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流变学第二章 3

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第2章流变学的基本概念

第2章流变学的基本概念

在变形很小的情况下，接近1。
=1+
=-1=(a’-a)/a=(b’-b)/b=(c’-
c)/c
1
是边长变化量与原始长度之比。>0， 试样膨胀；<0，试样被压缩。
体积的变化分数(V/V)， V是原始 体积， V是体积的变化量。
V/ V = 3-1=(1+ )3-1=3+32+ 3
第2章 流变学的基本概念
1. 应变(Strain) 1.1 各向同性的压缩和膨胀
在各向同性压缩和膨胀中，任何形状 的试样都变为几何形状相似但尺寸较大的 试样。
以一个立方柱体为例： 起始各边长为a,b,c;膨胀后各边长分 别为a’,b’,c’(如图2-1)。
y
x
z
图 2-1 各向同性膨胀
a’=a =a’/a b’=b =b’/b c’=c =c’/c 1, 试样膨胀；1,试样被压缩； 称为伸缩比； 3则可表示体积的变化。
设n是与分隔面垂直而且方向是向外的 一个单位矢量，这种各向同性的应力可表示
为:
tn=-np
式中：p为压力。各向同性的应力也叫静压 力。
讨论一个无限小的体积单元在x轴上的 力。作用在右侧面上的力fxr为:
fxl=-nrPA
图 2-8 各向同性压缩时力的平衡
式中，nr为单位矢量，方向与右侧面垂直。 作用在左侧面的力fxr为：
图 2-3 简单剪切实验
=w/l=tan 称为剪切应变。如应变很小，可近似认为
= 对液体而言：
d / dt
2. 应力(Stress) 单位面积上所受的力称之为应力。
t=df/ds 由于力是均匀的，应力可表示为t=f/s。
3. 应力的分量表示法和应力张量

流变学(二)

流变学(二)

Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 一、张量的初步概念 1、张量的定义
BUCT
在场中某一点处，由于作用面方位不同而取得不同量 值的物理量称为张量，它既有大小，又有方向，还和 作用面的方位有关。 张量分量数目由阶数定，即： 张量分量数目=3n （数量30 、矢量31 、二阶张量32 ）
Polymer Rheology
BUCT
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 二、应力的概念 1、作用在材料上的力
BUCT
r 体积力（远程力）：重力、磁力等 单位：[力]∕[长度Δ ]2T
表面力（近程力）：摩擦力、压力等 Kgf/cm2
2=Pa N/m ΔA
2、内力与应力
r ΔT r σ = lim ΔAc → 0 ΔA c
II ε =
BUCT
εx
1 γ yx 2
εx
1 III ε = γ yx 2 1 γ zx 2
Polymer Rheology
1 1 γ xy εy γ yz εx 2 2 + + 1 1 εy γ zy εz γ zx 2 2 1 1 γ xy γ xz 2 2 1 εy γ yz = ε 1 • ε 2 • ε 3 2 1 γ zy εz 2
τ 12 σ 22 − σ m τ 32
⎤ τ 23 ⎥ ⎥ σ 33 − σ m ⎥ ⎦
τ 13
应力张量
球应力张量
偏斜应力张量
1 σ m = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 3
Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 五、应力张量的特殊形式 1、静压张量

第二章 流变学的基本概念

第二章 流变学的基本概念

1. 简单实验
材料是均匀的，各向同性的， 而材料被施加的应力及发生的应变 也是均匀和各向同性的，即应力、 应变与坐标及其方向无关。
1.1 应变
1.1.1 各向同性的压缩和膨胀
y
c
x
b` b a c` a` 各向同性膨胀
z
a`=aα b`=bα c`=c α α-伸缩比
1
a`a b`b c`c 1 a b c 1
变化规律。
log
A t B a C
A：t 随 ↑ 而↑,
支化聚合物。如支化PE
B：t 与 无关: 聚合度低的线性高物:POM、PA-66 C：t 随 ↑而↓,
logŕ
高聚合度PP
拉伸流动中会发生链缠结, 拉伸黏度降低, 同时链伸展并沿 流动方向取向,分子间相互作用增加,流动阻力增加,伸展黏 度变大.拉伸黏度取决于这两个因素哪一个占优势.
t df / ds
df 为作用在表面上无限小面积ds上的力。在简单 实验中由于力是均匀的。 应力——材料单位面积受到的表面力作用
t f /s
1.2.1 应力的分量表示法和应力张量
应力的性质：应力的大小；方向；作用面。 应力的分量第1个下标表示作用面，第2个下 标表示应力的方向。 作用力的方向与作用面垂直，被称为应力的 法向分量, txx、 tyy 、 tzz。 作用力的方向与作用面平行，被称为应力的 切向分量，txy、 tyx 、 tzx、txz、tzy、tyz。
微晶的存在 起到交联的 作用
结晶性线形聚合物的拉伸模量与温度的关系 其形状与无定型聚合物类似，其区别是坪台区较宽，
且平台处的模量较高.
3.5 模量的分子量依赖性
低温时粘弹性主要决定于大分 子链的小链段的运动，而与大 分子链本身的尺寸基本上无关 。在高温时的粘弹性则涉及到 较大链段的复杂运动，以解开 缠绕并最后大分子链间相互滑 移 ，所以分子量对拉伸模量的 影响主要在高弹态和粘流态

流变学+第二章

流变学+第二章

2.4.3 胀流性流体
主要特征 剪切粘度不是随 剪切速率的增大 而减小，恰恰相反，剪切速率越大，粘度 越大，呈剪切变稠效应。流动指数大于1。
图2-21 几种典型流体的流动曲线
2.5 关于剪切粘度的深入讨论*
影响高分子材料剪切粘度的因素： 1) 实验条件和生产工艺条件：温度、剪切速率 和剪切应力、压力等 2) 物料结构及成分：配合剂 3) 大分子结构参数：平均分子量、分子量分布、 长链支化度
图2-42 200℃时高密度聚乙烯的流变性质
2) 储能模量曲线与第一法向应力差曲线形状 相似，两者均为材料弹性的描述；
图2-44 200℃时聚苯乙烯的流变性质
3)Cox-Merz关系式 适用于大多数均聚物浓厚系统，对高聚物稀 溶液不适用。 Cox-Merz关系式 的重要性 它联系着两类性 质完全不同的流变测量，因此具有重要的实 用价值和理论意义。
微分粘度, 稠度
单位
2.3.2 第一、第二法向应力差系数
定义、单位
是粘弹性流体流动时弹性行为的主要表现 高分子液体的法向应力差随剪切速率变化 的一般规律 第一法向应力差系数随剪切速率的变化规 律与粘度曲线相似
图2-11 高分子溶液和熔体的第一、二法 向应力差随切变速率变化的一般规律
图2-12 聚苯乙烯的表观粘度、动态粘度、动态 剪切模量和第一法向应力差对切变速率或角频率 的依赖关系
企业中表征材料粘温依赖性的实用方法
2.5.2 剪切速率和剪切应力的影响
很多高聚物都呈现剪切变稀行为
用毛细管流变仪和转子式粘度计测得的流动曲线 可以较全面地反映材料的粘切依赖性。
流动曲线与分子链结构的联系。分子量较大的柔 性分子链，粘切依赖性较大。多数橡胶材料的粘 切依赖性比塑料大。 表观粘度与切应力的关系曲线

第2章 流变学的基本概念

第2章 流变学的基本概念

2.2.3.1 几个特殊张量
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1 B1 A2 B1 AB 3 1 A1 B2 A2 B2 A3 B2 A1 B3 A2 B3 A3 B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。 注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况 下，AB≠BA
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
第2章 流变学的基本概念
流变现象 力学行为
应力
应力-应变(速率)的关系 应变
应变速率
理想化模型
流体均匀各项同性 应力-应变亦如此
2.1 流体形变的基本类型
2.3.2 应变张量
变形前的距离为：
ds (dx, dy, dz )
变形后产生的相对位移：
du (dux , duy , duz )
2.3.2 应变张量
变形前后两点的相对位置发生变化，其变化 量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形 式为:
u x x du u y ds x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z
或
0 0 0 0 0 Tzy
0 Tyz 0
2.3.2 应变张量
变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：
PP 1 2 (dx, dy, dz )
变形后的两点相对位置用下列矢量表示：
' ' P P2 (dx dux , dy duy , dz duz ) 1

流变学的基本知识

流变学的基本知识

《临床血液流变学》P5第二章流变学的基本知识第一节流变学、生物流变学及类血液流变学一、流变学流变学（rheology）一词中的rheo起源于希腊语，有流动之意。

远在公元前5世纪，人们就流传着希腊哲学家Heraclitus的一句脍炙人口的名言：“一切在流，一切在变”。

流变学一词由此而来。

然而，流变学成为一门独立学科则是20世纪20年代的事情，当时，由于橡胶、塑料、油漆、润滑剂以及食品工业的迅速发展，推动了对上述原材料的研究。

因为这些物质都包含有流动和复杂变形的结构，这些物质所具有的运动现象，很难用经典的弹性力学和流体力学的方法来分析，为此，研究这类物质的流动与变形，必须紧密结合这些物质的结构和物理、化学属性，美国的物理化学家Bingham 在对油漆、糊状粘土、印刷油墨、润滑剂以及某些食品作了大量的研究后，认为这些物质都包含有使其能够复杂变形和流动的结构，其运动方式远较一般弹性体的变形和一般液体的流动复杂。

同时还指出，这些物质的复杂变形发生在流动过程中，并对其流动产生重大影响，在他的倡议下，美国于1928年成立了流变学会，并把研究物质流动和变形的科学称为流变学。

与流体力学、弹性力学、材料力学相比，流变学有2个突出的不同特点：其一，流变学研究的重点不仅限于物质的粘性运动和弹性变形，而是兼有这2种物理属性，或者更确切地说，是由这2种物理属性结合而成的物质的新的物理属性，即粘弹性和塑弹性。

其二，流变学研究的内容和范围不仅从宏观角度去探讨物质的力学性质和行为，而且还从微观的角度去揭示物质内部结构及其理化性质与其宏观力学和运动的关系。

由此可见，流变学又可以看作是物体的力学与构成物体的物质化学互相渗透的科学，正是从这一点出发，流变学又被定义为有关物体的力学性质和力学行为的物理化学。

物质在外力作用下能够变形或运动，是物质的普遍特性，不论是液体的流动，弹性体的变形或者是更为复杂的塑性、粘弹性以及塑弹性，均属于物质流变性的表现方式。

第2章_聚合物的流变性质

刚性大和分子间作用力大，η对T的敏感性越强， 升高T有利于加工。
II.
聚合物中的支链 支链越长，支化度越高， η越大，流动性下降， 长支链还增大了对剪切速率的敏感性。当η一定时， 有支链的聚合物越易呈现非牛顿性流动的行为。
III. 侧基
侧基较大，自由体积增大，η降低， η对T和P 的敏感性增加，如PS、PMMA。
第一节
聚合物熔体的流变行为
定义：材料受力后产生的形变和尺寸改变称为应变γ。单位 时间内的应变称为应变速率(或速度梯度)，可以表示为：
d dt

应变方式和应变速率与所受外力的性质和位置有关，可 分为以下三种流动方式： 剪切流动：聚合物加工时受到剪切力作用 拉伸流动：聚合物在加工过程中受到拉伸应力作用 静压力的均匀压缩（主要影响粘度）
第二章 聚合物的流变性质
2.1 聚合物熔体的流变行为 2.2 影响聚合物流变行为的主要因素
流变学（Rheology) ：研究物质形变与流动的科学 熔融加工是最常见的加工形式，在加工过程
中，聚合物都要产生流动和形变。 聚合物的形变包括：弹性形变、塑性形变和 粘性形变 影响形变的因素：聚合物结构与性质、温度、 力(大小和方式、作用时间）和物料体系组成。
二、压力对粘度的影响
聚合物的聚集态并不如想象中那么紧密，实际上 存在很多微小空穴，即所谓“自由体积”，从而使聚 合物液体有可压缩性。
为了提高流量，不得不提高压力，自由体积减小，
粘度增大，同时设备损耗增加。因此不能单纯加压提
高产量。
当压力增加到700大气压时，体积变化可达5.5%， PS的粘度增加高达100倍。 在加工过程中通过改变压力或温度，都能获得同样 的粘度变化效应称为压力—温度等效性。 例如，对很多聚合物，压力增加到1000大气压时， 熔体粘度的变化相当于降低30~50℃温度的作用。

第二章 流变学的基本概念

l′＝l
b′＝b c′＝c V/V0＝2Biblioteka ＝1＋ <<1
＝1－ <<1

l l l
为长度的分数增量 为侧边的分数减量
5

b b c c b c
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1]
由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
△V/V＝3－1＝（1＋）3－1＝3＋32＋3
由于<<1
△V/V≈3
△V/V是边长的分数变化的3倍
各向同性膨胀是均匀的变形（Homogeneous）。物体内 任何体积单元都变化3倍，当然物体不一定是立方柱体
4
2.2.2 拉伸和单向压缩 （Extension and uniaxial expension）
特点 材料均匀、各向同性，材料被施加的应力及发生的应变也 是均匀和各向同性，即应力、应变与坐标及其方向无关
2
2.2 应变（Strain）
2.2.1 各向同性的压缩和膨胀 （Isotropic compression and expansion）
a′＝a b′＝b
比 更常见 和更常用
c′＝c
a b c 称为伸缩比（Stretch ratio） >1，膨胀， a b c <1，压缩, 3表示体积的变化
a a b b c c <<1 ，>0，膨胀，<0，压缩 1 3 a b c
体积变化量△V/V0，V0是原始体积，△V是体积之变化量

第二章 流变学的基本概念03


第二不变量
& & &i j
& & & & & & & & & & & & = exx exx + exy e yx + exz ezx + e yx exy + e yy e yy + e yz ezy & & & & & & + ezxexz + ezy e yz + ezz ezz
A0
u y u x u z exx = = e yy = = ezz = =ε x y z 1 u x u y exy = e yx = y + x = exz = ezx = e yz = ezy = 0 2
简单剪切simple shear
A0
F θ
F
1 u x u y 1 = γ exy = e yx = + y 2 2 x
v x v y & & = γ& exy = e yx = + y x
& = 2γ& 2 I2
2.4 本构方程和材料函数
连续性方程 运动方程 能量方程
本构方程 材料函数
作业
1. 何为应变张量？ 2. 何为应变速率张量？ 3. 推导三类基本类型流体的应变张量？
Strain (应变 应变) 应变
Shear strain
剪切应变
dx γ= dy
F
dx v+dv v A dy F
Shear rate
切变速率
dγ dv γ& = = dt dy

第二章 流变学基本概念


剪切应变变形
应变 =

位移 间隙
剪切应变通常简称为应变 应变没有单位。因此人们采用 ‘% strain’ 或 ‘millistrain’ 采用应变的原因是它与几何形状无关
剪切应力

施加在单位面积上的力称为剪切应力
力 面积
=
N m2
1 N/m2 = 1 Pa
粘性流动

如果立方体是粘性液体，当我们施加一个力时，我们就 得到一个恒定的流动而不是一个形变 这个流动能够描述为应变随时间变化的函数关系
第三不变量:
2.4本构方程
本构方程又称流变状态方程，是联系应力张量和应变张量或应变 速率张量之间的关系方程，而联系的系数通常是材料常数，如粘 度、模量等. 从理论上讲：建立流体的本构方程是流变学最重要的任务，是将 计算方法引入流变学的关键。寻找合适的本构方程至今仍然是流 变学领域研究的一个热点。 从工程上讲：它是高分子加工过程复杂流动问题的工程分析基础。
单元表面作用力
图2-4中δS 是截面积，δF是作用力，v为法向单位矢量。P点应力σ的定义
2.3.1 应力张量
力：F 三个相互垂直面 力分解：F1， F2， F3 引入微元面和dS
得应力：T1，T2，T3
符号说明：
Txx 、 Tyy 、 Tzz 它们分别垂直于 x 、 y 、 z 轴垂直 的平面上称为法向应力分量。 Txy 、 Tyz 、 Txz 、 Tzx 、 Tyz 、 Tzy 均为某一平面上 平行的切应力方向， 第一个下标表示该分量作
Force, F
Constant velocity, v化速率称为剪切应变速率 （shear strain rate）或剪切速率（SHEAR RATE ）
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哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。
哈密尔顿算子 表达式
i j k x y z

哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有 法则；另一方面可按微分法则运算。
流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理 量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标 量场和矢量场。



二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表 示
a11 a a ai j a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33

流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应 力 、剪切速率 和应力速率等都是张量。
二、哈密尔顿算子
divv v1 v2 v3 v x y z

1i v2 j v3k
divν物理意义：单位时间单位 体积内所产生的流体质量
散度的基本运算法则为
(v u) v u
(v) v v
流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度 场散度divνi=0,具有不可压缩特性。

常用于表示速度散度
vi
vi (vi ) xi
(vi ) 常用于表示速度梯度
vi (vi ) x j
c.拉普拉斯算子
2 2 2 x y z
2
称为拉普拉斯算 子

如：
2 2 2 ( 2 2 2 ) 2 2 2 x y z x y z
第一节 张量初步知识

高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别 是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力， 以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程 的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线 性代数和张量运算的数学基础。
一、标量、矢量和张量 标量——没有任何方向性的纯数值的量。 如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定 压热容和能量。
三、几个特殊的张量

a.单位张量 单位张量的表达式
称为克朗内克 符号
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1
1 当i j 0当i j
1 0 0
0 0 1 0 i j 0 1

b.对称张量

二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变， 称为二阶对称张量。即有σ ij=σ ji 二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对 角线对称。因而只有六个独立元素。有：
11 12 i j 21 22 31 32

13 11 12 13 23 22 23 33 33
C 反对称张量

二阶反对称张量的分量满足pij=-pji 对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有
0 pi j p21 p 31

p12 0 p32
p13 0 p23 p12 p 0 13
p12 0 p23
p13 p23 0
任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张 量和一个二阶反对称张量之和。
d.张量的代数运算


矢量


矢量——既有方向，又有大小的量。 如：位移、速度和温度梯度等。
i、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量

矢量用粗体代号或一个脚码代号表达 ai=a=axi+ayj+azk
三个分量ax、ay、az是矢量在x、 y、z轴上的投影，常把x、y、z
写成1、2、3
张量是矢量的推广

张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量 值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。

（1）张量相等 两个张量相等，则各分量一一对应相等。 若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等， 则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。
Aij Bij
笛卡尔坐标系

笛卡尔坐标系 (Cartesian coordinates) 就是直角坐标系和斜角坐标 系的统称。 相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的 度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。 两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则 称为笛卡尔斜角坐标系。 仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广 相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴 上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。 三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系， 否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。

张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量 的集合。
指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量 n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量

张量的特征： ①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换， 可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标 系中，还可以转换到柱面坐标系（r,θ,z)和 球面坐标系(r,θ,φ)中。 ②张量分量可在各种坐标系中描述。 ③张量分量具有一定的空间分布。 ④张量具有可分解性和可加和性。

a.标量场的梯度 梯度是个矢量，它的大小则为υ最大变化率的数值。 它的方向为场不均匀的量
度，记为gradυ.
grad i j k x y z
或
grad
i j k x1 x 2 x3
梯度的基本运算法则有
(C ) C
(1 2 ) 1 2
C为常数
(12 ) 12 21
F '( ) 为导函数
F ( ) F '( )
b.矢量场的散度

散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的 通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速 度散度记为divν,它是一标量。 在直角坐标系中，若 则