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上海市徐汇区2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．观察下列图案，是轴对称而不是中心对称的是（）A．B．C．D．2．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查3．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣64．二元一次方程组632x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解是()A．51xy=⎧⎨=⎩B．42xy=⎧⎨=⎩C．51xy=-⎧⎨=-⎩D．42xy=-⎧⎨=-⎩5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．计算（x－2）（x+5）的结果是A．x2+3x+7 B．x2+3x+10 C．x2+3x－10 D．x2－3x－107．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，每旋转60°为滚动1次，那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时，点F的坐标是（）A ．（2017，0）B ．（2017，12）C ．（2018，3）D ．（2018，0）8．下列解方程去分母正确的是( )A ．由，得2x ﹣1＝3﹣3xB ．由，得2x ﹣2﹣x ＝﹣4C ．由，得2y-15=3yD ．由，得3(y+1)＝2y+69．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．12k <<B ．13k ≤≤C ．14k ≤<D ．14k ≤≤11．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( )A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝212．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．.D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限。
高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。
上海市2020届高三数学·阶段性检测卷系列[02]南洋模范卷时间：2020年4月一、填空题：1.函数2()3f x x =+-的定义域是2.等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=__________3.已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______4.在△ABC 中，已知cos cos a c B b c A -=-，则△ABC 的形状是_____________三角形．等腰或直角5.已知直线l 1：4x -3y +6=0和直线l 2：x =0，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是6.设a Z ∈，且013a ≤≤，若202051+a 能被13整除，则a =7.已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则n 最小值为8．{}3,2,,2131中随机抽取一个数记为a ，从{}2,2,1,1--中随机抽取一个数记为b ,则函数b a y x +=的图象经过第三象限的概率是9.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE ⋅= 10.若矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321b b b b a a a a 满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为{1234}；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为11.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 边上的高为a ，则b c c b+的取值范围为__________12.已知函数2,1,()25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在1212,x x R x x ∈≠且，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是____________二、选择题：13.下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C..01,:01,22”均有“任意”的否定是使得命题“存在<++∈<++∈x x R x x x R x D．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．14.设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*∈N n ，n n ab 21log =，当且仅当4=n 时，数列{}n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为()A．)32,3(B．)4,3(C．)4,22(D．)23,22(15.若已知曲线C 1：)0,0(1822≥≥=-y x x y ，圆C 2：1)3(22=+-y x ，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |=3，则直线AB 的斜率为(C )A.1 B.21 C.33 D.316.已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得0321=++OC OB OA λλλ，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠COA ()B A.都是钝角 B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角三、解答题：17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，2AB AC ==，16AA =，点E F 、分别在棱11AA CC 、上，且12AE C F ==．（1）求四棱锥B AEFC -的体积；（2）求BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ的余弦值。
高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A. 若a⊥α，a⊥b，则b∥αB. 若a∥α，a⊥b，则b⊥αC. 若a⊥α，b⊆α，则a⊥bD. 若a∥α，b∥α，则a∥b3.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A. B. C. D.4.设x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x1，），B（x2，）的直线与圆（x-1）2+y2=1的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 随m的变化而变化二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若集合A={x|3x+1＞0}，B={|x-1|＜2}，则A∩B=______．6.若复数z满足=-i，其中i为虚数单位，则=______．7.若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f-1（x），则不等式f-1（x）＞2的解集为______．8.试写出（x-）7的展开式中系数最大的项______．9.若y=4-最小值为a，最大值为b，则=______．10.已知平面上三点A、B、C满足||=，||=，||=2，则的值等于______．11.设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为______．12.在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．13.从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k=______．14.已知数列{a n}的通项公式为a n=（-1）n•n+2n，n∈N*，则这个数列的前n项和S n=______．15.已知函数f（x）=x-，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=-a1，则a1=______．16.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）若不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，若存在x0∈R，使f（x0）≤t-f（-x0），求t的取值范围．19.某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20.已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．21.若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，则称{a n}是{c n}的“分隔数列”（1）设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的分隔数列；（2）设c n=n-4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n-2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由；（3）设，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a，q的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵函数=（x）2+2+2•x，又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），∴f（-x）=（-x）2+2-2•x，∴f（-x）=f（x），∴2•x=0，∴•=0，∴，若，则•=0，∴f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数，故选：C．已知非零向量、，根据f（-x）=f（x），求出向量、的关系，再利用必要条件和充分条件的定义进行判断．本题主要考查向量的内积计算，还考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，A（-1，0），过P作PN垂直直线x=-1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，所以,连结PA，当PA是抛物线的切线时，则∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，此时有最小值，设直线PA的方程为：y=k（x+1），联立直线与抛物线可得，整理得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，所以=（2k2-4）2-4k4=0，解得k=±1，所以，=cos∠NPA=．故选：B．4.【答案】D【解析】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2-m=0的两个不相等的实数根，∴m2-4（m2-m）＞0，即0＜m＜，∴x1+x2=-m，由A（x1，），B（x2，），得到A和B为抛物线y=x2上的两点，且直线AB的斜率k==x1+x2=-m，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，在同一个坐标系中作出相应的图形，如图所示：则直线AB与圆（x-1）2+y2=1的位置关系可能相交、相切或相离，由m的值变化而变化．故选：D．不等式，求出不等式的解集得到m的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和，由A和B坐标的特点得到这两点在抛物线y=x2上，且根据两点的坐标求出直线AB的斜率，化简后将表示出的两根之和代入得到关于m的式子，在同一个坐标系中画出圆与抛物线，由图象可知直线AB与圆的位置关系不确定，随m的变化而变化．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线斜率的求法，以及圆的标准方程，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时要灵活运用．5.【答案】（-，3）【解析】解：A={x|3x+1＞0}={x|x＞-}，B={|x-1|＜2}={x|-2＜x-1＜2}={x|-1＜x＜3}，则A∩B={x|-＜x＜3}，故答案为：（-，3）．求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．6.【答案】1-i【解析】解：由=-i，得，∴．故答案为：1-i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵，∴有，则，必有x-1＞0，∴2（x-1）＜1，解得1＜x．故答案为：．由，可得，因此，解出即可．本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】【解析】解：T r+1=x7-r=（-1）r x7-2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，其系数分别为：1，，，．经过比较可得：r=4时满足条件，T5=x-1=，故答案为：．T r+1=（-1）r x7-2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，经过比较即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：y=4-，定义域为[-1，3]当x=1时，y取最小值为2，当x=3或-1时，y取最大值为4，故a=2，b=4；===．故答案为：．先求函数的定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限．本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．10.【答案】-8【解析】解：由||=，||=，||=2，可得：||2+||2=||2，即有△ABC为直角三角形，由++=，两边平方可得，||2+||2+||2+2（）=0，即有=-（||2+||2+||2）=-×（3+5+8）=-8．故答案为：-8．由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由++=，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】8x2-4y2=1【解析】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02-y02=1，即为2（2x）2-（2y）2=1，即为8x2-4y2=1．故答案为：8x2-4y2=1．由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】200【解析】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a中，故a中=20（舍去）；故设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m-1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，其中（0＜m＜9，m∈N*）故10a n+×2-a m+n=185，即10（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，故m=9n-43，故n=5，m=2；故10×a5+×2=110+90=200；故答案为：200．先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m-1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，从而求得．本题考查了等差数列的前n项和公式与通项公式的应用．13.【答案】4或7【解析】解：∵从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，∴=，解得k=4或k=7．故答案为：4或7．由题意=，由此能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的14.【答案】【解析】解：当n为偶数时，S n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+1+n）]+（2+22+…+2n）=+=2n+1+-2；当n为奇数时，S n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+2+n-1）-n]+（2+22+…+2n）=-n+=2n+1--；综上所述，S n=．分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=x-，∴f（x）+=x-+-x=0，f（1）=0．数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，∴a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=f（a1）+f（a6）==-a1，a1＞0．则a1=．故答案为：．函数f（x）=x-，可得f（x）+=0，f（1）=0．根据数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，可得a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==1，代入化简即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】1-2a【解析】解：∵当x≥0时，f（x）=，即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（-1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），∴f（-x）=（-x+1），又f（-x）=-f（x），∴f（x）=-（-x+1）=（1-x）-1=log2（1-x），∴中间的一个根满足log2（1-x）=a，即1-x=2a，解得x=1-2a，∴所有根的和为1-2a．故答案为：1-2a．函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．17.【答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1-ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；【解析】（1）四棱锥A1-ABCD的体积=，由此能求出结果．（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．18.【答案】解：（1）∵函数f（x）=|2x-a|+a，不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），∴|2x-a|＜6-a的解集为（-1，3），由|2x-a|＜6-a，可得a-6＜2x+a＜6-a，求得a-3≤x≤3，故有a-3=-1，a=2．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x-2|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=，故g（x）的最小值为8，故使f（x）≤t-f（-x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．【解析】（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a-3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），可得a-3=-1，由此求得a的范围；（2）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．19.【答案】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=AB tan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2-，同理可得：M2D=60×tan=60（2-）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°-α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x-1，且1＜x＜2．∴y=96π（x-1）+108π（）=12π•（8x+-17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【解析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），化简，令1+tanα=x 换元，利用基本不等式得出最值．本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意：C1：+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=-=-，∴直线PM的方程为y-y2=-（x-x2），化简得：x2x+y2y=，①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2=（x-t）2+y2=，当x=m时，|ME|2最小，∴m=-，③，又圆E过点F，∴（-）2=（m-t）2+n2，④点P1在椭圆上，∴，⑤由③④⑤，解得：t=-或t=-，又t=-时，m=-＜-2，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（-，0）．【解析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P 点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为-1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m 与n，即可确定出所求式子的值为定值．（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21.【答案】证明：（1）∵{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，∴c n≤a m＜c n+1，∵c n=2n，a m=m+1，∴2n≤m+1＜2n+2，∴2n-1＜m≤2n+1，∴m=2n，∴对任意n∈N*，存在m=2n∈N*，使得，则称{a n}是{c n}的“分隔数列；解：（2）c n=n-4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n-2，∴d n=（3n-2）-4=3n-6，∴d1=-3，∴S n==n（n-7），若数列{S n}是数列{d n}的分隔数列，∴3n-6≤m（m-7）＜3n-3，即6（n-2）≤m（m-7）＜6（n-1），由于n=4时，12≤m（m-7）＜18，不存在自然数m，使得不等式成立，∴数列{S n}不是数列{d n}的分隔数列；（3）设，T n是{c n}的前n项和，∵数列{T n}是{c n}的分隔数列，则{c n}为递增，当a＞0时，q＞1，∴aq n-1≤＜aq n，即有q m-1＜q n（q-1），且q m-1≥q n-1（q-1），当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；q＞2时，由m=n，q m-1≥q n-1（q-1）成立；q n-1＜q n（q-1）成立，可得n=2时，q2-1＜q2（q-1），解得q＞，对n＞3也成立；当a＜0时，0＜q＜1时，aq n-1≤＜aq n，即有1-q m＞q n（1-q），且1-q m≤q n-1（1-q），取m=n+1，可得1-q m＞q n（1-q）成立，1-q n+1≤q n-1（1-q）成立，可得q=0恒成立，则a＜0，0＜q＜1不成立，综上可得，a＞0，q＞．【解析】（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m=2n，即可得证；（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．本题考查了新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市徐汇区2019-2020学年中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13 B．14 C．15 D．162．图中三视图对应的正三棱柱是（）A．B．C．D．3．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．4．下列基本几何体中，三视图都是相同图形的是（）A．B．C．D．5．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°6．函数y=2x -的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x ＜2C ．x≥2D ．x ＞27．如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为( )A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：68．根据中国铁路总公司3月13日披露，2018年铁路春运自2月1日起至3月12日止，为期40天全国铁路累计发送旅客3.82亿人次．3.82亿用科学记数法可以表示为（ ） A ．3.82×107B ．3.82×108C ．3.82×109D ．0.382×10109．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-310．若关于x 的方程22(2)0x k x k +-+=的两根互为倒数，则k 的值为( ) A ．±1B ．1C ．－1D ．011．将一块直角三角板ABC 按如图方式放置，其中∠ABC ＝30°，A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m ∥n( )A ．∠2＝20°B ．∠2＝30°C ．∠2＝45°D ．∠2＝50°12．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ．2C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．分解因式：32816a a a -+=__________.14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在圆O 上，BD ＝CD ，AB ＝10，AC ＝6，连接OD 交BC 于点E ，DE ＝______．15．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴，直线y ＝﹣x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2，那么ABCD 面积为_____．16．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成如图图案，则第4个图案中有__________白色纸片，第n 个图案中有__________张白色纸片．17．化简：21211x x +=+-_____________. 18．如图，一次函数y 1=kx+b 的图象与反比例函数y 2=mx（x<0）的图象相交于点A 和点B ．当y 1＞y 2＞0时，x 的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗”，山西省旅发委发布的《2018年“春节”假日旅游市场总结分析报告》中称：山西春节旅游供需两旺，实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题：（1）如图1所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018年首次突破了“千万”大关，达到万人次，比2017年春节假日增加万人次．（2）2018年2月15日﹣20日期间，山西省35个重点景区每日接待游客数量如下：日期2月15日（除夕）2月16日（初一）2月17日（初二）2月18日（初三）2月19日（初四）2月20日（初五）日接待游客数量（万人次）7.56 82.83 119.51 84.38 103.2 151.55这组数据的中位数是万人次．（3）根据图2中的信息预估：2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为，理由是．（4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了A，B，C，D四枚书签（除图案外完全相同）．正面分别印有“剪纸艺术”、“国粹京剧”、“陶瓷艺术”、“皮影戏”的图案（如图3），他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率．20．（6分）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕着点B顺时针旋转角a（0°＜a＜90°）得到△A1BC；A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论．（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并证明．（3）在（2）的条件下，求线段DE的长度．21．（6分）已知反比例函数的图象过点A（3，2）．（1）试求该反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．22．（8分）我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示．（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．23．（8分）【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．【类比引申】（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；【联想拓展】（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．24．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.操作发现如图1，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S1．则S1与S1的数量关系是．猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长25．（10分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．26．（12分）某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图（1）D组的人数是人，补全频数分布直方图，扇形图中m＝；（2）本次调查数据中的中位数落在组；（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？27．（12分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【详解】解:如图所示，分别作直线AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G 、H 、I ．因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°． 所以AFI BGC DHE GHI V V V V 、、、都是等边三角形． 所以31AI AF BG BC ====，． 3317GI GH AI AB BG ∴==++=++=， 7232DE HE HI EF FI ==--=--=， 7124CD HG CG HD ．=--=--= 所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3=15； 故选C ． 2．A 【解析】 【分析】由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，从而求解 【详解】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A 选项正确． 故选A ． 【点睛】本题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的三视图是本题的解题关键．3．A【解析】试题分析：观察图形可知，该几何体的主视图是．故选A．考点：简单组合体的三视图．4．C【解析】【分析】根据主视图、左视图、俯视图的定义，可得答案．【详解】球的三视图都是圆，故选C．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记特殊几何体的三视图是解题关键．5．B【解析】试题分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．考点：旋转的性质．6．D【解析】【分析】根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.【详解】有意义,解：∵函数x-2∴x-2>0,即x＞2故选D【点睛】本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.7．C【解析】【分析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC 面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系．【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点，∴12 AE AFBC FC==．∴△FEC面积是△AEF面积的2倍．设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x，∵E为AD中点，∴△DEC面积=△AEC面积=3x．∴四边形FCDE面积为1x，所以S△AFE：S四边形FCDE为1：1．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系．8．B【解析】【分析】根据题目中的数据可以用科学记数法表示出来，本题得以解决．【详解】解：3.82亿=3.82×108，故选B．【点睛】本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．9．D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误，当x=-1时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选D ．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．C【解析】【分析】 根据已知和根与系数的关系12c x x a =得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k 的值．【详解】解：设1x 、2x 是22(2)0x k x k +-+=的两根，由题意得：121=x x ，由根与系数的关系得：212x x k =， ∴k 2=1，解得k=1或−1，∵方程有两个实数根，则222=(2)43440∆--=--+>k k k k ，当k=1时，34430∆=--+=-<，∴k=1不合题意，故舍去，当k=−1时，34450∆=-++=>，符合题意，∴k=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键． 11．D【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论．【详解】∵直线EF∥GH，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．D【解析】【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n 分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．a(a －4)2【解析】【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【详解】32816a a a -+22816()4.)(a a a a a =-+=-故答案为：2()4.a a -【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.14．1【解析】【分析】先利用垂径定理得到OD ⊥BC ，则BE=CE ，再证明OE 为△ABC 的中位线得到116322OE AC ==⨯=，入境计算OD−OE 即可．【详解】解：∵BD ＝CD ， ∴¶¶BDCD =， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，而OA ＝OB ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴116322OE AC ==⨯=， ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝1．故答案为1．【点睛】此题考查垂径定理,中位线的性质，解题的关键在于利用中位线的性质求解.15．1【解析】【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时,直线经过点A,当移动距离是7时,直线经过D,在移动距离是1时经过B,则AB=1-4=4,当直线经过D点,设其交AB与E,则DE=22,作DF⊥AB于点F.利用三角函数即可求得DF即平行四边形的高,然后利用平行四边形的面积公式即可求解【详解】解：由图象可知，当移动距离为4时，直线经过点A，当移动距离为7时，直线经过点D，移动距离为1时，直线经过点B，则AB＝1﹣4＝4，当直线经过点D，设其交AB于点E，则DE＝22，作DF⊥AB于点F，∵y＝﹣x于x轴负方向成45°角，且AB∥x轴，∴∠DEF＝45°，∴DF＝EF，∴在直角三角形DFE中，DF2+EF2＝DE2，∴2DF2＝1∴DF＝2，那么ABCD面积为：AB•DF＝4×2＝1，故答案为1．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质和一次函数图象与几何变换，解题关键在于利用好辅助线16．13 3n+1【解析】分析：观察图形发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律得出第n个图案中有白色纸片即可．详解：∵第1个图案中有白色纸片3×1+1=4张第2个图案中有白色纸片3×2+1=7张，第3图案中有白色纸片3×3+1=10张，∴第4个图案中有白色纸片3×4+1=13张第n个图案中有白色纸片3n+1张，故答案为：13、3n+1.点睛：考查学生的探究能力，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论.17．11 x-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求解. 【详解】原式=1211 (1)(1)(1)(1)(1)(1)1x xx x x x x x x -++==+-+-+--.故答案为：11 x-.【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.18．-2<x<-0.5【解析】【分析】根据图象可直接得到y1＞y2＞0时x的取值范围．【详解】根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，故答案为﹣2＜x＜﹣0.5.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）1365.45、414.4（2）93.79（3）30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%（4）1 2【解析】【分析】（1）由图1可得答案；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）由近3年平均涨幅在30%左右即可做出估计；（4）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．【详解】（1）2018年首次突破了“千万”大关，达到1365.45万人次，比2017年春节假日增加1365.45﹣951.05=414.4万人次．故答案为：1365.45、414.4；（2）这组数据的中位数是84.38+103.22=93.79万人次， 故答案为：93.79；（3）2019年春节假日山西旅游总收入比2018年同期增长的百分率约为30%，理由是：近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%，故答案为：30%；近3年平均涨幅在30%左右，估计2019年比2018年同比增长约30%．（4）画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果数为6， 所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为12． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．20．（1）1EA FC =．（2）四边形1BC DA 是菱形.（3）2233． 【解析】【分析】 （1）根据等边对等角及旋转的特征可得1ABE C BF ≅V V即可证得结论； （2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论；（3）过点E 作EG AB ⊥于点G ，解Rt AEG V 可得AE 的长，结合菱形的性质即可求得结果．【详解】（1）1EA FC =．证明：（证法一）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．由旋转可知，111,,AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠∴1A BF CBE V V ≌．∴BE BF ，=又1AB BC =Q ，∴11A C A B CB ∠=∠=，，即1EA FC =．（证法二）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．由旋转可知，1BA BE BC BF -=-，而1EBC FBA ∠=∠∴1A BF CBE ∴≅V V∴BE BF ，=∴1BA BE BC BF -=-即1EA FC =．（2）四边形1BC DA 是菱形.证明：111130,A ABA AC AB ︒∠=∠=∴Q ‖同理1AC BC ‖ ∴四边形1BC DA 是平行四边形.又1AB BC =Q ，∴四边形1BC DA 是菱形 （3）过点E 作EG AB ⊥于点E ，则1AG BG ==．在EG AB ⊥中， 233AE = .由（2）知四边形1BC DA 是菱形，∴1AG BG ==．∴2233ED AD AE =-=-． 【点睛】解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解决问题.21．（1）；（2）MB=MD ． 【解析】【分析】(1)将A(3，2)分别代入y= ，y=ax 中，得a 、k 的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；(2)有S △OMB=S △OAC=×=3 ，可得矩形OBDC 的面积为12；即OC×OB=12 ；进而可得m 、n 的值，故可得BM 与DM 的大小；比较可得其大小关系.【详解】（1）将A（3，2）代入中，得2，∴k=6，∴反比例函数的表达式为．（2）BM=DM，理由：∵S △OMB=S△OAC=×=3，∴S矩形OBDC=S四边形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC·OB=12，∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴，∴MB=，MD=，∴MB=MD．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解（2）的关键.22．（1）y1=﹣15t（t﹣30）（0≤t≤30）；（2）∴y2=2(020)4120(2030)t tt t≤<⎧⎨-+≤≤⎩；（3）上市第20天，国内、外市场的日销售总量y最大，最大值为80万件．【解析】【分析】(1)根据题意得出y1与t之间是二次函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)利用待定系数法分别求出两个函数解析式，从而得出答案；(3)分0≤t＜20、t=20和20≤t≤30三种情况根据y=y1+y2求出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最值，从而得出整体的最值．【详解】解：(1)由图表数据观察可知y1与t之间是二次函数关系，设y1=a（t﹣0）（t﹣30）再代入t=5，y1=25可得a=﹣1 5∴y1=﹣15t（t﹣30）（0≤t≤30）(2)由函数图象可知y2与t之间是分段的一次函数由图象可知：0≤t＜20时，y2=2t，当20≤t≤30时，y2=﹣4t+120，∴y 2=()2(020)41202030t t t t ≤<⎧⎨-+≤≤⎩， (3)当0≤t ＜20时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）+2t=80﹣15（t ﹣20）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴左侧，y 随t 的增大而增大，所以最大值小于当t=20时的值80，当20≤t≤30时，y=y 1+y 2=﹣15t （t ﹣30）﹣4t+120=125﹣15（t ﹣5）2 ， 可知抛物线开口向下，t 的取值范围在对称轴右侧，y 随t 的增大而减小，所以最大值为当t=20时的值80，故上市第20天，国内、外市场的日销售总量y 最大，最大值为80万件．23．（1）DF=EF+BE ．理由见解析;（2）CF=1．【解析】（1）把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合，证出△AEF ≌△AFG ，根据全等三角形的性质得出EF=FG ，即可得出答案；（2）根据旋转的性质的AG=AE ，CG=BE ，∠ACG=∠B ，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG 2=FC 2+CG 2=BE 2+FC 2；关键全等三角形的性质得到FG=EF ，利用勾股定理可得CF.解：（1）DF=EF+BE ．理由：如图1所示，∵AB=AD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合，∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C 、D 、G 在一条直线上，∴EB=DG ，AE=AG ，∠EAB=∠GAD ， ∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°，∵∠EAF=15°，∴∠FAG=∠EAG ﹣∠EAF=90°﹣15°=15°，∴∠EAF=∠GAF ，在△EAF 和△GAF 中，，∴△EAF ≌△GAF ，∴EF=FG ，∵FD=FG+DG ，∴DF=EF+BE ； （2）∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°得△ACG ，连接FG ，如图2，∴AG=AE ，CG=BE ，∠ACG=∠B ，∠EAG=90°，∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，∴FG 2=FC 2+CG 2=BE 2+FC 2；又∵∠EAF=15°，而∠EAG=90°，∴∠GAF=90°﹣15°，在△AGF 与△AEF 中，，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF=FG ，∴CF 2=EF 2﹣BE 2=52﹣32=16，∴CF=1．“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．24．解：（1）①DE ∥AC ．②12S S =．（1）12S S =仍然成立，证明见解析；（3）3或2．【解析】【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC ，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC 是等边三角形．∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE ∥AC ．②过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知：△ADC 是等边三角形, DE ∥AC ，∴DN=CF,DN=EM ．∴CF=EM ．∵∠C=90°，∠B =30°∴AB=1AC ．又∵AD=AC∴BD=AC ． ∵1211S CF BD S AC EM 22=⋅=⋅， ∴12S S =．（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，ACN DCMCMD NAC CD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S1；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF1⊥BD，∵∠ABC=20°，F1D∥BE，∴∠F1F1D=∠ABC=20°，∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F1DB=90°，∴∠F1DF1=∠ABC=20°，∴△DF1F1是等边三角形，∴DF1=DF1，过点D作DG⊥BC于G，∵BD=CD，∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×20°=30°，BG=12BC=92，∴3∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF1=320°-150°-20°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 1， ∵在△CDF 1和△CDF 1中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDF 1≌△CDF 1（SAS ）， ∴点F 1也是所求的点，∵∠ABC=20°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×20°=30°， 又∵BD=33， ∴BE=12×33÷cos30°=3， ∴BF 1=3，BF 1=BF 1+F 1F 1=3+3=2， 故BF 的长为3或2．25．（1）；（2）列表见解析，. 【解析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果.试题解析：（1）P （摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下： 小华 小丽 -12-1 （-1，-1）（-1，0） （-1，2） 0（0，-1）（0，0）（0，2）2（2，-1）（2，0）（2，2）共有9种等可能的结果数，其中点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6， ∴P （点M 落在如图所示的正方形网格内）==.考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.26．（1）16、84°；（2）C ；（3）该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有3000（人） 【解析】 【分析】（1）根据百分比＝所长人数÷总人数，圆心角＝360︒⨯百分比，计算即可； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）用一半估计总体的思考问题即可； 【详解】（1）由题意总人数610%60÷＝＝人， D 组人数6061419516----＝＝人； B 组的圆心角为143608460︒⨯=︒； （2）根据A 组6人，B 组14人，C 组19人，D 组16人，E 组5人可知本次调查数据中的中位数落在C 组；（3）该校4500名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有404500300060⨯＝人． 【点睛】本题主要考查了数据的统计，熟练掌握扇形图圆心角度数求解方法，总体求解方法等相关内容是解决本题的关键.27．（1）50人；（2）补图见解析；（3）110. 【解析】分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得． 详解：（1）该班学生总数为10÷20%=50人； （2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8人， 补全图形如下：（3）列表如下：化学生物政治历史地理化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为21= 2010．点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．。
上海市南洋模范中学2020届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题1.若集合{}{}310,12A x x B x =+=-<，则A B =I _____． 【答案】1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出A B ，集合的x 的范围，求交集即可。
【详解】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A ＝{x |3x +1＞0}＝{x |x ＞﹣13}， B ＝{|x ﹣1|＜2}＝{x |﹣2＜x ﹣1＜2}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |﹣13＜x ＜3}， 故答案为：（﹣13，3）．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于简单题目。
2.若复数z 满足1ii z-=-，其中i 为虚数单位，则z =_____． 【答案】1i - 【解析】 【分析】先求出z =1+i ，则1z i =-。
【详解】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，则可求． 【解答】解：由1i z -＝﹣i ，得21i (1i)iz 1i i i--===+--， ∴1z i =-． 故答案为：1﹣i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．3.若函数()()11+02f x x =>的反函数为()1f x -，则不等式()12f x ->的解集为_____． 【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】 先求出()11()1fx x x -=>1-，即121x >-求解即可。
【详解】∵1()1f x x=+， ∴有11()(1)1f x x x -=>-， 则121x >-，必有x ﹣1＞0， ∴2（x ﹣1）＜1，解得1＜x 32<． 故答案为：31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 【答案】35x【解析】 【分析】T r +1＝（﹣1）r r7C x 7﹣2r ，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出【详解】7721711rr r r r r T x x x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣＝C ＝（﹣），r 必须偶数，分别令r ＝0，2，4，6，其系数分别为：1， 27C ,47C ,67C经过比较可得：r ＝4时满足条件， 415735T C x x-==故答案为：35x．【点睛】35x本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若4y =a ，最大值为b ，则2lim 34n nn nn a b a b →∞-=-_____．【答案】12【解析】 【分析】先求函数的定义，求出函数的最大值a 和最小值b ，代入求极限。
上海市徐汇区南洋模范中学2025届高考数学一模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=+-+-，不等式()22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．64．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈ ）A ．48B ．36C ．24D ．125．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?6．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤7．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞8．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S9．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题10．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞11．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94012．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市南洋模范中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题三、解答题(1)求证：CD ⊥平面11ABB A ；(2)若点P 在线段1B C 上，且直线1ACD 的距离.20．已知()00,P x y 是焦距为4条直线1l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于过P 作垂直的两条直线2l 和3l ，与是2a x .(1)求1212x x y y -的值；(2)求12OP P S 的最大值，并求此时双曲线(3)判断以AB 为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由21．设()y f x =是定义在区间(1,函数()y h x =，其中()h x 对任意的()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数(1)设函数()(2ln 1b f x x x x +=+>+（ⅰ）判断函数()y f x =是否具有性质()参考答案：设球的半径为R ，所以222222(1)(3)R OC OM MC R ==+=-+，解得2R =，所以外接球的半径为2.故答案为：2.10．π,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】构造()()sin g x f x x =-，确定函数为偶函数，确定函数的单调区间，变换得到()π2g t g t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即π2t t ->，解得答案.【详解】设()()sin g x f x x =-，则()()sin g x f x x -=-+，()()2sin f x f x x --=，即()()sin sin 2sin g x x g x x +--+=故()()g x g x =-，函数()g x 为偶函数，所以点A 的轨迹是以B '为圆心，则122OC OA OB λμλ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭又因为21λμ+=，所以点C 当OC AE ⊥情况下，直线AE 此时，sin OC OE B EA =⋅∠' 故答案为：13.12．5119,2,244⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【分析】由222(1)x a x a -++分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑求解即可【详解】222(1)5x a x a -+++22,Z 2x a k k ππππ-=+∈，可得()()12,2,0,1,0,3CB AC ==--.设平面1ACD 的法向量为(,,n x y z =则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022230x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令1x =，则3,1z y =-=，于是n = 设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈，则(12AP AC CP AC CB λλ=+=+=由于直线AP 与平面1ACD 所成角的正弦值为2212cos ,113(21)AP n λλλ-++∴=++⋅-双曲线的渐近线方程为y 不妨取11by x a =，则2y =点()00,P x y 在双曲线22x a 故21298x x a =，12b y y a =-故()22121298x x y y a b -=+（2）当12x x ≠时，1:l y -1212OP P OMP OMP S S S =+=△△△212908x x a =>，12,x x 同号，于是2228a b c +==，22a b +当且仅当2a b ==时max S 当12x x =时，11:l x x =，013b y x a =±，点P 在双曲线上，则当12x x =时，同样当且仅当综上所述：12OP P S 的最大值为（3）(0020220:x y l y y x a -=-。
上海市南洋模范中学2020届高三数学10月检测试题（三）（含解析）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1. 若实数a、b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是______________．【答案】．【解析】因为实数满足，解得的取值范围是，故答案为.2. 设是一元二次方程的两个实根，则的最小值为______________．【答案】8．【解析】根据题意得，即，或，，当时，，当时，，的最小值，故答案为.3. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(-1)=______________．【答案】-3．【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，所以当时，，又因为为定义在上的奇函数，所以，故答案为.4. 已知集合A={(x,y) |-2<y<1,x∈Z,y∈Z}，，则A⋂B的真子集的个数为______________．【答案】15．【解析】或，或，，所以集合的真子集的个数为，故答案为.5. 函数的单调递增区间是______________．【答案】．【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.6. 不等式的解集为______________．【答案】 )【解析】因为且，所以原不等式的解集是，故答案为.7. 已知二次函数的值域为[0, )，则的最小值为__________．【答案】4．【解析】因为二次函数的值域为，，，当且仅当时取等号，而，故答案为.8. 若三角方程有解，则实数m的取值范围是______________．【答案】．【解析】令，则，因为三角方程有解，所以直线与正弦曲线有公共点，，故答案为.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9. 若y=f(2x-1)是周期为t的周期函数，则函数y=f(x)的一个周期是______________．【答案】．【解析】若是周期为的周期函数，则，则，故的一个周期是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)；（2）；（3）.10. 已知若，则=______________．【答案】．【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为.11. 若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b)，则的值为______________．【答案】108．【解析】因为正数满足，，所以设，则，，故答案为 .12. 设集合中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M-m的值为______．【答案】．【解析】由题意得，，当且仅当时，等号成立，，，故答案为.13. 若函数f(x)=x2+a|x-1|在[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．【答案】．【解析】,要使在上单调递增，则，得，所以实数的取值范围是，故答案为...................【答案】．【解析】当时，，解得，当时，，解得，的阶周期点的个数是，当时，解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，的阶周期点的个数是…由依次类推，有个不同的解析式，f n(x) x的点有个，的阶周期点的个数是，故答案为.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15. 把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A. 如果，，那么B. 如果，那么C. 如果，，那么D. 如果，，那么【答案】D【解析】把下列命题中的“=”改为“>”, 对于选项，如果，那么，若时，不成立，对于选项，如果，那么，取时，不成立，对于选项，如果，取不成立，对于选项，如果，那么根据不等式的性质可知正确，故选D.16. 设p,q是两个命题，，，则p是q（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】可化为，可得，显然后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以是必要非充分条件，故选B.17. 定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，所以；当，所以；当，所以；所以当时，，故选D.18. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长,因此该函数的周期为.下面考查点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径旋转，再以为圆心，旋转,这时候以为半径,因此最终构成图象如下：所以两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积，故选A.三、解答题（本大题满分74分）19. 已知函数，且．(1) 求实数c的值；(2) 解不等式．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数求值时首先确定自变量的值对应的取值范围，进而代入相应的函数解析式；（2）解不等式时需分与两种情况分别代入函数式求解试题解析：（1）因为，所以；由，即，．（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．考点：分段函数求值及解不等式20. 已知函数．(1) 若，求x的取值范围；(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：（1）考虑对数函数的定义域，结合对数运算法则。
上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．25．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．36．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= _________ ．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为_________ ．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有_________ ．（写出所有真命题的序号）【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为_________ ．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为_________ ．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据函数的结构，列出条件：被开方式大于等于零，真数大于零，再解不等式组．解答：解：根据题意有，解得：0＜x≤3，所以函数的定义域为（0，3]，故选B．点评：本题考察函数定义域的求法，其中有一个对数不等式，注意其解法为将常数化为同底对数，利用函数的单调性解．2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答：解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i考复数的基本概念．点：专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．解答：解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，程序框图运行过程，总结规律，A的数值是2、、﹣1；并且以3为周期的关于i的函数，求出i=时的函数值即可．解答：解：根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=，∴A=﹣1，i=＞，输出A：﹣1；故选：C．点评：本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．3考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n项和公式表示出S1，S2，S3，然后根据S1，S2+a2，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S1，S2，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值．解答：解：∵S1，S2+a2，S3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+S3，又数列{a n}为等比数列，∴2（a1+2a1q）=a1+（a1+a1q+a1q2），整理得：a1q2﹣3a1q=0，又a1≠0，∴q2﹣3q=0，∵q≠0，解得：q=3．故选：D．点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：A，利用独立性检验的概念可判断A的正误；B，利用通过最小二乘法得到线性回归方程对应的直线=x+可知，直线=x+不一定经过其样本数据中的任何一点，从而可判断B的正误；C，利用残差图的统计意义可判断C的正误；D，利用回归分析中，相关指数R2的意义可知模型拟合的效果的好坏，从而可判断D的正误．解答：解：A，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；B，线性回归方程对应的直线=x+不一定经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的任何一个点，但一定经过样本中心（，），故B错误；C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；D，在回归分析中，相关指数R2为越大，越接近1，模型拟合的效果越好，故相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好，正确；综上所述，说法错误的是B，故选：B．点评：本题考查概率统计中变量间的相关关系，着重考查线性回归方程的理解与应用，考查残差图与相关指数R2的应用，属于中档题．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可得几何体是直三棱柱，画出几何体的直观图，判断三棱柱的高与底面三角形的各边长，代入直棱柱表面积公式计算．解解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，答：底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=3+．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣2，1）的斜率，由图象可知，当P位于B时，BD的斜率最大，P位于A时，斜率最小，由，解得，即B（1，3），由，解得，即A（4，1），则BD的斜率为，AD的斜率为0，则z=的取值范围为[0，]，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本思想．9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数是奇函数，我们可以根据奇函数的性质可将，不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0化为f（a﹣3）＜f （a2﹣9），再根据函数y=f（x）又是减函数，及其定义域为（﹣1，1），我们易将原不等式转化为一个不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数∴﹣f（x）=f（﹣x）又∵y=f（x）是减函数，∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0可化为：f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）即解得a∈故选：A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的应用、函数单调性的应用，利用函数的奇偶性和单调性，结合函数的定义域，我们将原不等式转化为不等式组是解答本题的关键．10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：根据“好集”的定义，分别进行判断即可．解答：解：（1）∵1，﹣1∈A，1﹣（﹣1）=2∉A，不满足性质②，∴（1）不正确；（2）∵有理数集Q满足性质①②，∴（2）正确；（3）∵0∈A，x、y∈A，∴0﹣y=﹣y∈A，∴x+y=x﹣（﹣y）∈A，∴（3）正确；（4）若集合A是“好集”，若x，y之一为0，则xy=0∈A，若x≠0，y≠0，则x﹣1，，∈A，则∈A，即x（x﹣1）=x2﹣x∈A，即x2∈A，则y2∈A，（x+y）2∈A，∵2xy=（x+y）2﹣（x2+y2），∴2xy∈A，则xy∈A，故（4）正确．（5）若集合A是“好集”，x≠0时，．，由x、y∈A，由（4）知，即，成立，所以（5）正确．故选C．本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力．点评：二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）= 5 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：本题考查数量积的运算，直接用公式与运算规则计算即可．解答：解：∵||=2，||=1，且，的夹角为60°，∴•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=4+1=5故答案为：5．点评：本题考查数量积的运算规则以及数量积公式，属于基本计算题，较易．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），则有：双曲线的方程为故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有②③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间直线与平面、平面与平面的位置关系对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，故①为假命题；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α（两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面），正确；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，这是面面垂直的判定定理，正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β（垂直于同一条直线的两个平面平行），正确；综上所述，真命题有②③④．故答案为：②③④．点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．掌握线面垂直、面面垂直与面面平行的判定与性质是正确判断的关键，属于中档题．【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为（）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：将直线的极坐标方程化为普通方程，代入圆的参数方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标．解答：解：直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）可化为直角坐标方程：y=1，将其代入曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），得到sinα=0，cosα=1，即交点的直角坐标为（1，1），由于ρ2=2，tanθ=1，故极坐标为（）．故答案为：（，）点评：本题主要考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查基本的运算能力．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等即可得出．解答：解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴．∵△APB∽△DCP，∴．∴cos∠APB=cos（90°+∠DAP）=﹣sin∠DAP=﹣．故答案为．点评：熟练掌握圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由a，b，cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据用列举法概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．最大数为90，最小值为65，故极差为25乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．最大数为95，最小值为67，故极差为28（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P==．点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了茎叶图和众数、中位数、平均数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面VAB的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）要证AB⊥平面VCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AB垂直与平面VCD的两条相交直线即可；（Ⅱ）依据V V﹣ABC=V C﹣V AB，利用等体积法即可得到点C到平面V AB的距离为．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=a∴△ACB是等腰三角形，又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，又∵CD∩VC=C∴AB⊥平面VCD．（Ⅱ）设点C到平面V AB的距离为h，据V V﹣ABC=V C﹣V AB即，得h=，所以点C到平面V AB的距离为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得首项和公比即得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=①…（2分）由a1+a2+a3=得a1+a2=②，…（3分）由①②得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解的q=3，或q=…（5分）由a n+1＜a n得{a n}是递减函数，故q=3舍去，…（6分）∴q=，又由a2=，得a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）…（7分）（2）由（1）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+…（8分）T n=+++…++…（9分）两式作差得T n=1++++…+﹣，…（10分）=1+2•﹣=2﹣﹣…（13分）∴T n=3﹣…（14分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力及方程思想的运用能力，属中档题．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．考点：轨迹方程；三点共线；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意结合椭圆定义得到2a+2c=12，从而求出a，再结合c=2求得b，则椭圆方程可求；（2）直接由动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为列式求点Q的轨迹E的方程；（3）设P（x0，y0），写出PA和PB的斜率，结合P在椭圆上及4k1=3k2得到k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，由此可得k QA•k2=﹣1，从而得到PA和QA所在直线的斜率相等，再由两直线有公共点A，可得A，P，Q三点共线．解答：（1）解：由椭圆C的焦点为F1（﹣2，0）得c=2，又由椭圆的定义得△PF1F2的周长为2a+2c=12，解得a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，即所求椭圆的方程为；（2）解：由题意得，∵，，∴，化简得：x2+y2=16，经检验得轨迹E的方程为x2+y2=16；（3）证明：由（1）知A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0），则，∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，即，∴，∴，又∵4k1=3k2，∴k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，∴k QA•k2=﹣1，∴k PA=k QA，又直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了曲线轨迹方程的求法，训练了平面内三点共线的证明方法，体现了整体运算思想方法，是压轴题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ 的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的导数，根据在x=1与x=处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．（2）要使函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．（3）利用反证法证明结论即可．解答：（1）解：y=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+2x，记h（x）=lnx﹣ax2+2x，则h′（x）=﹣ax+2…（2分）∵依题意h（x）在x=1与x=处的切线互相平行，∴h′（1）=h′（），即﹣a+3=﹣+4，解得a=﹣2…（3分）此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）（2）解：∵函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，∴h′（x）≤0在区间（，1）上恒成立；…（5分）即﹣ax+2≤0，即a≥在区间（，1）上恒成立；…（6分）∴a≥（）max，∵x∈（，1），∴∈（1，3），∴=≤15，∴a≥15，即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）（3）证明：f′（x）=，g′（x）=ax﹣2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），x1＞x2，＞0，则存在a使得f′（）=g′（），即=（x1+x2）﹣2，…（9分）∴=（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）=y1﹣y2=lnx1﹣lnx2=ln不妨设=t＞1…（12分）则方程=lnt存在大于1的实根，设φ（t）=﹣lnt，则φ′（t）=＜0，∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．…（14分）点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。
高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（ ）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（ ）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（ ）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b 的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b ，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.关于三个不同平面α，β，γ与直线l，下列命题中的假命题是（ ）A. 若α⊥β，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD. 若α⊥β，则α内所有直线垂直于β2.在一次化学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 1003.已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若全集为实数集R，，则∁R M=______6.抛物线的准线方程为______．7.关于x方程=0的解为______ ．8.函数f（x）=2sin x+1，的反函数f-1（x）=______9.函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______10.若，则二项式（x-2a）10展开式的系数和是______11.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足，，则的取值范围是______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20.如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a=，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2所截得弦长的最大值．21.给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i=max{a1，a2，…，a i}；该数列后n-i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i=min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i=A i-B i（i=1，2，3，…，n-1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50名学生成绩的平均分为82分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k=时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：,∴直线l:与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球相邻共有种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有--+=48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵；∴．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x=或x=，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∵，∴x=，把x与y互换，可得f-1（x）=，x∈[1，3]．故答案为：，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x==，所以f（x）的周期T=，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴===，∴a=，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），其底面积：S=×2×1+=，高h=3，故棱锥的体积V==，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率-＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点B时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+=1，将代入到x2+=1并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1=0，t2=-，∴|t1-t2|=故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log a x的图象在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log a x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，∴-1=log a4，∴a=．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足，，且x2+y2=4；则：+=（x，1+y）；-=（-x，1-y）；则=+转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2=2；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA1∥BB1，AB⊥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A1B1==2，又AB1==2，∴，∴AB1⊥A1B1，,,即即AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，-，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（-，1，0），∴cos===．设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B=cos[（A-B）+B]=cos A=，∴sin A==；（2）由正弦定理可得，∴sin B===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=-7（舍去），故向量在方向上的投影为cos B=c cos B=1×=．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A=，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）=，则f（x）=≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）=在（0，500）上单调递减，所以x=400时，f（x）取最小值为f（400）=，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a-）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）=，利用对勾函数性质求出最值即可．20.【答案】解：（1）由a=，得c=，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=，故此时的切线长|PT|=；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，可得=，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，半径r=1-c，则直线l被圆F2所截得弦长为L=2=，设1-c=t，则0＜t≤，又=，∴当t=时，的最小值为，。
