(实验四)数字图像 DFT 及频域滤波

数字图像处理作业——频域滤波器设计摘要在图像处理的过程中,消除图像的噪声干扰是一个非常重要的问题。

本文利用matlab软件,采用频域滤波的方式,对图像进行低通和高通滤波处理。

低通滤波是要保留图像中的低频分量而除去高频分量，由于图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓；高通滤波是要保留图像中的高频分量而除去低频分量，所以高通滤波可以保留较多的边缘轮廓信息。

本文使用的低通滤波器有巴特沃斯滤波器和高斯滤波器，使用的高通滤波器有巴特沃斯滤波器、高斯滤波器、Laplacian高通滤波器以及Unmask高通滤波器。

实际使用中应该根据实际图像中包含的噪声情况灵活地选取适当的滤波算法。

1、频域低通滤波器：设计低通滤波器包括 butterworth and Gaussian (选择合适的半径，计算功率谱比),平滑测试图像test1和2。

实验原理分析根据卷积定理，两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立叶变换函数的乘积的逆变换得到，如果f(x, y)和h(x, y)分别代表图像和空间滤波器，F(u, v)和H(u, v)分别为响应的傅立叶变换（H(u, v)又称为传递函数），那么我们可以利用卷积定理来进行频域滤波。

在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。

如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制，而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。

频域空间的增强方法的步骤：（1）将图像从图像空间转换到频域空间；（2）在频域空间对图像进行增强；（3）将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间。

低通滤波是要保留图像中的低频分量而除去高频分量。

图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓。

理想低通滤波器具有传递函数：其中D0为制定的非负数，D(u,v)为点(u,v)到滤波器中心的距离。

一．实验目的1.掌握图像滤波的基本定义及目的；2.理解空间域滤波的基本原理及方法；3.掌握进行图像的空域滤波的方法。

4.掌握傅立叶变换及逆变换的基本原理方法；5.理解频域滤波的基本原理及方法；6.掌握进行图像的频域滤波的方法。

二．实验结果与分析1.平滑空间滤波：a)读出eight.tif这幅图像，给这幅图像分别加入椒盐噪声和高斯噪声后并与前一张图显示在同一图像窗口中；（提示：imnoise）b)对加入噪声图像选用不同的平滑（低通）模板做运算，对比不同模板所形成的效果，要求在同一窗口中显示；（提示:fspecial、imfilter或filter2）c)使用函数imfilter时，分别采用不同的填充方法（或边界选项，如零填充、’replicate’、’symmetric’、’circular’）进行低通滤波，显示处理后的图像采用不同的填充方式，效果略有不同。

d)运用for循环，将加有椒盐噪声的图像进行10次，20次均值滤波，查看其特点,显示均值处理后的图像；（提示:利用fspecial 函数的’average’类型生成均值滤波器）e)对加入椒盐噪声的图像分别采用均值滤波法，和中值滤波法对有噪声的图像做处理，要求在同一窗口中显示结果。

（提示:medfilt2）中值滤波后的图像比均值滤波后的图像更加平滑。

f)自己设计平滑空间滤波器，并将其对噪声图像进行处理，显示处理后的图像；滤波后图像变得平滑。

2.锐化空间滤波a)读出blurry_moon.tif这幅图像，采用3×3的拉普拉斯算子w =[ 1, 1, 1; 1 – 8 1; 1, 1, 1]对其进行滤波；观察原图与拉普拉斯掩模滤波后的图像，滤波后的图像不再那么平滑，使图像产生锐化效果。

b)编写函数w = genlaplacian(n)，自动产生任一奇数尺寸n的拉普拉斯算子，如5×5的拉普拉斯算子w = [ 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 -24 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1]本函数见文件夹下genlaplacian.m文件。

计算机与信息工程学院验证性实验报告一、实验目的1．掌握怎样利用傅立叶变换进行频域滤波 2．掌握频域滤波的概念及方法 3．熟练掌握频域空间的各类滤波器 4．利用MATLAB 程序进行频域滤波二、实验原理及知识点频域滤波分为低通滤波和高通滤波两类，对应的滤波器分别为低通滤波器和高通滤波器。

频域低通过滤的基本思想：G (u,v )=F (u,v )H (u,v )F (u,v )是需要钝化图像的傅立叶变换形式，H (u,v )是选取的一个低通过滤器变换函数，G (u,v )是通过H (u,v )减少F (u,v )的高频部分来得到的结果，运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。

理想地通滤波器(ILPF)具有传递函数：01(,)(,)0(,)ifD u v D H u v ifD u v D ≤⎧=⎨>⎩其中，0D 为指定的非负数，(,)D u v 为(u,v )到滤波器的中心的距离。

0(,)D u v D =的点的轨迹为一个圆。

n 阶巴特沃兹低通滤波器(BLPF)(在距离原点0D 处出现截至频率)的传递函数为201(,)1[(,)]nH u v D u v D =+与理想地通滤波器不同的是，巴特沃兹率通滤波器的传递函数并不是在0D 处突然不连续。

高斯低通滤波器(GLPF)的传递函数为222),(),(σv u D ev u H =其中，σ为标准差。

相应的高通滤波器也包括：理想高通滤波器、n 阶巴特沃兹高通滤波器、高斯高通滤波器。

给定一个低通滤波器的传递函数(,)lp H u v ，通过使用如下的简单关系，可以获得相应高通滤波器的传递函数：1(,)hp lp H H u v =-利用MATLAB 实现频域滤波的程序f=imread('room.tif');F=fft2(f); %对图像进行傅立叶变换%对变换后图像进行队数变化，并对其坐标平移，使其中心化 S=fftshift(log(1+abs(F)));S=gscale(S); %将频谱图像标度在0-256的范围内 imshow(S) %显示频谱图像h=fspecial('sobel'); %产生空间‘sobel’模版 freqz2(h) %查看相应频域滤波器的图像 PQ=paddedsize(size(f)); %产生滤波时所需大小的矩阵 H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2)); %产生频域中的‘sobel’滤波器H1=ifftshift(H); %重排数据序列，使得原点位于频率矩阵的左上角 imshow(abs(H),[]) %以图形形式显示滤波器 figure,imshow(abs(H1),[])gs=imfilter(double(f),h); %用模版h 进行空域滤波gf=dftfilt(f,H1); %用滤波器对图像进行频域滤波 figure,imshow(gs,[]) figure,imshow(gf,[])figure,imshow(abs(gs),[]) figure,imshow(abs(gf),[])f=imread('number.tif'); %读取图片PQ=paddedsize(size(f)); %产生滤波时所需大小的矩阵 D0=0.05*PQ(1); %设定高斯高通滤波器的阈值H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0); %产生高斯高通滤波器 g=dftfilt(f,H); %对图像进行滤波 figure,imshow(f) %显示原图像figure,imshow(g,[]) %显示滤波后图像三、实验步骤：1．调入并显示所需的图片；2．利用MATLAB 提供的低通滤波器实现图像信号的滤波运算，并与空间滤波进行比较。

目录摘要 (1)一设计任务 (2)2 方案选择 (3)3 详细设计 (4)3.1 程序流程图 (4)3.2 关键原理 (5)3.2.1 DFT (5)3.2.2频率域滤波器 (6)3.3程序简要说明 (7)3.3.1图像获取 (7)3.3.2 DFT变换 (7)3.3.3产生噪声信号 (8)3.3.4加噪声 (9)3.3.5 滤波器设计 (10)3.3.6用户界面设计 (11)4 调试与运行 (12)5 总结 (13)参考文献 (14)附录摘要离散傅立叶变换（DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛。

它建立了离散时域和离散之间的联系。

如果直接应用卷积和相关运算在时域中处理，计算量将随着取样点数的平方而增加，这使计算机的计算量大，很费时，很难达到实时处理的要求。

因此，一般可采用 DFT方法，将输入的数字信号首先进行 DFT变换，在频域中进行各种有效的处理，然后进行 DFT反变换，恢复为时域信号。

这样用计算机对变换后的信号进行频域处理。

比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度。

因此，DFT在数字图像处理领域中有很大的实用价值。

离散傅立叶变换还有一个明显的优点就是具有快速算法，即快速傅立叶算法(Fast Fourier Transform)，它可以大大减少计算次数，使计算量减少到只是相当于直接使用离散傅立叶变换所用的一小部分。

并且，二维离散傅立叶变换很容易从一维的概念推广得到。

在数字图像处理中，二维离散傅立叶被广泛的应用于图像增强、复原、编码和分类中。

本文以离散傅里叶变换为例，窥一斑而见全豹的简述一下频域变换的重要作用。

离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform）简称DFT，在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散之间的联系。

在数字图像处理中，二维离散傅立叶被广泛的应用于图像增强、复原、编码和分类中。

本课程设计是在MATLAB软件环境下读入图像，实现图像的离散傅立叶变换（DFT），并对系数进行分析，并对图像变换后的系数的分布特点进行分析和变换后的系数进行重新排列，将低频系数移到中心位置。

实验报告实验课程: 光电图像处理姓名：学号：实验地点: 信软楼309 指导老师：实验时间： 2016 年 3月30日一．实验名称:数字信号的 DFT/DCT 及频域滤波二．实验目的1、熟练掌握数字信号（1D）及数字图像(2D)离散傅立叶变换（DFT）及离散余弦变换（DCT）方法、基本原理及实现流程。

熟悉两种变换的性质，并能对 DFT 及DCT 的结果进行必要解释。

2、深入理解离散信号采样频率、奈奎斯特频率及频率分辨率等基本概念，弄清它们之间的相互关系。

了解离散傅里叶变换（DFT）中频率泄露的原因，以及何尽量减少频率泄露影响的途径。

3、熟悉和掌握利用 MATLAB 工具进行 1D/2D FFT 及 DCT 的基本步骤、MATLAB 函数使用及对具体变换的处理流程。

4、能熟练应用 MATLAB 工具对数字图像进行 FFT 及 DCT 处理，并能根据需要进行必要的频谱分析和可视化显示。

三.实验原理一、一维连续Fourier变换二、离散余弦变换（DCT）DFT的特殊形式，被展开的函数是实偶函数的傅立叶变换，即只有余弦项。

变换核固定，利于硬件实现。

可分离性，一次二维DCT可分解为两次一维DCT。

其有快速算法FCT (可由FFT计算得到)。

1D-DCT矩阵形式：F=Gf ，f=G TF 2D-IDCT三、巴特沃思(Butterworth)低通滤波器BLPF 传递函数201(,)1[(,)]nH u v D u v D =+()()()22,22D u v u P v Q =-+-这里D 0为截止频率，n 为阶数。

当D (u ,v )=D 0时, H (u,v )降为最大值的50% 。

P 、Q 意义如前所述四．实验步骤1、1D 数字信号的 FFT 及频谱分析给定如下式（1）所示的 1D 连续信号：(1) 设采样频率 fs = 1000Hz，对信号 x 进行离散化，并画出一个周期内的信号振幅随时间变化的波形图。

数字图像处理实验报告实验四频域图像增强1、实验目的• 1.熟悉傅里叶变换的基本性质；• 2.热练掌握FFT方法及应用；• 3.通过实验了解二维频谱的分布特点；• 4.通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换及滤波锐化和复原处理；• 5.了解理想、巴特沃兹、高斯等不同滤波器的结构及滤波效果。

2、实验步骤•1．调入实验一获得的图像，对这幅图像做FFT并显示其频谱；•2．对上幅图像做离散余弦变换并显示其频谱；•3．将离散余弦变换应用于图像压缩。

3、实验源码对这幅图像做FFT并显示其频谱B=imread('test.bmp')imshow(B)F=fft2(B)S=abs(F)imshow(S,[])对上幅图像做离散余弦变换并显示其频谱i=imread('test.bmp')i=im2double(i)T=dctmtx(8)B=blkproc(i,[8,8],'P1*x*P2',T,T)imshow(B)将离散余弦变换应用于图像压缩（压缩后的图像有点失真，但不影响视觉效果，图像数据量缩小了）mask=[1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0]B2=blkproc(B,[8,8],'P1*x',mask)i2=blkproc(B2,[8,8],'P1*x*P2',T,T)subplot(1,2,1),imshow(i);title('原图')subplot(1,2,2),imshow(i2);title('离散余弦变换压缩')4、实验截图实验一获得的图像图像做FFT并显示其频谱做离散余弦变换并显示其频谱将离散余弦变换应用于图像压缩5、实验小结付里叶变换在计算图像的卷积中有很大应用。

数字图像处理作业——频域滤波器设计摘要在图像处理的过程中,消除图像的噪声干扰是一个非常重要的问题。

本文利用matlab软件,采用频域滤波的方式,对图像进行低通和高通滤波处理。

低通滤波是要保留图像中的低频分量而除去高频分量，由于图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓；高通滤波是要保留图像中的高频分量而除去低频分量，所以高通滤波可以保留较多的边缘轮廓信息。

本文使用的低通滤波器有巴特沃斯滤波器和高斯滤波器，使用的高通滤波器有巴特沃斯滤波器、高斯滤波器、Laplacian高通滤波器以及Unmask高通滤波器。

实际应用中应该根据实际图像中包含的噪声情况灵活地选取适当的滤波算法。

1、频域低通滤波器：设计低通滤波器包括 butterworth and Gaussian (选择合适的半径，计算功率谱比),平滑测试图像test1和2。

实验原理分析根据卷积定理，两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立叶变换函数的乘积的逆变换得到，如果f(x, y)和h(x, y)分别代表图像与空间滤波器，F(u, v)和H(u, v)分别为响应的傅立叶变换（H(u, v)又称为传递函数），那么我们可以利用卷积定理来进行频域滤波。

在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。

如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制，而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。

频域空间的增强方法的步骤：（1）将图像从图像空间转换到频域空间；（2）在频域空间对图像进行增强；（3）将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间。

低通滤波是要保留图像中的低频分量而除去高频分量。

图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶频谱中的高频部分，所以低通滤波可以除去或消弱噪声的影响并模糊边缘轮廓。

理想低通滤波器具有传递函数：其中D0为制定的非负数，D(u,v)为点(u,v)到滤波器中心的距离。

数字信号处理及实验实验报告实验题目利用DFT分析离散信号频谱姓名组别班级光电14 学号144320200206 【实验目的】应用离散傅里叶变换（DFT），分析离散信号的频谱。

深刻理解DFT分析离散信号频谱信号频谱的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。

【实验原理】根据信号傅里叶变化建立的时域与频域之间的对应关系，可以得到有限序列的离散傅里叶变换（DFT）与4种确定信号傅里叶变换之间的关系，实现由DFT分析其频谱。

【实验结果与数据处理】1、利用FFT分析信号x[k] = cos(3πk/8)，k = 0，1，2……，31的频谱：（1）确定DFT计算的参数。

（2）进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中产生误差的原因及改善方法。

分析：信号的周期T = 16，角频率w=2π/N=π/8。

clc,clear,close allN = 16; k = 0 : N-1;x = cos(3*pi*k/8);X = fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(k - N/2,abs(fftshift(X)));ylabel('幅度','fontsize',15);xlabel('频率(rad)','fontsize',15);subplot(2,1,2);stem(k - N/2,angle(fftshift(X)));ylabel('相位','fontsize',15);xlabel('频率(rad)','fontsize',15);2、有限长脉冲序列x[k]= [2，3，3，1，0，5；k = 0，1，2，3，4，5]，利用FFT分析其频谱，并绘出其幅度谱与相位谱。

clc,clear,close allN = 6; k = 0 : N-1; w = k-3;x=[2,3,3,1,0,5];X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(w,abs(fftshift(X)));ylabel('幅度','fontsize',15);xlabel('频率(rad)','fontsize',15);subplot(2,1,2);stem(w,angle(fftshift(X)));ylabel('相位','fontsize',15);xlabel('频率(rad)','fontsize',15);3、某周期序列由3个频率组成：x[k] = cos(7πk/16) + cos(9πk/16) + cos(πk/2)，利用FFT分析其频谱。

实验报告4：图像的频域处理（1）对图像进行DFT：DFT后的输出：DFT所用代码：pic1=fft2(imread('lines.png'));pic2=fft2(imread('rice.tif'));pic11=fftshift(pic1);pic22=fftshift(pic2);Pic1=log(1+abs(pic11));Pic2=log(1+abs(pic22));subplot(1,2,1), imshow(Pic1,[]);title('lin.png');subplot(1,2,2), imshow(Pic2,[]);title('rice.tif');图片中并没有明显的水平和垂直内容，而DFT后却存在水平和垂直分量的原因：原图的边缘出现了明显的不连续，因此进行DFT后会出现强烈的水平和垂直方向分量。

解决方法为在图像中加入汉明窗算法，用来过滤掉图片中的高频部分，并使得图像边缘的不连续情况得到改善，因此加入汉明窗后处理的图像频谱中，水平分量和垂直分量得到了明显的减少。

改进后代码：img=imread('lines.png');img=im2double(img);[h,w]=size(img);window=hamming(h)*hamming(w)';IMG=img.*window;FIMG=fft2(IMG);subplot(1,2,1)imshow(IMG,[]); title('加窗后图像');subplot(1,2,2)imshow(log(1+abs(FIMG)),[]);title('加窗后的频谱图');改进后的频谱图：（2）选取一张灰度图片，并进行操作：原图：效果图：处理过程：A步骤中，函数先对原图像中的f(x,y)进行变换g(x,y)=(-1)^(x+y) x f(x,y)，该步骤等同于傅里叶变换中的fftshift，将频域中带宽较低的部分及原点移动到了图像的中心位置。

实验报告实验课程:光电图像处理姓名：学号：实验地点：信软楼309指导老师：实验时间：2016年 4 月 7日一．实验名称：（实验四）数字图像DFT及频域滤波二．实验目的1. 了解数字图像各种正交变换的概念、原理和用途。

2. 熟练掌握数字图像的 DFT/DCT 的原理、方法和实现流程，熟悉两种变换的性质，并能对数字图像 DFT 及 DCT 的结果进行必要解释。

3.熟悉和掌握利用 MATLAB 工具进行数字图像 FFT 及 DCT 的基本步骤、MATLAB函数使用及具体变换的处理流程，并能根据需要进行必要的频谱分析和可视化显示。

4. 熟悉利用空域滤波器构建对应的频域滤波器的方法和关键步骤。

5. 熟悉和掌握几种典型的频域低通滤波器及高通滤波器的原理、特性和作用。

6. 搞清空域图像处理与频域图像处理的异同，包括处理流程、各自的优势等。

掌握频域滤波的基本原理和基本流程，并能编写出相应的程序代码。

三．实验原理1.模型图像的FFT 实验：原理：傅里叶变换提供了另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化为频率分布来观察图像的特征。

FFT主要是应用公式：进行空间域与频率域的相互转换.程序流程图：2.实际图像的FFT 实验：原理：傅里叶变换提供了另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化为频率分布来观察图像的特征。

其中对于频谱反中心化的处理是通过I=fftshift(I)来实现的，FFT主要是应用公式：进行空域与频域的转换.程序流程图：3.数字图像的频域滤波处理：原理：图像的频域表征了图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反映在频域上是高频分量；图像的大部分噪声是高频部分；而图像中大部分平缓的灰度变化部分则为低频分量，再通过构建的高通与低通滤波器与FFT变换后的频谱函数乘积的滤波处理，显示出处理后的图像.程序流程图：（1）（2）四．实验步骤1.模型图像的FFT 实验：（1）利用 MATLAB 程序自行生成一幅二值图像，分别对其分别进行离散傅立叶变换（DFT）计算；（2）对变换结果做频谱中心化处理，并分别显示出其2D频谱图以及对应的3D频谱图；（3）对以上两幅原始图像 FFT 后的频谱图进行分析，可以得出什么样的结论或验证DFT 的什么性质。

cvReleaseMat( &src_lm);cvReleaseMat (& sum_src);cvReleaseMat (& sum_dst);return fourier;}〃DFT反变换Ipllmage *IDFT(lpllmage * fourier){IplImage* dst = cvCreatelmage(cvGetSize(fourier),IPL_DEPTH_8U,1);int dft_H, dft_W;dft_H = fourier->height;dft_W = fourier->width;CvMat *dst_Re = cvCreateMat(dft_H,dft_W, CV_64FC1); // double Re, Im;CvMat *dst_lm = cvCreateMat(dft_H,dft_W, CV_64FC1); //Imagin ary partCvMat *sum_dst =cvCreateMat(dft_H,dft_W, CV_64FC2); //2 chann els (dst_Re, dst_lm) CvMat *sum_src = cvCreateMat(dft_H,dft_W, CV_64FC2 );cvCon vert(fourier, sum_src);cvDFT(sum_src,sum_dst,CV_DXT_INV_SCALE,O);cvSplit(sum_dst,dst_Re,dst_lm,O,O);cvCo nvert(dst_Re, dst);cvReleaseMat( &dst_Re);cvReleaseMat (& dst_lm);cvReleaseMat (& sum_src);cvReleaseMat (& sum_dst);return dst;}//归一化，将灰度映射到0~255之间，并将能量最高的四角移到中心，生成图片频域能量图void BuildDFTImage(IplImage *fourier, Ipllmage *dst){Ipllmage *image_Re = 0, *image_lm = 0;image_Re = cvCreatelmage(cvGetSize(fourier), IPL_DEPTH_64F, 1);image_lm = cvCreatelmage(cvGetSize(fourier), IPL_DEPTH_64F, 1); //Imagi nary part cvSplit(fourier, image_Re, image_lm, 0, 0 );// Compute the magn itude of the spectrum Mag = sqrt(Re A2 + Im A2)cvPow( image_Re, image_Re, 2.0);cvPow( image_lm, image_lm, 2.0);cvAdd( image_Re, image_lm, image_Re);cvPow( image_Re, image_Re, 0.5 );cvReleaseImage(&im age」m);cvAddS(image_Re, cvScalar(1.0), image_Re); // 1 + MagcvLog(image_Re, image_Re ); // log(1 + Mag)〃重新安排傅里叶图像中心// Rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at// the image cen terdouble minVal = 0, maxVal = 0;H_mat = cvCreateMat(fourier->height,fourier->width, CV_64FC2);for(i = 0; i < height; i++){for(j = 0; j < width; j++){ if(i > y &&j > x){ state = 3;}else if(i > y){state = 1;}else if(j > x){state = 2;}else{state = 0;} switch(state){ case 0:tempD = (double)sqrt(1.0*i * i + j * j);break;case 1:tempD = (double)sqrt(1.0*(height - i) * (height - i) + j * j);break;case 2:tempD = (double)sqrt(1.0*i * i + (width - j) * (width - j));break;case 3:tempD = (double)sqrt(1.0*(height - i) * (height - i) + (width - j) * (width - j));break; default:break;} switch(FLAG){case IDEAL_LOW: if(tempD <= D0){((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2] = 1.0; ((double*)(H_mat->data.ptr+ H_mat->step * i))[j * 2 + 1] = 0.0;}else{((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2] = 0.0; ((double*)(H_mat->data.ptr+ H_mat->step * i))[j * 2 + 1] = 0.0;} break;case IDEAL_HIGH: if(tempD <= D0){ ((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2] = 0.0;((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2 + 1] = 0.0;}else{((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2] = 1.0; ((double*)(H_mat->data.ptr+ H_mat->step * i))[j * 2 + 1] = 0.0;} break;case BW_LOW:tempD = 1 / (1 + pow(tempD / D0, 2 * n));((double*)(H_mat->data.ptr + H_mat->step * i))[j * 2] = tempD; ((double*)(H_mat->data.ptr +H_mat->step * i))[j * 2 + 1] = 0.0; break;问题：DFT 变换后图像全为黑色。

课程：数字图像处理课程作业实验报告实验名称：Two-Dimensional Fourier Transform and Filtering实验编号：签名：姓名：学号：截止提交日期：年月日摘要：本次实验主要分为两个部分，第一部分：编写一个2-D FFT程序包，实现滤波的中心变换、FFT变换、IFFT变换以及二维和三维显示幅度谱和相位谱；第二部分：编写一个高斯低通滤波程序，实现图像的的滤波处理。

用原图减去低通滤波处理后的图像，与高通处理后的图像做比较，改变低通滤波器的参数，使其接近高通滤波处理的图像。

一、技术论述1、二维离散傅里叶变换设),(y x f 表示一副大小为M x N 的图像，其中x=0，1，2，…，M-1和y=0，1，2，…，N-1。

f 的二维离散傅里叶变换可表示为),(v u F ，如下式所示：∑∑-=-=+-=101//ux 2),(,M x N y N vy M j e y x f v u F ）（）（π （1.1）其中u=0，1，2，…，M-1和v=0，1，2，…，N-1。

离散傅里叶逆变换由下式给出：∑∑-=-=+=1010)//(2),(1),(M u N v N vy M ux j e v u F MN y x f π （1.2） 其中x=0，1，2，…，M-1和y=0，1，2，…，N-1。

令),(v u R 和),(v u I 分别表示),(v u F 的实部和虚部，则傅里叶频谱定义为：[]2/122),(),(),(v u I v u R v u F += （1.3）变换的相位角定义为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=),(),(arctan ),(v u R v u I v u φ （1.4） 使用我们熟悉的复数量的极坐标表示法，),(v u F 表示如下：),(),(),(v u j e v u F v u F φ= （1.5）在实际应用中，DFT 及其逆变换可以通过使用快速傅里叶变换（FFT ）算法来实现。

“数字图像处理与识别”实验报告实验四图像频域低通滤波一、实验目的掌握常用频域低通滤波器的设计。

进一步加深理解和掌握图象频谱的特点和频域低通滤波的原理。

理解图象低通滤波的处理过程和特点。

二、实验内容设计程序，分别实现截止频率半径分别为5、15、30、80理想低通滤波器、二阶巴特沃斯低通滤波器、二阶高斯低通滤波器对图像的滤波处理。

观察处理前后图象效果，分析实验结果和算法特点。

三、实验原理理想低通滤波器传递函数：H(u,v) = 1 (if D(u,v)<) or 0 (if D(u,v)>)D0D0是截止频率距离，D(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离。

在半径的圆环D0D0内，所有频率无衰减的通过，反之则所有的频率完全被衰减掉。

二阶巴特沃斯低通滤波器传递函数：H(u,v) =11+[D(u,v)D0]2n是截止频率距离，D(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离。

D0二阶高斯低通滤波器传递函数：H(u,v) = e ‒[D(u,v)D0]nD(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离，是截止频率。

D0四、算法设计（含程序设计流程图）四、实验结果及分析（需要给出原始图像和处理后的图像）低通滤波实验原图低通滤波实验原图的傅立叶谱以下是理想低通滤波器的结果截止频率半径为5 截止频率半径为15截止频率半径为30 截止频率半径为80以下是二阶巴特沃斯低通滤波器结果截止频率半径为5 截止频率半径为15截止频率半径为30 截止频率半径为80以下是二阶高斯滤波器结果截止频率半径为5 截止频率半径为15截止频率半径为30 截止频率半径为80分析：D01、理想低通滤波器：当截止频率较低时，滤波后的图像严重模糊，因为过滤掉的高频分量包含了图像的边缘信息，而且振铃效应也很明显。

但随着截止频率的增加，模糊程度也随之减少。

2、二阶巴特沃斯低通滤波器与高斯低通滤波器：因为截止频率带为一渐变的连续曲线，所提图像模糊程度降低，而且没有振铃效应。

实验四、数字图像DFT 及频域滤波思考题1.试说明数字图像频域滤波的优势。

2.数字图像的频域滤波中，为什么原始图像和对应的滤波器均需要采取补零延拓数据。

3. 若一幅原始图像的尺寸太小，傅立叶变换后的u,v分辨率会较低，可采用什么办法提高其频谱的u,v分辨率。

实验内容1.模型图像的FFT实验实验代码：clc,clear all;%生成中心有72x72白色正方形的二值图像a=zeros(256);fori=256/2-36:256/2+36;j=256/2-36:256/2+36;a(i,j)=1;endsubplot(1,2,1),imshow(a) ,title('原图a')%生成中心有20x20白色正方形的二值图像b=zeros(256);fori=256/2-10:256/2+10;j=256/2-10:256/2+10;b(i,j)=1;endsubplot(1,2,2),imshow(b),title('原图b')% 做出对应的2D频谱图af=fft2(a); %作fft变换maga=abs(af); %取幅度af1=fftshift(maga);% 中心化处理figure,subplot(1,2,1),imshow(af1); title('2D频谱a')%显示处理后图像bf=fft2(b); %作fft变换magb=abs(bf); %取幅度bf1=fftshift(magb);% 中心化处理subplot(1,2,2),imshow(bf1);title('2D频谱b') %显示处理后图像%做出对应的3D频谱图halfs = round(size(af1)/2); ds = 3;figure,[x,y]=meshgrid(-1*halfs(2)+1:ds:halfs(2), -1*halfs(1)+1:ds:halfs(1)) surfl(x,y,af1(1:ds:size(af1,1),1:ds:size(af1,2))),title('3D频谱')分析：当图像为方形的二值图像时，其频谱是二位的sinc函数，图像中心部分变小时，频谱的中心变宽。

实验四应用FFT 实现信号频谱分析一、实验目的（1）能够熟练掌握快速离散傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)的原理及应用FFT 进行频谱分析的基础方法。

（2）对离散傅里叶变换的主要性质及FFT 在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。

二、基本原理1．离散傅里叶变换（DFT ）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性`虚实特性等。

通过实验可以加深理解。

实序列的DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下：由定义，可得][m X =∑-=10][N k km Nw k x =∑-=10)2cos(][N k km N k x π-j ∑-=10)2sin(][N k km N k x π][m N X -=∑-=-10)(][N k k m N Nw k x =kn NN k Nk N w wk x --=∑10][ =∑-=-10][N k km N wk x =∑-=10)2cos(][N k km N k x π-j ∑-=10)2sin(][N k km N k x π 所以： x[k]=k]-[N *x实序列DFT 的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。

对于单一频率的三角序列来说，它的DFT 谱线也是单一的，这个物理意义可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下：设：]Xk =sin )2(k Nπ][k R N 其DFT 为： ][m X =∑-=-102][N k km N j e k x π=∑-=-102)2sin(N k km N j e k N ππ =j21km N j k N j N k k N j e e e πππ22102)(---=∑- =j21)()1(210)1(2k m N j N k k m N j e e +--=-∑-ππ从而 X(0)=j21)(2102k N j N k k N j e e ππ--=∑-=0 X(1)=j21)1(410k N j N k e π--=∑-=jN 2= -j 2N X(N-2)=0…… X(N-1)=22)(21102)2(2N j j N e eJ N k n j N N j =-=-∑-=--ππ 以上这串式中]0[X 反应了][k x 的支流分量，]1[X 是][k x 的一次谐波，又根据虚实特性]1[]1[*X N X =-而其他分量均为零。

“数字图像处理与识别力实验报告实验四图像频域低通滤波一、实验目的掌握常用频域低通滤波器的设计。

进一步加深理解和掌握图象频谱的特点和频域低通滤波的原理。

理解图象低通滤波的处理过程和特点.二、实验内容设计程序，分别实现截止频率半径分别为5、15、30、80理想低通滤波器、二阶巴特沃斯低通滤波器、二阶高斯低通滤波器对图像的滤波处理。

观察处理前后图象效果，分析实验结果和算法特点。

三、实验原理理想低通滤波器传递函数：H(u, v)= 1 (if D(u, v) <D0) or 0 (if D(u, v) >D0)Do是截止频率距离，D(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离。

在半径Do的圆环内, 所有频率无衰减的通过，反之则所有的频率完全被衰减掉。

二阶巴特沃斯低通滤波器传递函数：11+瞥円Do是截止频率距离，D(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离。

二阶高斯低通滤波器传递函数：H (u, v)卩(u v)mH (u, v) = e 吐D(u,v)是(u,v)点距离频率中心的距离，%是截止频率。

四、算法设计(含程序设计流程图)低通滤波实验原图低通滤波实验原图的傅立叶谱以下是二阶巴特沃斯低通滤波器结果截止频率半径为5截止频率半径为15................................. ............IIIIIIIII «13 a it njn fl••• a IIIIIIII £1截止频率半径为80以下是理想低通滤波器的结果截止频率半径为5截止频率半径为15…a IIIIIIIII截止频率半径为5截止频率半径为15IIIIIIIIIi a a a a a aa我止频率半径为30•••.a iiiiiiiii • a B a U U cl cl截止频率半径为30aaaaaaaa截止频率半径为80aaaaaaad截止频率半径为80分析：1、理想低通滤波器：当截止频率Do较低时，滤波后的图像严重模糊，因为过滤掉的高频分量包含了图像的边缘信息，而且振铃效应也很明显。

数字图像实验报告实验8 医学图像频域滤波与图像复原实验目的：1.熟悉医学图像离散傅里叶变化的原理和方法；2.掌握医学图像频域滤波的原理；3.掌握使用Matlab中的函数实现医学图像进行频域滤波的方法;4.掌握使用Matlab中的图像退化与复原的方法;实验内容：一、医学图像频域滤波方法与实现使用imnoise给图像BMRI1_24bit.bmp添加概率为0.2的椒盐噪声，对原图像和加噪声后的图像进行傅氏变换并显示变换后的移中频谱图，然后分别使用Butterworth低、高通滤波器对噪声图像进行低通和高通滤波，显示D0为5，10，20，40时的滤波效果图，并说明存两种滤波效果中所存在的差异及原因。

低通效果平滑，图片偏模糊；高通效果锐化，通过削弱傅里叶变换的低频二保持高频相对不变，使图片变得清晰f=imread('BMRI1_24bit.bmp');f=rgb2gray(f);f=im2double(f);fn=imnoise(f,'salt & pepper',0.2);f1=fft2(f);fc=fftshift(f);s1=log(1+abs(fc));fn1=fft2(fn);fnc=fftshift(fn1);s2=log(1+abs(fnc));subplot(1,2,1);imshow(s1,[]);title('原图傅氏变换');subplot(1,2,2);imshow(s2,[]);title('加噪声图傅氏变换');%低通滤波f=imread('BMRI1_24bit.bmp');f=rgb2gray(f);fn=imnoise(f,'salt & pepper',0.2);PQ=paddedsize(size(fn));[U,V]=dftuv(PQ(1),PQ(2));D1=0.05*PQ(2);D2=0.10*PQ(2);D3=0.20*PQ(2);D4=0.40*PQ(2);F=fft2(fn,PQ(1),PQ(2));H1=-exp(-(U.^2+V.^2)/(2*(D1^2)));H2=-exp(-(U.^2+V.^2)/(2*(D2^2)));H3=-exp(-(U.^2+V.^2)/(2*(D3^2)));H4=-exp(-(U.^2+V.^2)/(2*(D4^2)));g1=dftfilt(fn,H1);g2=dftfilt(fn,H2);g3=dftfilt(fn,H3);g4=dftfilt(fn,H4);subplot(2,2,2);imshow(g2,[]);title('D0为10'); subplot(2,2,3);imshow(g3,[]);title('D0为20'); subplot(2,2,4);imshow(g4,[]);title('D0为40');%高通滤波f=imread('BMRI1_24bit.bmp');f=rgb2gray(f);fn=imnoise(f,'salt & pepper',0.2);PQ=paddedsize(size(fn));D1=0.05*PQ(1);D2=0.10*PQ(1);D3=0.20*PQ(1);D4=0.40*PQ(1);H1=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D1);H2=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D2);H3=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D3);H4=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D4);g1=dftfilt(fn,H1);g2=dftfilt(fn,H2);g3=dftfilt(fn,H3);g4=dftfilt(fn,H4);subplot(2,2,1);imshow(g1);title('D0为5');subplot(2,2,3);imshow(g3);title('D0为20'); subplot(2,2,4);imshow(g4);title('D0为40');%高频强调滤波f=imread('BMRI1_24bit.bmp');f=rgb2gray(f);fn=imnoise(f,'salt & pepper',0.2);PQ=paddedsize(size(fn));D1=0.05*PQ(1);D2=0.10*PQ(1);D3=0.20*PQ(1);D4=0.40*PQ(1);H1=hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D1,2);H2=hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D2,2);H3=hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D3,2);H4=hpfilter('btw',PQ(1),PQ(2),D4,2);HH1=0.5+2*H1;HH2=0.5+2*H2;HH3=0.5+2*H3;HH4=0.5+2*H4;g1=dftfilt(fn,HH1);g2=dftfilt(fn,HH2);g3=dftfilt(fn,HH3);g4=dftfilt(fn,HH4);g1=gscale(g1);g2=gscale(g2);g3=gscale(g3);g4=gscale(g4);gh1=histeq(g1,256);gh2=histeq(g2,256);gh3=histeq(g3,256);gh4=histeq(g4,256);subplot(2,2,1);imshow(gh1);title('D0为5');subplot(2,2,2);imshow(gh2);title('D0为10');subplot(2,2,3);imshow(gh3);title('D0为20');subplot(2,2,4);imshow(gh4);title('D0为40');二、医学图像退化及复原1、产生带运动和噪声的退化图像首先使用fspecial 产生一个了len=7,theta=45的移动退化滤波器，然后使用产生的移动退化滤波器作为imfilter的滤波模板，边界填充选项(boundary_options)选择‘circular’，为图像BMRI1_24bit.bmp添加一个移动退化，再使用imnoise产生一个均值为0，方差为0.001的高斯噪声，并将高斯噪声叠加到已经产生移动退化的图像MRIBrain_10.bmp上。

实验五 二维DFT 和频域滤波器实验报告一、 实验目的1. 理解二维离散傅立叶变换的概念，掌握Matlab 中进行二维离散傅立叶变换并显示频谱图的方法。

2. 理解频域滤波的基本概念，掌握频域滤波的基本方法。

3. 理解理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器的概念，并会利用其传递函数对已知图像进行滤波。

二、 实验要求1. 在Matlab 中对给定图像进行二维离散傅立叶变换，并显示其居中的频谱图。

2. 分别生成尺寸为M ×N （给定图像的尺寸），截止频率D0=50的理想低通滤波器和1阶巴特沃斯低通滤波器。

并以图像的形式显示。

3. 对给定图像分别利用上述滤波器进行滤波，显示滤波后图像的频谱以及经滤波后的图像，并与原始图像及其频谱进行对比。

三、 实验原理根据卷积定理，两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立叶变换函数的乘积的逆变换得到，如果f (x , y )和h (x , y )分别代表图像与空间滤波器，F (u , v )和H (u , v )分别为响应的傅立叶变换（H (u , v )又称为传递函数），那么我们可以利用卷积定理来进行频域滤波。

理想低通滤波器具有传递函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00),(D 0),(1),(D v u D v u D v u H 若若 其中D 0为制定的非负数，D (u , v )为点(u , v )到滤波器中心的距离。

n 阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为nD v u D v u H 20]/),([11),(+=四、实验结果图像五、实验代码%原始图片及其居中后的频谱：J=imread('d:\lena.bmp');J_gray=rgb2gray(J);figure;imshow(J_gray);%显示原始灰度图像title('原始灰度图像');J2=fft2(J_gray);%二维离散傅立叶变换J3=fftshift(J2);%居中J4=log(abs(J3));%对图像做二维DFT变换并居中figure;imshow(J4,[]);%显示居中后的频谱图title('离散傅立叶变换居中频谱图');%理想低通滤波器：[m,n]=size(J_gray);d0=50;x0=round(256);y0=round(256);%定义一个半径为256的圆形区域%截止频率d0=50的理想低通滤波器for i=1:mfor j=1:nd=sqrt((i-x0)^2+(j-y0)^2);%到原点中心的距离if(d<d0)h(i,j)=1;elseh(i,j)=0;endendendfigure;imshow(h);%画出理想低通滤波器的频谱图title('理想低通滤波器的频谱图');J5=J3.*h;J6=log(abs(J5));figure;imshow(J6,[]) ;%画出滤波后的频谱title('原频谱理想低通滤波后的频谱');J7=ifftshift(J5);J8=ifft2(J7);J9=uint8(real(J8)); %对滤波后的频谱做反变换后居中figure;imshow(J9);%画出经过理想低通滤波器滤波后的图像title('经过理想低通滤波器滤波后的图像');%巴特沃斯滤波器：[m,n]=size(J_gray);d0=50;n=1;x0=round(256);y0=round(256);for i=1:mfor j=1:nd=sqrt((i-x0)^2+(j-y0)^2);h(i,j)=1/(1+(d/d0)^(2*n));endendfigure;imshow(h);%画出巴特沃斯滤波器的频谱图title('巴特沃斯滤波器的频谱图');J10=J3.*h;J11=log(abs(J10));figure;imshow(J11,[]); %画出滤波后的频谱title('巴特沃斯滤波器滤波后的频谱');J12=ifftshift(J10);J13=ifft2(J12);J14=uint8(real(J13)); %对巴特沃斯滤波后的图像进行反变换并居中figure;imshow(J14); %画出经过巴特沃斯滤波器滤波后的图像title('经过巴特沃斯滤波器滤波后的图像');。