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“数学之美”的内容
以下是关于“数学之美”内容的描述：
1.数学的对称之美。
在数学中存在着各种形式的对称性，这种对称性可以体现在数学对象
的结构、性质和关系中。
数学中的对称美具体体现为：数学的几何对称美、数学的代数对称美和数学的组合对称美。
这些对称之美不仅有助于我们解决问题，还能够揭示数学对象之间的联系和结构。
2.数学的简洁之美。
数学的简洁之美来源于其简洁而优雅的表达方式、精炼的推理和符号
表示。
数学的简洁美不仅使得数学理论更加易于理解和应用，也给人一种审美上的享受。
如数学中的公式和方程往往以简洁明了的形式来表达复杂的数学关系；数学中的定理和证明也往往具有简洁而优雅的特点。
3.数学的抽象之美。
数学的抽象之美源于其超越具体对象和情境的能力，以及抽象化的思
维和符号系统。
如数学中的概念和理论往往能够超越特定的对象和情境，通过引入符号和符号系统，将复杂的数学概念和关系抽象化，使得数学思维更加灵活和高效。
数学的抽象之美常常会启发人们对世界的深入思考，推动人类创造力的发展。
《数学之美》作者：来源：《科学中国人·下旬刊》2018年第02期美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性顯现。
通常我们所说的美是以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
简言之，数学美就是数学中奇妙的、有规律的、让人愉悦的美的东西。
大多时候，人们只看到了数学的严谨性而没有体会到其内在美，理所应当地认为它是枯燥乏味的。
但作为科学语言的一种，数学具有和一般语言文字与艺术所共有的美的特点，在内容结构和方法上展现着丰富的美学特性，诸如它包含的概念简单性、统一性，结构关系协调性、对称性等。
数学之美可以说是感性和理性的交融呈现，它有着肉眼可见的、客观的确定内容。
数学之美，首先在于其内容或许复杂而深奥，但形式常常很简单。
简单=美，这不仅在科学和工程上成立，而且在产品开发和设计上也是如此，这和设计大师乔布斯“少即是多”的原则不谋而合。
同时，数学之美还在于数学原理的通用性和普遍性。
一个好的数学模型，常常能解决一系列，甚至是许多看似毫不相干领域的实际问题。
在数学上的一点突破，可以带动很多领域和行业的进步。
在《数学之美》中，作者吴军几乎把有关“数学之美”系列的文章全部重写了一遍，通过阐述他对数学和信息处理的专业学科理解将高深难懂的原理变得通俗起来。
吴军运用他在语音识别、自然语言处理和信息搜索领域多年积累的经验，让非专业读者也能领略到数学的魅力。
之于阅读者而言，马尔可夫链、矩阵计算甚至余弦函数逐渐栩栩如生，越发亲切起来。
从数字和信息的由来到搜索引擎对信息处理背后的数学原理，以及与搜索相关的众多领域中藏匿的奇妙数学应用，吴军都一一铺展。
他用引人入胜的文字化枯燥深奥的数学符号为灵动有趣的生活现象和延伸，以透彻的分析将数学的本质思维娓娓道来。
数学，其实无处不在，而且有一种让人惊叹的韵律和美！伽利略曾经说过，“数学是上帝描写自然的语言”；爱因斯坦也曾说过，“纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然现象的钥匙”。
数学之美系列完整版（最新全集列表）作者：吴军, Google 研究员来源：Google黑板报酷勤网收集2007-12-04数学之美一统计语言模型数学之美二谈谈中文分词数学之美三隐含马尔可夫模型在语言处理中的应用数学之美四怎样度量信息数学之美五简单之美：布尔代数和搜索引擎的索引数学之美六图论和网络爬虫 (Web Crawlers)数学之美七信息论在信息处理中的应用数学之美八贾里尼克的故事和现代语言处理数学之美九如何确定网页和查询的相关性数学之美十有限状态机和地址识别数学之美十一 Google 阿卡 47 的制造者阿米特.辛格博士数学之美十二余弦定理和新闻的分类数学之美十三信息指纹及其应用数学之美十四谈谈数学模型的重要性数学之美十五繁与简自然语言处理的几位精英数学之美十六不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里最大熵模型数学之美十七闪光的不一定是金子谈谈搜索引擎作弊问题(Search Engine Anti-SPAM)数学之美十八矩阵运算和文本处理中的分类问题数学之美十九马尔可夫链的扩展贝叶斯网络 (Bayesian Networks)数学之美二十自然语言处理的教父马库斯数学之美二十一布隆过滤器（Bloom Filter）数学之美二十二由电视剧《暗算》所想到的 — 谈谈密码学的数学原理数学之美二十三输入一个汉字需要敲多少个键—谈谈香农第一定律数学之美二十四从全球导航到输入法——谈谈动态规划数学之美系列一：统计语言模型在很多涉及到自然语言处理的领域，如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。
对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题。
前言也许大家不相信，数学是解决信息检索和自然语言处理的最好工具。
它能非常清晰地描述这些领域的实际问题并且给出漂亮的解决办法。
每当人们应用数学工具解决一个语言问题时，总会感叹数学之美。
【数学之美】数学之美在线阅读数学是自然科学的皇后，是数和空间的组合，是科学与艺术的结合，是思维的体操。
代数的简洁，几何的优雅，逻辑的严密，让人充分领略――概率论一年365天，假设你参加一个50人的婚宴，有多大可能性其中有两个人是同月同日出生的因50占365的1/7，凭直觉你会认为这种可能性很小。
实际上它的可能性为97%，几乎可以肯定有两个人生日相同；哪怕只有30人，两人生日相同的可能性也是各不相同的两倍。
据此与人打赌，你十有八九会赢。
对分法你想好一个1000以内的任一整数，我至多提11个问题，你用是或非回答，我就能猜出你想的数。
不信想好了它比512大吗比256呢还小128呢……比4大哈哈，猜出来了，你想的是5，对不对!其理论根据是指数性质。
指数性质假定你把手中的报纸裁一为二，叠起来；再裁一为二，把四片叠起来……这样一裁一叠，共进行了50次。
想想看，最后纸的厚度是多少有桌子高不止。
有十层楼高何止呢总不会有天高吧也差不多。
高度是6000万公里，是地球到月球的150倍!鸽笼证明在一个30万人的城市里，有没有头发根数完全相同的人你可能会说不可能。
实际上不仅有而且很多，至少有约20万人都有头发根数与其一样的人。
因为人的头发最多10万根，若把30万人都编上号，设第一人光头，第二人一根，第三人两根……第100001人100000根，那么第100002人至300000人就不好办了，因人最多只有10万根头发，剩下的近20万人只好往这10万个“笼子”里钻了……算了，不再解释。
你明白了吗圆的特性地球赤道4万公里，若把赤道围绕的绳剪开加上10米再接上给地球当“腰带”。
问这个“腰带”下能否钻过一只小兔可以的。
周长加10米，半径增加10/(2×3.14)≈1.6米，何止小兔，成人低头也过得去。
顺便指出，要周长加10米，半径就增加1.6米，对任何球都一样，无论是地球、月球还是乒乓球、篮球。
悖论一个光碟处理店里，30盘旧影碟1块钱2张；另外30张旧歌碟1块钱3张。
数学之美小学四年级数学上册全册美学体验数学是一门具有深厚美学内涵的学科，通过数学的学习，不仅可以培养我们的逻辑思维和分析能力，还能帮助我们发现世界的美妙之处。
在小学四年级数学上册的学习中，我们能够体验到数学之美的独特魅力。
第一单元：数的认识与数位移动本单元主要介绍了四位数、五位数的认识和数位移动的运算。
数的大小和数位的变化往往呈现出一种美妙的规律。
当我们通过数位移动将数字进行排列时，数字的大小和顺序会发生改变，这种排列美妙而有序，给人一种艺术的享受。
第二单元：大数应用本单元主要围绕数的运算、数的比较和数的应用展开。
大数的运算涉及到多个位数的数进行加减乘除运算，而这种运算中的规则和规律则体现了数学之美。
例如，当我们进行大数之间的比较时，可以通过观察它们的位数、数位上的数字来确定大小关系，这种规律既简洁又美观。
第三单元：长度与面积本单元主要介绍了长度和面积的测量，以及相关的计算方法。
在测量长度时，我们可以利用直尺或尺子，将线段与刻度对齐，通过观察整数的延伸、分割和对照，使数学的美感得到了充分的展现。
而在计算面积时，我们需要使用到乘法，通过将长度与宽度相乘，得到一个数字，这种组合与运算的美妙感受不言而喻。
第四单元：简便的算法本单元主要介绍了一些简便的算术运算方法，如根据所给的数以及一些已知关系来推算出未知数的值。
这种逻辑推理和思维方式的转变，既能提高我们的解决问题的能力，也能让我们领略到数学之美的精髓。
第五单元：自然数的认识本单元主要介绍了自然数、正整数、负整数的认识和运算。
自然数是最基础的数学概念之一，它包含了无限多个数，每个数之间都有着独特的联系。
而正整数和负整数的运算则体现了数学造型的多样性，这种多样性使得数学的美感更加丰富多彩。
第六单元：数轴与分数本单元主要讲述了数轴的认识和分数的概念及运算。
数轴是一种用来表示数与数之间关系的工具，它的存在使得数学的理解更加直观。
而分数的引入，使得数可以进一步细分，体现了数学中的无限和连续之美。
数学之美梦的天堂，艺术的勾勒，理想与现实的纽带，这便是数学。
在其中我们享受1+1的畅想，在其中我们收获另一片翱翔的天空。
数学便是我们学习美的主课堂。
不要惊异于简单的一笔就素描出心脏的神韵，那只是数学的动人面之一。
万丈高楼拔地而起，是几何给了它们存在的方式，是代数告诉了它们怎样才能如万里长城那样永远坚不可摧的屹立于世界。
我喜欢数学，因为从中我看到了缤纷的美丽。
数学是自然美。
小时候，常常抱着一棵大树，问问大树伯伯的年龄到底是多少。
直到有一天，我知道原来那一圈圈年轮便是树伯伯生命的见证。
是数字告诉我怎样去计算，是数字教我认识自然的第一课，也是数字领我感悟生命的顽强与执着，也是数字告诉我怎样去敬畏生命！数学是社会美。
看着一栋栋豪华高楼淹没了早已废弃的草屋，看着一座座现代建筑带领人们一步步走向现代化，看着一个个见证历史的文物仍昂扬的伫立与世界中央，我不禁沉迷于这数学带给人们的色彩。
是红色的欢喜，是粉色的温馨，是蓝色的高洁，是白色的神秘。
“不是缺少美，而是缺少一双发现美的眼睛”，时刻关注数学，思考数学，我们才能发现它给我们的惊喜！数学是艺术美。
数学家们也是画师，他们捕捉对称轴的匀称整洁，他们描绘圆形的完美无缺，他们简单的挥动铅笔却将世界的轮廓尽收眼底。
大自然的美妙，宇宙的奥妙一遍遍的尽呈于世人面前。
数学给人一无穷的视觉与感觉的冲击，为画家们提供珍贵的素材，开阔着每个人的视野啊！数学是智慧美。
数学灌溉了现实生活，也时刻影响着我们的想象空间与抽象思维能力，指引我们走向一条条“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”之路。
在数学殿堂里我们循着前辈们的足迹，寻求着真理，又渴望着烙下自己的痕迹。
所以，即使有时数学和我们玩捉迷藏，让我们摸不着头脑，我们依然信念不衰。
志趣不减。
战胜一次次的抽象难懂，收获思维越来越缜密，头脑越来越灵活。
数学便是治愚有令人明智的灵丹妙药啊！追随着数学之路，与数学为伴，吹响前进的号角，我要扫除疑难未知的灰暗，将数学之美驻于心中，尽情畅游于数学缤纷奇幻，而又智慧的天空！。
数学之美系列完整版（最新全集列表）作者:吴军, Gooｇｌｅ研究员来源：Googlｅ黑板报酷勤网收集２007-12-04数学之美一统计语言模型数学之美二谈谈中文分词数学之美三隐含马尔可夫模型在语言处理中的应用ﻫ数学之美四怎样度量信息？ﻫ数学之美五简单之美:布尔代数和搜索引擎的索引数学之美六图论和网络爬虫（Wｅb Crawｌers)ﻫ数学之美七信息论在信息处理中的应用数学之美八贾里尼克的故事和现代语言处理数学之美九如何确定网页和查询的相关性ﻫ数学之美十有限状态机和地址识别数学之美十一Ｇoｏgle 阿卡 47 的制造者阿米特。
辛格博士数学之美十二余弦定理和新闻的分类数学之美十三信息指纹及其应用数学之美十四谈谈数学模型的重要性ﻫ数学之美十五繁与简自然语言处理的几位精英数学之美十六不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里最大熵模型ﻫ数学之美十七闪光的不一定是金子谈谈搜索引擎作弊问题(Sｅaｒｃh Ｅｎgｉne Aｎtｉ—ＳＰAM）数学之美十八矩阵运算和文本处理中的分类问题ﻫ数学之美十九马尔可夫链的扩展贝叶斯网络（Bayeｓian Ｎeｔworks)数学之美二十自然语言处理的教父马库斯ﻫ数学之美二十一布隆过滤器(BlｏoｍＦiltｅｒ）数学之美二十二由电视剧《暗算》所想到的＆mdａsｈ；谈谈密码学的数学原理ﻫ数学之美二十三输入一个汉字需要敲多少个键—谈谈香农第一定律ﻫ数学之美二十四从全球导航到输入法——谈谈动态规划数学之美系列一：统计语言模型在很多涉及到自然语言处理的领域,如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。
对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题.前言ﻫ也许大家不相信,数学是解决信息检索和自然语言处理的最好工具。
它能非常清晰地描述这些领域的实际问题并且给出漂亮的解决办法。
每当人们应用数学工具解决一个语言问题时,总会感叹数学之美.我们希望利用 Goｏgle 中文黑板报这块园地，介绍一些数学工具,以及我们是如何利用这些工具来开发 Goｏglｅ产品的.ﻫGooｇｌe 的ﻫ系列一：统计语言模型（ＳtaｔｉｓｔiｃaｌLanｇuage Modelｓ)ﻫ使命是整合全球的信息，所以我们一直致力于研究如何让机器对信息、语言做最好的理解和处理。
长期以来，人类一直梦想着能让机器代替人来翻译语言、识别语音、认识文字（不论是印刷体或手写体）和进行海量文献的自动检索，这就需要让机器理解语言.但是人类的语言可以说是信息里最复杂最动态的一部分。
为了解决这个问题，人们容易想到的办法就是让机器模拟人类进行学习 - 学习人类的语法、分析语句等等。
尤其是在乔姆斯基（Noam Chomsky 有史以来最伟大的语言学家）提出“形式语言” 以后，人们更坚定了利用语法规则的办法进行文字处理的信念。
遗憾的是,几十年过去了，在计算机处理语言领域，基于这个语法规则的方法几乎毫无突破。
其实早在几十年前，数学家兼信息论的祖师爷香农（Claｕde Sｈannｏn）就提出了用数学的办法处理自然语言的想法。
遗憾的是当时的计算机条件根本无法满足大量信息处理的需要,所以他这个想法当时并没有被人们重视.七十年代初，有了大规模集成电路的快速计算机后，香农的梦想才得以实现。
ﻫ首先成功利用数学方法解决自然语言处理问题的是语音和语言处理大师贾里尼克（ＦreｄＪeｌineｋ)。
当时贾里尼克在 IBM 公司做学术休假（Sａbbatical Lｅａve），领导了一批杰出的科学家利用大型计算机来处理人类语言问题。
统计语言模型就是在那个时候提出的. 给大家举个例子：在很多涉及到自然语言处理的领域，如机器翻译、语音识别、印刷体或手写体识别、拼写纠错、汉字输入和文献查询中，我们都需要知道一个文字序列是否能构成一个大家能理解的句子，显示给使用者。
对这个问题，我们可以用一个简单的统计模型来解决这个问题.ﻫ如果 S 表示一连串特定顺序排列的词w1，w2,…，ｗn ，换句话说，S 可以表示某一个由一连串特定顺序排练的词而组成的一个有意义的句子。
现在,机器对语言的识别从某种角度来说，就是想知道S在文本中出现的可能性，也就是数学上所说的S 的概率用 P(S) 来表示。
利用条件概率的公式,Ｓ这个序列出现的概率等于每一个词出现的概率相乘，于是P（S) 可展开为:ﻫﻫＰ（S） = P（ｗ1)P（w2｜w1）P（w３｜ｗ1 w2)…Ｐ（wn｜w1 w ２…ｗn-1)ﻫﻫ其中 P （w1）表示第一个词w１出现的概率；P (ｗ２｜w１) 是在已知第一个词的前提下，第二个词出现的概率；以次类推。
不难看出，到了词wn，它的出现概率取决于它前面所有词。
从计算上来看，各种可能性太多，无法实现。
因此我们假定任意一个词wi的出现概率只同它前面的词 wi—１有关（即马尔可夫假设)，于是问题就变得很简单了。
现在，S 出现的概率就变为:ﻫﻫP(S) = Ｐ(w１）Ｐ(w2|ｗ1）P(ｗ3|ｗ2）…P （wi｜wi—1）…ﻫ(当然,也可以假设一个词又前面N—1个词决定，模型稍微复杂些。
)ﻫ接下来的问题就是如何估计Ｐ（wi|ｗｉ－1)。
现在有了大量机读文本后,这个问题变得很简单,只要数一数这对词（wｉ—1,wi）在统计的文本中出现了多少次，以及ｗi—１本身在同样的文本中前后相邻出现了多少次,然后用两个数一除就可以了,P（wi｜wi—1）＝P（wｉ-1，wi)/ P （wi-1）。
ﻫ也许很多人不相信用这么简单的数学模型能解决复杂的语音识别、机器翻译等问题。
其实不光是常人，就连很多语言学家都曾质疑过这种方法的有效性，但事实证明，统计语言模型比任何已知的借助某种规则的解决方法都有效。
比如在Google 的中英文自动翻译中,用的最重要的就是这个统计语言模型。
去年美国标准局（NIST）对所有的机器翻译系统进行了评测，Goｏglｅ的系统是不仅是全世界最好的,而且高出所有基于规则的系统很多。
现在,读者也许已经能感受到数学的美妙之处了,它把一些复杂的问题变得如此的简单。
当然，真正实现一个好的统计语言模型还有许多细节问题需要解决。
贾里尼克和他的同事的贡献在于提出了统计语言模型，而且很漂亮地解决了所有的细节问题.十几年后，李开复用统计语言模型把９９７词语音识别的问题简化成了一个 20 词的识别问题,实现了有史以来第一次大词汇量非特定人连续语音的识别。
我是一名科学研究人员，我在工作中经常惊叹于数学语言应用于解决实际问题上时的神奇。
我也希望把这种神奇讲解给大家听。
当然，归根结底,不管什莫样的科学方法、无论多莫奇妙的解决手段都是为人服务的。
我希望 Googlｅ多努力一分，用户就多一分搜索的喜悦.数学之美系列二:谈谈中文分词一般来讲，根据不同应用，汉语分词的颗粒度大小应该不同.比如,在机器翻译中，颗粒度应该大一些，“北京大学"就不能被分成两个词。
而在语音识别中，“北京大学”一般是被分成两个词.因此,不同的应用，应该有不同的分词系统.谈谈中文分词-－－——统计语言模型在中文处理中的一个应用ﻫ上回我们谈到利用统计语言模型进行语言处理，由于模型是建立在词的基础上的，对于中日韩等语言，首先需要进行分词。
例如把句子“中国航天官员应邀到美国与太空总署官员开会。
”分成一串词：ﻫ中国／航天 / 官员/ 应邀／到/ 美国 / 与 / 太空／总署/ 官员 / 开会.ﻫﻫ最容易想到的,也是最简单的分词办法就是查字典.这种方法最早是由北京航天航空大学的梁南元教授提出的。
ﻫ用“查字典" 法，其实就是我们把一个句子从左向右扫描一遍,遇到字典里有的词就标识出来，遇到复合词(比如“上海大学”）就找最长的词匹配,遇到不认识的字串就分割成单字词，于是简单的分词就完成了.这种简单的分词方法完全能处理上面例子中的句子。
八十年代，哈工大的王晓龙博士把它理论化，发展成最少词数的分词理论，即一句话应该分成数量最少的词串。
这种方法一个明显的不足是当遇到有二义性 (有双重理解意思）的分割时就无能为力了.比如，对短语“发展中国家” 正确的分割是“发展-中－国家”，而从左向右查字典的办法会将它分割成“发展—中国—家”,显然是错了。
另外,并非所有的最长匹配都一定是正确的。
比如“ 上海大学城书店"的正确分词应该是“上海—大学城－书店，" 而不是“上海大学－城-书店”.ﻫ九十年代以前，海内外不少学者试图用一些文法规则来解决分词的二义性问题，都不是很成功。
90年前后,清华大学的郭进博士用统计语言模型成功解决分词二义性问题，将汉语分词的错误率降低了一个数量级。
ﻫﻫ利用统计语言模型分词的方法，可以用几个数学公式简单概括如下：ﻫ我们假定一个句子S可以有几种分词方法，为了简单起见我们假定有以下三种：ﻫA1，Ａ2, A3， .。
., Ａｋ，ﻫB1， B2， B３，。
．。
, ＢmﻫC１, Ｃ2, Ｃ3, ..。
, Cnﻫ其中，A1， A2, B1， B2， C1, C2 等等都是汉语的词。
那么最好的一种分词方法应该保证分完词后这个句子出现的概率最大。
也就是说如果 A1,A2,．.。
， Ak 是最好的分法,那么(Ｐ表示概率）：Ｐ(A1, A2， A3, 。
， Aｋ) 〉P (B1, B2, B3，。
.。
， Bm), 并且P （A１， A2, Ａ3，。
.．, Ａｋ）〉 P（C1，C2, C3, ...， Cn)ﻫ因此，只要我们利用上回提到的统计语言模型计算出每种分词后句子出现的概率，并找出其中概率最大的,我们就能够找到最好的分词方法。
ﻫﻫ当然，这里面有一个实现的技巧。
如果我们穷举所有可能的分词方法并计算出每种可能性下句子的概率，那么计算量是相当大的。
因此，我们可以把它看成是一个动态规划(Dyｎａｍic Programｍing) 的问题，并利用“维特比”（Ｖiteｒｂi）算法快速地找到最佳分词。
在清华大学的郭进博士以后,海内外不少学者利用统计的方法，进一步完善中文分词。
其中值得一提的是清华大学孙茂松教授和香港科技大学吴德凯教授的工作。
需要指出的是，语言学家对词语的定义不完全相同.比如说“北京大学”,有人认为是一个词,而有人认为该分成两个词。
一个折中的解决办法是在分词的同时,找到复合词的嵌套结构.在上面的例子中，如果一句话包含“ 北京大学”四个字，那么先把它当成一个四字词,然后再进一步找出细分词“北京” 和“大学”.这种方法是最早是郭进在“Compｕtationａl Linguｉｓｔicｓ” （《计算机语言学》）杂志上发表的,以后不少系统采用这种方法。
ﻫﻫ一般来讲,根据不同应用，汉语分词的颗粒度大小应该不同。
比如,在机器翻译中，颗粒度应该大一些,“北京大学"就不能被分成两个词。
