等比， 对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a L L =+++++++()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列 ，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误， 故选：B点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.10．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+C ．8D ．6【答案】C【解析】由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1ce a=，2c e a ='，设2PF m =由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122mPF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭68≥+=当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.11．设棱锥M ABCD -的底面是正方形，且,MA MD MA AB =⊥,AMD △的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为 A．2 B1C．12-D．13-【答案】B【解析】设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球，然后找出球心所在的三角形，设AD EF a ==，求出内切圆半径然后利用基本不等式即可求出最大值． 【详解】解：AB AD ⊥Q ，AB MA ⊥，AB ∴⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面ABCD ． 记E 是AD 的中点，从而ME AD ⊥．ME ∴⊥平面ABCD ，ME EF ⊥．设球O 是与平面MAD 、平面ABCD 、平面MBC 都相切的球． 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是MEF V 的内心．设球O 的半径为r ，则2MEFS r EF EM MF=++V设AD EF a ==，1AMD S =V Q所以2ME a ∴=，222MF a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以222122222r a a a a =≤=-+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭.当且仅当2a a=，即2a =时，等号成立. ∴当2AD ME ==时，满足条件的最大半径为21-.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系，属于中档题．12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，则yx的最大值为__________3【解析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【详解】x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，圆的圆心（2，0），半径为1，设ykx=，即kx﹣y＝0，要求x，y满足方程（x﹣2）2+y2＝1，yx的最大值，2211kk=+，解得k3=yx3故答案为3． 【点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查了表达式yx的几何意义，考查计算能力． 14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为__★__ 【答案】【解析】根据椭圆的标准方程及焦点在轴上，可得k 的不等式组，解不等式组即可得k 的取值范围。

南宁三中2018届高三第二次模拟考试数学试题（理科）全卷满分150分 考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|11}M x x =-≤≤，{|124}x N x =<<，则M N ⋂=（ ）A. {|10}x x -≤<B. {|01}x x <≤C. {|12}x x ≤<D. {|12}x x -≤< 2．已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 1B.12C.D.3．甲、乙两人答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为（ ）A.720B.35C.120D.1104．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A.B.C.D.5．如图所示的流程图，最后输出的n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A. 84-B. 84C. 280-D. 2807．若抛物线在处的切线的倾斜角为，则（ ）A.45B.12C.45-D. 12-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为（ ）A.6πC.43πD.9．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A.23B.113C.73D.14310．已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>，若正方形ABCD 四个顶点在双曲线T 上，且,AB CD 的中点为双曲线T 的两个焦点，则双曲线T 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 111．如图，在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+的值为（ ） A. 85B.58C.1D. -112．已知命题若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a 与b 的夹角为，且||1,|2|5a a b =-=，则||b _______. 14．若实数，满足约束条件，则的最小值为__________． 15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--33291=___________。

A ． {0,1,2}B ． {0,1}C ． {1,2}D ． {1}．复数满足，则（ ）z z (1+2i )=3+i z =A ． B ． C ． D ． 15+i 1-i 15-i1+i．下列各式中的值为的是（ ）A ．B ． 2sin 215°-1cos 215°-sin 215°C ．D ． 2sin15°cos15°sin 215°+cos 215°．设P 是△ABC 所在平面内的一点，，则()12BC +12BA =BPA ．B ．C ．D ． PA +PB =0PC +PA =0PB +PC =0PA +PB +PC =0已知为实数，“”是“”的a 1a >23a a <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件．已知某一随机变量X 的分布列如下,且E(X)=6.3,则a 的值为( )A ． 5B ． 6C ．8D ． 7．函数的部分图象大致是图中的（ ）．f (x )=cos x ln x 2A ．B ．C ．D ．，则下列关系正确的是（ ）=log 25,y =log 5 ． z <y <x <x <y x <y <z y <z <x．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外P -ABC △ABC PA =PC =2PA ⊥PB P -ABC．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．B ． 316C ．D ．．已知双曲线的离心率为2，，分别x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)F 1F2是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，若取得最小值和最大值时，的M (-a ,0)N (0,b )P MN PF 1⋅PF 2△PF 1F 2面积分别为，，则()S 1S2S 1S 2=A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁R S）∪T=( )A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．点评：本题考查由三视图还原几何体的直观图，解题时要注意，本题要求组合体的表面积，注意有一部分面积在两个图形拼接时去掉了，注意运算时不要忽略．6．有两个等差数列{a n}，{b n}，它们的前n项和分别为S n，T n，若=，则=( ) A．B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质把要求的比值，通过等差数列的求和公式转化为它们前n项和的比值，代公式即可得答案．解答：解：在等差数列中，S2n﹣1=（2n﹣1）a n，∴，故选：A．点评：本题考查等差数列的性质与求和公式，准确转化是解决问题的关键，属中档题．7．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是( )A．﹣1 B．C．D．4考点：循环结构．专题：计算题．分析：直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．解答：解：第1次判断后循环，S=﹣1，i=2，第2次判断后循环，S=，i=3，第3次判断后循环，S=，i=4，第4次判断后循环，S=4，i=5，第5次判断后循环，S=﹣1，i=6，第6次判断后循环，S=，i=7，第7次判断后循环，S=，i=8，第8次判断后循环，S=4，i=9，第9次判断不满足9＜8，推出循环，输出4．故选D．点评：本题考查循环框图的作用，正确计算循环变量的数值，是解题的关键，考查计算能力．8．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2 B．3 C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是2015届高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．9．若函数y=f（x）+cosx在上单调递减，则f（x）可以是( ) A．1 B．cosx C．﹣sinx D．sinx考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数的单调性，代入选项，化简后可得单调性，进而可得答案．解答：解：代入验证：A，y=1+cosx在上单调递增，上单调递减，故错误；B，y=2cosx在上单调递增，上单调递减，故错误；C，y=﹣sinx+cosx=cos（x+），由x+∈，可得x∈，故函数在上单调递减，故正确；D，y=sinx+cosx=cos（x﹣），由x﹣∈，可得x∈，故函数在上单调递减，故错误．故选C点评：本题考查三角函数的单调性，涉及三角函数公式的应用，属基础题．10．如图，正方形街道OABC，已知小白从A出发，沿着正方形边缘A﹣B﹣C匀速走动，小白与O连线扫过的正方形内阴影部分面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：利用面积公式，确定是一次函数即可．解答：解：设小白速度为v，则在OB段时，t时刻的面积，面积成匀速变化，故图象为线段，同理，BC段也是线段．故选：A．点评：本题考查了函数的图象的特征，属于基础题．11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( ) A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．解答：解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．点评：熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．小白散步后不慎走丢了，家里很着急，小新和阿呆等6人分配到A，B，C三条街道中寻找，每条街道至少安排1人，其中小新和阿呆同组，且小新不能分配到A街道，则不同的分配方案有( )种．A．132 B．150 C．80 D．100考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意小新和阿呆同组，可将他们看成1个单位，故总体个数为5，则可分为3﹣1﹣1，2﹣2﹣1两种情况，小新和阿呆分到哪一组都概率一样，根据据分类计数原理求得答案．解答：解：小新和阿呆同组，可将他们看成1个单位，故总体个数为5，则可分为3﹣1﹣1，2﹣2﹣1两种情况，小新和阿呆分到哪一组都概率一样，小新不能分配到A街道，第一种情况，有•=40种，第二种情况，有•=60种，根据分类计数原理得，不同的分配方案有40+60=100种．故选：D．点评：本题主要考查了分组分配的问题，小新不能分配到A街道，利用概率解答方便快捷，属于基础题．二、填空题：本大题共四小题，每题5分．13．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据△PBC的面积小于S时，可得点P所在区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率．解答：解：设P到BC的距离为h∵矩形ABCD的面积为S，∴△PBC的面积小于S 时，h≤BC∴点P所在区域的面积为矩形面积的一半，∴△PBC的面积小于S 的概率是故答案为：点评：本题考查几何概型，解题的关键是根据△PBC的面积小于S时，确定点P所在区域的面积为矩形面积的一半14．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．15．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=3．考点：简单线性规划．分析：先根据约束条件（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．解答：解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B的坐标为（1，4），代入y=ax+1得a=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．16．已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连结PD，由已知得PD⊥AB，BC⊥AB，DE⊥AB，由此能证明AB⊥PE．（2）由已知得PD⊥AB，PD⊥平面ABC，DE⊥PD，ED⊥AB，从而DE⊥平面PAB，过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF⊥PB，∠DFE为所求二面角的平面角，由此能求出二面角的A﹣PB﹣E 大小．解答：（1）证明：连结PD，∵PA=PB，∴PD⊥AB．∵DE∥BC，BC⊥AB，DE⊥AB．又∵PD∩DE=E，∴AB⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（2）解：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊥平面ABC．则DE⊥PD，又ED⊥AB，PD∩平面AB=D，DE⊥平面PAB，过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF⊥PB，∴∠DFE为所求二面角的平面角∴DE=，DF=，则，故二面角的A﹣PB﹣E大小为60°．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆C方程为+=1，已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入+=1中整理得到二次方程，运用韦达定理，再由四边形APBQ的面积S=|PQ|×|x1﹣x2|，即可得到最大值；（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由而k AB=化简即可得到定值．解答：解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入+=1中整理得x2+tx+t2﹣12=0，△＞0⇒﹣4＜t＜4，x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12，则四边形APBQ的面积S=|PQ|×|x1﹣x2|=6×|x1﹣x2|=3，故当t=0时S max=12；（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入+=1中整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，2+x1=，同理2+x2=，x1+x2=，x1﹣x2=，从而k AB===，即直线AB的斜率为定值．点评：本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=2x﹣3（1）证明：f（x）＞g（x）；（2）证明：（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e2×2014﹣3．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数求出函数的最小值为3﹣e，问题得证．（2）由题意得得，令x=1+n（n+1），利用放缩法加以证明．解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣2x+3，（x＞0）∴F'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令F'（x）=0，解得x=e，∴x∈（0，e），F'（x）＜0，x∈（e，+∞），F'（x）＞0，∴当x=e时函数F（x）有最小值，即为F（e）=elne﹣2e+3=3﹣e＞0，故f（x）＞g（x）．（2）由（1）xlnx＞2x﹣3，得，令x=1+n（n+1），故，∴=即ln＞2×2014﹣3则（1+1×2）（1+2×3）…（1+2014×2015）＞e2×2014﹣3成立．故问题得以证明．点评：本题主要考查了导数以函数的最值的关系，以及利用放缩法证明不等式成立的问题，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】22．已知a，b，c∈R+，a+b+c=，求证：a2+b2+c2≥1．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式、以及不等式的性质，证得要证的不等式．解答：证明：依题意得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）．∵a+b+c=，∴a2+b2+c2≥1．点评：本题主要考查利用基本不等式、不等式的性质，利用综合法证明不等式，属于中档题．。

南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（一）理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|10A x x =-<，2|3B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞ C ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知21zi i=++，则复数z =（ ）A ．2 C ．13i - D ．13i + 3.已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．2425 D ．2425- 4.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83 B ．3 C.43 D ．35.已知圆()()22:434M x y -+-=和两点(),0A a -，(),0B a ，若圆M 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则α的最大值为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．76.已知()1nmx +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m =（ ） A ．2 B ．3 C.2- D ．3- 7.函数()ln f x x x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.8.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2 C. 5 D ．69.已知ABC ∆的三边满足条件()223a b c bc--=，则A ∠=（ ）A ．30︒B ．45︒ C.60︒ D ．120︒ 10.已知06π⎛⎫⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ） A ．2x π=B ．12x π=- C. 3x π=-D ．23x π=11.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则C 的离心率e 为（ ）A 1B 1 D 2 12.已知函数()f x 是单调函数，对任意x R ∈，都有()()211xf f x -=，则()'2019f 的值为（ ） A ．20192ln 2 B ．20192ln 2019 C.201912ln 2+ D ．201912ln 2019+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k = ．14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 ．15.在三棱锥中P ABC -，PA ，PB ，PC 两两相互垂直，1PA PB PC ===，则此三棱锥内切球的半径为 ．16.已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

广西南宁市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x2+5x﹣6≥0}，B={x|x或x＞8}，则A∩（∁R B）等于（）A．[6，8）B．[3，8]C．[3，8）D．[1，8]2．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1﹣i）=2，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i3．（5分）（x﹣）5的展开式中，x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣804．（5分）如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．13665．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线4x﹣3y+1=0垂直，则双曲线的两条渐进线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±6．（5分）已知实数x，y满足，若x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0B．2C．4D．87．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．38．（5分）设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形记为P，则图形P的面积S等于（）A．1B．C．D．9．（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数10．（5分）某校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．6πC．4πD．2π12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（）A．（a+b）＞16B．b c（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）=﹣2，f（﹣1）=1，则函数g（x）=f（x）+x的零点个数为．15．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等且=，则的值是．16．（5分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k ＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若=6，则所有k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=（n+2）log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率直方图如图所示，已知次数在[100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在[110，130）视为达标，次数在130以上视为有优秀．（1）求此次抽样的样本总数为多少人？（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校2014-2015学年高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X 的分布列和期望．19．（12分）如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP=120°，AD=3，AP=5，PC=．（Ⅰ）若F为BP的中点，求证：EF∥平面PDC；（Ⅱ）若BF=BP，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．四、请考生在22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．23．已知直线l：（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆C：（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值．24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．广西南宁市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x2+5x﹣6≥0}，B={x|x或x＞8}，则A∩（∁R B）等于（）A．[6，8）B．[3，8]C．[3，8）D．[1，8]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2+5x﹣6≥0}={x|x≥1或x≤﹣6}，∵B={x|x或x＞8}，∴∁R B={x|＜x≤8}，则A∩（∁R B）={x|1≤x≤8}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1﹣i）=2，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵（1﹣i）=2，∴（1+i）（1﹣i）=2（1+i），∴=1+i，∴z=1﹣i，故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）（x﹣）5的展开式中，x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数．解答：解：二项式（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r•x5﹣2r，令5﹣2r=1，求得r=2，∴二项式（x﹣）5的展开式中x的系数为•（﹣2）2=40，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．4．（5分）如图所示的程序框图，其输出结果是（）A．341 B．1364 C．1365 D．1366考点：循环结构．专题：常规题型．分析：写出前几次循环，直到不满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：由框图知，经过第一次循环得到a=5经过第二次循环得到a=21经过第三次循环得到a=85经过第四次循环得到a=341经过第五次循环得到a=1365不满足判断框的条件，执行输出1365故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线4x﹣3y+1=0垂直，则双曲线的两条渐进线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的渐近线与直线垂直，得到a、b的关系，即可求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线的一条渐近线与直线4x﹣3y+1=0垂直，可知双曲线的渐近线为y=，可得=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用．渐近线方程的求法，考查计算能力．6．（5分）已知实数x，y满足，若x﹣y的最小值为﹣2，则实数m的值为（）A．0B．2C．4D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=x﹣y在解得，即点B（，）处取得最小值﹣2，此时，解得m=8，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．8．（5分）设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形记为P，则图形P的面积S等于（）A．1B．C．D．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：由题意画出图形，把阴影部分的面积转化为长方形的面积与2的差得答案．解答：解：如图，S=1×2﹣2=2﹣2×=2﹣=．故选：D．点评：本题考查了定积分，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．9．（5分）函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=2﹣2cos4x，由周期公式可求得T，由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数．解答：解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=cos2xsin2x=4sin22x=4×=2﹣2cos4x．∴由周期公式可得：T==，由余弦函数的图象和性质可知函数为偶函数．故选：D．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，属于基本知识的考查．10．（5分）某校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会4×100m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒的种数，再求出甲跑第二棒的种数，然后求其概率即可．解答：解：根据题意，从6人中取4人参加比赛的种数为A64，其中甲跑第一棒的情况有A53种，乙跑第四棒的情况有A53种，“甲跑第一棒”与“乙跑第四棒”都包含了“甲跑第一棒，乙跑第四棒”，此时有A42种情况，故共有A64﹣2A53+A42=252种跑法，甲跑第二棒的种数为：=48种，故甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为：，故选C．点评：本题考查了古典概型的概率的计算问题，解题的关键是求出对应的不同选法种数是多少．11．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．24πB．6πC．4πD．2π考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积解答：解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，R=所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故选：B点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（）A．（a+b）＞16B．b c（b+c）＞8 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24考点：基本不等式；三角形中的几何计算．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB，可得sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，利用正弦定理可得及S=，可得sinAsinBsinC==，即R2=4S，由于面积S满足1≤S≤2，可得2≤R≤，即可判断出．解答：解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A﹣B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，∴4sinCsinAsinB=，即sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，可得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得8≤abc，显然选项C，D不一定正确，A．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，故选：B．点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知中||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，可求出cosθ=，进而根据向量夹角的范围为0≤θ≤π，得到答案．解答：解：∵||=||=2，∴||2=||2=4∵（+2）•（﹣）=﹣2展开得：||2+•﹣2||2=4cosθ﹣4=﹣2，即cosθ=又∵0≤θ≤π故θ=故答案为：点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据已知计算出cosθ=，是解答的关键．14．（5分）已知函数f（x）=，若f（0）=﹣2，f（﹣1）=1，则函数g（x）=f（x）+x的零点个数为3．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（0）=﹣2，f（﹣1）=1联立可解出b=﹣4，c=﹣2；再讨论求方程g（x）=0的解，从而确定函数g（x）=f（x）+x的零点个数．解答：解：∵f（x）=，∴f（0）=c=﹣2，f（﹣1）=﹣1﹣b+c=1；解得，b=﹣4，c=﹣2；∴当x＞0时，令g（x）=f（x）+x=﹣2+x=0解得，x=2；当x≤0时，令g（x）=f（x）+x=﹣x2﹣4x﹣2+x=0解得，x=﹣1或x=﹣2；故方程g（x）=0有3个解，故函数g（x）=f（x）+x的零点个数为3；故答案为：3．点评：本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．15．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等且=，则的值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等和体积比推出底面半径的比，然后求解底面积的比．解答：解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，①由侧面积相等得，②∴①÷②得，则=．故答案为：．点评：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．16．（5分）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k ＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若=6，则所有k的值为或．考点：椭圆的标准方程．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据=6求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k．解答：解：依题设得椭圆的方程为+y2=1，直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故x2=﹣x1=，由=6知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得x0=（6x2+x1）=x2=，由D在AB上知x0+2kx0=2，得x0=．所以=，化简得24k2﹣25k+6=0，解得k=或k=．故答案为：或．点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=（n+2）log2a n，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设数列列{a n}的公比为q，由于2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a1+3a2=2a3．再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）由b n=（n+2）log2a n=（n+2）n，可得．利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）设数列列{a n}的公比为q，∵2a1，a3，3a2成等差数列，∴2a1+3a2=2a3．∴，化为2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或q=﹣．∵q＞0，∴q=2．∴a n=2n．（2）∵b n=（n+2）log2a n=（n+2）n，∴．∴数列{}的前n项和T n=+…+==﹣．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率直方图如图所示，已知次数在[100，110）间的频数为7，次数在110以下（不含110）视为不达标，次数在[110，130）视为达标，次数在130以上视为有优秀．（1）求此次抽样的样本总数为多少人？（2）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（3）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15，达标成绩记为10分，不达标记为5分，现在从该校2014-2015学年高一学生中随机抽取2人，他们分值和记为X，求X 的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）求出次数在[100，110）间的频率，即可求出样本总数；（2）利用互斥事件、对立事件的概率公式，即可得出结论；（3）确定在2014-2015学年高一年级中随机抽取2名学生的成绩和的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和期望．解答：解：（1）设样本总数为n，∵由频率分布直方图可知：次数在[100，110）间的频率为0.014×10=0.14，…1分（1分）∴0.14n=7，解得n=50人．…1分（2分）（2）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A．P（C）=0.006×10+0.014×10=0.2；…1分（3分）P（B）=0.028×10+0.022×10=0.50；…1分（4分）P（A）=1﹣P（B）﹣P（C）=0.30．…1分（5分）（3）∵在2014-2015学年高一年级中随机抽取2名学生的成绩和X=10，15，20，25，30 (1)分（6分）∴P（X=10）=0.2×0.2=0.04；P（X=15）=2×0.2×0.5=0.2；P（X=20）=0.52+2×0.2×0.3=0.37；P（X=25）=2×0.3×0.5=0.3；P（X=30）=0.32=0.09．[对一个给1分，但不超过4分]…4分（10分）X 10 15 20 25 30P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09∵E（X）=0.04×10+0.2×15+0.37×20+0.3×25+0.09×30…1分（11分）∴E（X）=21．…1分（12分）点评：本题考查频率直方图，考查概率知识，考查分布列和期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP=120°，AD=3，AP=5，PC=．（Ⅰ）若F为BP的中点，求证：EF∥平面PDC；（Ⅱ）若BF=BP，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）先证明四边形EFOD是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明EF∥平面PDC；（Ⅱ）z轴建立空间直角坐标系，求得，面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，可求AF与平面PBC所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO∥BC，且FO=BC，又ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，且ED=BC，∴FO∥ED，且FO=ED∴四边形EFOD是平行四边形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴EF∥DO∵EF⊄平面PDC∴EF∥平面PDC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：以DC为x轴，过D点做DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，则有D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，3），P（﹣2，2，0），A（0，0，3）﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设F（x，y，z），则==（﹣）∴F（），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设平面PBC的法向量为则，即，∴取y=1得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴cos===∴AF与平面PBC所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查利用向量知识解决线面角问题，求得平面的法向量是关键．20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|=|AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．解答：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2=．∵x N=x M==，∴N点的坐标为（，）．∵y′=4x，∴y′|=k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB；（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．由（Ⅰ）知y M=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）=[k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，由MN⊥x轴，则|MN|=|y M﹣y N|=2+﹣=，∵|AB|=•=•=•由=•∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：，从而可得．利用叠加法可得结论．解答：（1）解：依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]∵，而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）∴f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）在[0，e﹣1]上为增函数，∴∴实数m的取值范围为m≤e2﹣2（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴显然，函数g（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴函数g（x）的最小值为g（0）=0∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2﹣ln1＜1，，，…，将以上n个等式相加即可得到：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题．四、请考生在22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．23．已知直线l：（t为参数，α≠kπ，k∈Z）经过椭圆C：（φ为参数）的左焦点F．（1）求m的值；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用点的坐标求出m的值．（2）利用（1）的结论，进一步建立一参数为变量的一元二次方程，进一步根据根和系数的关系求出函数的关系式，再利用函数的值域求出结果．解答：解：（1）∵椭圆C：（φ为参数）的普通方程为，方程的左焦点为F，∴F（﹣1，0）．∵直线l：（t为参数，α≠kπ，k∈Z）的普通方程为：y=tanα（x﹣m）．∵α≠kπ，k∈Z，∴tanα≠0∵直线经过点F，所以：0=tanα（﹣1﹣m），解得：m=﹣1．（2）将直线的参数方程（t为参数）代入椭圆C的普通方程并整理得：（3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0．设点A、B在直线参数方程中对应的参数分别为t1和t2，则|FA|×|FB|=|t1t2|==，当sinα=±1时，|FA|×|FB|的最小值为．点评：本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，及参数方程的应用，根和系数的关系的应用，三角函数的最值问题的应用，主要考察学生运算能力和对数形结合的理解能力．24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．解答：解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。