2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析教学案北师大版选修

§2抛_物_线2．1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P49]抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A (3,0)，B (－3,0)，C (0,3)，D (0，－3)； l 1：x ＝－3，l 2：x ＝3，l 3：y ＝－3，l 4：y ＝3.问题1：到定点A 和定直线l 1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向． 提示：y 2＝12x . 向右．问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2＝－12x . 向左．问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21．平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，否那么点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P50]求抛物线的焦点坐标和准线方程[例1] 指出以下抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y ＝14x 2；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程．[精解详析] (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2＝1ax ，∴2p ＝1|a |. ①当a >0时，p 2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ； ②当a <0时，p 2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0时，开口向右；a <0时，开口向左．[一点通]1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．2．抛物线y 2＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a2，不必讨论a 的正负．1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，应选A.答案：A2．(高考)假设抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，那么p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－1求抛物线的标准方程[例2] (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)或x 2＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，假设抛物线的焦点位置，那么可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，假设抛物线的焦点位置不确定，那么要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．3．(某某高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，那么拋物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：B4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，那么抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x5．焦点在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2.∵A 到焦点的距离为5，∴A 到准线的距离也是5， 即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝4.故所求的抛物线标准方程为y 2＝8x .抛物线标准方程的实际应用[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如下图，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[精解详析] 建立如下图的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y . 集装箱的宽为3 m ，当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m ，所以5－34＝414>4.故卡车可通过此隧道． [一点通]1．此题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( )A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，那么P (5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p (－6)，∴p ＝2512.∴抛物线方程为x 2＝－256y .答案：A7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．2．求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，假设焦点位置不确定，要分类讨论．[对应课时跟踪训练十六]1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(－12，0)D ．(－132，0)解析：抛物线方程可化成x 2＝－8y ，所以焦点坐标为(0，－2)，应选B. 答案：B2．假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2， ∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：A3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，那么a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案：B4．假设动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，那么动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .答案：A5．抛物线y 2＝2px 过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的距离为________．解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案：526．点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，假设点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，那么焦点F 到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：47．由条件解以下各题的标准方程及准线方程．(1)求焦点在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)抛物线方程为2x 2＋5y ＝0，求其焦点和准线方程． (3)抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其焦点坐标及准线方程．解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2＝－10x ，x 2＝20y .其对应准线方程分别是x ＝52，y ＝－5.(2)抛物线方程即为x 2＝－52y ，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.(3)抛物线方程即为x 2＝1m y (m ≠0)，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .8.如图，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.那么FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P52]太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？假设有对称轴，有几条？提示：有；1条．抛物线的简单性质类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图像性质焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P 1，P 2，线段P 1P 2叫抛物线的通径，长度|P 1P 2|＝2p1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e ＝1；4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P53]利用抛物线性质求标准方程[例1] 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[精解详析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 那么|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝2 3.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上． ∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物线标准方程为x 2＝±12y .答案：C2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x解析：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如下图，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ， 同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x . 答案：C3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x 得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p ，－4p )，由，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋(－4p －p )2＝(213)2.解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2＝85x .抛物线的定义及性质的应用[例2] 1，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1〞，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离〞，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：假设p (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px 上任意一点，那么p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p2(称为焦半径)．4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，那么点P 轨迹方程为________．解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x 2＝－4y .答案：x 2＝－4y5．抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，设P (x 0，y 0)，那么y 0＝2， ∴x 0＝2.故P 点坐标为(2,2)．与焦点弦有关的问题[例3] 抛物线y 2＝2px (p >0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[思路点拨] 解答此题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ， 那么d ＝x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 2＋p2，∴d ＝|AB |2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． [一点通]1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，那么①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，假设x 1＋x 2＝6，那么|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.答案：B7．(某某高考)点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：如图，直线MF 的方程为x 2＋y1＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α，那么tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF |＝|MQ |.所以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝sin α＝15.答案：C1．抛物线y 2＝2px 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p2.2．假设过抛物线y 2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．[对应课时跟踪训练十七]1．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，那么k 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p ＞0)，那么p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C2．F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，假设|PF |＝42，那么△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°. △PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8.答案：B5．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，那么F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0.∴|y |＝2a ×a2＝a 2＝|a |.由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x . 答案：y 2＝±6x6．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．那么使抛物线方程为y 2＝10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤7．抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，那么焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p2.∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 22＝3.解得：p ＝1，y 0＝±22， ∴抛物线方程为y 2＝2x .∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有： |OM |＝22＋±222＝2 3.8．y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)假设|AB |＝10，某某数m 的值； (2)假设OA ⊥OB ，某某数m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2、y 2)，那么x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2word 21 / 21 ＋m 2＝8m .(1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716. (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。

第3章 圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例) x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展， 有渐近线无限延展， 无渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2决定形 状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定 开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，那么△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2；(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ． 3．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B时，焦点在y 轴上．②双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝ay (a ≠0)． 4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p ； (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p ； (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p . 6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，那么有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝〔1＋k 2〕〔x 1－x 2〕2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2〔y 1－y 2〕2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】 (1)F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，那么点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[思路探究] (1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A [延长垂线F 2Q 交F 1P 的延长线于点A ，如图． 那么△APF 2是等腰三角形，∴|PF 2|＝|AP |， 从而|AF 1|＝|AP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 2的中点， ∴|OQ |＝12|AF 1|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．] (2)解：由题意知，a ＝3，b ＝2，那么c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.①假设∠PF 2F 1为直角，那么|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，|PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72.②假设∠F 1PF 2为直角，那么|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．)所以|PF 1||PF 2|＝2.运用定义解题主要表达在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，那么可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2，3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．(1)A [设PM ，PN 与⊙C 分别切于点E ，F ，如图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．](2)解：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如下图，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PFP 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】 (1)椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[思路探究] (1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m ，n 的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB 的直线方程，由F 1到直线AB 的距离为b7得出a ，c 的关系，求椭圆的离心率e .(1)D [由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x .] (2)由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2， 整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14×c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e＝54(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e ＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率． [解] 题意可知，该椭圆的焦点在x 轴上，故 椭圆的离心率e ＝1－5n 23m2＝1－5n 224n 2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，〞求椭圆离心率的取值范围．[解] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2. 由题意知椭圆上的点在该圆的外部， 设椭圆上任意一点P (x ，y )，到|OP |min ＝b ， ∴c ＜b ，即c 2＜a 2－c 2.解得e ＝c a ＜22. ∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜22.1．本类问题主要有两种考察类型：(1)圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考察重点； (2)圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 的值．直线与圆锥曲线的位置关系2程是________．(2)向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1，0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． ①求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．8x －y －15＝0 [(1)设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2，1)得b ＝－15； 故所求直线方程为y ＝8x －15.](2)①由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，那么x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1. 即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，那么b 2＝3c 2.②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设AB 的斜率为k ， 那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． ③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4〔k 2－3〕4k 2＋3. ④在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，那么有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－〔x 1＋x 2〕＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24〔k 2－3〕4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意.函数与方程的思想【例4】 椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m ，0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －m 〕，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝〔1＋k 2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2〔1＋4k 2〕2－4〔4k 2m 2－4〕1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.1．函数思想是解决最值问题最有利的武器．通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．2．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．3．如下图，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．[解] (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，那么y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p ，0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k 〔x －a 〕，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，那么y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB .∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0， 那么x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p ..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案第一课时 3.1.1椭圆及其标准方程〔一〕一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： 〔一〕、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长〔说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题〕 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：〔1〕轨迹上的点是怎么来的？〔2〕在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变〔即轨迹上与两个定点距离之和不变〕〔二〕、探究新课：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数〔大于||21F F 〕的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：〔1〕两个定点---两点间距离确定〔2〕绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，那么所画出的椭圆较扁〔→线段〕在同样的绳长下，两定点间距离较短，那么所画出的椭圆较圆〔→圆〕定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2〔0>c 〕.那么)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)〔常数〕{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意假设坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上〔选取方式不同，调换y x ,轴〕焦点那么变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距〞更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)〔三〕、探析例题：例1、写出适合以下条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、〔4，0〕，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是〔0，－2〕和〔0,2〕且过〔23-,25〕解：〔1〕因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为192522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点〔23-,25〕的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题〔１〕根据定义求 假设将焦点改为(0,-4)、〔0，4〕其结果如何；题〔２〕由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程〔四〕、课堂练习：1 椭圆1925=+上一点P 到一个焦点的距离为5，那么P 到另一个焦点的距离为〔 〕 A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是〔 〕 A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.椭圆的方程为18222=+m y x ，焦点在x 轴上，那么其焦距为〔 〕 A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，那么α的取值范围是〔 〕 Ａ.838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ〕 Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ〕 参考答案：1.A 2.C 3.A4.1353622=+x y 5. Ｂ〔五〕、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义〔六〕、课后作业：1．判断以下方程是否表上椭圆，假设是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆〔是双曲线〕；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，5,2,3===c b a2 椭圆1916=+的焦距是 ，焦点坐标为 ；假设CD 为过左焦点1F 的弦，那么CD F 2∆的周长为 答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：40<<k4 化简方程：10)3()3(2222=-++++y x y x 答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，那么动点P 的轨迹为 _______答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y五、教后反思：第二课时3.1.1椭圆及其标准方程〔二〕一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数〔大于||21F F 〕的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程 〔二〕、引入新课例1、B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程.分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原那么，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图〔如图〕解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且 2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调. 例2、 求适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 椭圆经过两点〔)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 那么有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x 例4、B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x 〔y ≠0〕〔特别强调检验〕 〔三〕、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合以下条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.〔答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+〕 (2)三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，那么A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 假设以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，那么A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+ 〔四〕、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1抛物线及其标准方程学案北师大版选修211．理解抛物线的定义及其标准方程的形式．(重点) 2．了解抛物线的焦点、准线．(重点)3．掌握抛物线标准方程的四种形式，并能说出各自的特点，从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想．(难点)[基础·初探]教材整理1 抛物线的定义阅读教材P 71“动手实践”与“思考交流”之间的部分，完成下列问题．平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．到直线x ＝2与定点P (2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．直线【解析】 ∵点(2,0)在直线x ＝2上，∴所求的点的轨迹应是一条直线． 【答案】 D教材整理2 抛物线的标准方程阅读教材P 71“思考交流”以下～P 72“例1”以上的部分 ，完成下列问题．图形标准 方程 y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)焦点 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线 方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 21．抛物线x 2＝－3y 的准线方程是( ) A ．y ＝－34B ．y ＝34C ．x ＝－112D ．x ＝112【解析】 由已知得p ＝32，又∵该抛物线开品向下，∴其准线方程为y ＝34.【答案】 B2．焦点坐标为(0，－1)的抛物线的标准方程为________．【导学号：32550073】【解析】 由题意知p2＝1，开口向下，∴抛物线方程为x 2＝－4y . 【答案】 x 2＝－4y[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________[小组合作型]求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.【精彩点拨】 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．【自主解答】 (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．[再练一题]1．(1)过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线【解析】 如图，设P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，以y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，即所求圆心的轨迹为抛物线．【答案】 D(2)已知抛物线的准线方程为y ＝23.则抛物线的标准方程为________．【解析】 ∵准线在y 轴正半轴上且p 2＝23∴p ＝43，∴标准方程为x 2＝－83y .【答案】 x 2＝－83y抛物线的焦点坐标和准线求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝4x ； (2)x 2＝－3y ； (3)4x ＋5y 2＝0;(4)x ＝ay 2(a ≠0)．【精彩点拨】 (1)(2)由抛物线方程确定开口方向及p 值；(3)(4)需将方程化为标准方程，再求解．【自主解答】 (1)抛物线y 2＝4x 的开口向右，且2p ＝4，则p ＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.(2)抛物线x 2＝－3y 的开口向下，且2p ＝3，则p ＝32，所以抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－34，准线方程为y ＝34.(3)将抛物线方程化为标准方程y 2＝－45x ，可知抛物线的开口向左，且2p ＝45，则p ＝25，所以抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0，准线方程为x ＝15.(4)将抛物线方程化为标准方程y 2＝1ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方程．依据标准方程，(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(2)由一次项的系数确定2p (大于0)的值，求出p ，进而得到p2.由此可得焦点坐标和准线方程．[再练一题]2．将本例(4)的方程改为“x 2＝ay (a ≠0)”， 求其焦点坐标和准线方程．【解】 抛物线x 2＝ay (a ≠0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a4.抛物线的实际应用一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．【精彩点拨】 本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的方法解决问题．【自主解答】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3.∵a ＞0，∴a ＞12.21.∴a 应取13.1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[再练一题]3．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．【解】如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25.即抛物线方程为x2＝－25y.∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6、－2、2、6.由图知，AB是最长的支柱之一，点B的坐标为(2，y B)，代入x2＝－25y，得y B＝－425.∴|AB|＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．[探究共研型]抛物线的定义与标准方程探究1【提示】不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；当l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．探究2 抛物线的定义经常被归纳为“一动三定”，其指的是什么？【提示】一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1)，定值实现了距离间的转化．即涉及到抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为到准线的距离；抛物线上的点到准线的距离可化为与焦点之间的距离，这样可使问题简单化．探究3 抛物线标准方程中的参数P的几何意义是什么？它有什么作用？【提示】(1)抛物线标准方程中参数P的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离．所以参数P称为焦准距或焦参数，P的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现P＜0的情况．(2)可根据P求出抛物线的焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程时，也只需确定参数P .探究4 如何记忆抛物线的四种标准方程？【提示】 (1)方程特点：焦点在x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在y 轴上，y 是一次项，x 是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀： 焦点轴一次项，符号确定开口向； 若y 是一次项，负时向下正向上； 若x 是一次项，负时向左正向右．(3)焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)，m ＞0时焦点在x 轴正半轴上，m ＜0时焦点在x 轴负半轴上．(4)焦点在y 轴上的抛物线方程为x 2＝my (m ≠0)，m ＞0时焦点在y 轴正半轴上，m ＜0时焦点在y 轴负半轴上．平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．【精彩点拨】 设P (x ，y )则|PF |＝|x |＋1，直接化简求解或转化为距离相等，利用抛物线定义求解．【自主解答】 法一：设P 点的坐标为(x ，y )， 则有x －12＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x ＜0.即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[构建·体系]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) 【解析】 (1)由定义知p 的几何意义是焦点到准线的距离． (2)√.(3)若定点在定直线上其轨迹是直线而不是抛物线． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 2．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 【解析】 把y ＝2x 2化为x 2＝12y ，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 【答案】 D3．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8xD ．y 2＝10x【解析】 由题意得2＋p2＝4，∴p ＝4，故抛物线的标准方程为y 2＝8x .【答案】 C4．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．【导学号：32550074】【解析】 把抛物线方程y ＝ax 2化为标准方程x 2＝1ay ，∴－14a ＝2，∴a ＝－18.【答案】 －185．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． (2)焦点到准线的距离为52.【解】 (1)令x ＝0，得y ＝－5；令y ＝0，得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . (2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .我还有这些不足：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________ (2)________________________________________________。

2．2 抛物线的简单性质知识点一 抛物线的简单性质[填一填](1)对称性：抛物线y 2＝2px (p >0)关于x 轴对称,抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．(2)范围：抛物线y 2＝2px (p >0)在y 轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x ,y )满足不等式x ≥0；当x 的值增大时,|y |也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的方程为标准方程时,抛物线的顶点是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫作抛物线的离心率．可见,抛物线的离心率为e ＝1.(5)通径：通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)两交点的坐标分别为(p 2,p ),(p2,－p ),连接这两点的线段叫作抛物线的通径,它的长为2p . [答一答]你能熟练地写出抛物线y 2＝10x 的焦点坐标、顶点坐标和准线方程吗？ 提示：∵y 2＝10x ,∴p ＝5,∴焦点坐标为(52,0),顶点坐标为(0,0),准线方程为x ＝－52.知识点二 抛物线的四种标准方程形式[填一填][答一答]求顶点在原点,通过点(2,4),且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程．提示：若x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),∵点(2,4)在抛物线上,∴16＝4p ,∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝8x .若y 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0), ∵点(2,4)在抛物线上,∴22＝8p , ∴p ＝12,∴抛物线方程为x 2＝y .∴所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .1．抛物线的几何性质的几个注意点：(1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来,差别较大,它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆为有心圆锥曲线．(2)给出各种标准形式的抛物线方程,能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来,也能根据各种类型的抛物线的示意图,说出抛物线的类型．(3)通过抛物线的焦点作垂直于轴而交抛物线于A ,B 两点的线段AB ,称为抛物线的“通径”(如图),由A (p 2,p )、B (p2,－p ),可得通径的长|AB |等于2p .从而可以根据顶点和通径的端点A ,B ,作出抛物线的近似图形,要掌握这种画抛物线草图的方法,并且通径越长,抛物线开口越大,即p 越大,开口越大,p 越小,开口越小．2．焦半径公式的作用如下：利用焦半径公式,我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,解题时方便快捷,一般地说,凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题,利用此公式来解较简单．题型一 由抛物线的方程求几何性质【例1】 已知抛物线的方程x 2＝ay ,求它的焦点坐标和准线方程．【思路探究】 参数a ≠0,a 可能取正值,也可能取负值,不要忽略a <0的情况． 【解】 当a >0时,∵2p ＝a ,∴p ＝a2,∴焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4；当a <0时,x 2＝－(－a )y , ∵2p ＝－a ,∴p ＝－a2.∴焦点坐标为F (0,－(－a4)),即F (0,a 4),准线方程为y ＝－a 4.综上所述,抛物线的焦点坐标为F (0,a 4),准线方程为y ＝－a4.规律方法 在抛物线的几何性质中,应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标,在解题时,应先注意开口方向,焦点位置,选准标准形式,然后运用条件求解．已知抛物线方程y ＝－12x 2,求抛物线的开口方向、对称轴、焦点坐标、准线方程及焦点到准线的距离．解：将该抛物线方程y ＝－12x 2化成标准方程为x 2＝－2y ,可知抛物线开口向下,对称轴为y 轴,∵p ＝1,∴焦点坐标为(0,－12),准线方程为y ＝12,焦点到准线的距离为1.题型二 由抛物线的几何性质求标准方程【例2】 已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M (4,－8),求它的标准方程．【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0),将点M (4,－8)的坐标代入即可得答案．【解】 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点M 在抛物线上, ∴(－8)2＝2p ×4,解得p ＝8. 故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .规律方法 已知抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的步骤如下：(1)通过确定抛物线的焦点所在的坐标轴和开口方向,确定抛物线的标准方程形式；(2)建立关于p 的方程,并求出p 的值；(3)写出所求抛物线的标准方程．其中最关键的是确定抛物线的焦点所在的坐标轴及抛物线的开口方向．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别是10和6,求点P 的横坐标及抛物线的方程．解：设点P 的坐标为(x ,y ),则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋p2＝10，y 2＝2px ，|y |＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故点P 的横坐标为9或1,相应的抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 题型三 定点、定值、最值问题【例3】 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ,B 及一个定点M ,F 为焦点,已知|AF |,|MF |,|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q .(2)若|MF |＝4,|OQ |＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．【思路探究】 (1)可先求出线段AB 的垂直平分线的方程,再求其所过的定点．(2)求抛物线方程的关键是求p 的值．【解】 (1)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p 2,|MF |＝x 0＋p 2,x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22,则线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t ),其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p (y 21－y 22)＝2p y 1＋y 2＝pt,故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t＝－tp(x －x 0),即t (x －x 0－p )＋yp ＝0,可知其过定点Q (x 0＋p,0)．(2)由|MF |＝4,|OQ |＝6, 得x 0＋p2＝4,x 0＋p ＝6.解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线的方程为y 2＝8x .规律方法 对于定点或定值问题,通常把变动的元素用参数表示,然后计算(找)出需要的结果．若问题中没有给出定值是什么,则应在待定条件下探究变动元素,从而找出定值,然后证明．设而不求法和根与系数的关系是解决圆锥曲线这方面问题的关键,需熟练掌握．(1)已知抛物线方程为y 2＝4x ,直线l 的方程为x －y ＋4＝0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,到直线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是2.解析：(1)由题意得,点P 到准线的距离为d 1＋1,设抛物线的焦点为F ,则d 1＋1＝|PF |,∴d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1,又焦点到直线的距离为d ＝522,∴d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1.(2)本题可转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ,使得点P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小,易得其最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,即最小值d ＝|4×1－0＋6|32＋42＝2.——数学思想—— 抛物线中的数形 结合思想的应用利用抛物线的图形结合所学平面几何知识可以很容易得到所要解决的问题的答案．这种方法在选择题和填空题中经常使用．【例4】 过点P (0,4)与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线有________条．【解析】 作出抛物线y 2＝2x 的图像如图,可以看出点P 在y 轴上,由图中看出过点P 有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y 轴(斜率不存在的切线),过点P 与x 轴平行的直线以及过点P 与抛物线相切的斜率存在的一条直线．【答案】 3规律方法 抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点,y 轴与抛物线只有一个交点,这是我们解题中容易忽视漏掉的地方．本题通过抛物线的定义借助等腰三角形建立角之间的联系,从而利用平行线的性质解决问题．若点A 的坐标为(3,2),F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,点P 在抛物线上移动, (1)当|P A |＋|PF |取最小值时,求点P 的坐标,并求这个最小值．(2)求点P 到点M (－12,1)的距离与它到直线x ＝－12的距离之和的最小值．解：(1)如图所示,显然点A (3,2)在抛物线y 2＝2x 的内部,过点P 作准线l 的垂线,垂足为P ′,则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PP ′|,由平面几何知识可知,当AP ′⊥l 时,|P A |＋|PF |取最小值．∵准线方程x ＝－12,∴最小值为3－(－12)＝72,此时点P 的纵坐标为2,代入方程y 2＝2x ,得x ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)时,|P A |＋|PF |有最小值,最小值为72.(2)由抛物线定义知点P 到直线x ＝－12的距离等于它到焦点F 的距离．因此问题转化为在曲线上求一点P ,使点P 到点M 的距离与点P 到焦点F 的距离之和最小．显然,连接MF ,则直线MF 与抛物线的交点即为点P ,故最小值为|MF |＝(－12－12)2＋(1－0)2＝ 2.1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP →＝4FQ →,则|QF |＝( B )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：抛物线的焦点坐标是F (2,0),过点Q 作抛物线的准线的垂线,垂足是A ,则|QA |＝|QF |,抛物线的准线与x 轴的交点为G ,因为FP →＝4FQ →,则点Q 是PF 的四等分点,由于三角形QAP 与三角形FGP 相似,所以可得|QA ||FG |＝|PQ →||PF →|＝34,所以|QA |＝3,所以|QF |＝3.2．抛物线x 2＝－4y 的通径为AB ,O 为坐标原点,则( D ) A ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为4 B ．通径AB 的长为8,△AOB 的面积为2 C ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为4 D ．通径AB 的长为4,△AOB 的面积为2解析：|AB |＝2p ＝4,焦点坐标为(0,－1),∴S △AOB ＝12×1×4＝2.3．对于抛物线y 2＝10x ,下列结论正确的是②⑤.①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤抛物线的准线方程为x ＝－52.解析：y 2＝10x 的焦点为(52,0),准线方程为x ＝－52,抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋52＝72,通径长为2p ＝10.4．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK ⊥l ,垂足为K ,求△AKF 的面积．解：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线l 的方程为x ＝－1,故与抛物线相交且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1),由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得A 点坐标为(3,23),∴|AK |＝4,∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.。

第三章圆锥曲线与方程教材解析与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．另外对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．课时安排3．1 椭圆4课时3.1.1 椭圆及其标准方程3.1.2 椭圆的简单性质3．2 抛物线3课时3.2.1 抛物线及其标准方程3.2.2 抛物线的简单性质3．3 双曲线3课时3.3.1 双曲线及其标准方程3.3.2 双曲线的简单性质3．4 曲线与方程3课时3.4.1 曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点小结1课时§3.1.1椭圆的标准方程(1)§3.1.1椭圆及其标准方程（2）§3.1.2 椭圆的简单性质授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人李春侠学习目标依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点学习过程与方法自主学习：【回顾】①到两定点距离之和等于一定值的点的轨迹一定是椭圆吗？②方程14922=+yx，表示怎么样的椭圆？（焦点,,a b c值）1.阅读课本P65至66例4前，回答：标准方程22221(0)x ya ba b+=>>或22221(0)y xa ba b+=>>中①椭圆既是对称图形，又是对称图形，其对称轴是对称中心是②椭圆所有点都在由直线和围成的矩形内，所以，椭圆上点的坐标满足③椭圆的四个顶点其中:12A A叫12B B叫且︱12A A︳= ︱12B B︱=a叫，b叫。

第三章 圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析[对应学生用书P68]命题及其关系考查方式以四种命题、逻辑联结词为主要内容．考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以选择题、填空题为主，属容易题． 备考指要1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题．2.命题p ∨q 中，p ，q 有真则真；命题p ∧q 中，p ，q 有假则假.[考题印证][例1] (2012·重庆高考)命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则p B ．若綈p 则綈q C ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q[解析] 根据逆命题的概念可知，“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”． [答案] A[跟踪演练]1．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，p ：1∈A ，q ：2∈A .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(0,1)∪[2，＋∞)C ．(1,2]D ．[1,2]解析：若p 为真，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得p 假q 真，或p 真q 假．即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.答案：C2．(天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：命题①由球的体积公式可知，一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，正确；命题②两组数据的平均数相等，若其离散程度不同，则它们的标准差也不相等，故该命题错误；命题③圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，与圆x 2＋y 2＝12的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确． 答案：C充分条件与必要条件考查方式充分条件，必要条件可以与各章内容相结合，是历年高考考查的热点之一，题型主要以选择题，填空题为主．备考指要1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性．(1)若“p ⇒q ”，且“p ⇐/q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”．(2)若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”； 2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.[考题印证][例2] (浙江高考)已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] f (x )是奇函数⇒φ＝π2＋k π，k ∈Z ；φ＝π2⇒f (x )是奇函数，所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．[答案] B[跟踪演练]3．命题p ∶2x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，命题q ∶x 2≥－x ，则命题p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：命题p ∶A ＝[0，＋∞)，命题q ∶B ＝[0，＋∞)∪(－∞，－1]．故A ⊆B ，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．(山东高考)给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为綈 p 是q 的必要而不充分条件，所以綈q 是p 的必要而不充分条件，即p 是綈q 的充分而不必要条件．答案：A全称量词与存在量词考查方式主要考查全称命题与特称命题的真假判断，以及含有一个量词的命题的否定，题型主要是选择题、填空题．备考指要1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2.特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ，使p (x )成立即可．否则，这一特称命题为假．3.全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题，首[考题印证][例3] 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )A．存在x∈R，都有x2<0B．对任意x∈R，都有x2<0C．存在x∈R，都有x2≥0D．不存在x∈R，使得x2<0[解析] 由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x∈R，使得x2<0.[答案] A[跟踪演练]5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：B6．(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p 是( )A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．答案：C利用空间向量解决平行、垂直问题考查方式 空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低档题，难度不大． 备考指要 利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标是解题的关键.[考题印证][例4] 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ，点E 是PD 的中点．(1)求证：AC ⊥PB ； (2)求证：PB ∥平面AEC .[证明] (1)建立空间直角坐标系如图．设AC ＝a ，PA ＝b ，则有A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (a,0,0)，P (0,0，b )，∴AC u u u r ＝(a,0,0)，PB u u u r ＝(0，b ，－b )，从而AC u u u r ·PB u u u r＝0.∴AC ⊥PB .(2)连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO .由已知得D (a ，－b,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，b 2，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，∴EO u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，－b 2.又PB u u u r ＝(0，b ，－b )，∴PB u u u r＝2EO u u u r ，∴PB ∥EO ，又P E ⃘平面AEC ，EO 平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC .[跟踪演练]7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在DB ，D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3， 故EF u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3，又AB u u u r＝(0,1,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量， 而AB u u u r ·EF u u u r ＝(0,1,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0，∴AB u u u r ⊥EF u u u r .又E ∉平面BB 1C 1C ，因此EF ∥平面BB 1C 1C .8.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，M 为EC 的中点．(1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BEC .证明：由题意易知AD ，CD ，ED 两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,4,0)，E (0,0,2)．(1)∵M 是CE 的中点， ∴M (0,2,1)，∴BM u u u u r＝(－2,0,1)．由题意知CD ⊥平面ADEF ，∴DC u u u r＝(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量．∴BM u u u u r ·DC u u ur ＝0.又B M ⃘平面ADEF ，∴BM ∥平面ADEF .(2)DB u u u r ＝(2,2,0)，DE u u u r＝(0,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量．则⎩⎨⎧DB u u u r·n ＝0， DE u u u r·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2z ＝0.令x ＝1，∴n ＝(1，－1,0)是平面BDE 的一个法向量， 同理，求得平面BEC 的一个法向量n 0＝(1,1,2)， ∵n ·n 0＝1×1＋(－1)×1＋0＝0， ∴平面BDE ⊥平面BEC .利用空间向量求空间角、距离考查方式利用空间向量求两条异面直线的夹角，直线与平面的夹角以及两平面的夹角与距离是高考的重点和热点，主要以解答题为主，为中档题，每年必考． 备考指要利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可．1.若两条异面直线的方向向量为a ，b ，夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2.直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线与平面的夹角θ，sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.3.两平面的法向量为n 1，n 2，两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.4.平面α的法向量为n ，P ∈α，A ∉α，PA u u u r为直线PA 的方向向量，A到平面α的距离为d ，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA u u u r ·n |n|.[考题印证][例5] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．[解] (1)在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD.又PG ＝GD ，所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又EF ∩GF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . (2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，故BC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，CP u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，32，CD u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·BC u u u r＝0，n 1·CP u u u r＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，23. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·CD u u u r＝0，n 2·CP u u u r＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＋32y 2＝0，－32 －32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24. [跟踪演练]9．(陕西高考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE u u u r 与DB u u u r夹角的余弦值．解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，∵AD 平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC.(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB u u u r ，DC u u u r ，DA u u u r所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3,0)，A (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，∴AE u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－3，DB u u u r ＝(1,0,0)，∴AE u u u r 与DB u u u r夹角的余弦值为cos 〈AE u u u r ，DB u u u r 〉＝AE u u u r ·DBu u u r|AE u u ur |·|DB u u u r |＝12224×1＝2222. 10．(上海高考)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝2，AD ＝1，A ′A ＝1，证明直线BC ′平行于平面D ′AC ，并求直线BC ′到平面D ′AC 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A (1,0,1)，B (1,2,1)，C (0,2,1)，C ′(0,2,0)，D ′(0,0,0)．则D A 'u u u u r＝(1,0,1)，D C 'u u u u r ＝(0,2,1)，设平面D ′AC 的法向量n ＝(u ，v ，w )，由n ⊥D A 'u u u u r，n ⊥D C 'u u u u r ，得n ·D A 'u u u u r ＝0，n ·D C 'u u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧u ＋w ＝0，2v ＋w ＝0，解得u ＝2v ，w ＝－2v ，取v ＝1，得平面D ′AC 的一个法向量n ＝(2,1，－2)．因为BC 'u u u u r ＝(－1,0，－1)，所以n ·BC 'u u u u r＝0，所以n ⊥BC 'u u u u r.又BC ′平面D ′AC ，所以BC ′∥平面D ′AC .由CB u u u r ＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝|n ·CB u u u r||n |＝|2×1＋1×0＋－2×0|22＋12＋－22＝23，所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为23. 圆锥曲线的定义与性质考查方式主要考查椭圆、抛物线、双曲线的简单性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容，选择题、填空题、解答题都有可能出现．备考指要 对于圆锥曲线的有关问题．“回归定义”是一种重要解题策略，应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的应用.[考题印证][例6] (辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[解析] 在三角形ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ，又|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，解得|BF |＝8.在三角形ABF 中，|AB |2＝102＝82＋62＝|BF |2＋|AF |2，故三角形ABF 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，根据椭圆的对称性，四边形AFBF ′为矩形，则其对角线|FF ′|＝|AB |＝10，且|BF |＝|AF ′|＝8，即焦距2c ＝10，又根据椭圆的定义，得|AF |＋|AF ′|＝2a ，所以2a ＝|AF |＋|AF ′|＝6＋8＝14.故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝57. [答案] 57[跟踪演练]11．(新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：由题意知：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2， 所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 答案：C12．(浙江高考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，∵tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C直线与圆锥曲线的位置关系考查方式直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值定点、定值等问题，题型以解答题为主，这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合． 备考指要处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.[考题印证][例7] (陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．[解] (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |. 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝ x 2＋42. 又|O 1A |＝ x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝ x 2＋42.化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2.① x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b .此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．[跟踪演练]13．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B ，D 两点，且BD的中点为M (1,3)，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a2b 2－a 2.由M (1,3)为BD 的中点知4a 2b 2－a 2＝2，即b 2＝3a 2.故c ＝a 2＋b 2＝2a ，e ＝c a＝2. 答案：214．(陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB u u u r ＝2OA u u u r，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB u u u r ＝2OA u u u r及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB u u u r ＝2OA u u u r ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .15．(江西高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② 将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③ 代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3.④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12x 0－1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝yx 0－1x －1，x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52x 0－1，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32x 0－1，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52x 0－1＋2y 0－32x 0－1＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测四 见8开试卷(时间 90分钟，满分 120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：命题“若p 则q ”的逆否命题为“若綈q 则綈p ”．故应选 D.答案：D2．有下面三个判断，其中正确的个数是( )①命题：“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个真命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；③命题“对任意a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2≥2(a －b －1)成立”的否定是“存在a ，b ∈R ，使a 2＋b 2≤2(a －b －1)成立”．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：命题①的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，命题为真．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真，所以②错误．易知命题③错误．答案：B3．(陕西高考)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ，b 为向量，设a 与b 的夹角为θ.由|a ·b |＝||a |·|b |cos θ |＝|a ||b |从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a ∥b ，反之也能够成立，为充分必要条件．答案：C 4.x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标为( )A ．±34B.33C.32 D.34解析：设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴． 又半焦距c ＝12－3＝3， ∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34. 答案：A5．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案：D6.已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 夹角的余弦值为( )A.413B.313C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A －BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又ED u u u r ＝EA u u u r ＋AD u u u r ＝14BA u u u r ＋AD u u u r，BF u u u r ＝BC u u ur ＋CF u u u r ＝BC u u u r ＋14CD u u u r ，∴ED u u u r ·BF u u u r ＝14BA u u u r ·BC u u u r ＋14AD u u u r ·CD u u ur ＝4，|ED u u u r |2＝1162BA u u u u r ＋12BA u u u r ·AD u u u r ＋2AD u u u u r ＝1－4＋16＝13.|ED u u u r |＝13，同理|BF u u u r|＝13.∴cos 〈ED u u u r ，BF u u u r 〉＝ED u u u r ·BF u u u r|ED u u ur ||BF u u u r |＝413. 答案：A7．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0解析：设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得：得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， 又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4， ∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线l 的方程为2x －y －4＝0. 答案：A8．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF u u u r ·2PF u u u r＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．5解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2， 故4a 2＝(x －y )2＝4c 2－36，又c a ＝54，∴c ＝5，a ＝4，b ＝3. 答案：B9．在正棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，直线AC 与平面A 1BC 的夹角为θ，平面ABC 与平面A 1BC 的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )A ．θ>φB ．θ<φC ．θ＝φD ．大小不确定解析：建立空间直角坐标系，如图．则B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，BC u u u r ＝(－3，1,0)，1A C u u u u r ＝(0,2，－2)，ACu u u r ＝(0,2,0)．设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )则⎩⎨⎧ －3＋y ＝0，2y －2z ＝0，得y ＝z ＝3，n ＝(1，3，3)，∴sin θ＝|cos 〈AC u u u r ，n 〉|＝2327＝217. 又1AA u u u u r ＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量，∴cos φ＝|cos 〈1AA u u u u r ，n 〉|＝2327＝217， sin φ＝1－cos 2φ＝277>sin θ.∴φ>θ. 答案：B10．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1 解析：由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．命题“存在x ∈R ，使2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题，∴任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题，∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8，∴－22≤a ≤2 2.答案：[－22，2 2 ]12．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若OA u u u r 与BC u u u r 的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：OA u u u r ＝(1，－2,3)，BC u u u r ＝(2,0，－6)，∴cos θ＝OA u u u r ·BC u u u r | OA u u u r ||BC u u u r |＝－43535. 答案：－4353513．斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴b a ＞3，即b ＞3a ，∴b 2＞3a 2，∴c 2－a 2＞3a 2，∴e 2－1＞3，∴e ＞2.答案：(2，＋∞) 14．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：∠MF 1F 2是直线的倾斜角，所以∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，所以△MF 2F 1是直角三角形，在Rt △MF 2F 1中，|F 2F 1|＝2c ，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以e ＝2c 2a ＝2c |MF 1|＋|MF 2|＝23＋1＝3－1. 答案：3－1三、解答题15．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意，p ⇒q 但q 不能推出p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a ≤10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是(0,3]．16．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)设|FA |＝2|BF |，求直线l 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4，∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)∵|FA |＝2|BF |，∴FA u u u r ＝2BF u u u r ，而FA u u u r ＝(x 1－1，y 1)，BF u u u r ＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－1＝21－x 2，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)·x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．17．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求平面A ′FD 与平面FDC 的夹角的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H 平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)．故FA 'u u u r ＝(－2,2,22)，FD u u u r ＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33.所以二面角A ′－FD －C 的余弦值为33.(2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214， 经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214. 18．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P (－1，22)在椭圆上，且1PF u u u r ·12F F u u u u r ＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA u u u r ·OB u u u r ＝23，求k 的值． 解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2， x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2， OA u u u r ·OB u u u r ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23， ∴k ＝±1.。