第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
