滁州学院2013-2014学年度第2学期高等数学期末考试试卷及参考答案

安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）12、0；3、；4、1 /20 arcsin d (,y y f x y π∫∫)d x 32；5、53二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6、 A ；7、D ；8、D ；9、A ； 10、A.三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）11.解. 设。

则曲面在点处的法向量为22(,,)F x y z x y z =+−S (1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(,,)(2,2,1)(2,2,1)x y z F F F x y =−=−由题设可知，平面Π通过法线L ，故12a b 0,+−+=(1,,1)(2,2,1)0a −⋅−=即，由此解得123a b a +=⎧⎨+=⎩035,.22a b =−=12.解：令222(,),(,)2y xP x y Q x y x y x y−==++，则d d L I P x Q y =+∫v ，当时，220x y +≠22222()Q x y Px x y y∂−==∂+∂∂2。

取一小圆周22:C x y εε+=，0ε>充分小，使得C ε完全位于L 所围成的区域内，取逆时针方向。

设D ε为由L 与C ε所围成的区域，则由Green 公式得d d (d L C D Q PP x Q y x y x yεε+∂∂+=−=∂∂∫∫∫0， 所以d d d d LC P x Q y P x Q yε+=−+∫∫22(sin )(sin )(cos )(cos )d πεθεθεθεθθε−−=−∫20d 2πθπ==∫13.解：设cos ,sin ,x R u y R u z ==v =，则Σ对应于:02,0D u v h π≤≤≤≤。

安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C (二)》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------考场登记表序号_______题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分阅卷人得分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，1224311A t−⎛⎞⎜⎟=⎜3⎜⎟−⎝⎠⎟B 为三阶非零矩阵，若0AB =，则__________． t =2、若A 为三阶矩阵，行列式 2A =，2B A =，B ∗为B 的伴随矩阵，则 B ∗=__________．3、若行列式 33 ij D a ×=满足111a =，122a =，130a =，且余子式，31 8M =−32M x =，，则3319M =x =__________．4、已知向量组，，，，若1(1, 0, 2)T α=2(1, 1, 3)T α=3(1,1, 2)T k α=−+(1, 2, 5)T β=β不．能．由12,,3ααα线性表示，则k =__________．5、若阶矩阵n A 的秩为，且1n −A 的各行元素之和均为，则齐次线性方程组00AX =的通解是__________．二、选择题（每小题3分，共15分）得分6、已知A ，B ，C 均为阶矩阵，则下列结论正确的是 （ ）n A ． 22()2A B A AB B +=++2m B ．，其中为正整数 ()m m AB A B =m C ．若AB AC =且，则0A ≠B C =D ．若，则ABCE =BCA E =，其中E 为n 阶单位矩阵7、设1α，2α均为维向量，向量n 1β，2β，3β均可以由1α，2α线性表示，则下列结论正确的是 （ ） A ．1β，2β，3β必线性无关 B ．1β，2β，3β必线性相关C ．仅当1α，2α线性无关时，1β，2β，3β线性无关D ．仅当1α，2α线性相关时，1β，2β，3β线性相关8、设A 为矩阵，则下列结论正确的是 （ ） m n × A ．若，则方程组m n <AX b =必有无穷多解B ．若，则方程组m n <0AX =必有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量 n m −C ．若A 有阶子式不为零，则方程组n 0AX =仅有零解D ．若A 有n 阶子式不为零，则方程组AX b =有唯一解9、下列选项中，哪个不是．．“()ij n n A a ×=为正交矩阵”的充分条件 （ ） A ．A 的行向量组与列向量组均为正交向量组 B ．1A =，且对任意i j ,1,2,,n "，有ij ij a A = =C ．为正交矩阵 T A D ．1T A A −=10、若三阶矩阵A 有特征值122λλ==，E 为三阶单位矩阵，且|，则||A E −=0|A 为 （ ）A ．−B ．C ．224−D ．4三、计算题（每小题9分，共54分）得分11、计算n 阶行列式1211111111n n a a D a ++=+"""""""1，其中．120n a a a ≠"答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------12、若三维向量123(,,)a a a α=，123(,,)b b b β=，且211211211T A αβ⎛⎞⎜⎟==−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠，求:（1）T βα；（2）． 2A13、已知矩阵，判断021332121A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 是否可逆．如果可逆，求；如果不可逆，请说明理由． 1A −14、求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示． 1(1,0,2,0)T α=2(0,1,1,2)T α=−3(1,2,4,4)T α=−4(2,1,4,2)T α=−15、已知，，若20000101A a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠20003402B b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟−⎝⎠⎟⎟A 与B 相似，求a ，b 的值．答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16、已知方程组有无穷多个解，求123123123112x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=−⎩λ的值及方程组的通解．四、分析计算题（每小题10分，共10分）得分17、设二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++−−−,（1）判断二次型是否正定；（2）利用正交变换X QY =化二次型为标准形，并求出相应的正交矩阵． Q得分五、证明题（每小题6分，共6分）18、已知n 阶矩阵A 满足 32A E =，其中E 为阶单位矩阵，若n 2B A A =+，证明B 可逆，并求B 的逆矩阵．安徽大学2012—2013学年第二学期 《高等数学C （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、；2、256；3、；4、3−4−1−；5、，其中为任意常数(1,1,,1)T k "k二、选择题（每小题3分，共15分）6、D ；7、B ；8、C ；9、A ； 10、D三、计算题（每小题9分，共54分）11、解：从第二行起，每行减去第一行，再从第二列起，第i 列的1ia a 倍加到第一列上，得(2,3,,i n =")111221311111110011111100n nna a a a a D a a a a ++−+==−+−""""""""""""""""10a ．．．．．．（4分） 112212131111001(1)000000ni in n i ina a a a a a a a a a ==++==∑+∑""""""""""．．．．．．．（9分） 12、解：（1）因为，()111121321232122233313233211211211T a a b a b a b a b b b a b a b a b a a b a ba b αβ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟===−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠−−+=所以． ()1123211223332(1)12T a b b b a a b a b a b a βα⎛⎞⎜⎟==++=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠．．．．．．（5分）（2）2422()22422422T T T A A αβαβαβ⎛⎞⎜⎟====−−−⎜⎜⎟⎝⎠⎟． ．．．．．．（9分）13、解：利用初等变换法可以直接判断A 是否可逆，并求出1A −：()021100,332010121001A E ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠121001021100332010⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠10010102022613001322⎛⎞⎜⎟−⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠100101010113001326−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，．．．．．．（7分）故A 可逆，且1101113326A −−⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟⎟⎟−⎝⎠． ．．．．．．（9分）（注：若先由02133210121A ==≠判断出A 可逆，则给3分；之后正确求出1A −，则给9分．）14、解：依题意，将向量组按列排成矩阵并作初等行变换()123410120121,, , 21440242αααα⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012101200242⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠1012012100010000⎛⎞⎜⎟−−−⎜⎟→⎜⎟−⎜⎟⎝⎠1010012000010000⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， ．．．．．．（5分）故，()1234, , , 3r αααα=124,,ααα为向量组的一个极大无关组，且3122ααα=+． ．．．．．．（9分）15、解：由相似矩阵的性质，一方面A B =，即381b +=−，得．3b =− ．．．．．．（5分）另一方面，相似矩阵有相同的特征值，故()()tr A tr B =， 即2，得．5a +=+b 0a =．．．．．．（9分）16、解：依题意，对方程组的增广矩阵作初等行变换111112111111112111A λλλλλλ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠2112011301112λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−−+⎝⎠ 112011300(1)(2)2(2)λλλλλλ−⎛⎞⎜⎟→−−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠， 故当2λ=−时，()()2r A r A ==，方程组有无穷多个解． ．．．．．．（4分）此时对应的同解方程组为1232322333x x x x x +−=−⎧⎨−+=⎩，令自由未知量，得该方程组的一个特解．30x =(1,1,0)T η=−−其对应齐次方程组1232320330x x x x x +−=⎧⎨−+=⎩的基础解系为，(1,1,1)T ξ=因此原方程组的通解为，其中为任意常数． ．．．．．．（9分）(1,1,1)(1,1,0)T x k k ξη=+=+−−T k四、分析计算题（每小题10分，共10分）17、解：（1）因为二次型的矩阵为124242421A −−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠，2124242(5)(4)421E A λλλλλλ−−=−=−+=−0，所以A 的特征值为125λλ==，34λ=−．由于A 有一个特征值为负数，故A 不正定，该二次型不正定．．．．．．．（4分）（2）对于方程组(5，)0E A x −=解得基础解系为11(,1,0)2T ξ=−，．2(1,0,1)T ξ=−先正交化，得111(,1,0)2T ηξ==−，2122111(,)42(,,1)(,)55T ξηηξηηη=−=−−，再单位化，得111(T )ηγη==，222(Tηγη==． 对于方程组(4，解得基础解系， )0E A x −−=3(2,1,2)T ξ=单位化得333212(,,333T ξγξ==． ．．．．．．（6分） 故所求正交矩阵()123,,0Q γγγ⎛⎜⎜⎜==⎜⎜⎜⎜⎝， f 的标准形为221255423f y y y =+−． ．．．．．．（10分）五、证明题（每小题6分，共6分）18、证明：一方面，由32A E =知，A 可逆且1212A A −=． 另一方面，由32A E =得，33A E E +=，即2()()3A E A A E E +−+=，所以A E +可逆，且121()(3)A E A A −E +=−+． ．．．．．．（4分）由A ，A E +均可逆知，2()B A A A A E =+=+也可逆，且11(())()11B A A E A E A −−=+=+−−2243111()(3262)A A E A A A A =−+=−+． ．．．．．．（6分）。

2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科）试 题（全卷满分160分，考试时间120分钟）2014．6注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则AB = ▲ ．2．i 为虚数单位，复数21i-= ▲ ． 3．函数()lg(1)f x x =+的定义域为 ▲ ． 4．“0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 5．函数xy e =在1x =处的切线的斜率为 ▲ ． 6．若tan θ+1tan θ=4则sin2θ= ▲ ． 7．某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙 两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 ▲ （用数字作答）． 8．函数()sin cos f x x x =-的值域为 ▲ ．9．===⋅⋅⋅=， 则21n m += ▲ ． 10．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()f x 是定义在[4,)-+∞上的单调增函数，且对于一切实数x ，不等式 22(cos )(sin 3)f x b f x b -≥--恒成立，则实数b 的取值范围是 ▲ ． 12．设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：(i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <． 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合： ①,{1,1}S R T ==-； ②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤； ④{|01},S x x T R =<<=其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 ▲ (写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号)．13．已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足4()f x x =，且()4()f x t f x +≤在[1,16]x ∈恒成立，则实数t 的最大值是 ▲ ．14．若关于x 的不等式2x ax e ≥的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知a R ∈，命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=． ⑴若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；⑵若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈的最小正周期为10π．⑴求函数()f x 的对称轴方程； ⑵设,[0,]2παβ∈，56516(5),(5)35617f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值．17．（本小题满分14分）已知*(1)(,)nmx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含3x 项的系数为80．⑴求,m n 的值；⑵求6(1)(1)nmx x +-展开式中含2x 项的系数．18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，[4,0]x ∈-时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧．⑴试确定A ，ω和ϕ的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设DCO θ∠=(弧度)，试用θ来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？19．（本小题满分16分）已知函数2()1f x ax bx =++（,a b 为实数，0,a x R ≠∈），(),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩．⑴若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0,)+∞，求()F x 的表达式；⑵设0,0,0mn m n a <+>>，且函数()f x 为偶函数，判断()()0F m F n +>是否大0？ ⑶设ln 1()xx g x e+=，当1a b ==时，证明：对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ (其中'()g x 是()g x 的导函数) ． 20．（本小题满分16分）已知函数2()(,)f x ax bx a b R =+∈，函数()ln g x x =．⑴当0=a 时，函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象有公共点，求实数b 的最大值； ⑵当0b =时，试判断函数)(x f 的图象与函数)(x g 的图象的公共点的个数；⑶函数)(x f 的图象能否恒在函数()y bg x =的上方？若能，求出,a b 的取值范围；若不能，请说明理由．2013-2014学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科附加题）（全卷满分40分，考试时间30分钟）2014．621．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个．现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158． ⑴求n 的值；⑵从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望E ξ． 22．（本小题满分10分）已知函数ax x x f +-=3)(在(1,0)-上是增函数． ⑴求实数a 的取值范围A ；⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n a 满足：1(1,0)a ∈-，且)(21n n a f a =+， 用数学归纳法证明(1,0)n a ∈-，并判断1n a +与n a 的大小． 23．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，F 为棱1AA 上的动点，14,2A A AB AC ===．⑴当F 为1A A 的中点，求直线BC 与平面1BFC⑵当1AFFA 的值为多少时，二面角1B FC C --的大小是45︒． 24．（本小题满分10分）已知数列{}n a 为0123,,,,,()n a a a a a n N ⋅⋅⋅∈，0nn i i b a ==∑表示0123n aa a a a +++++，i N ∈．⑴若数列{}n a 为等比数列2()nn a n N =∈，求0()niini b C =∑；⑵若数列{}n a 为等差数列2()n a n n N =∈，求1()ni ini b C =∑．2014年6月高二期末调研测试理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题：1．{2} 2．1i + 3．(1,)-+∞ 4．充分不必要5．e 6．127．6 8．[9．2014 10．(0,1)(1,4) 11．1[212．②③④131- 14．4[,)16e e二、解答题：15⑴因为命题2:"[1,2],0"p x x a ∀∈-≥，令2()f x x a =-，根据题意，只要[1,2]x ∈时，min ()0f x ≥即可， ……4分 也就是101a a -≥⇒≤； ……7分 ⑵由⑴可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或 ……11分 因为命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，12121a a a ≤⎧⇒-<<⎨-<<⎩，当命题p 为假，命题q 为真时，11-21a a a a >⎧⇒>⎨≤≥⎩或，综上：1a >或21a -<<． ……14分 16⑴由条件可知，21105T ππωω==⇔=， ……4分则由155()566x k x k k Z ππππ+=⇒=-+∈为所求对称轴方程； ……7分⑵56334(5)cos()sin ,cos352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==， 因为[0,]2πα∈，所以56334)cos()sin ,cos 352555ππααα=-⇔+=-⇔==， 516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==，因为[0,]2πβ∈，所以516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔== … …11分4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-． ……14分17⑴由题意，232n =，则5n =； ……3分由通项15(0,1,,5)r r rr T C m x r +==，则3r =，所以33580C m =，所以2m =；…7分⑵即求56(12)(1)x x +-展开式中含2x 项的系数，56011220122555666(12)(1)[(2)(2)]()x x C C x C x C C x C x +-=+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅22(11040)(1615)x x x x =+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅， ……11分所以展开式中含2x 项的系数为11510(6)4015⨯+⨯-+⨯=-． ……14分 18⑴因为最高点B （-1，4），所以A =4；又(4,0)E -，所以1(4)3124TT =---=⇒=， 因为2126T ππωω==⇒= ……5分代入点B （-1，4），44sin[(1)]sin()166ππϕϕ=⨯-+⇒-=， 又203πϕπϕ<<⇒=； ……8分⑵由⑴可知：24sin(),[4,0]63y x x ππ=+∈-，得点C (0,即CO =，取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以2,90DFO CDO θ∠=∠=︒，即2DO θ== ，则圆弧段DO造价预算为万元， Rt CDO ∆中，CD θ=，则直线段CD造价预算为θ万元，所以步行道造价预算()g θθ=+，(0,)2πθ∈． ……13分由'()sin )2sin )g x θθ=-+=-得当6πθ=时，'()0g θ=，当(0,)6πθ∈时，'()0g x >，即()g θ在(0,)6π上单调递增；当(,)62ππθ∈时，'()0g x <，即()g θ在(,)62ππ上单调递减 所以()g θ在6πθ=时取极大值，也即造价预算最大值为（6）万元．……16分 19⑴因为(1)0f -=，所以10a b -+=，因为()f x 的值域为[0,)+∞，所以20,40a b a >⎧⎨∆=-=⎩， ……3分所以24(1)02,1b b b a --=⇒==，所以2()(1)f x x =+，所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩； ……5分⑵因为()f x 是偶函数，所以20,()1b f x ax ==+即，又0a >，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩， ……8分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <，又0m n +>，所以0m n >->， 此时2222()()11()0F m F n am an a m n +=+--=->，所以()()0F m F n +>； ……10分 ⑶因为0x >，所以2()()1F x f x ax bx ==++，又1a b ==，则2()1F x x x -=+，因为ln 1()xx g x e+=，所以'1ln 1()x x x g x e --= 则原不等式证明等价于证明“对任意实数0x >，221ln 1()1xx x x x e e---+⋅<+ ” ， 即 21(1ln )1xx x x x e e-+⋅--<+. ……12分 先研究 1ln x x x --，再研究1x xe+.① 记()1ln ,0i x x x x x =-->，'()ln 2i x x =--，令'()0i x =，得2x e -=， 当(0x ∈，2)e -时'()0i x >，()i x 单增；当2(x e -∈，)+∞时'()0i x <，()i x 单减 . 所以，22max ()()1i x i e e --==+，即21ln 1x x x e ---≤+.② 记1(),0x x j x x e +=>，'()0x x j x e=-<，所以()j x 在(0,)+∞单减，所以，()(0)1j x j <=，即11x x e+<.综上①、②知，2211()(1ln )(1)1x x x x g x x x x e e e e--++=--≤+<+.即原不等式得证，对任意实数0x >，2[()1]'()1F x g x e --<+ ……16分 20⑴bx x f a =∴=)(0 ,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时b 取最大值， ……1分 设切点横坐标为0x ，1(),()f x b g x x''==，000011,,ln b x x e b e bx x⎧=⎪∴∴=∴=⎨⎪=⎩, 即实数b 的最大值为1b e =； ……4分⑵2ln 0,0,()()xb x f x g x a x =>∴=⇔=， 即原题等价于直线y a =与函数2ln ()xr x x=的图象的公共点的个数， ……5分'432ln 12ln ()x x x xr x x x--==， ()r x ∴在递增且1()(,)2r x e∈-∞，()r x 在)+∞递减且1()(0,)2r x e∈，1(,)2a e∴∈+∞时，无公共点，1(,0]{}2a e ∈-∞⋃时，有一个公共点，1(0,)2a e∈时，有两个公共点； ……9分⑶函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的上方，即()()f x bg x >在0x >时恒成立， ……10分①0a <时()f x 图象开口向下，即()()f x bg x >在0x >时不可能恒成立， ②0a =时ln bx b x >，由⑴可得ln x x >，0b ∴>时()()f x bg x >恒成立，0b ≤时()()f x bg x >不成立，③0a >时， 若0b <则2ln a x x b x -<，由⑵可得2ln x xx-无最小值，故()()f x bg x >不可能恒成立， 若0b =则20ax >，故()()f x bg x >恒成立，若0b >则2(ln )0ax b x x +->，故()()f x bg x >恒成立， ……15分 综上，0,0a b =>或0,0a b >≥时函数)(x f 的图象恒在函数()y bg x =的图象的上方． ……16分21⑴由题设158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ； ……4分 ⑵ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===，11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=，1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ……8分ξ的分布列为：故234561515553E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==． ……10分22⑴'2()30f x x a =-+≥即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立，[3,)A ∴=+∞； ……4分 ⑵用数学归纳法证明：(1,0)n a ∈-． （ⅰ）1=n 时，由题设1(1,0)a ∈-； （ⅱ）假设k n =时，(1,0)k a ∈-则当1+=k n 时，)3(21)(2131k k k k a a a f a +-==+ 由⑴知：x x x f 3)(3+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-， 所以331111((1)3(1))1()(3)0222k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<， 综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意*N n ∈，(1,0)n a ∈-． ……8分3111(3)(1)(1)22n n n n n n n n a a a a a a a a +-=-+-=--+ 因为(1,0)n a ∈-，所以10n n a a +-<，即1n n a a +<． … …10分23．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,2,4)A B C AC ，⑴因为F 为中点，则1(0,0,2),(2,0,2),(2,2,4),(2,2,0)F BF BC BC =-=-=-， 设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则12202240n BF x z n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得x y z =-=取1x =，则(1,1,1)n =-，设直线BC 与平面1BFC 的法向量(1,1,1)n =-的夹角为θ，则cos ||||22BC n BC n θ⋅===⋅，所以直线BC 与平面1BFC……5分 ⑵设1(0,0,)(04),(2,0,),(2,2,4)F t t BF t BC ≤≤=-=-， 设(,,)n x y z =是平面1BFC 的一个法向量，则1202240n BF x tz n BC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2z =，则(,4,2)n t t =- (2,0,0)AB =是平面1FC C 的一个法向量，cos ,||||2n ABn AB n AB t ⋅<>===⋅得52t =，即153,22AF FA ==，所以当153AFFA =时，二面角1B FC C --的大小是45． ……10分24⑴0121222221n n n b +=+++⋅⋅⋅+=-，所以10213210()(21)(21)(21)(21)ni n ni n n n n n i b C C C C C +==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑100211322121212121n n nn n n n n n n nC C C C C C C C +=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅011220122(222)()n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+++⋅⋅⋅+2(12)2232n n n n =+-=⋅-． ……4分 ⑵0242(1)n b n n n =+++⋅⋅⋅+=+，1230()122334(1)n i n i nn n n ni b C C C C n n C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++∑， 因为012233(1)n n n n n n n n x C C x C x C x C x +=++++⋅⋅⋅+，两边同乘以x ，则有01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=++++⋅⋅⋅+，两边求导，左边1(1)(1)n n x nx x -=+++，右边012233234(1)n n n n n n n C C x C x C x n C x =++++⋅⋅⋅++，即1012233(1)(1)234(1)n n n n n n n n n x nx x C C x C x C x n C x -+++=++++⋅⋅⋅++（*）， 对（*）式两边再求导，得12123212(1)(1)(1)213243(1)n n n n n n n n n x n n x x C C x C x n nC x---++-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++取1x =，则有22123(3)2122334(1)n n n n n nn n C C C n n C -+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++ 所以221()(3)2n i n i n i b C n n -==+⋅∑． ……10分。

2013-2014学年第二学期高二数学（文）期末试卷（含答案）(满分150 分，时间120 分钟)注意事项：1.考生应把班级、姓名、学号，写在密封线以内，写在密封线以外的无效。

2.请用钢笔、中型笔或圆珠笔把答案写在答题卡上。

3.考试结束后只上交答题卡，原试卷自己保存。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ）1．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．82．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．R x x y ∈-=,3B ．R x x y ∈=,sinR x x y ∈=, D ．1(),2x y x R =∈ 3、设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有 （ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<4．若lg a ＋lg b ＝0(其中a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝b x 的图象（ ）A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．幂函数的图象过点（2，41），则它的单调增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．),(+∞-∞ D ．)0,(-∞6、若函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.57. “032>x ”是“0<x ”成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．下列命题中是假命题的是 （ ）A ．(0,),>2x x sin x π∀∈ B ．000,+=2x R sin x cos x ∃∈ C ． ,3>0x x R ∀∈ D ．00,=0x R lg x ∃∈9．设集合{|0},,A x x B =>=R 则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是 （ ）A.||x y x =→B. x y x 2=→C. x y x 2log =→D. )1(log 2+=→x y x10.给出如下四个命题①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题②命题“若b a >,则122->b a ”的否命题为“若b a ≤,则122-≤b a ” ③“11,2≥+∈∀x R x ”的否定是“11,2≤+∈∃x R x ”④在∆ABC 中,“B A >”是“B A sin sin >”的充要条件其中不正确．．．的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是 ( )12、如果偶函数()f x 在区间[]1,6上是增函数且最大值是8，则()f x 在[]6,1-- 上是（ ）A ．增函数，最大值8-B ．增函数，最小值8-C ．减函数，最大值8D ．减函数，最小值8二、填空题：(5'×4=20')13、已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为 。

《高等数学（二）》期末考试试卷考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟一、选择题（单选题，每题4分，共28分）1、0lim =∞→n n u 是∑∞=1n n u 收敛的（ B ）A ．充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件C.充要条件D. 既非充分也非必要条件2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中∑==ni i n u s 1）A ．0lim =∞→s n n B. s n n lim ∞→存在C. s n n lim ∞→ 可能不存在 D. {}为单调数列s n 3、设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤ ,2,1(=n ）则下列命题正确的是（ C ）A ．若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 收敛 B. 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n v 发散C.若∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散D.若∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛4、下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．1)1(1+-∑∞=n n n nB. n n n 1)1(1∑∞=-C. 211)1(n n n ∑∞=-D. n n n ∑∞=-1)1( 5、幂级数∑∞=-12)2(n nn x 的收敛区间为（ B ） A.（1,3） B.[]3,1 C.[)3,1 D.(]3,16、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛半径为（ C ）A. 0B. 1C. +∞D. 37、点A （-3,1,2）与B （1，-2,4）间的距离是（ A ） A. 29 B. 23 C. 29 D. 23二、填空题（每题4分，共16分）1、球心在点（1，-2,3），半径为3的球面方程为 9)3()2()1(222=-+++-z y x2、方程0222222=-+-++z x z y x 表示的图形是圆心在（1,0，-1），半径为2的球面. .3、二元函数229y x z --=的定义域是{}9:),(22≤+y x y x4、y x y x y x F --=22),(，则)3,1(F = 5 . 5、幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为是 1 .三、计算题1、求函数的一阶偏导数（1）)ln(222y x x z += （2）xy e u =223222)ln(2y x x y x x x z +++=∂∂ xy ye xu =∂∂ 2222y x y x y z +=∂∂ xy xe yu =∂∂2、求函数32y x z =，当01.0,02.0,1,2-=∆=∆-==y x y x 的全微分32xy xz =∂∂ 223y x y z =∂∂ 2.0)1,2()1,2(-=∆-+∆-=y f x f dy y x3，y x z 2)31(+=，求x z ∂∂，yz ∂∂ 216(13)y z y x x-∂=+∂)31ln()31(22x x yz y ++=∂∂4、设方程0sin 2=-+xy e y x 确定的一个隐函数，求dxdy 0).2(.cos 2='+-+'y xy y e y y x 22cos x e y y xy y-'=-5、求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值（1）x f x 24-= y f y 24--=（2）令0,0==y x f f 得：2,2-==y x（3）2,0,2-==-=yy xy xx f f f 故2,0,2-==-=C B A 0,02<<-A AC B 有极大值.8)2,2(f =-=极大y6、计算积分⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由3,x y x y ==在第一象限内所围成.161103==⎰⎰⎰⎰D x x ydy xdx xydxdy四、应用题1、建造容积为V 的开顶长方形水池，长、宽、高各应为多少时，才能使表面积最小？（10分） 长为32v x = 宽32v y = 高3221v z =2、把正数a 分成三个正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个数.（7分） 3a z y x ===。

2013—2014学年上学期期终考试试卷2012级数学试卷一、填空题：（每题3分，共24分）1. 过点（1,3）且与直线1y -=x 平行的直线方程是2. 过圆4x 22=+y 上一点)1,3(-P 的切线方程是3. 点A(-2，1)到直线0243:=--y x l 的距离为4. 已知直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是5. 平行于同一平面两条直线的位置关系为6. 在60°的二面角βα--m 的面α内有一点A 到面β的距离为3,A 在β上的射影为A ′,则A ′到面α的距离为7. 用一个平面截半径为25cm 的球,截面面积是π492cm ,则球心到截面的距离为 8.抛掷两颗骰子，则“两颗骰子点数相同”的概率为二、选择题（每题3分，共30分）1．若直线0=++c by ax 通过第一、三、四象限，则 （ ） A. 0,0>>bc ab B. 0,0<>bc ab C. 0,0><bc ab D. 0,0<<bc ab2. 若直线02x =++ay 和02x 3=-y 互相垂直，则a 等于 （ ）A. 23-B. 32- C. 32 D. 233. 方程04222=++-+m y x y x 表示一个圆，则 （ ） A. 5≤m B. 5m < C. 51<mD. 51≤m4. 空间中与同一条直线都垂直的两条直线的位置关系是 （ ） A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都可能5．如果平面的一条斜线长是它在这个平面上的射影长的3倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 （ ）A ．31 B.322 C.22 D.326. 长方体一个顶点上的三条棱长分别是a ,b ,c ，那么长方体的全面积是( ) A. ca bc ab ++ B. 222c b a ++ C. abc 2 D. )(2ca bc ab ++7．已知两球的球面面积比为4︰9 ,则两个球的体积比为 （ ） A. 2︰3 B. 4︰9 C. 8︰27 D. 4︰278.一副扑克牌有黑、红、梅、方各13张,大小王各1张,从中任取一张，则不同取法的种数是 （ ） A. 4 B. 54 C. 413 D. 1349．由1，2，3，4，5五个数字组成 个没有重复数字的三位数偶数（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 4810．某校对全校3000名学生的肺活量进行调查，准备抽取500名学生作为调查对象，则上面所述问题中的总体是 （ ） A.3000名学生 B.3000名学生的肺活量 C.500名学生 D.500名学生的肺活量 三、计算题：（共24分）1．已知点()5,3A 是圆0808422=---+y x y x 的一条弦的中点，求这条弦所在直线方程.（8分）2．求圆2x 22=+y 上的点到直线03=--y x 的最长距离。

2014级本科高等数学A （二）期末试题解答与评分标准A （理工类多学时）一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 1. （A ，B ）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 存在是函数在点00(,)x y 的全微分存在的（ B ）.A. 充分条件；B. 必要条件；C. 充要条件；D. 无关条件.2. （A ，B ）设级数1(2)nn n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则级数在5x =处（ C ）.A. 发散；B. 条件收敛；C. 绝对收敛；D. 无法确定敛散性.3. （A ，B ）二阶微分方程224468e xy y y x '''-+=+的特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A. 22+e xax bx C +； B. 22+e xax bx C E ++； C. 222+e xax bx C Ex ++； D. 22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设闭区域D ：229x y +≤，221:9,0D x y y +≤≥，则下列等式中错误的是（ D ）. A.22221e d 2e d x y xy DD σσ++=⎰⎰⎰⎰；B.2222122e d 2e d x y xy DD y y σσ++=⎰⎰⎰⎰；C. 22e d 0xy Dx σ+=⎰⎰；D. 1e d 2e d x y x y DD σσ++=⎰⎰⎰⎰.6. （A ）Ω由不等式2221,x y z z ++≤≥确定，则zdxdydz Ω⎰⎰⎰求解过程错误的是（ B ）.A.2212x y dxdy +≤⎰⎰；B.22210x y z dzzdxdy +≤⎰⎰⎰；C.20rd πθ⎰⎰⎰；D.2134001sin 22d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰.二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共计18分） 7.（A ，B ）直线234112x y z ---==与平面260x y z ++-=的交点为 (1,2,2).8.（A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为 230y y y '''--=.9. （A ，B ）设函数4sin y z x xy xy =++，则(1,0)zy ∂=∂ 5.10. （A ，B ）交换二次积分的积分次序：2220(,)y ydy f x y dx =⎰⎰402(,)x dx f x y dy ⎰⎰.11. （A ）L 为圆周229x y +=，则对弧长的曲线积分=⎰18π.12. （A ）计算曲线积分(3)(2)LI x y dx y x dy =++-⎰Ñ，其中L 是沿椭圆2214y x +=正向的边界，则I ＝4p -.三、解答题（本大题6小题，每小题8分，共计48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：00x y →→0x y →→= （4分）0x y →→= （2分）14=-. （2分）14. （A ，B ）设函数),()(y x y g y x f z -++=，其中f 二阶可导，),(v u g 有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：2zf g x∂''=+∂， (4分) 221222122(1)z f g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂. (4分)(或写为221221222(1)zf g g f g g x y∂''''''''''''=++-=+-∂∂ )15. （A ，B ）设函数(,)z f x y =由方程e 0z y xz x y x ----+=所确定，在点(0,1,1)处，求d z .解：令(,,)ez y xF x y z z x y x --=--+， （2分）1e e 1e z y x z y x x z y x z F zx x F x ------∂-+=-=∂+， （2分） 1e 1ez y x y z y xz F zx y F x ----∂+=-=∂+， （2分） (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)d d d zz z x y dy xy∂∂=+=∂∂. （2分）16. （A ，B ）求幂级数2121n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值. 解：收敛域(1,1)-， （注：在端点处发散） （2分）2121220001(),(0)0,()21211n n n n n n x x S x S S x x n n x ++∞∞∞==='⎛⎫'===== ⎪++-⎝⎭∑∑∑ （2分）所以200111()(0)()d d ln ||121x xxS x S S x x x x x+'-====--⎰⎰，故11()ln ||21xS x x+=-，(11)x -<< （2分） 2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）1206()1x x d x =-=⎰. （2分）18. （A ） 计算2(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰，其中∑为上半球面z =.解：取1∑为xoy 面上的圆盘22:4xy D x y +≤，取下侧，记∑与1∑围成的闭区域为Ω，从而由高斯公式，得 （2分）12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+∑+++⎰⎰6dv Ω=⎰⎰⎰3262323ππ=⋅⋅=， （2分）而12(31)xdydz ydzdx z dxdy ∑+++⎰⎰1(31)4xyD z dxdy dxdy π∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰， （2分）故 原式=32(4)36πππ--=. （2分）四、解答题（本题10分） 19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：（1） 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰， （2分）求导，得2()22()t f t te tf t πππ'=+,即2()2()2t f t tf t te πππ'-=， （2分） （2）此为一阶线性微分方程，其通解为：22()()tf t e t Cππ=+（C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C =， （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ . （1分）五、证明题（本题6分）20. （A ，B ）证明：二次曲面222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为000Ax x By y Cz z D ++=.证：令222(,,)F x y z Ax By Cz D =++-，则0000(,,)2x F x y z Ax =，0000(,,)2y F x y z By =，0000(,,)2z F x y z Cz =， （2分） 故曲面(,,)0F x y z =上点000(,,)x y z 处的切平面方程为：0000002()2()2()0Ax x x By y y Cz z z -+-+-=，（2分） 又222000Ax By Cz D ++=，从而222Ax By Cz D ++=上任一点000(,,)x y z 处的切平面为：000Ax x By y Cz z D ++=. （2分）2014级本科高等数学（二）期末试题解答与评分标准A（理工类少学时）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. （B ）由曲线2cos a ρθ=所围图形的面积为（ B ）. A. 22a π； B.2a π； C. 24a π； D. 22a π.2. （A ，B ）下列级数收敛的是（ C ）.A.112n n∞=∑； B.21ln n n∞=∑； C. 112nn ∞=∑；D. 1n ∞=3. （A ，B ）微分方程224468e x y y y x '''-+=+的一个特解应具有形式（ C ），其中,,,a b C E 为常数.A.22+e xax bx C +； B.22+e xax bx C E ++； C.222+e xax bx C Ex ++； D.22+e xax bx C Ex ++.4. （A ，B ）与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线方程为（ A ）.A. 325431x y z +--==； B ．325431x y z +--==-； C. 325134x y z +--==； D ．325431x y z -++==.5. （A ，B ）设二元函数(,)f x y 在2R 上有(,)0,(,)0x y f x y f x y ><，设1212,x x y y ><，则下列结论正确的是（ B ）.A. 1122(,)(,)f x y f x y <；B. 1122(,)(,)f x y f x y >；C.1112(,)(,)f x y f x y <；D.1121(,)(,)f x y f x y <.6. （A ，B ）设()f x 为连续函数，1()()t tyF t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '=（ D ）.A.2(2)f ；B.(2)f -；C.0；D.(2)f .二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （B ）由曲线x y e =,直线0,1x x ==和x 轴所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所形成旋转体的体积为2π.8. （A ，B ）设(,)z f x y =由方程e 0z y x z x y x ----+=所确定，则zx∂∂在点(0,1,1)处的值为 0 .9. （A ，B ）2211(2),lim()nn n n x y aa d πσ∞→∞=+≤-+=∑⎰⎰设级数收敛则3π ．10. （A ，B ）已知二阶齐次线性微分方程有两个特解312e x y =，2e x y -=，则该微分方程为230y y y '''--=.11. （A ，B ）曲线2z y =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为22z x y =+.12. （A ，B ）函数2yz xe =在点A (1,0)处沿点A 指向点B (2,1)-的方向导数为2- .三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 13. （A ，B ）计算二重极限00x y →→.解：(法一)原式= 0x y →→ （4分）00x y →→= （2分）=14-（2分） (法二) 原式=00x y →→ （4分） 001224limx y xy xy →→-⋅⋅= （2分） =14-（2分）14. （A ，B ）计算函数yz x =在(2,1)的全微分． 解： 1,ln y y x y z yx z x x -== （4分）(2,1)1,(2,1)2x yz z == （2分） (2,1)d 2l n 2z d x d y =+ （2分）15. （A ，B ）设函数()f u 可微, ()ln xx z f x y =+,求222,z z x x y∂∂∂∂∂.解：()ln xz f x x y =+ ，1()ln 1z xf x x y y∂'=++∂ （2分） 22211()z x f x y y x ∂''=+∂ （3分） 2231()()z x x x f f x y y y y y∂'''=--∂∂ （3分）16. （A ，B ）求幂级数21021n n x n +∞=+∑的收敛域与和函数，并求数项级数201(21)2nn n ∞=+∑的值． 解： 收敛域为(1,1)- （2分）令210()21n n x S x n +∞==+∑，(0)0S =2122001()211n n n n x S x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑， （2分） 所以200111()(0)()d d ln ||121x x xS x S S x x x x x+'-===--⎰⎰， 故11()ln ||21xS x x+=-， （11x -<<） （2分）2210011122()ln 3(21)2(21)22n n n n S n n ∞∞+=====++∑∑. （2分）17. （A ，B ）计算二重积分(32)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D 为由y 轴与直线1x y +=，1x y -=所围成的闭区域. 解： (32)d d 3d d DDI x y x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰ （3分）11013xx dx xdy --=⎰⎰（3分）126()1x xd x =-=⎰ （2分）18. （A ，B ）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的长宽高为,,x y z ，则问题转化为在条件2(,,)2220x y z x y y z x za ϕ=++-= 下求函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值. （3分） 设拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++-，解方程组22()02()02()0222yz y z xz x z xy y x xy yz xz aλλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩得x y z ===， （4分） 这是唯一的可能极值点，也是所求问题的最大值点.故表面积为2a3（1分）四、解答题（本题10分）19. （A ，B ）设函数()y f t =满足2222()t x y tf t e fdxdy π+≤=+⎰⎰，(1) 求()f t 所满足的微分方程； (2) 求()f t . 解：(1) 2()2()tt f t ef r rdr ππ=+⎰ （2分）求导得 2()22()t f t te tf t πππ'=+即 2()2()2t f t tf t te πππ'-= （2分） (2) 此为一阶线性微分方程，其通解为22()()tf t et Cππ=+ （C 为任意常数） （3分） 由(0)1f =得1C = （2分）故22()(1)tf t et ππ=+ （1分）五、解答题（本题6分）20. （A ，B ）设2,(,)(,)0,(,)x y Df x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩，[0,1][0,1]D =⨯，求函数()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰的表达式.解：0t ≤时，()0F t = （1分）01t ≤≤时，221()22F t t t =⋅= （2分）12t <≤时，221()21(2)422F t t t t ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦（2分）2t >时，()2F t = （1分）2013级高等数学(二)期末试卷解答A理工类 多、少学时1. （A ，B ）下列函数中有且仅有一个间断点的函数为（ B ）． （A ）x x y +； （B ）22e ln()x x y -+； （C ）xy； （D ）||1xy +．2. （A ，B ）曲线：23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）．（A ） 有一条； （B ）有两条； （C ）有三条； （D ）不存在．3. （A ，B ）设222{(,)|()}D x y x a y a =-+≤，则二重积分22e d x y Dσ--=⎰⎰（ C ）（A ）22cos 0d d a re r r πθθ-⋅⎰⎰； （B ）22cos 0d d a re r πθθ-⎰⎰；（C ）22cos 22d d a r er r πθπθ--⋅⎰⎰；（D ）22cos 202d d a re r πθπθ--⎰⎰4. （A ，B ）微分方程x y y cos =+''的特解具有形式（ B ）（A ）cos sin A x B x + （B ）sin cos Ax x Bx x + （C ）cos A x （D ）cos Ax x5. （A ，B ）已知函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，则( D )．（A ）(,)f x y 在00(,)x y 可微；（B ）(,)f x y 在00(,)x y 沿任意方向方向导数存在； （C ）(,)f x y 在00(,)x y 连续； （D ）0(,)f x y 在00(,)x y 连续．6. 多（A ）设221:1l x y +=，222:2l x y +=，223:12y l x +=， 224:12x l y +=为四条逆时针封闭曲线，记曲线积分33()d (2)d 63ii l y x I y x x y =++-⎰，1,2,3,4I =，则max{}i I =（ C ）（A ） 1I ； （B ）2I ； （C ）3I ； （D ）4I6. 少（A ，B ）下列各选项正确的是（ C ） A ． 若正项级数∑∞=1n n u 发散，则nu n 1≥； B ． 若级数∑∞=1n nu收敛，且),2,1( =≥n v u n n ，则级数∑∞=1n nv收敛．C ． 若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛，则∑∞=+12)(n n nv u收敛；D ． 若||1nn n vu ∑∞=收敛， 则∑∞=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛；二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （A ，B ）幂级数1(3)3n nn x n ∞=-⋅∑的收敛域为[0,6)．8. （A ，B ）已知级数1nn us ∞==∑，则11()n n n u u ∞+=+=∑12s u -．9.（A ，B ）设函数()f u 可微，且(2)1f '=，则函数()z f x y =+在点(1,1)处的全微分(1,1)d |z =d d x y +．10.（A ，B ）微分方程yy x'=-满足初始条件24x y =-=的特解为8xy =-．11.多（A ）设L 为上半圆周：222x y R +=，（0,0R y >>），则曲线积分22()d Lx y s +=⎰3R π．11. 少（A ，B ）设(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤，则二重积分()cos 1d d Dy xy x y +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 2 ．12.多（A ）设∑是球面2222()x y z R R ++-=的外侧，则曲面积分d d x y ∑=⎰⎰ 0 ．12.少（B ）2d 11A x x +∞-∞=+⎰，则 A = 1π.三、 解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）13.（A ，B ）设函数2(,)sin()z f x y xy ==，求(,1)2xx f π，(,1)2xy f π．解：22(,)cos()x f x y y xy =，42(,)sin()xx f x y y xy =-， 232(,)2cos()2sin()xy f x y y xy xy xy =- （6分）(,1)12xx f π=-，(,1)2xy f ππ=- （2分）14.（A ，B ）设函数()y x z z ,=由方程23z e xy z +-=所确定，求(2,1,0)x z 及(2,1,0)y z ．解：令(,,)23z F x y z e xy z =+--， （1分） y F x =，x F y =，2z z F e =- （3分）所以2z z y x e ∂=∂-，2zz xy e ∂=∂- （2分） (2,1,0)1x z =，(2,1,0)2y z =． （2分）15.（A ，B ）求幂级数0(1)1nnn x n ∞=-+∑的收敛域与和函数．解：收敛半径为1R =，收敛域为(1,1]- （2分）令0()(1)1nnn x S x n ∞==-+∑，0x =时，(0)1S =， （1分）0x ≠时，1000()(1)(1)d 1n x nn n n n x xS x x x n +∞∞===-=-+∑∑⎰001()d d ln(1)1x xnn x x x x x∞==-==++∑⎰⎰所以ln(1),0()1,0x x S x xx +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ （5分）16.（A ，B ）计算二重积分2e d d y DI x y -=⎰⎰，其中D 是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形所围的闭区域．解：21e d d yy I y x -=⎰⎰ （4分）21101e d (1e )2y y y --==-⎰ （4分）17. 多（A ）验证曲线积分(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰在XOY 平面内积分与路径无关，并计算该曲线积分． 解：324Q x y x ∂=-∂，324Px y y∂=-∂，且连续，所以积分与路径无关 （4分）(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰(2,0)(2,1)423(1,0)(2,0)(23)d (4)d xy y x x xy y =-++-⎰⎰21313d (48)d x y y =+-⎰⎰ （2分） 325=+= （2分）17. 少（A ，B ）计算二重极限22222001cos()lim sin ()x y x y x y →→-++．解：222222222220000()1cos()2lim lim sin ()()x x y y x y x y x y x y →→→→+-+=++ （4分） 12=（4分）18. 多（A ）计算曲面积分3d d 2d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =介于平面0z =与平面2z =之间部分的下侧．解：补充曲面221:2,4z x y ∑=+≤，取上侧， （2分） 由高斯公式13d d 2d d d d x y z y z x z x y '∑∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰6d V Ω=⎰⎰⎰ （2分）16π= ． （2分） 其中，113d d 2d d d d d d 2d d 8Dx y z y z x z x y z x y x y π∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以3d d 2d d d d 8x y z y z x z x y π∑++=⎰⎰ （2分）18. 少（A ，B ）判断级数1!n n n a n n∞=∑的敛散性，其中0,e a a >≠．解：111(1)!lim lim lim (1)!(1)e n n n n n n n n n n nu a n n a n au n a n n +++→∞→∞→∞+⋅=⋅==++ （4分） 所以0e a <<时，级数收敛；e a >时，级数发散。

学校 姓名 联考证号2013-2014学年高二上学期期末联考数学（理）试题注意事项:1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、联考证号、座位号填写在试题和试卷上。

2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确每小题5分,共60分) 1. 已知全集}4,3,2,1{=U ,}1{=A ,}42{，=B ,则A ∪=)(B C U A.}1{B.}3,1{C.}3{D.}3,2,1{2. 直线012=+-y x 与直线012=++y ax 的垂直,则=aA. 1B. 1-C. 4D. 4-3. 已知两个不同的平面βα、和两条不重合的直线n m 、,有下列四个命题:①若m //n ,α⊥m ,则α⊥n ; ②若α⊥m ,β⊥m ,则α//β; ③若α⊥m ,β⊂m ,则βα⊥; ④若m //α,n //α,则m //n . 其中正确命题的个数是 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 到两坐标轴距离之和为6的点的轨迹方程是A.0=+y xB.6||=+y xC.6=±y xD.6||||=+y x5. 执行如图所示的程序框图,其输出的结果是A. 1B.21- C.45- D.813-6. “1=k ”是“直线0=+-k y x 与圆122=+y x 相交”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的体积是A.34 B.38 C.4 D.88.直线过点)0,1(-且与圆x y x 222=+相切,若切点在第四象限,则直线的方程为 A.013=+-y x B.013=++y x C.013=+-y x D.013=++y x 9. 正方体1111D C B A ABCD -中,下列结论错误．．的是 A.AC ∥平面11BC A B.⊥1BC 平面CD B A 11C.C B AD 11⊥D.异面直线1CD 与1BC 所成的角是45º 10. 已知向量)2,0(),cos ,2cos 2sin 2(),3,1(π∈-==x x x x ,若b a ⊥,则=x A.6πB.3πC.32π D.65π11. 设抛物线x y 82=的焦点为F ,准线为,P 为抛物线上的一点,l PA ⊥,垂足为A .若直线AF 的斜率为3-,则=||PF A.4 B.8 C.34 D.3812. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-+---≥-+=13,)2(11,325)(22x x x x x x f ,则函数2)()(x x f x g -=的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 在区间]2,3[-上随机取一个数,x 则1||≤x 的概率是___________.14. 已知函数⎩⎨⎧<>=0,30,log )(2x x x x f x,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f 的值为___________. 15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(4,,则该双曲线的离心率为___________.16. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上.若该球的表面积为37π,则棱长=a ___________. 三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17.（本小题满分10分）命题:p 函数xa y )22(+=是增函数.命题],1,1[:-∈∀x q 32+--≤x x a 成立， 若q p ∧ 为真命题,求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）如图,四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是边长为2的 正方形,CD PD BC PB ⊥⊥,,且2=PA ,E 为PD 中点.（1）求证:⊥PA 平面ABCD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值.19.（本小题满分12分） 如图,在△ABC中,52,4==AC B π,552cos =C .（1）求A sin ；（2）设BC 的中点为D ,求中线AD 的长.20.（本小题满分12分）矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M (2,0),AB 边所在直线的方程为:063=--y x , 若点)5,1(-N 在直线AD 上.（1）求点A 的坐标及矩形ABCD 外接圆的方程；（2）过点)1,0(-P 的直线m 与ABCD 外接圆相交于A 、B 两点,若4||=AB , 求直线m 的方程.21.（本小题满分12分）等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且225,5153==S a .（1）数列}{n b 满足:,1),(-1*1=∈=+b N n a b b n n n 求数列}{n b 的通项公式； （2）设,221n c n a n +=+求数列}{n c 的前n 项和n T .22（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线y x 242-=的焦点是它的一个焦点,又点)2,1(A 在该椭圆上. （1）求椭圆E 的方程;（2）若斜率为2直线与椭圆E 交于不同的两点C B 、,当ABC 面积的最大值时，求直线的方程.高二数学（理科A类）双向细目表。