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第2讲_Maxwell方程

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Maxwell方程的张量与外微分形式

Maxwell方程的张量与外微分形式

(47)
下面我们论证 d(∗ α) = 0 正是另一 Maxwell 方程： 1 0 = d(∗ α) = ∂τ Fµν µνρσ dxτ ∧ dxρ ∧ dxσ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ dxρ ∧ dxσ ∧ dxτ g τ τ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ ρστ δ ∗ dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν 2(δτ δδ − δδ = δτ ) dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν (δτ δδ − δδ δτ ) dxδ g τ τ = 2 1 = (∂τ Fτ δ − ∂τ Fδτ ) ∗ dxδ g τ τ 2 = g τ τ ∂τ Fτ δ ∗ dxδ = ∂ τ Fτ δ ∗ dxδ 因此 0 = ∂ τ Fτ δ (49)
ρµνσ ∗
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0ijk ∗ dx0 = ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk
ijk
ijk0 ∗
dx0 (42) (43)
dxσ
(44)
代入(31)得 1 0 = ∂ρ Fµν 2 因此 1 0 = ∂ρ Fµν 2
ρµνσ ρµνσ ∗
dx σ
(45)
1 = ∂ρ Fµν 2
ρσµν
= ∂ρ ∗ F ρσ
(46)
此即 Maxwell 方程之一(27)。下面对(29)求 ∗ 得
∗
α =
1 dλ = Fµν ∗ (dxµ ∧ dxν ) 2 1 1 µνρσ 1 Fµν dxρ ∧ dxσ = Fµν = 2 2 4
∗
µνρσ
dxρ ∧ dxσ
0ijk
1 2 1 1 ijk0 ⇒ 0= ∂j Fk0 + 2 2 1 iµνρ ⇒ 0= ∂µ Fνρ 2 ⇒ 0=− ∂j Fk0 + 结合(20),(22)可得 1 2

第2讲 麦克斯韦方程组ppt课件

第2讲 麦克斯韦方程组ppt课件
dS
r E t
r )dS
C
S t
rr
Ñ S
B
dS
0
rr1
Ñ S
E
dS
0
V
ρdV
v v dq
ÑS JgdS dt
第二讲 麦克斯韦方程组
二、介质中的麦克斯韦方程
媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。 极化：媒质在电场作用下呈现宏观电荷（束缚电荷）分布 磁化：媒质在磁场作用下呈现宏观电流（磁化电流）分布 描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。
第二讲 麦克斯韦方程组
四、静态场与时变场的麦克斯韦方程
宏观电磁场的普遍规律是Maxwell方程组，而静态场是
时变场的特殊情况。
Maxwell方程组
H
E
J
D
t
B
t
B 0
D
0 t
静态场方程
静电场
E
0
（ J = 0 ） D
J 0
恒定电场 （J≠0）
第二讲 麦克斯韦方程组
一、真空中的麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组(Maxwell’s equations)
r B
r E r
微分形式
r 0(J
r B
t
0
r E t
)
B 0
r
E / 0
r gJ
t
Ñ
Ñ
C
r B r E
r dl
r dl
积分形式
r
0
(J
S
r
B
0 r
麦克斯韦第二方程，表明时变磁 场产生电场
麦克斯韦第三方程，表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线

武大电动力学课件13介质Maxwell方程

武大电动力学课件13介质Maxwell方程
光学理论：Maxwell方程是光学理论的基础，广泛应用于光学设计、光学成像等领域。
电磁兼容：Maxwell方程是电磁兼容理论的基础，广泛应用于电磁兼容设计、电磁兼容测试等领域。
电磁场理论：Maxwell方程是电磁场理论的核心，广泛应用于电磁场计算、电磁场仿真等领域。
Part Five
Maxwell方程的拓展
电磁场与物质相互作用：Maxwell方程描述了电磁场与物质相互作用的规律，为电磁场在材料科学、生物医学等领域的应用提供了理论支持。
电磁场与能量转换：Maxwell方程描述了电磁场与能量转换的规律，为电磁场在能源、环境等领域的应用提供了理论支持。
添加标题
应用前景
电磁波理论：Maxwell方程是电磁波理论的基础，广泛应用于无线通信、雷达、微波等领域。
创新意义：Maxwell方程为电磁学的发展提供了新的思路和方法，推动了电磁学的创新和发展
教育意义：Maxwell方程是物理教育的重要内容，有助于培养学生的科学素养和创新能力
展望价值
理论价值：Maxwell方程是电磁学的基础，对电磁现象的解释和预测具有重要意义
应用价值：Maxwell方程在电磁波、电磁场、电磁感应等领域有广泛应用，对科技发展具有推动作用
推导出Maxwell方程，为后续电磁场理论研究奠定基础
理解Maxwell方程在电磁场理论中的重要性和地位
掌握电磁场与物质相互作用的基本方程
Part Three
Maxwell方程的表述
表述形式
微分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
微分积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
积分形式：描述电磁场与电荷、电流的关系
非线性介质：在非线性介质中，Maxwell方程需要考虑介质的电导率和磁导率的非线性关系。

Maxwell方程组

Maxwell方程组
C
又

C
E dl ( E ) dS 0
S
故
E 0
微分形式
2.1.5 静电标势 因为 故有
E θ, E ρ / ε0
2 θ ρ / ε0
泊松方程
面电荷产生的电势
1 θ 4πε0
1 V ζ (r ) R dS
第二章 Maxwell方程组
§2.1 库仑定律 Gauss定理 §2.2 静磁场 §2.3 Faraday电磁感应定律和电场的旋度 §2.4 Maxwell方程组 Lorentz力
§2.5 介质中的Maxwell方程组 本构关系
§2.6 分界面上电磁场的边值关系
§2.1 库仑定律
Gauss定理
2.1.1 Coulomb定律
§2.2 静磁场
2.2.1 电荷守恒定律
电流密度 j
因为

S
dq j dS dt
将 q

V
ρdV
代入
d 得 S j dS dt V ρdV 因为 j jdV dS
S V
电荷守恒定律 积分形式
d ρ 故 jdV V ρdV V t dV V dt

S
B dS BdV 0,
V
即

S
B dS 0
2.2.5 矢势
B( r )
μ0 R j (r ) R3 dη 4π μ0 1 R j (r )dη 4π μ0 j (r ) 1 R R j (r ) dη 4π μ0 j (r ) R dη A(r ) 4π

第2章1-2 Maxwell方程组与边界条件 [兼容模式]

第2章1-2 Maxwell方程组与边界条件 [兼容模式]

矢量恒等式： A (A) 2A 理想介质内部无自由电荷的条件： E(x,y,z) = 0
2E(x,y,z) + 2 E(x,y,z) 0 2H(x,y,z) + 2 H(x,y,z) 0
(2-6a) (2-6b)
理想介质中电磁场的波动方程（两个一元二次偏微 分方程，有对称性）
2016/2/26 8
第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
辅助方程（物质方程）：
，， 是表征媒质电磁性质的三个参量，它们都有量纲，一
般说来可能与 x，y，z，t 有关。 有关
—— 电容率(法拉/米)， —— 磁导率 率 (亨利/米)， —— 电导率 (西门子/米 1/欧姆米)。
r和r 是相对于真空而言的相对值，是无量纲的数值。
2016/2/26
Байду номын сангаас
11
第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件
求解一个任意截面、无限长、均匀传输系统内的电磁场。 麦克斯韦方程组是一个矢量偏微分方程组
分别求解矢量各分量所满足的偏微分方程
分离变量
（试探解）
2016/2/26
将偏微分方程分解为若干常微分方程
2016/2/26 10
第二章 电磁波传输系统理论
——麦克斯韦方程组和边界条件 方
真空中的介电常数和磁导率为： 0 8.854 真空中的介电常数和磁导率为 8 8541012 (法拉/米)， 0 1.2566106 (亨利/米)，都有量纲，但与 x，y，z，t 无关。
对于均匀(与坐标、时间无关)、线性(与场强无关，不产生新的频 率分量，可应用线性叠加原理)、各向同性 (与方向无关，标量) 的媒质，定义相对介电常数r 和相对磁导率r ： r 0 (2-3a) r 0 (2 3b) (2-3b)

chapter-02MAXWELL方程

chapter-02MAXWELL方程
体电流密度 J 定义
如图，设P为空间中的任意点，过P 取面积元dS。
i di
J
en
lim
S 0
S
en
dS
i
J • dS
S
dS P
方向：正电荷运动的方向
物理意义：
➢单位时间内通过垂直电流传播方向单位面积的电荷量
➢反映空间各点电流流动的物理量，形成一个空间矢量场
➢一般是时间t的函数，即J J（r , t)。恒定电流是特殊情况
实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量成 正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即
F
q0q
4 0 R 2
eR
q0q
4 0 R3
R
F E lim
q q0 0 0
对电场强度的进一步讨论
电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关
对静电场和时变电场上式均成立
点电荷产生的电场
I2d l2
I1d l1 R12
C1
R132
再在C2上对上式积分，即得到回路C1对回路C2的作用力
式中： R R
R r2 r1
O
0 为真空中介电常数。0 4 107 H / m
讨论：dF12 ≠－dF21，这与库存仑定律不同。这是因为孤立的稳
恒电流元根本不存在，仅仅是数学上的表示方法而已
两个电流环的相互作用力
在回路C1上式积分，得到回路C1作用在电流元I2dl2上的力
dFC12
0 4
库仑定律内容：如图，电荷q1对
电荷q2的作用力为：
F12
q1q2
4 0 R 2
eR
q1q2
4 0 R3
R

Maxwell方程的张量与外微分形式


(47)
下面我们论证 d(∗ α) = 0 正是另一 Maxwell 方程： 1 0 = d(∗ α) = ∂τ Fµν µνρσ dxτ ∧ dxρ ∧ dxσ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ dxρ ∧ dxσ ∧ dxτ g τ τ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ ρστ δ ∗ dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν 2(δτ δδ − δδ = δτ ) dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν (δτ δδ − δδ δτ ) dxδ g τ τ = 2 1 = (∂τ Fτ δ − ∂τ Fδτ ) ∗ dxδ g τ τ 2 = g τ τ ∂τ Fτ δ ∗ dxδ = ∂ τ Fτ δ ∗ dxδ 因此 0 = ∂ τ Fτ δ (49)
首先1成为0?iei?ifi0?ifi0?0f00??f?016其次由2得ijk?jbk?0eiijk?j12kmnfmn?0fi012kijkmn?jfmn?0fi012imjn?injm?jfmn?0fi012?jfij??jfji?0fi0??jfji?0fi00?jfji??0f0i?jfji?0f0i??f?i??????17这里我们用到了恒等式kijkmnimjn?injm18结合1617可得??f?019再次由3得0?ibi?i12ijkfjk12ijk?ifjk120ijk?ifjk20这里levicivita张量?约定为01231因此有0ijkijk21最后由4得ijk?jek??0bi??012ijkfjk?ijk?jfk0?12ijk?0fjk3?0ijk?jfk0?120ijk?0fjk12i0jk?0fjkijk0?jfk012ijk0?jfk01012i???f2i0jk?0fjk?0?0ijk?jfk012i0jk?0fjk?012ij0k?jf0k12i0jk?0fjk?22结合2022可得12??f023容易看出上式对于f???a??a?的定义是自动成立的事实上这正是我们可以这样引入电磁势a?的出发点

maxwell方程组的微分形式以及各符号含义

标题：Maxwell方程组的微分形式及其符号含义
Maxwell方程组是描述电磁场的基本方程，包括电场E、磁场H和电荷密度ρ、流强J等基本物理量。

这些方程在微分形式下具有简洁的形式，并且在理论分析和实验中有着广泛的应用。

Maxwell方程组的微分形式主要包括四个方程：Maxwell电场方程、Maxwell磁场方程、Maxwell位移电流方程和Maxwell电荷守恒方程。

这些方程的符号含义如下：
1. 电场E的符号表示电场强度，描述电荷在空间中产生的电场作用力。

2. 磁场H的符号表示磁场强度，描述电流在空间中产生的磁场作用力。

3. 符号ρ和J分别表示电荷密度和流强，描述电荷的产生和流动。

4. 符号*表示矢量叉乘运算符，用于计算电场和磁场之间的相互作用。

具体来说，Maxwell电场方程表示电场E和电荷密度ρ之间的相互作用关系，其符号含义为：∮E·dρ=0，其中∮表示对空间中的闭合路径积分。

Maxwell磁场方程表示磁场H和电流密度J之间的相互作用关系，其符号含义为：∮H·dJ=0，同样表示对空间中的闭合路径积分。

此外，Maxwell位移电流方程和Maxwell电荷守恒方程也是微分形式下的重要方程，它们分别描述了电流和电荷的连续性，其符号含义为：∮(E×B)·dl=0和dρ/dt+ρ(V)=0，其中V 是电荷的移动速度。

综上所述，Maxwell方程组的微分形式简洁明了，符号含义明确，是电磁学领域中不可或缺的理论基础。

广义maxwell方程组


在谐变电磁场中，坐标原点z向电偶极子的辐射场为
Ie 0 L
H
E
j j
I e0 2
I e0 2
L
L
sin
r
sin
r
exp jkr 0 exp
0
jkr
通过对偶变量替换，得到置于坐标原点的z向磁偶极
子的辐射场为：
Im 0 L
E
H
j I m0 L sin 2 r
j I m0 L sin 2 r
如果引入假想的“磁荷”和“磁流”，其激发的电磁 场与电荷和电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所 得到的Maxwell方程就具有对偶性。
（2） 广义Maxwell方程组
m ：假想的磁荷密度 Jm ：假想磁流密度
磁荷守恒定律： J m r , t t m r , t 0
广义 Maxwell 方程
（3）电偶极子与磁偶极子的对偶性
利
电偶极子
用
对
偶 极
Pe eˆzQL
子
激
发 的 场 求
E eˆr
2Pecos 4πr 3
eˆ
Pesin 4πr 3
出
磁 偶
Qe
极
子
激
发
的 场
Qe
磁偶极子
Pm eˆzPm
H eˆ r
2
Pm cos
4πr 3
eˆ
Pm sin 4πr 3
Qm
Qm
（3）电偶极子与磁偶极子的对偶性
E
H,H E
,
HH0
E t
数学上称这种具有相同形式，并能够通过变量相互 替换从一组方程得到另一组方程的两组方程为对偶 方程，对应的量称为对偶量。容易证明两组互为对 偶的方程，其解也具有对偶性。因此利用对偶原理 可以使对偶问题的求解得以简化。

大学物理二第二篇麦克斯韦方程组


r R 0.05m
2 dt
§2 麦克斯韦方程组
一 积分形式
静电场
D0 dS Qi
S i
E0 dl 0
L
稳恒磁场
B0 dS 0
S
H0 dl Ii
L
i
涡 旋电场
D/ dS 0
S E / dl
B
dS
L
S t
“位 移磁场”
B/ dS 0
S
（1）Z轴上各点 = 0或 ，E=H=0
（2）XY平面上 = /2
Eo
2 po 4 oc2r
Ho
o E o
~
pe
Z u
H
r E
pe
Y
X
Eo、Ho 最大
E(r
)
2 po sin 4 oc2r
cos (t
r) c
辐射强度
S
1 2
Eo Ho
产生电场 的原因
产生磁场 的原因
1、电荷
2、变化的磁场 1、电流
? 2、变化的电场
麦克斯韦 理论肯定了这一点！
§1 位移电流
一 安培环路定理失效
稳恒磁场
H dl Ii
L
i
I（t） S2 S1
非稳恒时
R H dl ?
L
0 S1 I(t) S2
任意时刻空间每一点的磁场都
是确定的，对于确定的回路积
H / dl
L
S
D t
dS
I
D
二 两类场同时存在
D D0 D/ B B0 B/
E E0 E/
H H0 H /
D dS Qi
B dS 0
S
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Research Institute of RF & Wireless Techniques School of Electronic and Information Engineering
South China University of Technology
褚庆昕
华南理工大学电子与信息学院
高等电磁场第二讲
Maxwell 方程
Research Institute of RF & Wireless Techniques
引言
Maxwell 方程的积分和微分形式 Maxwell 方程的意义
边界上的Maxwell 方程－边界条件 频域Maxwell 方程
Maxwell 方程的电路形式
第二讲内容
Research Institute of RF & Wireless Techniques
在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映
电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。

Maxwell 方程有几种不同的形式，实际中根据
不同的应用领域，采用不同的形式。

2.1 引言
2.2 Maxwell Research Institute of RF & Wireless Techniques
s
ds V
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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2.3 Maxwell方程的意义Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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;Maxwell 方程的对称性
¾杨振宁说：对称性决定支配方程。

居里(Pierre Curie)说：不对称性创造世界。

¾Maxwell 方程充分显示了电与磁的对称性，但发现这一对称性却是从不对称性开始的。

¾历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有《论磁学》，1820年丹麦学者奥斯特(Oersted)首先发现电流可以产生磁，并创造了Electromagnetics 一词。

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¾法拉弟(Faraday) 根据对称性原理，猜测磁铁可以产生电流，但在1821-1831十年间多次失败。

1831年8月29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领悟到变化的磁场产生电场。

¾Maxwell 根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。

Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
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磁通：(韦伯) 电通：(库仑)磁势：
(安培)m
s
e
s
l
B ds D ds u H dl ψψ===∫∫∫
i i
i 2.4 Maxwell 方程的电路形式
¾电路参量的定义
电压：电流：电荷：
()()()
l s
v v E dl
i J ds
q dv ρ===∫∫∫
i
i 伏特安培伏特;所有电路参量都是由场量积分而来的标量。

¾
对应闭合曲线，可以表示为Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
¾
V E h
d
I
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
●s Research Institute of RF & Wireless Techniques
●
Research Institute of RF & Wireless Techniques
2.5
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
2.6
Research Institute of RF & Wireless Techniques
Research Institute of RF & Wireless Techniques
2-1 讨论Maxwell 方程中四个边界条件的独立性。

2-2 证明边界条件：
2-3 用Maxwell 方程导出RC 回路和变压器回路的电
路方程。

()()1212ˆ0ˆs n
E E n
D D ρ×−=⋅−=
习题2。