9.14(1)公式法

平方差公式
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9、14公式法（1）--平方差公式班级 姓名学习目标： 1、理解整式乘法公式在因式分解中的应用；2、掌握运用平方差公式分解因式。

学习过程：1、观察问题，引出新知计算：）（2y 2y)(x -x += ；反过来可得 ；)3)(322y x y x -+（= ；反过来可得 ； ))((b a b a -+= ；反过来可得 ；2、理解新知：公式法：逆用 将一个多项式分解因式的方法叫做 ；平方差公式：如果一个多项式能写成 的形式，那么就可以运用把它 ，它等于这两个数的 与这两个数 的的积。

即：22a b -= ； （试一试）（1）填空：22n 9）（=；2416）（=x ；2225.0）（=a ； 2241）（=y ；2249）（=m ； （2）判断下列各式是否可以用平方差公式分解因式？4x -4+ （ ） 22536.0n m - （ ）22925b a + （ ） 21m -- （ ）3、例题选讲：例1、分解因式：（1）2x 16-1 （2）22419b a -（3）44416y a -x + （4）2123ab a -友情提示：1、分解因式时，有公因式一定要先提取公因式；2、分解因式一定要分解到每一个因式不能再分解为止；例2、分解因式：22)(25)2a b a b --+（ 36)2(22--b a a例3、用简便方法运算：223.28-7.21 226.8125-1425.1⨯⨯课堂检测：一、填空题：1、22)(36=x 。

2、264)(09.0=y x 。

3、22)()(16=-n m 。

4、24)()(81=-y x 。

5、=-24x _______。

6、=+-224y x ____ ___。

7、=-2249y x ___ ____。

8、=-22169254y x _____ __。

9、=-362m 。

10、=+-22491y x 。

11、=+-22)(b c a ____ ___。

9.14(1)公式法教学目标1.了解运用公式法的含义。

2.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特点，并运用对比的方法弄清两种“平方差公式”的区别与联系。

3.会初步运用平方差公式分解因式。

教学重点和难点正确运用平方差公式分解因式。

教学流程设计教学过程设计一、复习提问：1.什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？3.我们学过哪些乘法公式？二、学习新课：1、观察思考：提问：整式乘法与因式分解是互逆关系，那么乘法公式除了可以进行整式乘法外，还有其它什么用途？教师总结：如果把乘法公式从右向左用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式．我们把这种多项式的分解方法叫做运用公式法．从而引出因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，并总结该公式的特征：公式左边是两个数的平方差，右边是两个因式积的形式，这两个因式分别为这两个数的积及这两个数的差，利用这个公式，可以把具有平方差特征的多项式分解因式．2、例题分析：利用平方差公式因式分解：1）x2-16；2）9m2-4n2练习1.填空：4x2=( )225m2=( )236a4=( )20.49b2=( )281n6=( )264x2y2=( )2100p4q2=( )22.下列多项式可不可以可不可以用平方差公式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，说明为什么？x 2+y 2 -x 2+y 2 x 2+y 2 -x 2-y 2 a 4-b 2并总结出能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件：2222222169)4(01.094)3()2(251)1(1a n m z y x b +----：把下列各式分解因式例222222)2(9)3()(9)(16)2()())(1(2y x x b a b a q x p x --+--+-+：把下列各式分解因式例例3：用简便方法计算：1）9992-100122）(99.5)2-(100.5)2三、课堂小结：（1）能写成( )2-( )2的式子，可以用平方差公式分解因式。

教学相长相教相学作者：胡军钟文丽来源：《数学教学通讯·初中版》2017年第07期[摘要] “教学相长，相教相学”是陶行知先生“教学做合一”教育思想在新时代的新体现，与上海市宝山区“六步一单”的教学模式相辅相成，是培育学生核心素养的助推器. 本文以沪教版七年级上册“9.14公式法因式分解（1）”的课堂教学实践为例，全面呈现和剖析了整节课教学设计的六个步骤.[关键词] 教学相长；相教相学；公式法因式分解在“互联网+”的时代背景下，“慕课”“微课”“翻转课堂”等教学形式的出现，对传统教育进行了颠覆，使学习方式、教学形式发生了深刻变革，教与学相互交融，“教学相长，相教相学”的思想更加彰显出它的内在价值. 目前，教育界密切关注“核心素养”话题，而核心素养的培育和学生高阶思维的养成可以通过“教学相长，相教相学”来助推和实现，从而达到从学会、会学到乐学的境界.“教学相长，相教相学”的时代内涵“教学相长”的教学思想首次出现在《礼记·学记》中：“是故，学然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也. 故曰教学相长也. ”“相教相学”，即通过集体学习、合作交流研讨，达到教与学相互促进的目的. 这一思想深刻揭示了以教促学的内涵. 陶行知先生身体力行，将“教学相长”的思想进一步发展，提出“教学做合一”的著名教育理论，并且推行“小先生制”等教学实践. 陶行知先生曾经说过：“好的先生，必是一方面指导学生，一方面研究学问. ”小先生制与课堂教学深度融合，重构基于学生评教的教学研修形态，这是“教学相长，相教相学”形成的雏形.自20世纪80年代以来，上海市宝山区一直在认真学习、探究和践行陶行知先生的教育思想，在教育的改革与发展之路上，在“学陶、师陶、研陶”的主旋律下取得了丰硕成果. 随着时代的变迁，在陶行知先生的教育思想指引下，数学教育教学不断进行改革与创新，与本土文化相融合，在数学教育综合改革的探索中寻找新的路径，焕发出新的活力. 宝山区在陶行知先生“教学做”的思想指导下，为了培养学生积极主动的学习行为和思维品质，深化了“教学相长，相教相学”的教学策略，力图将生活中的实际问题转化为数学问题，将实际生活的经验转化为数学知识. 在数学教学改革深化阶段，研究者和实践者结合时代发展趋势，将陶行知先生“教学做合一”的思想融入课堂教学路径，“教学相长，相教相学”也被赋予新的内涵，呈现出新的形式，体现了教育的变革与发展内在动力和机制. 宝山区提出“教学相长，相教相学”的教学规程，就是为培养学生主动积极的学习行为和思维品质，而对教师教学行为的转变提出的若干规定及其相关操作策略，提供一系列或一整套的规范与操作指南. 之所以提出规程的话题，是因为宝山教育的综改方案提出了新陶行知“教学做合一”课堂教学改革要求.“教学相长，相教相学”的教学规程是对教师教学行为的转变提出的行为规范与操作指南. 2014年2月17日，20名初一的学生进行了一场“翻转课堂”的全新体验. “翻转课堂”改变了传统的数学教学步骤：过去学生在课堂上一起学习新知识，课后自主应用学到的知识和技能；而“翻转课堂”则是课前学生自觉开展自主学习，课堂中教师因材施教开展教学活动，帮助他们掌握和运用课前学到的新知识与技能. 2013年9月，华东师范大学建立慕课中心，并组织高中、初中、小学慕课联盟（C20MOOCs），开展了多项研讨活动. 以学生为主体，师生形成了学习共同体，教师充分发挥“协助者”和“合作者”的角色. “以教助学，以学促教”的方式在新的时代背景下有了新的形式，学生纷纷表示“教学相长，相教相学”的方式让他们对数学课堂教学内容更感兴趣.“教学相长，相教相学”不仅体现了师生平等，而且对师生的全面和谐发展意义重大. 2012年，上海率先推出《中小学生学业质量绿色指标》，考查学校教学的“绿色程度”. 而促进学生全面和谐健康发展是“绿色”指标的核心. 除了促进学生全面发展，“绿色指标”还要求教师和学校达到某些“绿色指标”. 而“绿色指标”的目标实现必须注重教与学的相互作用，实施“教学相长，相教相学”的教学策略，全面深化初中教学改革. “教学相长，相教相学”是“教学做合一”的本土基因，教与学并重联用. “学源于思，思起于疑”，上海市教委重视培养中小学生的高阶思维，还将“高层次思维能力”列入评价学生学业水平的绿色指标. 而初中数学作为核心课程，必须通过“教学相长，相教相学”的教学策略，培养学生的高阶思维，通过小组合作、发现学习、探究学习等“教学相长”方式，才能真正做到让学生拥有“数学高阶思维”.“教学相长，相教相学”提倡教人者教己，这在培养学生核心素养的过程当中起到了重要作用. 为了培养学生的核心素养，教师既需教授学生学科知识，又要提高学生的学科素养，因此必须对知识进行更加深入地学习和了解，对学生素质进行全面考查. 初中数学课堂作为学生学习的主要场所，是学生数学核心素养塑造与形成的主要渠道. 传统意义上，课堂较为关注知识的传授，缺乏理论联系实际的效用，而“教学相长，相教相学”的理念与陶行知先生“教学做合一”这一教育思想相契合，在数学教学综合改革中，越来越注重以学生的“做”为中心，提升学生学习的内驱力以及引导学生主动思考、主动发现、主动学习.无论数学教学形式发生怎样的改变，都始终未离开过陶行知先生“千教万教教人求真，千学万学学做真人”的教学目标与学习目标，新的教学形式与“教学相长，相教相学”的教学策略相互融合，促进初中数学教学发展.“教学相长，相教相学”在实践中的应用诚如上文所述，“教学相长，相教相学”的理念在教学中的价值不容置疑，但这一思想和方法必须渗透在数学课堂教学中才能发挥作用. 本文结合沪教版七年级上册“9.14公式法因式分解（1）”的课堂教学设计与实施，谈谈自己的做法. 学生学习了整式的乘法之后，刚学会运用提取公因式进行因式分解，本节课学习因式分解的第二种方法——公式法. 笔者通过学习目标、自主学习、发现问题、小组讨论、独立作业与任务展示、评价这六个环节以及一份学习任务单这样的“六步一单”，探析“教学相长，相教相学”教学策略在数学课堂中的有效实施，从而透析学生数学核心素养的塑造与形成过程. 本节课采用了“问题引发探究，任务驱动学习”的基本教学策略，整节课的教学流程设计为以下六个步骤.1. 明确学习目标与任务学习目标是学生学习的起点，也是归宿. 学习目标的实现需要通过学习任务来完成. 因此，上课伊始，教师用PPT清晰地向学生展示了本节课要掌握并使用平方差公式进行因式分解，使学生能熟练运用平方差公式进行因式分解，发展逆向思维和归纳能力的学习目标与任务. 以展示性的任务为导向，将学习的内容与学生的学习行为建立有意义的联系. 教师组织学生积极参与小组合作讨论，进一步明确因式分解与整式乘法之间的关系，并在小组内或在全班展示自己探索并运用平方差公式进行因式分解的思维过程.2. 选择学习内容与问题情境问题情境是指教师有目的、有意识地创设各种情境，促使学生质疑问难. 问题源于情境，通过一个个问题的引领，开展任务驱动教学，引发学生不断地思考，从而自主发现、猜测质疑、验证假设. 本节课的问题情境旨在分离已知和未知，初步感知因式分解与整式乘法之间的互逆关系. 具体问题的情境如下：有一张纸片（如图1），该纸片是将一个边长为a的大正方形的右上角挖去一个边长为b 的小正方形后剩余的部分.（1）求该纸片的面积；（2）请你将该纸片用剪刀剪一刀，然后拼成一个你熟悉的几何图形，求它的面积；（3）仔细观察（1）（2）所得的面积表达式，你发现了什么？3. 理清学生问题及其定位当学生呈现出问题之后，教师需要与学生共同讨论，引领学生理清问题，界定问题解决的边界. 教师组织学生对学生提出的问题进行梳理和筛选，依据课标通过质疑、提问、交流等将问题进行定位，帮助学生理清本节课与学习任务相关的问题，并提供学生解决问题的支架.阅读本节课的问题情境之后，学生进行小组讨论，学生可能会对如下问题有所疑问：如何确定公因式中的数字系数？如何确定公因式中的字母及其指数？如果多项式各项中含有相同的式子，如何处理？如何确定多项式的公因式？经过学生的思考与讨论，找出答案，并通过具体实例进行定位解决.4. 促进小组合作探索与交流小组合作是为完成学习任务，几个人组成一个团队一起分工合作进行学习. 小组合作增加了生生与师生之间的多向交流，能够提高学生学习的主动性和自控力. 教师通过小组合作讨论，引导学生自主解决本节课聚焦和定位的问题，探究得出平方差公式分解因式的特点和适用范围，培养学生自主学习、合作交流和探索新知的能力. 学生在理解、掌握平方差公式分解因式特点的基础上，进一步讨论与归纳解题步骤.上课时，教师巡视各个小组，发现讨论中的闪光点，并适当引导学生探究出能运用平方差公式分解因式的特点（提示因式分解的适用范围）.学生在理解、掌握平方差公式分解因式特点的基础上，学会运用平方差公式对多项式进行因式分解. 通过“议一议”的两个问题，引导学生发现因式分解运用平方差公式的特征，并学会运用平方差公式对多项式进行因式分解. 本节课设计了以下两个问题.问题1 判断下列多项式能否用平方差公式分解因式，为什么？（1）x2-y2；（2） a2-4；（3）4x2+y2；（4）-9x2+4y2；（5）-9x2-4y2；（6）a2-3；（7）（a+b）2-（a+c）2.问题2 如何运用平方差公式对多项式进行因式分解？例题因式分解：（1）-9x2+4y2；（2）3x3-12x.教师要不断激励学生讨论如何运用平方差公式因式分解；鼓励他们尝试归纳运用平方差公式因式分解的解题步骤，并进一步讨论、归纳解题步骤，在此基础上进行总结. 通过问题的聚焦和定位，学生主动探究得出运用平方差公式因式分解的特点和适用范围，培养了其自主学习、合作交流和探索新知的能力.5. 学生独立作业与展示学生通过独立作业，深化对运用平方差公式因式分解特点的认识与理解，熟练解题步骤. 本节课通过对下列多项式因式分解这一环节，深化学生对运用平方差公式因式分解的理解.练习因式分解：（1）m2-36n2；（2）a3b-ab ；（3）x4-y4.陶行知先生的“小先生制”和“艺友制”的精髓就在于教别人的过程让自己学得更好. “教”的行为具有“展示性”，其中包含着一种对自己的能力乃至人格的肯定. 学生进行“展示”活动会激发其学习的主动性和积极性，从而发挥“为教而学”的作用；通过展示交流，能展现学生分析与解决问题的思维过程，锻炼学生的口头表达能力，以及同伴之间纠错时的分析交流能力.让数学和学生的生活联系起来，以学生的生活经历为主体，营造丰富的生动的真实的数学学习氛围，赋予数学学习鲜活的现实意义. 这样，学生不但会感到数学亲切，更会对此产生兴趣. 为此，本节课设计实际生活背景问题具体如下：日常生活中经常需要密码（如上网），有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译. 例如，我们把多项式x4-y4因式分解后的结果作为密码，当取x=9，y=9时，可得一个六位数的密码是“162180”. 那么，多项式4x3-xy2取x=10，y=10，用上述方法产生的密码是什么（写出一种即可）？通过对该实际问题的解决与展示交流，既体现了数学来源于生活，服务于生活，又检测了学生的学习成果，加深了学生对运用平方差公式因式分解的理解.6. 开展评价与总结教学评价是研究教师教育学生“学”的价值的过程. 教学评价能够使教师和学生知道教学过程的结果，及时地提供反馈信息，同时起到强化学生学习的作用. 教师鼓励学生回忆整节课，做一个简单的点评，培养学生的语言组织能力和观察能力，引导学生使用“我知道了……”“我学会了……”“我发现了……”“我还想知道……”等对本节课做出自我评价.另外，针对本节课，笔者还设计了一份学习单，作为学生的学习支架，引导学生循序渐进地开展探究学习，帮助学生发现问题、分析问题和解决问题. 本节课通过以上“六个步骤”和一份“学习单”，以学习任务为中心，促进“教学相长，相教相学”.“教学相长，相教相学”教学实践总结与反思“教学做合一”是人民教育家陶行知先生的三大教育主张之一，本节课顺应了陶行知先生的“教学做合一”思想. 只有在实践中不断总结和反思，才能在教学中真正做到“教学相长，相教相学”.1. 创设问题情境，培养学生的数学核心素养落实“教学做合一”的思想重在“做”字上下功夫. 数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学.本节课，教师在“学习内容与问题情境”环节，设计了“做一做”的活动，即出示一张纸片，该纸片是将一个边长为a的大正方形的右上角挖去一个边长为b的小正方形后剩余的部分. 教师先请学生求“该纸片的面积”；接着请学生“将该纸片用剪刀剪一刀，再拼成一个熟悉的几何图形，并求它的面积”.这种将学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物作为教学活动的切入点，有利于学生迅速进入思维的“最近发展区”，掌握学习的主动权，激起学生的学习欲望和探究热情. 解决这一问题，学生既要动手，又要动脑，还要动嘴，这恰巧体现了陶先生提出的“六大解放”，即解放学生的头脑、眼睛、嘴巴、双手、时间和空间. 而且，在这个问题的解决过程中，学生的剪法多样，有的沿着小正方形的边剪，拼成一个长方形；有的沿着大正方形和小正方形左下角的顶点连线剪，可以拼成梯形，等等. 问题解决的方法多样，给学生提供了思维发展的空间，为学生创新意识的培养搭建了有效的平台，这正是“教学做合一”思想的具体体现.对于此题，教师在（1）（2）两个问题解决的基础上，提出了“仔细观察（1）（2）所得的面积表达式，你发现了什么”这一问题，学生通过观察、思考、对话交流，导出了“用平方差公式因式分解”，在此基础上，教师顺势揭示课题. 这样的处理方式，通过感性上升到理性，既符合学生的认知规律，也符合数学知识自身发生的规律，不但有利于学生巩固知识，而且有利于学生的认识向广度、深度进一步延伸和扩展.本节课，学生数学知识的获得过程是在教师的指导、帮助下“通过自己的活动，发现某个对象的某些特征或与其他对象的联系”的过程. 学生经历这种“做”的过程，便积累了宝贵的感性材料，学生受益匪浅. 动手“做”是形成学生抽象思维的“根”和“源”，教师在课堂教学中正是重视了学生的“做”，结合教学内容为学生创造“活”的机会，使学生在和谐生动的、活泼的课堂氛围中积累和思考，主动获取新知，适应了学生终生发展的要求，学生的数学素养得到了充分发展.2. 加强学法指导，把学习的主动权交给学生陶行知先生说过：“好的先生不是教书，不是教学生，而是教学生学. ”“‘学’字的意义，是要自己去学，不是坐而受教. ”这与新课改倡导的“教会学生学习”相吻合.“9.14 公式法因式分解（1）”的教学重点是让学生掌握用平方差公式因式分解的特点与步骤，并能综合运用平方差公式因式分解，而教学难点在于学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式，从而进行因式分解. 为了解决课堂的重点和难点，这节课采用“六步一单”的教学模式. “六步一单”的教学模式有效落实了陶先生的“教学做合一”思想，该教学模式为学生创设了积极主动学习的可能. 学生独立思考、勇于尝试、大胆质疑，有利于充分发挥学生的学习潜能和创新精神. 梳理教师的教学过程，发现教学路径脉络清晰，具体可以概括如下.（1）首先，任务引导——促进学生自学. 教师在“明确学习目标与任务”环节，围绕教学目标，设计了3个学习任务，让学生围绕任务，展开自主学习. 这种任务引导，有利于促进学生自学，以任务引导的自学能激发出更多的可能性，从而突出学生主动学.（2）其次，质疑提问——激活学生潜能. 教师在“学生问题与问题定位”环节，让学生思考任务，酝酿问题，互相讨论，并以小组为单位提出问题，教师将问题展示在黑板上，对问题进行适当筛选和梳理，并且定位、聚焦本节课要解决的问题. 质疑问难是探究学习的一种好方式. “问”是创造力形成和发展的重要表现，哪怕所问问题离谱荒唐，也是其内在创造潜力的发挥，作为教师，不能嘲讽，而应表扬，给予正确的解答或指导与启发学生自己去寻找答案，培养个性化的综合素质. 教学时，我们还应尽可能考虑所有学生的认知水平和理解能力，关注学生已学知识与新知识的联系，使教学做到“小台阶、低坡度”，由浅入深，让不同的学生各取所需，在学习中找到幸福感.（3）最后，小组合作——教会学生学习. 教师在“小组合作探索与讨论交流”环节，采用小组合作的形式，让学生自主解决本节课聚焦和定位的问题，探究出能用平方差公式因式分解的多项式特点和适用范围. 这节课，教师帮助、引导学生自主、自动、自由地学习，重视学法指导，教会了学生“学会学习”.3. 重视学以致用，引导学生学会思考陶行知先生说过：“教育只有通过生活才能产生作用，并真正成为教育. ”也正如数学课程标准所指出的：“学生能够认识到数学存在于现实生活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值. ”这就要求教师在数学教学中，要用恰当的方法引导不同学段的学生感受数学与生活世界的联系，要为学生提供一定的知识实际背景，设计一些与学生生活联系比较紧密而又蕴含着数学问题的活动，有意识地引导学生学会在生活中运用数学能力去解决一些实际问题，使学生通过这些活动，既解决数学问题，又感受、体验、理解数学，体验到数学的价值以及成功应用数学知识解决问题的快乐，增强学生学习数学的主动性.本节课提供了很好的学习范例. 教师在“学生独立作业与展示交流”环节，设计了一道“密码设计”的生活实际背景思考题，这道思考题的问题背景源于学生的生活经验，学生运用今天所学的知识就能轻松解决，而且解决方案多样化. 将数学教学与学生的生活紧密联系，通过把实际生活问题转化成数学模型，将生活经验转化为数学知识，能吸引学生参与，使所学内容不再枯燥，能让学生感受到数学的魅力.。