《坐标系与参数方程》课件
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第十四章 第2讲 坐标系与参数方程.pptx
@《创新设计》
25
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
规律方法 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点. (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关 系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
14
@《创新设计》
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
考点一 极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化 【例1－1】 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求
线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程； (2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面 直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2 交点的直角坐标.
18
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
【例
1－2】
(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为xy＝＝24csions
θ， θ
(θ
为参数)，直线
l
的参数方程为xy＝ ＝12＋ ＋ttcsions
α， α (t
为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
5
知识衍化体验
考点聚焦突破
过极点，倾斜角为 α 的直线 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2，与极轴平行的直线
6
@《创新设计》
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝π＋α(ρ∈R) ρcos θ＝a－π2<θ<π2
第2部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程 课件(共40张PPT)
消去参数 t 得 x2＋y2＝1，
故曲线 C1 是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆．
x＝cos4t， (2)当 k＝4 时，C1：y＝sin4t， 消去参数 t 得 C1 的直角坐标方
程为 x＋ y＝1.C2 的直角坐标方程为 4x－16y＋3＝0.
由4xx－＋16yy＝＋13，＝0，
解得x＝14， y＝14.
(2) 经 过 点 P(x0 ， y0) 且 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上的两点，其对应参
数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 对应的参数为 t0，则以
下结论在解题中经常用到：①t0＝t1＋2 t2；②|PM|＝|t0|＝t1＋2 t2；③|AB|
1．[以几何图形为载体] 在极坐标系下，方程 ρ＝2sin 2θ 的图形为如图所示的“幸运四叶 草”，又称为玫瑰线．
(1)当玫瑰线的 θ∈0，π2时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线 的交点的极坐标；
(2)求曲线 ρ＝sin2θ＋2 π4上的点 M 与玫瑰线上的点 N 距离的最小值 及取得最小值时的点 M，N 的极坐标．
易得|CC1|＝3－2 2，圆 C1 的半径 r1＝2，圆 C 的半径 r＝ 2， 所以|CC1|＜r1－r，
所以 C 与 C1 没有公共点．
命题规律：以解答题的形式出现，分值 10 分． 通性通法：(1)消去参数的三种常用方法 ①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数； ③根据参数方程本身的结构特点，灵活地选用一些方法从整体上 消去参数．
x′＝2x，
高考讲坐标系与参数方程课件理
考点三：运用坐标系解决实际问题
01
02
总结词：能够运用坐标 系解决简单的实际问题 ，提高解决实际问题的 能力。
详细描述
03
04
05
1. 能够运用坐标系解决 简单的实际问题，如位 移、速度、加速度等物 理量的表示和计算。
2. 能够运用坐标系解决 一些简单的几何问题， 如求两点之间的距离、 三角形面积等。
THANKS
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考点二：参数方程的转化与求解
详细描述
2. 能够将普通方程转化为参数方 程，将参数方程转化为普通方程 ，并了解参数的物理意义。
总结词：了解和掌握参数方程的 基本概念和转化方法，能够求解 简单的参数方程。
1. 了解参数方程的基本概念和特 点，掌握参数方程与普通方程的 转化方法。
3. 掌握求解参数方程的方法，如 代入法、消元法等，能够求解简 单的参数方程。
它由一个原点和一组有序的坐标轴组成。
坐标系的分类
02 坐标系可分为直角坐标系、极坐标系和球面坐标系等
。
坐标系的表示方法
03
坐标系可以用图形、符号和公式等方式来表示。
坐标系的种类
直角坐标系
直角坐标系是二维平面上最常用的坐标系， 它由一个原点和两组互相垂直的坐标轴组成 。
极坐标系
极坐标系是用来描述在平面上的点和其到原点的距 离以及其与极轴的夹角的坐标系。
坐标系与参数方程的应用场景
坐标系广泛应用于各种科学领域，如物理学、化学、生物学、地理学等。在物理学中，坐标系可以描 述物体的位置和运动状态；在化学中，它可以描述分子的空间构型和原子间的相互作用；在地理学中 ，它可以描述地球上物体的位置和形态。
参数方程也被广泛应用于各种科学领域。例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹和速 度变化；在化学中，它可以描述化学反应的进程和速率；在生物学中，它可以描述生物体的生长过程 和形态变化。
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
7.3坐标系与参数方程PPT课件
考点二 参数方程与普通方程的互化
例 2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数
方
程
为
x＝t＋1， y＝2t
(t
为参数)，曲线
C 的参数方程为
本 讲 栏
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
目 开
并求出它们的公共点的坐标．
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
热点分类突破
专题七 第3讲
M 的轨迹的参数方程为
本
x＝cos α＋cos 2α， y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，0<α<2π)．
讲
栏 目
②M 点到坐标原点的距离
开
关 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．
当 α＝π，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
∴e＝
ac22＝
3b32－b2 b2＝
23＝
6 3.
热点分类突破
专题七 第3讲
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴为极轴
本 讲
建立极坐标系，曲线
C1
的参数方程为x＝tan1 φ， y＝tan12φ
(φ 为参
栏
目 数)，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线 C1
P、Q
都在曲线
C：xy＝＝22scions
t， t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0<α<2π)，M 为
本 PQ 的中点．
讲 栏
①求 M 的轨迹的参数方程；
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
练习：
7 3 ),则｜AB｜=___. 12 12 2.在极坐标系中，定点A(2, ),点B在直线 2 5 (1, ) ρ cosθ +ρ sinθ =0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标 3 6
1.极坐标系中，点A(1，5 )，B(2，-
为_______. 3.若M、N分别是曲线ρ =2cosθ 和 sin( ) 2 上的动点，
复习
M ρ
θ
o x
θ ＝a(ρ ∈R)
ρ cosθ =a
ρ sinθ =a
下列极坐标方程如何转化为直角坐标方程
3 θ
.
y
3x
= 2 sin( ) . 4 2 ρ =4sinθ
3
. sin cos cos sin 2 4 4 2 ρ 2=4ρ sinθ ρ 2=5 3 ρ cosθ -5ρ sinθ
则M、N两点间的距离的最小值是________. 2 1
4 2
(0≤a＜π ，a≠π /2)
坐标系与参数方程PPT教学课件
＝0 得 x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，
化为极坐标为
2，34π.
答案
2，34π
探究提高 解决这类问题一般有两种思路．一是将极 坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
(1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 M(b，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0 几个特殊位置的圆的极坐标方程
2 4 x.
又 y＝13 x2＋y2>0，
∴y＝ 42x(x>0)和 y＝－ 42x(x<0)． 答案 (1)(2，53π)
(2)y＝
42x(x>0)和
y＝－
2 4 x(x<0)
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定 要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标 将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范 围．要注意转化的等价性．
的变换是
(D)
A.x′＝12x y′＝3y
x′＝2x B.y′＝13y
x′＝2x C.y′＝3y
x′＝12x D.y′＝13y
2．直线的参数方程为xy＝ ＝－ tsintc4o0s°4－0°1 (t 是参数)，则
直线的倾斜角为
(D )
A．40° B．50° C．140° D．130°
解析
因为xy＝ ＝－tsintc4o0s °4－0°1
数学优质课件精选选修系列极坐标与参数方程课件
(t 为参数)．
极坐标、参数方程的综合应用
利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把 点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决 有关问题．
例3 (2011 年盐城市高三调研)已知直线 l 的参数方 程xy＝＝1t ＋2t (t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ρ＝
2 2sin(θ＋π4)． (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极 坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系．
参数)，
所以曲线 C 的直线坐标方程为 y＝12x2(x∈[－
2,2])，
联立解方程组得xy＝＝00，，
或x＝2 3， y＝6.
根据 x 的范围应舍去x＝2 3， y＝6，
故 P 点的直角坐标为(0,0)．
考点探究·挑战高考
考点突破 极坐极系与直角坐标系的互化
1．极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长 度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一 不可．
y)，极坐标是(ρ，θ)，可以得出它们之间的
关系：x＝_______，y＝_______.又可得到关
系 ρcosθ
ρsinθ
• 式：ρ2＝_______，tanθ＝ ___y_ (x≠0)．
x2＋y2
x
• 3．常见曲线的极坐标方程
• (1)直线的极坐标方程
• •
过 方 (2)点 程圆M为的(ρ_极ρs_0i_，n坐_(θ_θ标－_0)_方且α__)程倾＝__斜ρ_0_角s_in_为(_θ_α0_－的__α直_)_线_．l的极坐标
第三节 坐标系与参数方程
双基研习·面对高考 第 三 节
坐
标
考点探究·挑战高考
系
与
坐标系与参数方程 课件
(t
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
=
= -2 + ,
为参数),直线 l2 的参数方程为
(m 为参数).设 l1 与 l2 的
=
交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
= cos,
为
(θ 为参数),过点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与☉O 交
= sin
于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
思考如何利用直线的参数方程求直线与曲线相交的弦长?
-21-
解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
π
当 α= 时,l 与☉O 交于两点.
即曲线 C
2
2
的直角坐标方程为 + =1.
16
9
-12-
(2)因为曲线 C 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A,B,所以
A(4,0),B(0,3).
所以直线 AB 的方程为 3x+4y-12=0.
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
|12cos+12sin-12|
2
3
10
代入 ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得 ρ2=5,
所以交点 M 的极径为 5.
10
-25-
思考如何把直角坐标方程化为极坐标方程?
-9-
解 (1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2,C2 的极坐标方程为
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
y=sinθ
3
则x+y= 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6
练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y 2 1在第一象限部分上的点P
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
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选修4-4 极坐标系与参数方程
一、极坐标系与极坐标
1、极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2、点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对___________叫做点M 的极坐标，记为___________.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
3、若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
4、极坐标与直角坐标的互化：_________________________ , ______________________
__________________________ ,_______________________
5、圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是________________；
在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程________________； 在极坐标系中，以 )2
,a (C π
(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是______________；
6、直线的极坐标方程
在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线（ ）
在极坐标系中，过点)0a )(b ,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是__________. 在极坐标系中，过点A(a,)b ，且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是________________
二、参数方程
1、参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个
变数t 的函数⎩⎨⎧==),
t (g y ),
t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2、常见的参数方程与普通方程
（1）圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.
rsin b y ,
rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.
（2）椭圆1b y a x 22
22=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数ϕϕϕ⎩
⎨⎧==.
（3）抛物线2px y 2=的参数方程可表示为)t (.2pt y ,
2pt x 2
为参数⎩
⎨⎧==.
（4）经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 即____________________的参数方程可表示为⎩
⎨⎧+=+=.tsin y y ,
tcos x x o o αα（t 为参数）。
3、在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致.
三、基础训练：
1．在极坐标系中，过点)6,4(π
，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是________________
2．在极坐标系中，圆心在)4
A(1,π
，半径为1的圆的极坐标方程是___________________.
3. 极坐标方程θθρ4sin 2cos -=化为直角坐标方程是_______________________.
4. 在极坐标系中，极点到直线2
2
)4(sin =+πθρ的距离是____________.
5.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ） A. B.
C.
D.
6.参数方程)(.cos2
1y ,
cos x 为参数θθθ⎩⎨⎧+==化为普通方程是_______________________.
7.椭圆)(.3sin y ,
5cos x 为参数θθθ⎩
⎨⎧==的焦点坐标是_________________________.
8．双曲线)t (.
t 1t y ,t
1t x 为参数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=的离心率是_________________________.
9、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33
R t t y t x ∈⎩
⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为
[])20(2
sin 2cos 2πθθθ
，参数∈⎩⎨
⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 .
10、在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是
四、大题训练
（一） 圆和直线的方程互化
1、（2015年全国1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为4
π
θ=
，设32,C C M N 与交点为，求2C MN ∆的面积
2、在平面直角坐标系x y O 中，过点()2,0P 的直线l
的参数方程为2x y t
⎧=-⎪⎨=⎪⎩t 为参数），
圆C 的方程为229x y +=．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ()1求直线l 和圆C 的极坐标方程；
()2设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求PA ⋅PB 的值．
3、已知在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为
3
x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=. (I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围．
(二）圆与直线位置关系
1、在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），
2
π
），圆C
的参数方程为
22cos,
2sin
x
y
θ
θ
=+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
（θ为参数）
（1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系。
2、圆C的极坐标方程为2cos
ρθ
=，直线l
的参数方程为
1
2
11
22
x
y t
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
（t为参数），点A的
极坐标为)
4
π
，设直线l与圆C交于点,P Q.
（1）写出圆C的直角坐标方程；
（2）求||||
AP AQ
⋅的值．
3、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 4sin x y θ
θ⎧⎨⎩
＝＝（θ为参数），直线l 经
过定点P （2，3），倾斜角为
3
π
． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆的标准方程； （Ⅱ）设直线l 与圆相交于A ，B 两点，求｜PA ｜·｜PB ｜的值．
（三）动点问题
1、（2014年全国卷2） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos 0，，2πρθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
（1）求C 的参数方程
（2）设D 点在曲线C 上，C 在点D 处的切线与直线l
：2+垂直，请确定D 点坐标
2、（2011年全国卷）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,(2+2sin x y α
αα=⎧⎨=⎩
为参数）
，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =r r
，P 点的轨迹为曲线2C （1）求2C 的方程
（2）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线=3
π
θ与1C 的异于极点的交
点为A ，与2C 异于极点的交点为B ，求AB
（四）圆锥曲线方程与取值范围
1、在直角坐标系中，曲线C 1
的参数方程为：2cos ,
,
x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为：cos ρθ=.求曲线C 2的直角坐标方程与曲线C 1的普通方程
2、（2012年全国卷）已知曲线1C 的参数方程为2cos ,(3sin x y ϕ
ϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是=2ρ，正方形ABCD
的顶点都在2C 上，且A,B,C,D 依次按逆时针次序排列，点A 的极坐标为23
π
（，）
（1） 求A,B,C,D 的直角坐标
（2） 设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围。