2015年上海中学自招数学试卷及答案解析

/////////////////2015年复旦分校自主招生测试题数学试题1、若4,129x y z xy y +=+=+-，求32x y z ++。

2、若抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、，与y 轴交于C ，且三角形ABC 是直角三角形，求ac 。

3、正方形DEFG EHLB NMKL 、、，边长分别为c a b 、、，求a b c 、、，满足的关系式。

4、若不等式组1252x x x a <->⎧⎪⎨-<<⎪⎩或只有整数2-一个解，求a 的取值范围。

5、若2(1)2(1)0a x x a -+-+=的根都是整数，则整数a 的取值范围？6、已知：Rt ABC ∆，3,4,BC AC D ==为AB 上一动点，作DE BC ⊥，求EF的最小值。

7、从1,2,...,100中取两个不同的数，使两数之和大于100，则有______种不同取法。

8、若12...n x x x 、、、只能取2,0,1-，且满足12...17,n x x x ++=-+22212...37,n x x x ++=+则33312..._______n x x x +++=。

9、已知：等腰ABC ∆，两圆外切且都与AB AC 、相切，两圆半径为1和2，求ABC ∆的面积。

10、已知：正五边形1AG =，_____FG JH DC ++=。

11、已知ABC ∆外接于O ，且AO BC ⊥，垂足为D ，且AB BC=(1)证明：ABC ∆是正三角形；(2)若1,=,,AB AE x PE y ==求y 关于x 的解析是及定义域；(3)在(2)的条件下，,PAC EPC αβ∠=∠=，当y 取何值时，22sin sin 1αβ+=。

12、(1)当04x <<，解22[]0x x x --=；(2)求所有实数x ，使3[]43x x =+。

上海中考数学试卷答案与解析Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）（2015?上海）下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．0考点：实数．分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．解答：解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．点评：此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）（2015?上海）当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0=1B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a =考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．解答：解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=，故此选项错误；C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a =（a＞0），故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）（2015?上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=考点：正比例函数的定义．分析：根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．解答：解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数，故C选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分）（2015?上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点：多边形内角与外角．分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．解答：解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．点评：本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）（2015?上海）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率考点：统计量的选择．分析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．解答：解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，故选C．点评：本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）（2015?上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．A D=BD B．O D=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB考点：菱形的判定；垂径定理．分析：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．解答：解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．（4分）（2015?上海）计算：|﹣2|+2= 4 ．考点：有理数的加法；绝对值．分析：先计算|﹣2|，再加上2即可．解答：解：原式=2+2=4．故答案为4．点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）（2015?上海）方程=2的解是x=2 ．考点：无理方程．分析：首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程=2的解是多少即可．解答：解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是：x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．（4分）（2015?上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3 ．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．解答：解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．10．（4分）（2015?上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4 ．考根的判别式．点：分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（4分）（2015?上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77 ℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．点评：本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）（2015?上海）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3 ．考点：二次函数图象与几何变换．分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．解答：解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）（2015?上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考点：概率公式．分由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答析：案．解答：解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015?上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）1112131415人数55161512那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是14 岁．考点：中位数．分析：一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列，第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解答：解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）（2015?上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为﹣．考点：*平面向量．分析：由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解答：解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015?上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=度．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．解答：解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=°．故答案为：．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）（2015?上海）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）考圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．点：专题：开放型．分析：首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）（2015?上海）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE 的长等于4﹣4 ．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．解：作CH⊥AE于H，如图，解答：∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．故答案为4﹣4．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）（2015?上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）（2015?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（10分）（2015?上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的析：坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值；（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式．解解：∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，答：∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2），设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的解得的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）（2015?上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长（精确到1米）（参考数据：≈）考点：解直角三角形的应用；勾股定理的应用．分析：（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．解答：解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH 中，DH=AH?cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×=≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．点本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用评：适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（12分）（2015?上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BDCE=CDDE．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，解答：∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△CDE，∴，∴BDCE=CDDE．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．24．（12分）（2015?上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P 的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．考点：二次函数综合题．分（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的析：坐标，再把点A的坐标代入y=ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m ，再根据=，求出OC；（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠P AD的正弦值．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，解答：∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；（3）∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m 1=﹣1（舍去），m 2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°， ∴sin∠PAD=sin45°=．点评： 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．25．（14分）（2015?上海）已知，如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD∥AB，动点P ，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ=OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C ，D 不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x ，△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP=OQ ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．圆的综合题．考点：（1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；分析：（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到=AO?PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析S△AOP式；（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．解：（1）连接OD，解答：在△AOP和△ODQ中，，∴AP=OQ；（2）作PH⊥OA，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，=AO?PH=3x，∴S△AOP又∵△PFC∽△PAO，∴==（）2，整理得：y=（＜x＜10）；（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO?cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，∠AOQ=∠DQO=∠APO，即∠OEP=∠COA，此种情况不存在，∴线段OP的长为8．点评：本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．。

上海市2015年初中毕业统一学业考试数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．0答案：D 【解析】本题考查有理数的概念，难度较小．整数与分数统称有理数，0是整数，所以有理数为D，故选D．2．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0＝1 B．a－1＝－a C．(－a)2＝－a2D．答案：A 【解析】本题考查幂的相关运算，解题关键在于理解相关运算法则，难度较小．a0＝1(a≠0)，；；(－a)2＝a2；，所以正确的只有A，故选A．3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y＝x2B．C．D．答案：C 【解析】本题考查正比例函数的概念，难度较小．A选项中，y是关于x的二次函数；B选项中，y是关于x的反比例函数；C选项中，y是关于x的正比例函数；D选项中，y是关于x的一次函数，故选C．4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B 【解析】本题考查正多边形中角的相关计算，难度较小．360°÷72°＝5，所以此多边形为正五边形，故选B．5．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率答案：C 【解析】本题考查统计量的特征，难度较小．平均数、众数是表示数据集中趋势的统计量，方差是衡量一组数据的波动程度的量，频率是表示数据出现次数的统计量，故选C．6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB答案：B 【解析】本题考查菱形的判定条件、圆中的相关概念及性质，难度较小．若使四边形为菱形，只需要证明两条对角线互相垂直平分即可．此题的条件中已有OC⊥AB，根据圆的性质可以证明AD＝BD，只要添加的条件能够证明CD＝OD即可，故选B．【易错分析】由于对菱形的判定方法掌握不准确而错选A，C，D．第Ⅱ卷（非选择题共126分）二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．请把答案填在题中的横线上）7．计算：|－2|＋2＝________．答案：4 【解析】本题考查有理数的计算，解题的关键在于绝对值的化简，难度较小．原式＝2＋2＝4．8．方程的解是________．答案：2 【解析】本题考查含二次根式的方程的解法，难度较小．两边平方化为整式方程3x－2＝4，解得x＝2，经检验x＝2是方程的解．9．如果分式有意义，那么x的取值范围是________．答案：x≠－3 【解析】本题考查分式有意义的条件，难度较小．分式有意义的条件是分母不为0，所以x＋3≠0，解得x≠－3．10．如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是__________．答案：m＜－4 【解析】本题考查一元二次方程根的讨论，难度较小．一元二次方程没有实数根，则Δ＝b2－4ac＝42＋4m＜0，解得m＜－4．11．同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．答案：77 【解析】本题考查华氏温度与摄氏温度的换算，根据两者间的函数关系式代入计算即可，难度较小．把x＝25代入函数解析式计算即可，．12．如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是________．答案：y＝x2＋2x＋3 【解析】本题考查二次函数的图象的平移，难度较小．解题的关键在于确定二次函数与y轴交点的纵坐标，两个函数交点纵坐标的差即为平移的距离．原抛物线与y轴的交点为(0，－1)，新交点坐标为(0，3)，相差4个点，所以需要将原抛物线向上平移4个单位，所得到的关系式为y＝x2＋2x－1＋4＝x2＋2x＋3．13．某校学生会倡议双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是________．答案：【解析】本题考查概率的计算，难度较小．从50位同学中随机抽取7位同学，小杰被抽到的概率是．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是________岁．答案：14 【解析】本题考查中位数的确定，难度较小．中位数为一组数据从小到大排列位于最中间的一个数或两个数的平均数，”科技创新社团”共有53人，位于最中间的是第27人，年龄位于第27位的是14岁，所以成员年龄的中位数是14岁．15．如图，已知在△ABC中，D，E分别是边AB，边AC的中点，，那么向量用向量m，n表示为________．答案：【解析】本题考查用向量表示线段，难度中等．向量与向量的方向不同，所以D点的方向应为负，点D处于的中点，所以向量的起点是，点E处于的中点，所以向量的终点是，所以向量用向量m，n表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．答案：22.5°【解析】本题考查正方形的性质及三角形全等的判定，难度中等．因为EF ⊥AC于点E，所以∠AEF＝∠ADF＝90°，因为AE＝AD，AF＝AF，所以△AEF≌△ADF，所以∠DAF＝∠EAF．因为∠DAC＝45°，所以∠DAF＝22.5°．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B 在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于________（只需写出一个符合要求的数）．答案：14（答案不唯一，任意大于13且小于18的数均可）【解析】本题考查圆与圆，点与圆的位置关系，难度较大．由于⊙B过点A，所以⊙B的半径为5，由勾股定理得BD＝13，DE＝18．由于⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，所以⊙D的半径r满足13＜r＜18．18．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于________．答案：【解析】本题考查三角形中长度的相关计算，难度中等．作DF⊥CE于点F，由题意知∠BAC＝∠DAC＝30°，因为AB＝AC，所以∠B＝∠ACB＝∠ACD＝75°，所以∠ECD＝30°，所以∠E＝45°，△ACE∽△CDE，设EF＝DF＝x，则，，CD＝2x．所以，所以，解得，所以．三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分10分）先化简，再求值：，其中．答案：（本小题满分10分）本题考查分式的化简求值，难度较小．解：．当时，．20．（本小题满分10分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．答案：（本小题满分10分）本题考查一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，难度较小．解：由4x＞2x－6得x＞－3．由得x≤2，∴原不等式组的解集是－3＜x≤2．21．（本小题满分10分）已知：如图：在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．答案：（本小题满分10分）本题考查一次函数与反比例函数的应用，涉及数形结合思想及线段垂直平分线的性质，难度中等．解：（1）∵正比例函数的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标是(3，4)．∵反比例函数的图象经过点A，∴m＝12，∴反比例函数的解析式为．（2）∵AC＝AB，∴点A在线段BC的中垂线上，∵BC∥x轴，点C在y轴上，点A的坐标是(3，4)，∴点B的横坐标为6．∵点B在反比例函数的图象上，∴点B的坐标是(6，2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴∴直线AB的表达式为．22．（本小题满分10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高架道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：）答案：（本小题满分10分）本题考查通过解直角三角形解决实际问题，解题的关键在于根据题意确定需要求解的直有三角形，难度中等．解：（1）连接AP，由题意得AH⊥MN，AH＝15，AP＝39．在Rt△APH中，由勾股定理得PH＝36．答：此时汽车与点H的距离为36米．（2）由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，QC⊥AB，∠QDC＝30°，QC＝39．在Rt△DCQ中，DQ＝2QC＝78．在Rt△ADH中，．∴PQ＝PH－DH＋DQ≈114－15×1.7＝88.5≈89．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长．23．（本小题满分12分）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE．答案：（本小题满分12分）本题考查平行四边形的性质及三角形相似的判定及性质，难度中等．证明：（1）∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∴OB＝OD．∴OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，在△BDE中，∵∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，∴∠BED＝90°，即DE⊥BE．（2）∵OE⊥CD，∴∠CDE＋∠DEO＝90°．又∵∠CEO＋∠DEO＝90°，∴∠CDE＝∠CEO．∵∠OBE＝∠OEB，∴∠OBE＝∠CDE．∵∠BED＝∠DEC，∴△DBE∽△CDE，∴，∴BD·CE＝CD·DE．24．（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2－4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的表达式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当时，求∠PAD的正弦值．答案：（本小题满分12分）本题考查二次函数，相似三角形，三角函数的综合应用，解题关键在于根据题意确定相似三角形，难度较大．解：（1）由抛物线y＝ax2－4与y轴相交于点B，得点B的坐标为(0，－4)．∵点A在x轴的负半轴上，，∴点A的坐标为(－2，0)．∵抛物线y＝ax2－4与x轴相交于点A，∴a＝1，∴这条抛物线的表达式为y＝x2－4．（2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2－4)．由题意，得点P在第一象限内，因此m＞0，m2－4＞0．过点P作PH⊥x轴，垂足为点H．∵CO∥PH，∴，∴，解得CO＝2m－4．（3）过点P作PG⊥y轴，垂足为点G．∵OD∥PG，∴，∴，即，在Rt△ODC中，∵，∴，解得m＝3或m＝1（舍去），∴CO＝2．在Rt△AOC中，，∴，即∠PAD的正弦值为．25．（本小题满分14分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB＝20，．设OP＝x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP＝OQ；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．答案：（本小题满分14分）本题考查圆与全等三角形，相似三角形，三角函数，直角三角形的判定及性质，涉及分类讨论，数形结合等多种思想方法，难度较大．解：（1）证明：连接OD．∵CD∥AB，∴∠C＝∠AOP．∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∴∠AOP＝∠D．又∵AO＝OD，OP＝DQ，∴△AOP≌△ODQ，∴AP＝OQ．（2）∵CD∥AB，∴∠CFP＝∠A．∵△AOP≌△ODQ，∴∠A＝∠DOQ，∴∠CFP＝∠DOQ．又∵∠C＝∠D，∴△CFP∽△DOQ，∴．过点O作OH⊥CD，垂足为点H．∵，，∴CH＝8，OH＝6，CD＝16．∴，∵CP＝10－x，∴，∴所求函数的解析式为，即，定义域为．（3）∵CD∥AB，∴∠EOA＝∠DQO．又∵∠A＝∠DOQ，∴∠AEO＝∠D≠90°．∴当△OPE是直角三角形时，只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90°．①∠POE＝90°时，在Rt△OCQ中，，∴．∵CD＝16，∴．∵，∴不合题意，舍去．②当∠OPE＝90°时，得∠DQO＝∠OPA＝90°，∴点O为CD的中点，∴．综上所述，当△OPE是直角三角形时，线段OP的长是8．综评：本套试卷难度适中，知识覆盖面广，覆盖数与代数，空间与图形，统计与概率，综合与实践四大领域，能正确反映课程标准对考生“四基”“四能”的考查要求，试题多数为常规题，从而让不同的考生都能获得比较满意的成绩，个别试题具有一定的难度，用于区分不同层次考生对数学知识的掌握程度，具有较好的区分度．本卷中的特色题：反映函数与方程思想的题有第11，25题；反映数形结合思想的题有第15，16，17，21，22，24，25题；反映分类讨论思想的题有第25题；与实际生活联系紧密的试题有第11，13，14，22题；较难的题有第18，24，25题．。

2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。

为任意锐角），则。

、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。

上海市中考数学试卷(2015)一、选择题Ca=y=y=y=6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）二、填空题7．计算：|﹣2|+2=．8．方程=2的解是．9．如果分式有意义，那么x的取值范围是．10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．成员年龄的中位数是岁．15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD 于点F，那么∠FAD=度．17．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC 的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．三、解答题19．先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．25．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．参考答案与试题解析一、选择题C：a=，故此选项错误；a=y=y=y=6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）二、填空题8．方程=2的解是x=2．解：∵=∴方程9．如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．211．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某×12．如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达213．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．成员年龄的中位数是14岁．15．如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为﹣．解：∵=，==﹣=﹣，==（﹣）﹣．故答案为：﹣．16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD17．在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D18．已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC 的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，4ACB=（=CH=CH=4，）﹣﹣三、解答题19．先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．•﹣﹣，x==20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．在数轴上表示不等式组的解集为：21．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．xy=的图象经过点；由题意得，，解得，﹣x+622．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）PH===15==781523．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．BO=BD24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．AB=2OA==，=，ODC==，OD=OC===，=25．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．AOC=，OH=PO=xAO=）＜=，（舍）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． （1）【2015年上海，理1】设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】根据题意，可得{}|32U B x x x =><或ð，故{}1,4U A B =ð．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．（2）【2015年上海，理2】若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】11i 42+【解析】设()i ,z x y x y R =+∈，根据题意，有i z x y =-，可把31i z z +=+化简成33i i 1i x y x y ++-=+，对于系数相等可得出11,42x y ==，11i 42z ∴=+．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．（3）【2015年上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】根据增广矩阵的定义可以还原成方程组12230x y c y c +=⎧⎨+=⎩把35x y =⎧⎨=⎩代入，可得1221,5c c ==，1216c c ∴-=．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． （4）【2015年上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = ． 【答案】4【解析】根据正三棱柱的体积计算公式31=42V h S a a a =⋅⨯⨯===底．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． （5）【2015年上海，理5】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q 运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离的最小，所以有min 1,22pQP p ==⇒=．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． （6）【2015年上海，理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π【解析】设这个圆锥的母线长为'h ，底面半径为r ，母线与轴的夹角为θ，所以'1=2S l h ⋅⋅侧，而过轴的截面是一个三角形，故122S r h =⋅⋅轴，有h ='122122l h S S r h π⋅⋅==⋅⋅侧轴，''2,h h h h r ⇒=，'sin 3r h πθθ=∴=． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．（7）【2015年上海，理7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】由条件可得()111195032095432x x x x ----⎧->⎪⎪->⎨⎪-=-⎪⎩()()()2111134330,33310x x x x ----⇒-⋅+=--=，1133,2,31,1x x x x --=⇒==⇒=，所以1x =或2x =，检验后只有2x =符合．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． （8）【2015年上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 ．（结果用数值表示） 【答案】120【解析】解法一：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4，所以有142332363636456015120C C C C C C ++=++=． 解法二：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． （9）【2015年上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y = 【解析】设点P 和Q 的坐标为(),x y 、()00,x y ，则有002x x y y =⎧⎨=⎩，又因为1C 的渐近线方程为y =，故设1C 的方程为223x y λ-=，把P 点坐标代入，可得22034x y λ-=，令0λ=，20y ⇒±=即为曲线2C 的渐近线方程，即y x =． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．（10）【2015年上海，理10】设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】通过分析，我们可得函数()222x x f x -=+在定义域[]0,2上是单调递增的，且值域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域以及反函数与原函数的单调性相同，可得()1f x -的定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，值域为[]0,2，又原函数与反函数的公共定义域为124⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故()()1m a x m a x m a x 224y f f -=+=． 【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．（11）【2015年上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ．（结果用数值表示）【答案】45【解析】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭中要得到2x 项的系数，肯定不能含有20151x 项，故只有()()010100102015111C x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而对于()101x +，2x 项的系数为28210145C x =． 【点评】本题考本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．（12）【2015年上海，理12】赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= ．（元） 【答案】0.2【解析】由题可知，()()()()222222255544332211.4,2.8, 4.2, 5.610101010P P P P C C C ξξξξ===========，所以，ξ和的分布列分别为：()121123453, 1.40.4 2.80.3 4.20.2 5.60.1 2.85E E ξξ=++++==⨯+⨯+⨯+⨯=，即有120.2E E ξξ-=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键． （13）【2015年上海，理13】已知函数()sin f x x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】对任意的,i j x x ，()()()()max min 2i j f x f x f x f x -≤-=，欲使m 取最小值，尽可能多的让()1,2,,i x i m =取最值点，考虑到1206m x x x π≤<<<≤，()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照右图所示取值可以满足条件，所以m 的最小值为8． 【点评】本题主要考察正弦函数的图像，数形结合是本题关键．（14）【2015年上海，理14】在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．【答案】1615-【解析】由题可知，cos cos EDF A ∠=-，122ABD S AB DE ∆==，142ACD S AC DF ∆==，1sin 62ABC S AB AC A ==，所以4DE AB =，8DF AC =，12sin AB AC A = 4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC⋅=⋅∠=-=-，化简可得28442tan 16sin cos sin 23331tan 15A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分． （15）【2015年上海，理15】设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】充分性不成立，如11i z =+，22i z =+，121z z -=-不是虚数；必要性成立，采用反证法，若12,z z 全不是虚数，即12,z z 均为实数，则12z z -比为实数，所以12z z -是虚数，则12,z z 中至少有一个数是虚数，故选B ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键． （16）【2015年上海，理16】已知点A的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐 标为（ ）（A（B（C ）112 （D ）132【答案】D【解析】以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(),A ρθ，则,3B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且s i n 1ρθ=，cos ρθ=，B的纵坐标为：1113sin sin cos 3222πρθρθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，故选D ． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． （17）【2015年上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） （A ）方程①有实根，且②有实根 （B ）方程①有实根，且②无实根（C ）方程①无实根，且②有实根 （D ）方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】方程③无实根，则233160a ∆=-<，又2114a ∆=-，2228a ∆=-，当123,,a a a 成等比数列时，2213a a a =，即有2231a a a =，由30∆<得22223116160a a a ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即422116a a <，当方程①有实根，且②无实根时，214a >，228a <，可以推出42216416416a a <<⨯<，故选B ．【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．（18）【2015年上海，理18】设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极 限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ） （A ）1- （B ）12- （C ）1 （D ）2【答案】A【解析】采用极限思想求解当n →∞时，直线()*21nx y n N n -=∈+趋向于21x y -=，直线与圆的交点趋向于()1,1P ，1lim 1n n n y x →∞--可以理解为过点()1,1P 所作的圆的切线的斜率k ，设切线方程为()11y k x -=-，结合d r ==1k =-，即1lim11n n ny x →∞-=--，故选A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2015年上海，理19】（本小题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点 共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小．解：由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面．连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所 以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等．设1A B与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFB A EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF ==1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为． 【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型；本题也可采用空间向量解决．（20）【2015年上海，理20】（本小题满分14分）如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地． （Ⅰ）求1t 与()1f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由．解：（Ⅰ）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()18f t =． ……6分 （Ⅱ）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t单调递减，此时函数的值域为3,58⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t上的值域为⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3． ……14分【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题． （21）【2015年上海，理21】（本小题满分14分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,C x y ．用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值．解：（Ⅰ）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况：①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d =所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=-综合①②点C 到直线1l，平行四边形ACBD 的面积为12212x y x y -． ……6分（Ⅱ）解法一：易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得：12122x x y y =-， 又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=，()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=． ……14分 解法二：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为12k -，设直线1l 的方程为y kx =，联立方程组2221y kx x y =⎧⎨+=⎩，消去y 解得x =1x =1y =，同理可得2x=，2y =，所以12212S x y x y =-=． ……14分 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题． （22）【2015年上海，理22】（本小题满分16分）已知数列与满足．（Ⅰ）若，且，求的通项公式；（Ⅱ）设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；（Ⅲ）设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且． 解：（Ⅰ）由可得：，又，所以数列为以1为首项，6为公差的等差数列，即有． ……4分 （Ⅱ）由可得：将上述式子累加可得，当时，也成立，所以，由此可得，由于为常数，所以当的第项是最大项时，最大，即的第项是最大项． ……10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，即，结合可得，分三种情况进行讨论：①当时，则为偶数时，为奇数时，即有，，此时，由此，此情况不符合条件；{}n a {}n b ()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈35n b n =+11a ={}n a {}n a 0n ()0*N n n a a n ≥∈{}n b 0n ()*10,N n n a b n λλ=<=∈λ{}n a M m ()2,2Mm∈-35n b n =+()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈11a ={}n a ()*65N n a n n =-∈()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈()21212a a b b -=-()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥()()1122n n a a b b n -=-≥1n =()()*112N n n a a b b n -=-∈111122n n b a b a =+-1112b a -{}n a 0n 111122n a b a +-{}n b 0n ()()*112N n n a a b b n -=-∈1122n n a b a b =+-1,n n a b λλ==2n n a λλ=⋅-1λ=-n 3n a =n 1n a =-3M =1m =-()32,2Mm=-∉-②当时，则为偶数时，，由于，所以，从而随着增 大值减小，此时，，无最小值（无限靠近0）；为奇数时，，此时，由于，所以，从而随着增大值减小，结合，可知随着增大值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<；③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n 增大值增大，此时0n λ>，()2minn λλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件；综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． ……16分【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（Ⅲ）的求解运用了极限思想方法，是中档题．（23）【2015年上海，理23】（本小题满分18分）对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为，设单调递增，()00f =，()4f T π=．（Ⅰ）验证是以为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设，证明对任意，存在，使得；（Ⅲ）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有．解：（Ⅰ）()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数． ……4分（Ⅱ）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕． ……10分（Ⅲ）先证必要性：0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解；再证充分性：0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+．()1,0λ∈-n ()nn λλ=-()1,0λ∈-()0,1λ-∈n λn 0n λ>()2maxn λλ=n 0n λ<()nn λλ=--()1,0λ∈-()0,1λ-∈()nλ-n ()nn λλ=--n n λR ()g x T ()cos g x T ()g x T ()f x T R ()f x ()sin3xh x x =+6πa b <()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦[]0,x a b ∈()0f x c =0u cos ()1f x =[]0,T 0u T +cos ()1f x =[],2T T []0,x T ∈()()()f x T f x f T +=+由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有cos ()cos ()0f x f x T -+=， 所以()()()()2sin sin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈，所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈．①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =． 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去； ②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+．由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+． ……18分【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由()cos 1f x =能得出()2,f x kx k Z =∈，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．。

2015年高三数学高校自主招生考试真题分类解析2 复数、平面向量一、选择题。

1．(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是A.焦距为4的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为2的椭圆D.焦距为的椭圆2．(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是A.−i B.1−i C.1+i D.i3．(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量, ,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为A.±2B.2C.0D.0,−24．(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)= A.± B.,C.±D.,5．(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是A. B. C. D.6．(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),(, ),(, ),(−1,0),(, )和(,),问在向量(i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是A.9B.15C.18D.307．(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(, )是将向量(1,1)经过A.顺时针旋转60°所得B.顺时针旋转120°所得C.逆时针旋转60°所得D.逆时针旋转120°所得8．(2011年复旦大学)设有复数=, =+isin ,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2 011=B. C. D.A.ω9．(2011年复旦大学)将复数z=(sin 75°+isin 15°)3 (其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是A.+ iB.+ iC. D.10．(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有A.τστ=σB.τστ=σ−1C.τσ=στD.τστσ=σσ11．(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为A.−1B.2−C.+1D.2+12．(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为A. B. C. D.13．(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,a•b=m,则(t∈R)的最小值为A.2B.C.1D.14．(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为A. B. C. D.15．(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且= ,则|z|=A. B. C. D.16．(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则A.a⊥eB.a⊥(a+e)C.e⊥(a+e)D.(a+e)⊥(a−e)17．(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是A.一条直线B.一条线段C.一个圆D.一段圆弧二、填空题。

掌门1对1教育 初中数学一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………（ ）. A 、2； B 、34； C 、π； D 、0． 【答案】D考点：有理数和无理数的概念.2、当0a >时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………（ ）. A 、01a =； B 、1a a -=-； C 、22()a a -=-； D 、1221a a=． 【答案】A 【解析】试题分析：选项B 应为：11a a-=；选项C 应为：22()a a -=；选项D 应为：12a a =.考点：幂的基本运算.3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为……………………………………（ ）. A 、2y x =； B 、2y x =； C 、2x y =； D 、12x y +=． 【答案】C考点：基本初等函数的定义与判断.4、如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是……………（ ）. A 、4； B 、5； C 、6； D 、7． 【答案】B 【解析】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725÷=.考点：正多边形的中心角定义及求法.5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是………………………………（ ）. A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率． 【答案】C 【解析】试题分析：平均数表示一组数据的平均程度，众数表示一组数据中出现次数最多的数，反映数据的聚散程度，而方差和标准差反映是一组数据的波动程度. 考点：基本统计量的意义.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是…………………………………………（ ）.A 、AD BD =；B 、OD CD =；C 、CAD CBD ∠=∠； D 、OCA OCB ∠=∠．D CBAO【答案】B考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.二、填空题：(每题4分，共48分)7、计算：22-+=_______． 【答案】4 【解析】试题分析：22224-+=+=.考点：1.绝对值的定义；2.有理数的基本运算. 8、方程322x -=的解是_______________． 【答案】2x =考点：解无理方程. 9、如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是____________． 【答案】3x ≠- 【解析】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故30x +≠，解得3x ≠-. 考点：分式有意义的条件.10、如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．【答案】4m <-考点：根的判别式.11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是9325y x =+，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉． 【答案】77 【解析】试题分析：将25x =代入9325y x =+，得92532775y =⋅+=，故华氏度数为77F . 考点：求代数式的值.12、如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】223y x x =++考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．[来源学科网]【答案】750【解析】试题分析：根据题意中“随机抽取”，可知为等可能事件，将数据代入概率公式：750n P N ==. 考点：等可能事件的概率公式.14、已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．[来源:Z+xx+]【答案】14 【解析】试题分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大排列好之后，位于最中间的那个数据即为中位数.题中共有53人，故中位数应该是从小到大排在27位的那个数，为14. 考点：基本统计量中位数的定义.15、如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m = ，AC n =，那么向量DE 用向量m、n 表示为______________．【答案】1122m n -+考点：平面向量的基本运算.16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么FAD ∠=________度． 【答案】22.5 【解析】年龄(岁) 11 12[om]13 14 15 人数5516 15 12试题分析：作出简图，B CAD EF 由题意知，ADF ∆≌AEF ∆（HL ），故12FAD FAE DAE ∠=∠=∠，因为AC 是正方形的对角线，故45DAE ∠=，故22.5FAD ∠=. 考点：1.正方形的性质；2.全等直角三角形的判定；3.全等三角形的性质.17、在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在B 上．如果D 与B 相交，且点B 在D 内，那么D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数) 【答案】14（答案不唯一，只要大于13，小于18即可）考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.圆相交的性质.18、已知在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 【答案】434- 【解析】试题分析：？30°30°888F E ABCD如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CF AE⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，43AF =，故843DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠= ，故45E ∠= ，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(843)434DE EF DF =-=--=-.考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．【答案】化简得12x +，代入求值得21-考点：1.分式的化简；2.代数式求值. 20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：【解析】试题分析：根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再在数轴上表示出解集，取其公共部分，即为不等式组的解集.端点取不到时用空心点表示，端点能取到时用实心点表示.试卷解析：由第一个不等式得3x >-，由第二个不等式得3(1)1x x -≤+，2x ≤，[来源:学科网ZXXK]∴原不等式组的解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：考点：1.解一元一次不等式组；2.不等式组的解集在数轴上的表示. 21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数43y x =的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作//BC x 轴，交y 轴于点C ，且AC AB =．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．【答案】（1）12y x =；（2）263y x =-+ 【解析】试题分析：（1）先根据A 在正比例函数图像上求出点A 的坐标，再根据A 在反比例函数图像上，代入求得反比例函数解析式；（2）根据B 在反比例函数图像上，假设出点B 坐标，再根据//BC x 轴，得到点C 坐标.结合AC AB =，代入两点间距离公式，得到方程，解出即得点B 坐标.再利用待定系数法，将A 、B 坐标代入，求出直线AB 的解析式.[来源:学科网ZXXK]试卷解析：（1）设(,4)A x ，∵43y x =经过点A ，∴443x =，∴3x =，∴(3,4)A ， ∵m y x =经过点A ，∴43m =，∴12m =，∴反比例函数的解析式为12y x =；考点：1.点在函数图像上的意义；2.勾股定理；3.待定系数法求函数解析式. 22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠= ，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3 1.7≈)NQ H P M D CBA【答案】（1）36米；（2）89米 【解析】试题分析：（1）联结AP ，直接在Rt APH ∆中利用勾股定理解出PH 即可；（2）从题中可得到的信息是39PA CQ m ==，因此需要安装的隔音板至少要包含PQ 这一段.第（1）小题中已解得PH ，故需要求出HQ ，在Rt DHA ∆和Rt DQC ∆中用两次30 的三角函数，即可解得DH 和DQ ，代入PQ PH DQ DH =+-计算即可.[来源:学科网]试卷解析：（1）联结AP ，由题意得39AP m =，15AH m =，故在Rt APH ∆中，2222391536PH AP AH m =-=-=；考点：1.勾股定理；2.解直角三角形；3.对实际应用题的分析解决能力. 23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ． (1)求证：DE BE ⊥； (2)如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．OEDC BA【答案】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和，证明过程略；（2）证明CED ∆∽DEB ∆，证明过程略 【解析】试题分析：（1）由平行四边形性质知，OB OD OE ==，在两个等腰三角形OBD ∆和ODE ∆中，得到两组角相等，再在BDE ∆中利用三角形内角和定理，即可求得90BDE ∠=，得证；（2）根据要证明的结论，易想到证明三角形相似，即CED ∆∽DEB ∆，图中已有一组公共角，故只需证明另一组对角相等.结合条件OE CD ⊥，可通过同角的余角相等，证明EDC OEB ∠=∠，从而有EDC OBE ∠=∠，得证. 试卷解析：（1）∵OB OE =，∴OEB OBE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，∴OD OE =，∴OED ODE ∠=∠.∵在BED ∆中，180OEB OBE OED ODE ∠+∠+∠+∠= ，∴22180OED OEB ∠+∠= ，∴90OEB OED ∠+∠= ，即90BED ∠=，∴DE BE ⊥.考点：1.平行四边形性质；2.相似三角形的判定及性质. 24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，25AB =．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长； （3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．【答案】（1）24y x =-；（2）24OC m =-；（3）2sin 2PAD ∠=【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求得OA 的长度，从而确定A 的坐标，代入抛物线解析式即可；（2）可借助三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，利用对应边成比例得到OC 的表达式；（3）再一次利用三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，先求出OD 的表达式，结合3tan 2ODC ∠=，求出m 的值，进而得到P 坐标以及相关的线段长度，再将PAD ∠的正弦值放到Rt PAH ∆中求解即可.试卷解析：作图如下：（1）∵25AB =，4OB =，∴2OA =，即(2,0)A -，∵A 在抛物线上，∴440a -=，∴1a =，∴抛物线的解析式为24y x =-；（2）由（1）得2(,4)P m m -（2m >），∴24PH m =-，OH m =，∵//OC PH ，∴A O C ∆∽AHP ∆，∴CO AO PH AH =，即2242CO m m=-+，∴2(2)24CO m m =-=-；考点：1.待定系数法求函数解析式；2.三角形相似的判定与性质；3.锐角三角函数.[来源:学|科|网]25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ． （1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）通过证明AOP ∆≌ODQ ∆，过程略；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去. 试卷解析：（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠.在AOP ∆和ODQ ∆中，OP DQ POA QDO OA DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；(2)作PH OA ⊥，交OA 于H ，∵4cos 5AOC ∠=，∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=.∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==，∴2360300x x y x -+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⋅⋅=，∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x -+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠= 时，90OPA ∠= ，∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⋅=；②当90POE ∠= 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-= ，∵501013OP <<，∴72OP =（舍）； ③当90PEO ∠= 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠= ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍；综上，线段OP 的长为8.考点：1.三角形全等的判定及性质；2.锐角三角函数的综合应用；3.圆的综合应用.。

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

2015年复旦附中自招数学试卷（3.20）填空A1、若22x ab y a b ==+， ，则=______________2、12x x -=12x x 、的方差______________3、从1,4,7……295,298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有__________个4、解方程：12x x +=-+5、2815231x x x x -+--=的解有_________个。

6、37531(12)8mx mx mx x m x -<-⎧⎨+-<-+⎩ 有正数解，求m 的取值范围__________7、2104y x x m =-+与x 轴两个交点在x 的正半轴，求m 的取值范围。

8、495235x y x z z +++==--时，求x y 的值9、矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形折叠，点B 落在边AD 上的点M 处，C 落在N 处，求EC FB AM -1、 扫雷游戏2、已知不等式：21y x px ≤-++求能使x y +最大值为2的负实数p 的取值范围。

3、如图所示，直线l 经过点P ，且垂直于AB ，当长方形AOBP 的周长为20时，请求出无论图形如何变化，l 始终经过的定点坐标___________。

4、在反比例函数k y x=上存在点C ，以点C 为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O 点距离为2，则k 的取值范围______________5、已知直线MA NB 、均与线段MN 为直径的半圆相切，直线AB 与半圆相切于点F ，P 在线段MN 上且PF MN ⊥，当直线AB 变化时，求+PA PB AB的最大值6、在1,2,3……,39,40数列中能找出__________对数字使它们的差的绝对值为质数。

1、已知在BAC ∠的内部存在一点M ，在不画出A 点的情况下过M 点作一条直线，使它经过A 点。

2、设12x x 、为220x px p --=的两根，p 为实数 ①求证：212230px x p ++≥ ②当1223x x p -≤-时，求p 的最大值3、实数12n a a a 、满足： ①12=0n a a a +++ ②121n a a a +++= 求证：k 个数123k n =（，，，），1212k a a a +++≤4、锐角ABC ∆中，AD BE CF ，，分别为BC AC AB ，，边上的高，设BC a =，AC b =，AB c =，BD x =，EC y =，AF z =① 用a b c 、、表示x② 当a b c 、、满足什么关系时，有2()x y z a b c++=++B。