教材中典型的知识点

小学教材目录知识点总结一、语文教材目录知识点总结语文教材是小学生学习语言文字知识的重要教材。

在小学语文教材中，通常包括了课文、诗文、语文常识、成语故事等内容。

其中，课文是学生学习语文知识的重要内容，包括了单元故事、古诗词、现代诗歌等。

此外，语文教材中也包括了语文常识，如字词语、词语造句、语法知识等。

在语文教材中，学生需要学会阅读课文和诗文，理解故事情节，把握文章主题，领悟其中的情感和意境。

同时，学生还需要学会识字、认字、写字，并掌握正确的语言表达技巧。

除此之外，还需要掌握拼音、注音、基础语法知识、修辞手法等内容。

二、数学教材目录知识点总结数学教材是小学生学习数学知识的重要教材。

在小学数学教材中，通常包括了数的认识与应用、算术运算、分数、小数、几何、量与单位等内容。

其中，数的认识与应用主要包括了自然数、整数、有理数、正数负数的认识与运用。

算术运算包括了加减乘除等基本算术运算。

在数学教材中，学生需要学会认识数字、数读、数学奥秘、数学游戏等内容。

同时，还需要学会简单的加减乘除运算，并掌握分数、小数、几何、量与单位等知识。

另外，还需要学会应用数学进行问题解决，如拟解答有关生活、社会等方面的数学问题。

三、英语教材目录知识点总结英语教材是小学生学习英语的重要教材。

在小学英语教材中，通常包括了英语语音、英语词汇、英语语法、英语阅读、英语写作等内容。

其中，英语语音主要包括了音标、发音规则、单词重音等内容。

英语词汇包括了基础词汇、日常用语、常用短语等。

英语语法包括了句型、时态、语态、主谓一致等内容。

在英语教材中，学生需要学会认识字母、拼读、会话、背诵歌谣等内容。

同时，还需要学会简单的对话、日常用语、阅读短文、写作简单句子等。

此外，还需要学会掌握英语语法知识，如时态、句型、被动语态等。

另外，还需要学会运用英语进行听、说、读、写的综合训练。

四、科学教材目录知识点总结科学教材是小学生学习科学知识的重要教材。

在小学科学教材中，通常包括了自然界的一些基本现象、生物、地理、天文、力学、热学、光学、电学等内容。

八年级书知识点八年级是初中阶段的重要学习阶段，也是完善自己知识结构的关键时期，其中涉及了许多重要的知识点和学科。

在八年级的学习生涯中，学生们需要掌握大量知识点，以下是八年级常见的书本知识点。

1.语文八年级语文主要涉及文学鉴赏、作文以及语言应用，要求学生能够深入理解文化内涵，理解诗歌、散文、小说等文学体裁的写作手法和语言运用技巧。

同时，要求学生能够熟练掌握写作规律，进行作文的模仿和创作。

2.数学八年级数学主要包括代数、几何、概率统计等方面的知识点。

其中，代数的学习学生需要掌握一元二次方程、一次不等式等知识点。

几何方面，需要学生掌握勾股定理、正弦、余弦、正切等知识点。

在概率统计方面，需要学生掌握基本概念，如样本空间、事件、概率等。

3.物理八年级物理主要涉及光、声、电等方面的知识点。

在光学方面，主要包括光的反射、折射和光的成像等知识点。

在声学方面，需要学生掌握声音的传播、共鸣和声音的衰减等知识点。

在电学方面，需要学生掌握电流和电压的基本知识以及简单电路的组成和使用。

4.化学八年级化学主要涉及物质与化学反应、化学元素等方面的知识点。

学生需要掌握化学元素的基本概念、元素周期表的特性和规律。

同时要了解化学反应的特性，掌握化学方程式的写法和解题方法。

5.生物八年级生物主要涉及生物分子、细胞、遗传等方面的知识点。

学生需要了解生物分子、细胞的基本组成和功能，掌握遗传规律和基本遗传学的知识。

总之，八年级是学科知识的重要阶段，也是完善学习结构的关键时期。

只有在充分吸收这些基础知识的基础上，才能够更好地应对高中学科知识，同时也为未来的人生发展打下坚实的基础。

一、填空1、《中华人民共和国国歌》原名叫《义勇军进行曲》，词作者田汉，曲作者是聂耳，聂耳的故乡是云南玉溪，聂耳的作品有：《卖报歌》、《毕业歌》、《大路歌》、《码头工人》2《我的祖国》电影《上甘岭》中的插曲，是乔羽作词，刘炽作曲，《我的祖国》这首歌的首唱者是郭兰英。

3、《老鸟小鸟》是一首绕口令歌，是由作曲家瞿希贤作曲。

4、《欢乐颂》节选自《第九交响曲》，曲作家是德国的贝多芬。

《土拨鼠》和钢琴独奏曲《土耳其进行曲》也是贝多芬的作品，歌德是德国的作家和思想家。

5、台湾民歌《宜兰童谣》是根据二歌《丢丢铜》和《天乌乌》改编的。

6、京剧中的脸谱有生、旦、净、丑，京剧弦乐主要伴奏乐器是京胡、京二胡、月琴、三弦。

7、“葫芦丝”和“芦笙”都是云南少数民族乐器，西双版纳是傣族音乐歌舞集中的地区。

二、乐器分类：1、民族乐器（1）民族管乐器：笛子、芦笙、唢呐、葫芦丝（2）民族弦乐器：月琴、二胡、京胡（3）民族打击乐器：铃鼓、大鼓、板鼓、钹、锣、扬琴、云锣2、西洋乐曲：小号、长笛、短笛、长号、圆号、小提琴、大提琴、电子琴、三角铁、沙锤三、民族歌曲1、《猜调》----云南民歌。

《月光下的凤尾竹》----云南傣族民歌2、《飞歌》--贵州苗族民歌。

《久不唱歌忘记歌》---贵州布依族民歌《金凤子开红花》---贵州民歌3、《太阳出来喜洋洋》--四川民歌。

《采花》--四川民歌。

《闹元宵》--四川民歌4、《丢丢铜》《宜兰童谣》----台湾民歌。

《天黑黑》----台湾民歌5、《风吹竹叶》----福建民歌《采茶歌》----福建民歌6、《铃儿响叮当》----美国民歌7、《划船歌》----印度尼西亚民歌8、《卡普里岛》----意大利民歌9、《可爱的一朵玫瑰花》---哈萨克民歌10、《吉哟》----侗族民歌11、《大家一起来》----瑞典歌曲12、《一起来high歌》-----德国歌曲13、《祝你圣诞快乐》----欧美传统歌曲四、1、《卖火柴的小女孩》丹麦安徒生著2、《宜兰童谣》属管弦乐曲3、《沉思曲》属小提琴独奏曲法国马斯涅曲4、《土耳其进行曲》属钢琴独奏曲5、《老鸟小鸟》属绕口令6、《花好月圆》属民族合奏7、《丰收锣鼓》属民族管弦乐曲8、《梦幻曲》属钢琴独奏或大提琴独奏德国舒曼曲五、中国民歌体裁：劳动号子、山歌、小调六、感受歌曲的情趣与情感（聆听）热情地轻快地恬静地欢快地亲切地愉快地甜美地深情地雄壮有力地轻柔宁静地天真活泼地明朗地悲伤地七、音乐记号：1、变音记号2、力度记号3、装饰音记号（1）变音记号包括：升记号# 降记号b 还原记号重升记号x 重降bb （2）力度记号包括：强f 弱p 中强mf 中弱mp 很强ff 很弱pp 突强sf突强后弱sfp 强后弱fp 渐强< 渐弱>（3）装饰音记号包括：上波音下波音上滑音下滑音（4）演奏、演唱记号：“—”保持音记号“>”重音记号“▼”顿音记号“v”换气记号“⌒”连音线“”自由延长记号“tr”颤音记号（5）速度用语：慢拍稍慢中速（中拍）稍快小快板快（快拍）急速（急拍）减慢减快（6）反复记号主要分为D.C 记号，D.S记号，段落反复记号和反复跳越记号。

人教A 版必修第二册全册知识点汇总第六章 平面向量及其应用 (1)6.1 平面向量的概念 ...................................................................................................... 1 6.2 平面向量的运算 ........................................................................................................ 5 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 .............................................................................. 22 6.4.平面向量的应用 ....................................................................................................... 37 第七章 复数 (51)7.1 复数的概念 .............................................................................................................. 51 7.2复数的四则运算 ....................................................................................................... 58 7.3* 复数的三角表示 .................................................................................................. 64 第八章 立体几何初步 .. (69)8.1 基本立体图形 ........................................................................................................ 69 8.2 立体图形的直观图 ................................................................................................ 80 8.3 简单几何体的表面积与体积 .................................................................................. 83 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 .................................................................. 93 8.5 空间直线、平面的平行 ........................................................................................ 104 8.6 空间直线、平面的垂直 ........................................................................................ 114 第九章 统计 . (132)9.1 随机抽样 .............................................................................................................. 132 9.2 用样本估计总体 .................................................................................................. 138 9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析 ...................................................... 145 第十章 概率 . (150)10.1 随机事件与概率 .................................................................................................. 150 10.2 事件的相互独立性 ............................................................................................ 161 10.3 频率与概率 .. (165)第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．典型应用1 向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB→|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 典型应用2 向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．用有向线段表示向量的步骤典型应用3共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →. 2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．6.2 平面向量的运算6．2.1 向量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．3．向量加法的运算律典型应用1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD→＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 典型应用2平面向量的加法运算化简： (1)BC→＋AB →； (2)DB→＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB → ＝BD→＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 典型应用3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA→，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →. 由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．6．2.2 向量的减法运算1．相反向量(1)定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．(2)结论①－(－a )＝a ，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． ■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. 典型应用1 向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB→＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB→－AD →－DC →. 【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB→＝AB →. 法二：原式＝AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→. (2)法一：原式＝DB→－DC →＝CB →.法二：原式＝AB→－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.向量减法运算的常用方法典型应用2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，连接BC ， 则CB→＝b －c . 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c . 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c . 法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c .求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．典型应用3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB→＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解】 因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD→＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.6．2.3 向量的数乘运算1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |．(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．■名师点拨λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa )＝(λμ)a ． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ． (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．(2)向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． ■名师点拨若将定理中的条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa . 典型应用1 向量的线性运算(1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； ③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）.(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 【解】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b＝53a －1118b .(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．典型应用2向量共线定理及其应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB→. 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．(2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．典型应用3用已知向量表示其他向量如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→＝________； (2)MN→＝________． 【解析】 因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →. (1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1. (2)MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2[变条件]在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →.解：因为MN→＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN→＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点， 所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN→＝DA →＋CB →，所以MN→＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．6．2.4 向量的数量积1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． ■名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD→＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角．2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定零向量与任一向量的数量积为0． ■名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a ·b ，千万不能写成a ×b 的形式． 3．投影向量如图(1)，设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影(project)，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．(2)若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e .■名师点拨当θ＝0时，OM 1→＝|a |e ；当θ＝π2时，OM 1→＝0；当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，OM 1→与b方向相同；当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，OM 1→与b 方向相反；当θ＝π时，OM 1→＝－|a |e .4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0．(3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b |≤|a ||b |. ■名师点拨对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)．(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)． ■名师点拨(1)向量的数量积不满足消去律；若a ，b ，c 均为非零向量，且a·c ＝b·c ，但得不到a ＝b .(2)(a·b )·c ≠a·(b·c )，因为a·b ，b·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b )·c 与向量c 共线，a·(b·c )与向量a 共线，因此，(a·b )·c ＝a·(b·c )在一般情况下不成立．(3)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 典型应用1平面向量的数量积运算(1)已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a ＋3b )．(2)如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求：①AD→·BC →；②AB →·DA →.【解】 (1)(a ＋2b )·(a ＋3b ) ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192. (2)①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC →·BD →.解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC→·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →) ＝AD→2－AB →2＝9－16＝－7.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．典型应用2 向量模的有关计算(1)已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A.3B．23 C．4 D．12(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝32，a与b的夹角为60°，则|b|＝()A.13 B.12C.15 D.14【解析】(1)|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos 60°＝34，即1＋|b|2－|b|＝34，解得|b|＝12.【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．典型应用3向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)(2019·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．【解析】(1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12， 所以cos θ＝12.又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3.(2)设a 与b 的夹角为θ，由(a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |.又因为|a |＝2|b |，所以cos θ＝|b |22|b |2＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】 (1)π3 (2)π3 命题角度二：证明两向量垂直已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时，求证：b ⊥(a＋t b )．【证明】 因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值． 此时b ·(a ＋t b )＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0.所以b ⊥(a ＋t b )． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k的值为( )A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1(2)已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．【解析】(1)因为3a＋2b与k a－b互相垂直，所以(3a＋2b)·(k a－b)＝0，所以3k a2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.因为a⊥b，所以a·b＝0，又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝3 2.(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】(1)B(2)－8或5求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．6.3 平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理平面向量基本定理(1)e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，{e 1，e 2}的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)基底{e 1，e 2}确定后，实数λ1，λ2是唯一确定的． 典型应用1平面向量基本定理的理解设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎨⎧λ＝1，1＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，所以e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底．③因为e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)， 所以e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎨⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，所以e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③对基底的理解(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．典型应用2用基底表示平面向量如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE与BF 交于点G ，若AB→＝a ，AD →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE →，BF →.【解】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD→＋AB →＋12BC → ＝－AD→＋AB →＋12AD →＝a －12b . BF→＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB→＋AD →＋12AB →＝b －12a .1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a ，b }表示AG →.解：由平面几何知识知BG ＝23BF ， 故AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF → ＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝a ＋23b －13a ＝23a ＋23b .2．[变条件]若将本例中的向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”，即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用基底{a ，b }表示向量DE→，BF →. 解：DE→＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF→＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF → ＝－2CE→＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 典型应用3平面向量基本定理的应用如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .【解】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2， 则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨μ＝35.所以AP →＝45AM →，BP →＝35BN →，所以AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.1．[变问法]在本例条件下，若CM→＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2，则NP →＝25NB →， CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB →＝b ＋25(CB →－CN →) ＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其他条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .解：如图，设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－2e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. 因为A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－2λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理， 得⎩⎨⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨μ＝23.所以AP →＝23AM →，BP →＝23BN →， 所以AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e 1和e 2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a ＝b ⇔x 1＝x 2且y 1＝y 2，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 典型应用1平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA→的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA→＝(23，6)． (2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．典型应用2平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( )A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA→＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)． 因为CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 所以CM→＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以⎩⎨⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎨⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝2. 所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM→＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 可得OM→－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 所以OM→＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM→＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)． 所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 典型应用3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP→＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13. 若点P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，所以⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？ 解：由OP→＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP→＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．第2课时 两向量共线的充要条件及应用两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0．■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .典型应用1 向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，AC→＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB→∥AC →，所以AB →与AC →共线． 又AB→＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13， 所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法典型应用2 三点共线问题(1)已知OA→＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线；(2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB→＝OB →－OA →＝(4，8)，AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →， 即AB→与AC →共线． 又因为AB→与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线．(2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线，所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB→＝λAC →.因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)， 即⎩⎨⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB→与AC →共线，因为AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，。

《道德与法治》八年级上册教材主要知识点第一单元走进社会生活第一课丰富的社会生活1.我们对社会生活的感受：绚丽多彩2.人们在社会交往中形成了各种社会关系3.个人和社会的关系（1）个人是社会的有机组成部分。

（2）人的身份是在社会关系中确定的。

4.人的身份是怎样确定的？人的身份是在社会关系中确定的。

在不同的社会关系中，我们具有不同的身份。

5.个人成长与社会的关系（1）人的成长是不断社会化的过程。

（2）人的生存和发展离不开社会，每个人都从社会中获得物质支持和精神滋养。

6.亲社会行为的表现：谦让、分享、帮助他人、关心社会发展等。

7.亲社会行为的意义（重要性）有利于我们养成良好的行为习惯，塑造健康的人格，形成正确的价值观念，获得他人和社会的接纳与认可。

8.为什么要养成亲社会行为？（1）青少年处于走向社会的关键时期，我们应该树立积极的生活态度，关注社会，了解社会，服务社会，养成亲社会行为。

（2）有利于我们养成良好行为习惯，塑造健康人格，形成正确的价值观念，获得他人和社会的接纳与认可。

（3）参与社会的过程，既是体验社会生活的过程，也是在实践中发展和成就自己的过程。

（4）我们只有主动关心社会，积极融入社会，倾力奉献社会，才能实现自己的人生价值。

9.怎样养成亲社会的行为？（1）亲社会行为在人际交往和社会实践中养成。

（2）我们要主动了解社会，关注社会发展变化，积极投身于社会实践。

（3）在社会生活中，我们要遵守社会规则和习俗，热心帮助他人，想他人之所想，急他人之所急。

第二课网络生活新空间1.网络丰富日常生活的表现（1）网络让我们日常生活中的信息传递和交流变得方便迅捷；（2）互联网打破了传统人际交往的时空限制，促进了人际交往；（3）网络让我们的生活变得更加便利和丰富多彩。

2.网络推动社会进步的主要表现（为什么说网络推动了社会进步？）（1）网络为经济发展注入新的活力。

（2）网络促进了民主政治的进步。

（3）网络为文化传播和科技创新搭建新平台。

人教版高中地理教材中的核心知识点整理高中地理是一门重要的学科，它帮助学生了解和认识世界，理解人与自然的关系。

而人教版高中地理教材作为一种权威教材，涵盖了丰富的地理知识。

在本文中，我将对人教版高中地理教材中的核心知识点进行整理，以帮助学生更好地学习和掌握这门学科。

一、自然地理部分1. 大地构造及板块运动人教版高中地理教材详细介绍了地球内部的构造和板块运动的原理。

学生需要了解板块边界的类型和特征，理解板块运动对地球表面地貌和自然灾害的影响。

2. 气候与气候区划了解全球气候变化的原因和过程是地理学习的重要内容之一。

此外，人教版地理教材还包括了气候要素的观测和记录方法，以及气候区划的划分标准和特征。

3. 水资源与水循环掌握水资源的分布、供应和利用情况对于理解地球各地的水资源问题非常重要。

教材中还涉及水循环的过程和影响因素，以及水资源保护和合理利用的方法。

4. 生态环境与环境保护人教版高中地理教材对生态环境的基本知识进行了系统讲解。

学生需要了解生态系统的组成和相互关系，以及人类活动对生态环境的影响。

此外，环境保护的理论和实践方法也是核心知识点之一。

二、人文地理部分1. 人口与城市人教版高中地理教材对人口变化与城市发展进行了全面的介绍。

学生需要了解人口结构、人口迁移和城市化进程的原因和影响。

2. 社会经济地理理解不同地区的社会经济发展差异是地理学学习的重要内容。

地理教材中包括了农业、工业和服务业的发展情况，以及城乡差距和区域发展不平衡的问题。

3. 区域可持续发展学习地理需要认识到人与自然的和谐发展。

人教版地理教材强调了区域可持续发展的重要性，包括资源的合理利用、环境的保护和经济的可持续发展等方面的知识。

4. 城市与区域规划理解城市和区域规划对于城市建设和管理至关重要。

教材中介绍了城市规划的原则和内容，以及区域规划的意义和方法。

总结起来，人教版高中地理教材中的核心知识点涵盖了自然地理和人文地理两个部分。

自然地理部分包括了大地构造、气候、水资源和生态环境等内容；人文地理部分包括了人口、城市、社会经济地理和区域可持续发展等内容。

人教版每课知识点总结
语文：语文是中国的国学，它是我们认识世界、认识人、认识生活的工具。

在语文教学中，我们既要注重学生的语言表达能力，又要注重学生的阅读能力，因此，语文教学中的知识
点总结可以包括语言文字的表达和阅读能力的培养两个方面。

数学：数学是一门涉及逻辑思维和计算能力的学科。

在数学教学中，我们主要注重学生逻
辑思维的培养，因此，知识点总结可以包括数学中的逻辑推理和数学计算能力的培养两个
方面。

英语：英语是一门国际通用的语言，因此在英语教学中，我们既要注重学生的英语口语能力，又要注重学生的听、说、读、写的能力，因此，知识点总结可以包括英语口语表达和听、说、读、写能力的培养两个方面。

科学：在科学教学中，我们既要注重学生的科学知识的掌握，又要注重学生的科学实验能
力的培养，因此，知识点总结可以包括科学知识的学习和实验能力的培养两个方面。

社会：社会学科是一门涉及社会生活和社会发展的学科，在社会教学中，我们既要注重学
生对社会生活的认识，又要培养学生的社会调查和人文素养，因此，知识点总结可以包括
社会生活的认识和人文素养的培养两个方面。

综上所述，无论是哪一门学科的教学，都需要我们注重学生的能力培养，不仅仅是知识的
灌输，而是让学生自主学习，培养学生的综合能力。

因此，不仅仅是知识点总结，更重要
的是我们要注重培养学生的综合素质，让学生在学习过程中不仅仅是知识的获取，更重要
的是学会学习，学会创新，学会合作，学会发展。

词汇是语句的基本组成部分，是语言理解和运用的基础，只有掌握一定量的词汇，才能在听说读写方面有一个全面的提高。

只有准确地掌握词汇，才能更好地掌握语言。

一、各册教材中的单词三年级（上册）三会单词Unit 1：pen (钢笔) pencil (铅笔) pencil-case ( 铅笔盒) ruler(尺) eraser(橡皮)crayon(蜡笔) book (书) bag (书包) sharpener (卷笔刀) school (学校)Unit 2：head (头) face( 脸) nose (鼻子) mouth (嘴) eye (眼睛)ear (耳朵)arm (胳膊)finger (手指) leg (腿)foot (脚)body (身体)Unit 3：red (红色的)yellow (黄色的)green (绿色的) blue (蓝色的)purple (紫色的)white (白色的) black (黑色的) orange (橙色的) pink (粉色的)brown (棕色的)Unit 4：cat (猫)dog (狗)monkey (猴子)panda (熊猫) rabbit( 兔子)duck (鸭子)pig (猪)bird (鸟)bear (熊) elephant (大象)mouse (老鼠)squirrel (松鼠) Unit 5：cake (蛋糕)bread (面包)hot dog (热狗) hamburger (汉堡包)chicken (鸡肉)French fries (榨薯条)Coke (可乐)juice (果汁)milk (牛奶) water (水)tea (茶) coffee (咖啡)Unit 6：one (一)two (二)three (三)four (四)five (五)six( 六)seven (七)eight (八) nine( 九)ten( 十)doll (玩具娃娃)boat (小船)ball (球) kite (风筝)balloon (气球) car (小汽车) plane (飞机)PEP英语三年级（下册）三会单词Unit 1：boy (男孩) girl (女孩) teacher (教师) student (学生) this (这个)my (我的) friend (朋友) I’m=I am (我是) nice (好的；愉快的)good morning (早上好) good afternoon(下午好) meet (遇见；碰见)goodbye (再见) too (也；太)Unit 2father (父亲爸爸) dad (爸爸)（口语）mother (母亲；妈妈) mom 妈妈（口语）man (男人) woman(女人) grandmother （外）祖母grandma （口语）（外）祖母grandfather（外）祖父grandpa （口语）（外）祖父sister (姐妹) brother(兄妹)let’s=let us (让我们) great (太好了) really (真地；确切地) and (和；并且)how (多么；怎么样)Unit 3：eleven (十一) twelve( 十二) thirteen (十三) fourteen (十四) fifteen(十五)sixteen (十六) seventeen (十七) eighteen (十八) nineteen (十九) twenty (二十)how many (多少) can (能够；可以) look at (看；瞧)Unit 4：peach (桃) pear (梨) orange (橙子)watermelon (西瓜) apple (苹果)banana (香蕉) strawberry (草莓) grape (葡萄) like (喜欢) some (一些；些)thanks (多谢)Unit 5：bus (公共汽车) bike (自行车) taxi (出租车) jeep (吉普车) desk( 课桌)chair (椅子) walkman (随身听) lamp (台灯) your (你的；你们的) zoo (动物园)Unit 6：small (小的) big (大的) long (长的) short (短的；矮的)tall (高的) giraffe (长颈鹿) deer (鹿)PEP四年级(上册)单元词汇表Unit 1：window(窗户) board(写字板) light(灯，灯管) picture(画，图画) door (门)floor(地板) classroom(教室) computer(计算机) teacher’s desk(讲台) wall(墙)fan(扇子，电扇) classmate(同学) have（我们）有new(新的) go(去)where (在......哪里) many(许多的) our(我们的) clean(打扫，清洁，擦干净的)good idea(好主意) have a look(看一看) all right(好吧，好的) seat(座位)good job(干的好) near(在......的旁边) you(你) what(什么) see(看)in(在......里面) me(我) the(这个，这里)look at(看) we(我们)Unit 2：Chinese book(语文书) pencil(铅笔) English book(英语书)twenty-one(二十一) math book(数学书) thirty-one(三十一) schoolbag(书包)forty-one(四十一) story-book(故事书) fifty(五十) notebook(笔记本)too many(太多) colour(颜色) fat(胖的) heavy(重的；沉重的) may (可以)what’s=what is sure(当然可以) sorry(对不起) here you are(给你)book(书) bag(包) ruler(尺子) pen(钢笔) pencil-case (铅笔盒)Unit 3：jacket(夹克衫) shirt(衬衫) skirt(裙子) dress(连衣裙) T-shirt(T恤衫)red(红色的) blue(蓝色的) yellow(黄色的) green(绿色的) white(白色的)no(不；不是) not(不；不是的) colour(颜色) Unit 4：warm(暖和的) cold(寒冷的) cool(凉爽的) today(今天) jeans(牛仔裤)pants(长裤) socks(袜子) shoes(鞋子) let’s=let us （让我们）play(玩；踢)football(足球) snowy(下雪的) sunny(晴朗的)Unit 5：how much(多少钱) big(大的) small(小的) long(长的) short(短的)apple(苹果) banana(香蕉) pear(梨) orange(橙子) watermelon(西瓜) are(是)they 它(他、她)们Unit 6：horse(马) aren’t=are not （不是）cat(猫) rabbit(兔子) pig(猪)duck(鸭子) dog(狗) eleven(十一)twelve(十二) thirteen(十三)fifteen(十五) twenty(二十) how many(多少) there(那儿；那里)PEP四年级(下册)词汇表Unit 1：computer(计算机) board(写字板) fan(风扇) light(灯) this(这；这个)is(是) my(我的) that(那；那个) your(你的) teacher’s desk(讲台)picture(图画；照片) wall(墙壁) floor(地板) yes(是；是的) it(它)Unit2 one(一) two(二) three(三) four(四) five(五) six(六)seven(七) eight(八)nine(九) ten(十) what(什么) time(时间) it’s=it is（它是）…o’clock(…点钟)math(数学) Chinese(语文) English(英语) P.E.(体育) music(音乐)for(为；给) class(课程)Unit 3：jacket(夹克衫) shirt(衬衫) skirt(裙子) dress(连衣裙) T-shirt(T恤衫)red(红色的) blue(蓝色的) yellow(黄色的) green(绿色的) white(白色的)no(不；不是) not(不；不是的) colour(颜色)Unit 4：warm(暖和的) cold(寒冷的) cool(凉爽的) today(今天) jeans(牛仔裤)pants(长裤) socks(袜子) shoes(鞋子) let’s=let us（让我们）play(玩；踢)football(足球) snowy(下雪的) sunny(晴朗的)Unit 5：how much(多少钱) big(大的) small(小的) long(长的) short(短的)apple(苹果) banana(香蕉) pear(梨) orange(橙子) watermelon(西瓜) are(是)they 它(他、她)们Unit 6：horse(马) aren’t=are not cat(猫) rabbit(兔子) pig(猪) duck(鸭子)dog(狗) eleven(十一) twelve(十二) thirteen(十三) fifteen(十五) twenty(二十)how many(多少) there(那儿；那里)PEP五年级(上册)四会单词词汇表Unit 1：young （年轻的）funny （滑稽可笑的）tall （高的）strong （强壮的）kind （和蔼的、亲切的）old （年老的）short （矮的）thin （瘦的）Mr （先生）like （像、喜欢）strict （严格的）smart （聪明的、巧妙的）active （积极的、活跃的）quiet （安静的、文静的）very（很、非常）but （但是）Unit 2：Monday （星期一）Tuesday （星期二）Wednesday （星期三）Thursday（星期四）Friday （星期五）Saturday （星期六）Sunday （星期天）day （天）have （有、吃）on （在…..时候）do homework （做作业）watch TV （看电视）read books （读书）Unit 3：eggplant （茄子）fish （鱼）green beans （青豆）tofu （豆腐）potato （土豆）tomato （西红柿）for （为）lunch （中餐）we（我们）tasty （好吃的）sweet （甜的）sour （酸的）fresh（新鲜的）salty （咸的）favourite （最喜欢的）they are （他们是）fruit （水果）grape （葡萄）Unit 4：Cook the meals （烧饭）water the flowers （浇花）sweep the floor扫地）clean the bedroom （打扫卧室）make the bed（铺床）set the table （摆饭桌）wash the clothes （洗碗碟）do the dishes （收拾衣服）use a computer （使用计算机)Unit 5：curtain （空调）trash bin （垃圾箱）closet （壁橱）mirror（镜子）end table （床头柜）bedroom （卧室）kitchen （厨房）bathroom （卫生间）living room （客厅）in （在…里面）on（在…上面）under （在…下面）near （在..旁边）behind （在…后边）clothes （衣服）Unit 6：river （河流）flower （花）grass （草）lake （湖泊）forest（森林）path （路）park （公园）picture （照片）house （房子）bridge （桥）tree （树）road （公路）building （建筑物）clean （干净的）PEP五年级(下册)四会单词词汇表Unit 1：do morning exercises（晨练）eat breakfast（吃早饭）have English class（上英语课）play sports（进行体育运动）eat dinner（吃晚饭）when（什么时候）evening（夜晚；晚上）get up（起床）at（在……点钟）usually（通常；一般）noon（中午）climb mountains（爬山）go shopping（购物；买东西）play the piano（弹钢琴）visit grandparents（看望祖父母）go hiking（去远足）weekend（周末）often（经常）sometimes（有时候）Unit 2：spring（春天）summer（夏天）fall（秋天）winter（冬天）season季节）which（哪一个）best（最；极）swim（游泳）fly kites（放风筝）skate（滑冰；滑冰鞋）make a snowman（堆雪人）plant trees（种树）why（为什么）because（因为）sleep（睡觉）Unit 3：Jan./January（一月）Feb./February（二月）Mar./March（三月）Apr./April（四月）May（五月）June（六月）July（七月）Aug./August（八月）Sept./September（九月）Oct./October（十月）Nov./November（十一月）Dec./December（十二月）birthday（生日）uncle（叔叔；舅舅）her（她的）date（日期）Unit 4：draw pictures（画画）cook dinner（做饭）read a book（看书）answer the phone（接电话）listen to music9（听音乐）clean the room（打扫房间）write a letter（写信）write an e-mail（写电子邮件）mom（妈妈）grandpa（爷爷；外公）study（书房）Unit 5：fly（飞）jump（跳）walk（走）run（跑）swim（游泳）kangaroo（袋鼠）sleep（睡觉）climb（往上爬）fight（打架）swing（荡；荡秋千）drink water（喝水）Unit 6：take pictures（照相）watch insects（观察昆虫）pick up leaves（采摘树叶）do an experiment（做实验）catch butterfly（捉蝴蝶）honey（蜂蜜）count insects（数昆虫）collect leaves（收集树叶）write a report（写报告）play chess（下棋）have a picnic（举行野餐）PEP六年级(上册)四会单词词汇表Unit 1：by (经，乘) foot(脚) bike(自行车) bus(公共汽车) train(火车) how(怎样) go to school（上学）traffic（交通）traffic light（交通灯）traffic rule（交通规则）stop（停，停车站）wait（等待）get to（到达）Unit 2：library(图书馆) post office(邮局) hospital(医院) cinema(电影院) bookstore(书店) where(在哪里，到哪里) please(请) next to(与…相邻) turn(转弯) right (右边) left(左边) straight(成直线地) then(然后)Unit 3：next week(下周) this morning(今天上午) this afternoon(今天下午)this evening (今天晚上) comic book(漫画书) post card(明信片) newspaper(报纸) buy(购买) Unit 4：hobby(爱好) ride a bike--riding a bike(骑自行车) dive--diving(跳水)play the violin—playing the violin(拉小提琴) make kites—making kites(制作风筝) collect stamps—collecting stamps(集邮) live –lives(居住) teach--teaches(教) go--goes(去) watch--watches(看) read--reads(读，看) does doesn’t=does notUnit 5：singer(歌唱家，歌手) writer(作家) actor(男演员) actress(女演员) artist(画家) TV reporter(电视台记者) engineer(工程师) accountant(会计) policeman(男警察) salesperson(销售员) cleaner(清洁工) where（在哪里，到哪里）work（工作）Unit 6：rain(雨) cloud (云) sun(太阳) stream(河，溪) come from(来自，从…来) seed(种子) soil(土壤) sprout (苗，芽) plant(植物，种植) should (应该) then(然后)PEP六年级(下册)四会单词词汇表Unit 1：tall—taller更高的short—shorter 更矮的strong—stronger更强壮的old—older 年龄更大的young—younger 更年轻的big—bigger更大的heavy—heavier 更重的long—longer 更长的thin—thinner 更瘦的small—smaller （体型）更小的Unit 2：have a fever 发烧have a sore throat喉咙疼have a cold感冒have a toothache 牙疼have a headache 头疼matter事情，麻烦sore 疼的hurt疼痛nose 鼻子tired疲劳的，累的excited兴奋的angry生气的happy高兴的bored无聊的，烦人的sad 忧伤的，悲伤的Unit 3：watch—watched 看wash—washed 洗clean—cleaned打扫play—played玩visit—visited 看望do—did last weekend上一个周末go—went去go to a park—went to a park 去公园go swimming—went swimming去游泳go fishing—went fishing去钓鱼read—read 读go hiking—went hiking 去郊游Unit 4：learn Chinese—learned Chinese学汉语sing and dance—sang and danced 唱歌和跳舞eat good food—ate good food吃好吃的食物take pictures—took pictures 照相climb—climbed 爬have—had buy presents—bought presents买礼物row a boat—rowed a boat 划船see elephant—saw elephant 看大象go skiing—went skiing 去滑雪go ice-skating—went ice-skating 去滑冰how怎么，如何get—got 到达last上一个的，仅余的，留在最后的二、单词分类汇总1学习用品(school things)pen钢笔pencil铅笔pencil case铅笔盒rule尺子book书bag包comic book漫画书post card 明信片newspaper报纸schoolbag书包eraser橡皮crayon 蜡笔sharpener卷笔刀story book故事书notebook笔记本Chinese book语文书English book英语书math book数学书magazine杂志dictionary 词典２人体（body）foot脚head头face脸hair头发nose鼻子mouth嘴eye眼睛ear耳朵arm手臂hand手finger手指leg腿3颜色（colours）red红blue蓝yellow黄green绿white白black黑pink粉红purple紫orange 橙brown棕4动物（animals）cat猫dog狗pig猪duck鸭rabbit兔horse马elephant大象ant蚂蚁fish鱼bird鸟eagle鹰beaver海狸snake蛇mouse老鼠squirrel松鼠kangaroo 袋鼠monkey猴panda熊猫bear熊lion狮子tiger老虎fox狐狸zebra斑马deer 鹿giraffe长颈鹿goose鹅hen母鸡turkey火鸡lamb小羊sheep绵羊goat山羊cow奶牛donkey驴squid鱿鱼lobster龙虾shark鲨鱼seal海豹sperm whale抹香鲸killer whale虎鲸5人物（people）friend朋友boy男孩girl女孩mother母亲father父亲sister姐妹brother兄弟uncle叔叔；舅舅man男人woman女人Mr.先生Miss.小姐lady女士；小姐mom 妈妈dad爸爸parents父母grandma/grandmother（外）祖母grandpa/grandfather（外）祖父aunt姑姑；舅母cousin堂（表）兄弟；堂（表）姐妹son儿子daughter女儿baby婴儿kid小孩classmate同学queen女王visitor参观者neighbour邻居principal校长pen pal笔友tourist旅行者people人物robot机器人６职业（jobs）teacher教师student学生doctor医生nurse护士driver司机farmer农民singer歌唱家writer作家actor男演员actress女演员artist画家TV reporter电视台记者engineer工程师accountant会计policeman（男）警察salesperson销售员cleaner 清洁工baseball player棒球运动员assistant售货员７食品饮料（food & drink）rice米饭bread面包beef牛肉milk牛奶water水egg蛋fish鱼tofu豆腐cake蛋糕hot dog热狗hamburger汉堡包French fries炸薯条cookie曲奇饼biscuit饼干jam果酱noodles面条meat肉chicken鸡肉pork猪肉mutton羊肉vegetable蔬菜salad沙拉soup汤ice冰ice-cream冰淇淋Coke可乐juice果汁tea茶coffee 咖啡breakfast早餐lunch午餐supper晚餐dinner正餐８水果蔬菜（fruit & vegetables）apple苹果banana香蕉pear梨orange橙watermelon西瓜grape葡萄eggplant茄子green beans青豆tomato西红柿potato土豆peach桃strawberry草莓cucumber黄瓜onion洋葱carrot胡萝卜cabbage卷心菜９衣服（clothes）jacket夹克衫shirt衬衫T-shirtＴ恤衫skirt短裙子dress连衣裙jeans牛仔裤pants长裤socks袜子shoes鞋子sweater毛衣coat上衣raincoat雨衣shorts短裤sneakers运动鞋slippers拖鞋sandals凉鞋boots靴子hat（有沿的）帽子cap便帽tie领带scarf围巾gloves手套１０交通工具（vehicles）bike自行车bus公共汽车train火车boat小船ship轮船yacht快艇car小汽车taxi出租车jeep吉普车van小货车；面包车plane飞机subway 地铁motorcycle摩托车11杂物(other things)window窗户door门desk课桌chair椅子bed 床computer计算机board木板fan风扇light灯teacher's desk讲台picture图画;照片wall墙壁floor地板curtain窗帘trash can垃圾箱closet壁橱mirror镜子football足球present礼物walkman随身听lamp台灯phone电话sofa沙发shelf书架fridge冰箱table桌子TV电视air-conditioner空调key钥匙lock锁photo照片chart图表plate盘子knife刀fork叉spoon勺子chopsticks筷子pot 锅gift礼物toy玩具doll洋娃娃ball球balloon气球kite风筝jigsaw puzzle拼图游戏box盒子umbrella伞zipper拉链violin小提琴yo-yo溜溜球nest鸟窝hole洞tube管子toothbrush牙刷menu菜单e-card电子卡片e-mail电子邮件traffic light交通灯money钱medicine药sunglasses太阳镜12地点(locations)home家room房间bedroom卧室bathroom卫生间living room起居定kitchen 厨房classroom教室school学校park公园library图书馆post office邮局hospital 医院cinema电影院bookstore书店farm农场zoo动物园garden花园study书房playground操场canteen食堂teacher's office教师办公室gym体育馆washroom卫生间art room绘画教室computer room计算机教室music room音乐教室TV room 电视机房flat 公寓company公司factory 工厂fruit stand水果摊pet shop 宠物商店nature park 自然公园theme park主题公园science museum科学博物馆the Great Wall长城supermarket 超市bank银行country国家village乡村city城市13课程(courses)sports体育运动science科学Moral Education 思想品德课Social Studies社会课14国家城市(countries cities)China/PRC中国America/USA美国UK联合王国England英国Canada加拿大Australia澳大利亚New Y ork纽约London伦敦Sydney悉尼Moscow莫斯科Cairo开罗15气象cold寒冷的warm温暖的cool凉爽的snowy下雪的sunny晴朗的hot火热的rainy下雨的windy 有风的cloudy多云的weather report天气预报16景物(nature)river河流lake湖泊stream河;溪forest森林path小道road公路house房子bridge桥building建筑物rain雨cloud云sun 太阳mountain山sky天空rainbow彩虹wind风air空气17植物(plants)flower花grass 草tree 树seed种子sprout苗rose 玫瑰leaf 叶子18星期(week)Monday 星期一T uesday 星期二Wednesday 星期三Thursday 星期四Friday星期五Saturday星期六Sunday 星期日weekend周末19月份(months)Jan.(January) 一月Feb.(February)二月Mar.(March) 三月Apr.(April) 四月May 五月Jun.(June)六月Jul.(July) 七月Aug.(August) 八月Sept.(September) 九月Oct.(October)十月Nov.(November) 十一月Dec.(December)十二月20季节(seasons)spring 春summer夏fall (美)autumn(英)秋winter冬天21方位(directions)south南north北east 东west西left 左right 右22患病(illness)have a fever 发烧hurt 疼痛have a cold 感冒have a toothache 牙疼have a headache 头疼have a sore throat喉咙疼23数词(numbers)one一two二three三four 四five五six 六seven七eight八nine九ten十eleven十一twelve十二thirteen十三fourteen 十四fifteen十五sixteen十六seventeen十七eighteen 十八nineteen十九twenty 二十thirty三十forty四十fifty五十sixty六十seventy七十eighty八十ninety九十hundred 百first 第一second第二third第三fourth第四fifth第五eighth第八ninth 第九twelfth第十二twentieth第二十24形容词(adj.)big大的small小的long长的tall高的short短的；矮的young年轻的old旧的；老的strong健壮的thin瘦的active 积极的；活跃的quiet安静的nice好看的kind和蔼可亲的strict严格的smart聪明的funny滑稽可笑的tasty好吃的sweet甜的salty咸的sour酸的fresh新鲜的favourite最喜爱的clean干净的tired疲劳的excited兴奋的angry 生气的happy高兴的bored无聊的sad忧愁的taller更高的shorter 更矮的stronger 更强壮的older年龄更大的younger更年轻的bigger 更大的heavier更重的longer更长的thinner 更瘦的smaller更小的good好的fine 好的great 很好的heavy 重的new 新的fat 胖的right 对的hungry 饥饿的cute逗人喜爱的little 小的lovely 可爱的beautiful 漂亮的colourful 色彩鲜艳的pretty 漂亮的cheap便宜的expensive昂贵的juicy 多汁的tender 嫩的healthy 健康的ill 有病的helpful 有帮助的high 高的easy 简单的proud骄傲的sick有病的better 更好的higher 更高的25介词(prep.)in在......里on在........上;在.......时候under 在........下面near在......的附近behind在.......后边next to 与......相邻over在.......上面in front of 在.......前面beside在.......的旁边26代词(pron.)I 我we 我们you你；你们he 他she她it它they他（她，它）们my我的our我们的your你的；你们的his他的her她的its它的their他（她，它）们的27动词(V.)play玩;踢swim游泳skate滑冰fly 飞jump跳walk走run跑climb爬fight 打架swing荡eat吃sleep 睡觉like像;喜欢have 有;吃turn 转弯buy 买take 买;带live居住teach教go去study 学习learn 学习sing 唱歌dance 跳舞row 划do homework 做作业watch TV 看电视read books 读书cook dinner/ the meals 做饭water the flowers 浇花sweep the floor扫地clean the bedroom/room 打扫卧室/房间make the bed 铺床set the table 摆饭桌wash the clothes 洗衣服do the dishes洗碗碟use a computer 使用计算机do morning exercise 晨练; eat/have breakfast 吃早饭eat/have dinner 吃晚饭go to school 上学have English class 上英语课play sports 进行体育活动get up 起床climb mountains 爬山go shopping 买东西play the piano 弹钢琴visit grandparents 看望(外)祖父母go hiking 去远足fly kites 放风筝make a snowman堆雪人plant trees 种树draw pictures 画画answer the phone 接电话listen to music 听音乐write a letter写信write an e-mail 写电子邮件drink water 喝水take pictures 照相watch insects观察昆虫pick up leaves 采摘树叶do an experiment 做实验catch butterflies 捉蝴蝶count insects 数昆虫collect insect 收集昆虫collect leaves 收集树叶write a report 写报告play chess 下棋have a picnic 举行野餐get to 到达ride a bike 骑自行车play the violin 拉小提琴make kites 制作风筝collect stamps 收集邮票meet 见面welcome 欢迎thank 谢谢love爱work 工作drink 喝taste 尝smell 闻feed 喂养shear 剪milk 挤奶look 看guess 猜help 帮助pass 传递show 展示use使用clean打扫open 打开close 关上put 放read 读write 写paint 绘画tell 告诉kick 踢bounce 反弹ride 骑stop停wait 等find 寻找drive 驾驶fold 折send 寄wash 洗shine 照耀become 变成feel 感觉到think 思考meet 遇见fall 落下leave 离开wake up 醒来put on 穿上take off 脱掉hang up 挂起wear 穿go home 回家go to bed 上床睡觉play computer games 玩电脑游戏play chess 下棋do housework 做家务empty the trash 倒垃圾put away the clothes 收拾衣服get off 下车take a trip 去旅行read a magazine 阅读杂志go to the cinema 去看电影三、词汇分类指导（一）学生易错词汇1. a, an的选择: 元音字母开头的单词用an，辅音字母开头的单词用a.2. am , is , are的选择: 单数用is , 复数用are. I 用am , you 用are.3. have , has 的选择: 表示某人有某物。

小学一年级语文教材重要知识点一、中文拼音在小学一年级语文教材中，中文拼音是一个非常重要的知识点。

拼音是指用拉丁字母来书写汉字的音节，它是学习汉字和提高阅读能力的基础。

小学一年级学生需要掌握拼音的基本规则和发音方法，如声、韵母和声调等。

同时，还应学会用拼音书写和拼读一些简单的词语和句子。

二、基本词汇掌握基本词汇是学习语文的重要基础。

在小学一年级语文教材中，学生将学习一些常用的字词，如表示人、动物、植物、物品等的名称。

同时，也需要学会一些基本的量词，如个、只、条等。

通过学习这些基本词汇，学生能够更好地理解课文内容，提高语言表达能力。

三、认识基本标点符号在小学一年级语文教材中，学生将认识和运用一些基本的标点符号。

标点符号是用来标明语句中停顿、语气和语法关系的符号。

例如句号用来表示陈述句的结束，问号用来表示疑问句，逗号用来分隔句子中的成分等。

认识和正确运用这些标点符号有助于准确理解和表达语言，提高语文写作的能力。

四、语文常识和习惯小学一年级语文教材中还包括了一些与语文相关的常识和习惯。

学生需要了解汉字的基本构造和演变历史，了解汉字的书写规范。

同时，还要养成良好的听、说、读、写的习惯，如认真听讲、尊重他人发言、爱读书等。

这些习惯将对学生的语文学习和人际交往能力产生积极的影响。

五、阅读与理解小学一年级的语文教材中，也包含了一些简单的阅读材料。

学生需要通过阅读课文，了解文本的基本意思和内容，培养对文字的理解能力。

同时，还要培养对课文中关键词汇的识别能力，提高阅读的流畅性和理解度。

六、书写和笔画在小学一年级语文教材中，学生还将学习汉字的基本书写和笔画。

学生需要掌握一些基本的汉字笔画，如横、竖、撇、捺等。

通过学习和书写这些汉字，能够提高学生的字形美感和笔画的规范性。

以上就是小学一年级语文教材中的一些重要知识点。

在学习过程中，学生需要注重基础知识的掌握，同时注重培养良好的语文学习习惯和阅读能力。

通过系统学习这些知识点，可以帮助学生打下坚实的语文基础，并为以后的学习打下良好的基础。

一年级小学课本知识点总结语文：语文是一年级小学生学习的重要科目之一，主要包括汉字、识字、识文、识句等基础知识。

汉字汉字是汉语的文字，是中国传统的文字，也是中华文化的独特符号。

在一年级语文课本中，学生将学习认识一些基础的汉字，包括天、地、人、山、水、树、花、鸟、鱼等。

学生将通过认读与书写来掌握这些汉字的基本知识。

识字在学习汉字的基础上，一年级学生将学习识字。

通过认真的识字训练，学生能够阅读简单的课文，并且能够书写所学的汉字。

识文学生将学习一些简单有趣的课文，这些课文包括一些生活知识、日常交流等。

学生通过识字、识文的学习，能够提高他们的语文水平，并培养他们的语文兴趣。

数学：数学是一年级小学生学习的另一个重要科目，主要包括数字、加法、减法、简单的几何图形等基础知识。

数字一年级的学生将学习认识0-100的数字，并学会读写这些数字。

加法通过加法的训练，学生将学会计算简单的加法，例如1+1=2，2+2=4，3+3=6等。

减法学生将学习认识简单的减法，例如2-1=1，3-1=2，4-2=2等。

几何图形一年级学生将学习认识一些简单的几何图形，如正方形、长方形、圆形、三角形等，并学会认识这些图形。

品德与生活：品德与生活是一年级小学生学习的另一个重要科目，主要包括美德、健康、环保等基础知识。

美德一年级学生将学习一些基本的美德，如礼貌、守纪守法、正直、友爱等。

学生将学习如何树立正确的价值观，做一个品德好的人。

健康学生将学习一些基本的健康知识，如如何保护自己的身体、如何保持卫生等。

学生将学习如何养成良好的生活习惯，保持健康的体魄。

环保在学习生活的同时，学生也将学习一些简单的环保知识，如如何保护环境、如何节约资源等。

学生将学习如何爱护自己的家园，热爱自然。

总结：一年级的小学生在学习课本知识的同时，还将学习一些其他方面的知识，如音乐、美术、体育等。

通过这些综合的学习，一年级的学生将健康成长，学会与人和谐相处，同时也会培养他们对知识的渴望和探索精神，为以后的学习打下良好的基础。