【新教材】人教版《3.4 函数的应用(一)》教学设计(2套)

3.4 函数的应用（一）-人教A版高中数学必修第一册（2019版）教案一、知识目标1.理解函数的定义和作用；2.掌握函数的应用，包括最值和范围等。

二、能力目标1.能够解决生活中实际问题中涉及到的函数问题；2.能够分析和解决函数图像相关的问题；3.能够使用函数的相关概念和技巧解决相关的问题。

三、情境设计情境一：小明最近开始关注健康问题，他想要控制自己的体重。

他在网上查到了一些瘦身食谱，但不知道哪一个对他最适合。

请帮助他分析一下这些食谱对他的身体会产生怎样的影响。

情境二：小王正在准备高考，他发现自己在考试中经常拖延时间，导致无法完成所有的题目。

请帮助他分析一下自己的学习时间和效率之间的关系，并提出解决办法。

四、教材分析本节课主要涉及到函数的应用，包括最值和范围等。

需要注意的是，此部分内容需要结合具体情境进行分析和解决问题。

知识点概括：1.函数的基本概念和基本性质；2.最值问题；3.范围问题。

五、教学重点与难点教学重点：1.函数的应用；2.最值问题和范围问题。

教学难点：1.如何将函数的概念应用到实际问题中；2.如何有效地解决最值和范围问题。

六、教学方法1.情景模拟法；2.讲授法；3.问答法。

七、教学步骤步骤一：函数的应用概述。

引导学生思考函数的作用，如何将函数应用到实际问题中。

通过情景模拟的方式，让学生了解函数在解决实际问题中的重要性。

步骤二：最值问题的分析和解决。

讲解最值的概念和基本公式，并通过例题演示最值问题的解决方法。

然后让学生自己尝试解决一些练习题目。

步骤三：范围问题的分析和解决。

讲解范围的概念和基本公式，并以具体问题为例介绍范围问题的解决方法。

然后让学生自己尝试解决一些练习题目。

步骤四：对比和总结。

让学生将最值问题和范围问题进行比较和总结，帮助他们更好地掌握函数应用的相关知识。

八、教学评价针对本节课的教学目标和步骤，可以通过以下方式进行教学评价：1.题目测试；2.课堂讨论；3.作业评估。

九、教学反思针对本节课的教学效果和学生反应，需要及时进行教学反思并对教学内容和方法进行调整和改进。

3.4 函数的应用（一）1.能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题；2.经历建立函数模型解决实际问题的过程，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。

1.教学重点：建立函数模型解决实际问题；2.教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题。

1.一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数的解析式分别是什么?一次函数：；反比例函数：；二次函数：；幂函数：。

一、探索新知例1 .设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．（１）求y关于x的函数解析式；（２）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图1所示，（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.1．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．3．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示：(1)月通话为100分钟时，应交话费多少元；(2)当x⩾100时,求y与x之间的函数关系式；(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元?这节课你的收获是什么？参考答案：知识梳理：一次函数：)0(≠+=k b kx y 反比例函数：)0(≠=k x k y二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 幂函数 )(为常数ααx y = 学习过程：例题解析见教材93页例1.，94页例2. 达标检测1.【解析】 设彩电的原价为a ，∴a (1＋0.4)·80%－a ＝270，∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元． 【答案】 2 2502.【解析】 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500，当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元． 【答案】 2 500【新教材】3.4 函数的应用（一）（人教A 版）1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．重点：运用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．一、预习导入阅读课本93-94页，填写。

3.4 函数的应用（一）(教师独具内容)课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用．教学重点：用函数模型来解决实际问题．教学难点：建立函数模型.【知识导学】知识点用函数模型解决实际问题的一般步骤(1)审题：□01弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：□02将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：□03求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：□04利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：【新知拓展】常见的函数模型(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解．( ) (2)现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人所得税等．( )(3)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B 地，在B 地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y (单位：千米)是时间t (单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．(2)有200 m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(假设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，那么矩形的长为________ m ，宽为________ m 时，这块菜地的面积最大．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80t ，0≤t ≤2，160，2<t ≤4 (2)100 50题型一 一次函数模型解决实际问题例1 某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润．[解] 设生产童装的天数为x ，则生产西服的天数为(30－x )，每月生产童装和西服的套数分别为200x 和50(30－x )，每月生产童装和西服的成本分别为40×200x 元和150×50×(30－x )元，每月生产童装和西服的利润分别为22×200x 元和80×50×(30－x )元，则总利润为y ＝22×200x ＋80×50×(30－x )，化简得y ＝400x ＋120000.注意到每月成本不超过23万元，则40×200x ＋150×50×(30－x )≤230000，从而求出x 的取值范围是0≤x ≤10，且x 为整数．显然当x ＝10时，赢利最大，最大利润是124000元．金版点睛用一次函数模型解决实际问题的解题方法(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型； (3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．[跟踪训练1] 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程．解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶路程为120t ，所以，火车行驶总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115.离开北京2 h 时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).题型二 二次函数模型解决实际问题例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？[解] 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8000＝－x 25＋88x －8000＝－15(x －220)2＋1680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上单调递增， ∴x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元． 金版点睛用二次函数模型解题的策略(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．[跟踪训练2] 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元． 所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2. 所以y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.题型三 分段函数模型解决实际问题例3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)[解] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x≤550时，P＝60－0.02(x－100)＝62－x50；当x>550时，P＝51.∴P＝f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x≤100，62－x50，100<x≤550，51，x>550(x∈N)．(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(P－40)x＝⎩⎪⎨⎪⎧20x，0<x≤100，22x－x250，100<x≤550，11x，x>550(x∈N)．当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．金版点睛用分段函数模型解决实际问题的解法分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．[跟踪训练3]有一新款服装在4月份(共30天)投放某专卖店销售，日销售量y(单位：件)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)(单位：天)的函数图象如图所示，其中函数y＝f(n)的图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．(1)求f (n )的表达式，及前m 天的销售总量；(2)按规律，当该服装的销售总量超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．解 (1)由图象知，当1≤n ≤m 且n ∈N *时，设f (n )＝5n ＋b ，将点(1,2)代入，得5＋b ＝2，解得b ＝－3，则f (n )＝5n －3. 由f (m )＝57，即5m －3＝57，得m ＝12.当12<n ≤30且n ∈N *时，设f (n )＝－3n ＋k ，将点(30,3)代入，得－3×30＋k ＝3，解得k ＝93，则f (n )＝－3n ＋93.综上得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －3，1≤n ≤12且n ∈N *，－3n ＋93，12<n ≤30且n ∈N *.前12天的销售总量为5(1＋2＋3＋…＋12)－3×12＝354(件)．(2)第13天的销售量为f (13)＝－3×13＋93＝54(件)，而354＋54>400， ∴从第14天开始销售总量超过400件，即该服装开始流行．设第n 天的日销售量开始低于30件(12<n ≤30且n ∈N *)，即f (n )＝－3n ＋93<30，解得n >21.∴从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号． ∴该服装在社会上流行的天数不超过10天. 题型四 综合运用所学知识解决实际问题例4 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．[解] (1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.金版点睛对于此类实际应用问题，应先根据题意建立函数关系式，再解决数学问题，最后结合问题的实际意义作出回答.建立函数关系式是解题关键.[跟踪训练4] 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元．1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)米，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所走过的路程y (米)和其所用的时间x (分)的函数图象为(如下图所示)( )答案 D解析 注意到y 表示“小王从出发到返回原地所走过的路程”，而不是位移．故选D. 2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510答案 B解析 根据规定可知，当各班人数除以10的余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).1万件售价是20万元，若该企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．18万件B ．20万件C ．16万件D ．8万件 答案 A解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．故选A.4．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有80元．则盒内钱数y (元)与存钱月数x 之间的函数关系式为________．答案 y ＝10x ＋60(x ≥0)解析 设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .因为当x ＝0时，y ＝60；当x ＝2时，y＝80，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝60，2k ＋b ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝60，所以y ＝10x ＋60(x ≥0)．5．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系式y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43(0≤x ≤30)，y 值越大，表示接受能力越强．(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解 (1)因为y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9. 所以，当0≤x ≤13时，学生的接受能力逐步增强； 当13≤x ≤30时，学生的接受能力逐步下降． (2)当x ＝10时，y ＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59， 即第10分钟时，学生的接受能力为59. (3)当x ＝13时，y 取最大值．所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．。

第三章函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）教学设计一、教学目标1.会用一次函数、二次函数、幂函数解决实际问题。

2.体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。

二、教学重难点1.教学重点函数模型的应用2.教学难点分段函数，模型的应用三、教学过程阅读课本P94例2，体会分段函数在实际问题中的应用。

建立函数模型的注意事项：(1)通过实际问题抽象函数模型时,有时需要用待定系数法、归纳法等方法确定函数关系式。

(2)确定的函数关系式不一定符合实际情况,还需要进行检验。

(3)要熟知各类函数模型的增长或减少的变化情况,如一次函数模型是恒增或恒减的,二次函数模型是先增后减或先减后增等。

3.课堂练习1.若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(单位:m)与刹车时的速率x(单位:km/h)的关系,而某种型号的汽车在速率为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20m在限速为100km/h的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m,那么这辆车是否超速行驶?2.广公司要为客户设计一幅周长为l(单位:m)的矩形广告牌,如何设计这个广告牌以使广告牌的面积最大?学生解答：由20=602a得a=由50=x2得x=30因为30<100,所以这辆车没有超速行驶学生在纸上作答并互相交流答案。

培养学生自主学习能力，灵活运用已学知识，体会实际问题的解答过程。

3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去,则(1)设总成本为y1(单位:万元),单位成本为y2(单:万元),销售总收入为y3单位:万元),总利润为y4(单位:万元),分别求出它们关于总产量x(单位:件)的函数解析式;(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益做出简单分析解:(1)由题意,得y1=150+0.25x,y2=+0.25x,y3=035xy4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y4=0.1x-150的图象如图由图象可知,当x<1500时,该公司亏损; 当x=1500时,公司不赔不赚;当x>1500时,公司赢利。

3.4 函数的应用（一）【学习目标】一.常见的函数模型利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.【经典例题】题型一一次函数、二次函数模型在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意：(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符.例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：(1)x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．【跟踪训练】1 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t 小时内向居民供水总量为1006t (0≤t ≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.题型二 分段函数模型分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．例2 某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？【跟踪训练】2 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H (x )＝⎩⎨⎧400x －x 2，0≤x ≤200，x ∈N ，40 000，x >200，x ∈N ，其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数(用f (x )表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)题型三 用幂函数模型解决实际问题步骤：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题．例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式（可带参数）；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中的流量为400 cm 3/s ，求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量R 的表达式；【当堂达标】1.一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( )A.y ＝2tB.y ＝120tC.y ＝2t (t ≥0)D.y ＝120t (t ≥0)2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( ) A ．310元 B ．300元 C ．390元D ．280元3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是()∈这几年生活水平逐年得到提高；∈生活费收入指数增长最快的一年是2014年；∈生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；∈虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A．1B．2C．3D．44.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为()（默认y>x）A.y＝10－x(0<x<5)B.y＝10－2x(0<x<10)C.y＝20－x(0<x<5)D.y＝20－2x(0<x<10)5.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.6.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【参考答案】【经典例题】1. 解 (1)在平面直角坐标系中画出各点，如图．这些点近似地分布在一条直线上，猜想y 与x 之间的关系为一次函数关系， 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，且k ，b 为常数)，则⎩⎨⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝150.∈f (x )＝－3x ＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上． ∈y 与x 之间的函数解析式为y ＝－3x ＋150(30≤x ≤50)．(2)由题意，得P ＝(x －30)(－3x ＋150)＝－3x 2＋240x －4500＝－3(x －40)2＋300(30≤x ≤50)． ∈当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大．【跟踪训练】1解 设t 小时后，蓄水池中的存水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1006t (0≤t ≤24). 设u ＝t ，则u ∈[0，26]，y ＝60u 2－1006u ＋400＝60⎝⎛⎭⎪⎫u －5662＋150， ∈当u ＝566即t ＝256时，蓄水池中的存水量最少. 例2 解 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4000，25≤t ≤30.(t ∈N *)∈当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)． ∈当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1125(元)． 结合∈∈得y max ＝1125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 【跟踪训练】2 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为t ＝10 000＋100x .又f (x )＝H (x )－t ， ∈f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋300x －10 000，0≤x ≤200，x ∈N ，30 000－100x ，x >200，x ∈N .(2)当0≤x ≤200时，f (x )＝－(x －150)2＋12 500，所以当x ＝150时，有最大值12 500； 当x >200时，f (x )＝30 000－100x 是减函数，f (x )<30 000－100×200<12 500. 所以当x ＝150时，f (x )取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.例3 解 (1)由题意得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400，∈k ＝40081，∈流量R 的表达式为R ＝40081·r 4. 【当堂达标】1. D 解析 90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是y ＝120t (t ≥0).2.B 解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.3.C 解析 由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故∈正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故∈正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故∈不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故∈正确．4.A 解析 由题意可知2y ＋2x ＝20，即y ＝10－x ，又10－x >x ，所以0<x <5，故选A.5. 2250 解析 设彩电的原价为a 元，∈a (1＋0.4)·80%－a ＝270，∈0.12a ＝270，解得a ＝2 250. ∈每台彩电的原价为2 250元.6.解 (1)如图所示，延长NP 交AF 于点Q ， 所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4.在∈EDF 中，EQ PQ ＝EFFD ，所以x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为[4,8]． (2)设矩形BNPM 的面积为S ， 则S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50.又x ∈[4,8]，所以当x ＝8时，S 取最大值48.。

3．4 函数的应用(一)[目标] 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合．[重点] 根据给定的函数模型解决实际问题．[难点] 建立数学模型解答实际问题．知识点一 解函数模型应用题的一般步骤[填一填]1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．[答一答]1．常见的函数模型有哪些？提示：(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)；(2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)；(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)；(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．知识点二函数拟合与预测的一般步骤[填一填](1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验．若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始．[答一答]2．如何根据收集到的数据解决实际问题？提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步．若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解释实际问题．以上过程可用程序框图表示如下：3．数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：因为根据已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型．类型一建立函数模型的应用题[例1]某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？[分析]解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价．[解](1)因为y＝29－25－x，所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．(2)z＝(8＋x0.5×4)y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)．故当x＝1.5时，z max＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.[变式训练1]据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解：(1)设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5.解得a＝1 10.所以y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)．因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．类型二 已知函数模型的应用题[例2] 某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *) 设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[分析] 日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及日销售价格(每件)均为t 的一次函数，从而日销售金额为t 的二次函数．[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *) ①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)．结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.[变式训练2] 已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每1万部的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧ 400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机上获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎨⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以当x ＝32时，W max ＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x ＋16x ≥240 000x ×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50时取等号，所以W 的最大值为5 760.综上，当年产量为32万部时，该公司在该款手机上获得的利润最大，最大利润为6 104万元．类型三拟合函数模型的应用题[例3]某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)．[分析]只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图．然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题．[解]以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示．设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.25＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.25，b ＝0.所以y ＝0.25x . 即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B . 所以W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6. 当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为 4.1万元，此时x B ≈8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.[变式训练3] 我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2014 2015 2016 2017 x0 1 2 3 生产总值y 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较． 解：(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.677 7，b ＝8.206 7. 因此所求的函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( B )解析：由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.2．国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n ＝x y (x 代表人均食品支出总额，y 代表人均个人消费支出总额)，且y ＝2x ＋475，各种类型的家庭标准如表： 家庭类型贫困 温饱 小康 富裕 n n ≥59% 50%≤n <59% 40%≤n <50%30%≤n <40% 2017年购买食品和2016年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2017年属于( D )A ．贫困B ．温饱C ．小康D ．富裕解析：设2016年人均食品支出x 元，则2017年人均食品支出x (1－7.5%)＝92.5%x,2017年人均消费支出2×92.5%x ＋475，由题意，有2×92.5%x ＋475＋75＝2x ＋475，∴x ＝500.此时，n ＝92.5%×5002×92.5%×500＋475≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕． 3．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元．解析：设销售单价应涨x 元，则实际销售单价为(10＋x )元，此时日销售量为(100－10x )个，每个商品的利润为(10＋x )－8＝2＋x (元)，∴总利润y ＝(2＋x )(100－10x )＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360(0<x <10，且x ∈N *)．∴当x ＝4时，y 有最大值，此时单价为14元．4．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1；乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用甲作为拟合模型较好．解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．5．某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元．甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算．(1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y 甲，y 乙与购买台数x 之间的函数关系式；(2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？解：(1)y 甲＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6 000x (0≤x ≤10，x ∈N )，60 000＋4 200(x －10)(x ≥11，x ∈N )＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x (0≤x ≤10，x ∈N )，4 200x ＋18 000(x ≥11，x ∈N )， y 乙＝5 100x (x ∈N )，(2)当x ≤10时，显然y 甲>y 乙；当x >10时，令y 甲>y 乙，即4 200x ＋18 000>5 100x ，解得x <20.答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司．——本课须掌握的三大问题1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

函数的应用教学设计教学目标:1.知识目标：能够运用指数函数，对数函数、幂函数的性质解决某些简单的实际问题．(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．(2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．(3) 能处理有关人口增长率、经济、物理等方面的实际问题．2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3. 情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．教学重点、难点：重点是培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识。

难点是根据实际问题建立相应的数学模型教学方法：启发式、讨论式、诱思探究的教学方法教学用具：多媒体、实物展台教学过程：一、创设情景，设置问题：课前组织学生观看地球的人口的录像纪录片.数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．问题一：例1：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然年增长率控制在%，问哪一年我国人口总数将超过14亿首先让学生搞清自然年增长率的含义，所以问题转化为已知年增长率为，利用指数函数求经过几年我国人口数将超过14亿解：设x年后人口总数为14亿，由题意，得即两边取对数，得答：13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿。

问题解决后由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤：(1) 阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．问题二：例2：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。

3.4函数的应用（一）一、内容和内容解析1.内容利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，使用分段函数建立简单的函数建模．2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置和现实意义．本节是学生进入高中第一次正式接触利用函数模型解决实际问题．在教学中要让学生能够充分体验数学抽象和如何建立函数模型的过程．在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数，对函数有了一定的认识和理解，能建立简单实际问题的解析式，具备类一定的分析与解决问题的能力．因此本节课的学习建立在学生已有的函数学习经验上，主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，两个例题都是分段函数，实际上是用一次函数建立简单的函数模型．本节的两个例题都是给定数学模型的实际应用，相对简单一些，但它是后续更加复杂的、需要根据实际背景建模的基础，因此教学中重点引导学生体会应用数学知识解决实际问题的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．二、目标和目标解析1.目标体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能从教科书例1中分析出存在几个变量，并确定他们之间的关系，通过这些关系确定应缴纳综合所得个税与综合所得收入额间的关系．（2）能正确理解教科书例题中函数关系的实际意义，能使用它分析简单的实际问题；（3）能准确理解例题中文字部分和图表部分的多种信息，并综合应用于确定函数关系，从而培养学生的数学抽象和数学建模素养．三、教学问题诊断分析学生在本节课之前已经学习了几类基本函数以及函数的概念、图象和性质，并接触过一些简单的实际问题，有对实际问题分析和解决的基本能力．但对从实际情景中提取变量，寻求变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型去描述现实世界中的事物的变化规律，解决相应实际问题，以及对函数定义域进行分划考虑等问题比较陌生，大多数学生缺乏这方面的经验，以及对于较繁琐题目的综合分析缺乏思路清晰的抽象能力．教学时可以帮助学生克服困难：一是以问题引导的形式根据实际问题的若干条件确定有几个变量，它们之间有什么关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是综合题目中的语言叙述和图表展示，结合信息技术的运用，准确理解问题含义，确定变量关系，从而建立函数模型，让学生充分体验数学抽象的过程．本节课的教学难点是：能将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系．四、教学支持条件分析为了帮助学生正确分析实际问题中的变量关系，并能利用已知条件中的各种信息，教学时应注意使用问题引导的形式与信息技术的综合辅助功能相结合，使问题解决思路清晰，处理数据计算便捷，让学生能够将主要精力投入到建立数学模型的体验中，能更加深刻地感受到数学问题不同呈现形式的意义与数学建模的实用价值．五、教学过程设计 （一）复习引入问题1：我们前面学过了哪些函数？师生活动：教师提出问题，学生回答问题．学生回答并相互补充，归纳得到：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数． 教师引导学生写出每类函数的解析式． 一次函数：= 0y kx b k +(≠)反比例函数：=0ky k x(≠) 二次函数：2= 0y ax bx c a ++(≠)幂函数 = y x α(为常数)α追问：什么是分段函数？ 你能举例说明吗？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答.教师引导学生回顾分段函数定义并举例说明：形如 0 0 x x y x x -⎧=⎨⎩＜，，，≥．这样的函数称为分段函数．设计意图：本节课就是利用分段函数解决实际问题，通过回顾一次函数、二次函数、反比例函数和分段函数，为后面的实际应用奠定基础．（二）例题教学例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x （单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y （单位：元）．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？问题２：大家仔细读题并回想前面的例8以及它的分析结果．如何得到y关于x的函数解析式？第70页例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税），2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额 税率–速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额–基本减除费用–专项扣除–专项附加扣除–依法确定的其他扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元．税率与速算扣除数见表y f t()，并画出图象；（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求=（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？师生活动：学生读题后思考，尝试回答．老师启发引导，探寻解题思路，得到：先使用个人应纳税所得额计算公式得到t 与x 的关系，再利用例8第（1）问的结果，得到应缴纳个税税额y 关于全年应纳税所得额t 的解析式，再将t 等量代换为x 即可得到y 关于x 的函数解析式．在学生独立书写后，教师可将学生答案展示后纠正不标准的叙述，再用多媒体展示答案．解析：（1）若小王全年综合所得收入额为x （单位：元），由个人应纳税所得额计算公式，可得= 6 0008%2%1%9%52 800 4 560t x x --+++--() =08117 360x -. 令=0 =146 700t x ， 得根据个人应纳税所得额的规定可知，当0146 700x ≤≤时，0=t ． 所以，个人应纳税所得额t 关于综合所得收入额x 的函数解析式为0 0146 700 =08117 360 146 700 x t x x ⎧⎨-⎩，　≤≤，　.，． ＞　结合例8所得的解析式0.03 036 000 0.1 2 520 36 000144 000 0.216 920 144 000300 000 =0.2531 920 300 000420 000 0.352 920 420 000660 000 0.3585 920 660 000960 000 0.45181t t t t t t y t t t t t t t ------，　≤≤，， ≤，， ≤，， ≤，　，≤，，≤＜，＜＜＜＜ 920 960 000 t ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩＞，．可得：当0146 700x ≤≤时，=0t ，所以=0y ；当146 700191 700x ≤＜时，036 000t ≤＜，所以=3%=0.024 3 520.8y t x ⨯-； 当191 700326 700x ≤＜时，36 000144 000t ＜≤，所以=10% 2 520=0.0814 256y t x ⨯--；当326 700521 700x ≤＜时，144 000300 000t ≤＜，所以=20%16 920=0.1640 392y t x ⨯--；当521 700671 700x ≤＜时，300 000420 000t ≤＜，所以=25%31 920=0.261 260y t x ⨯--；当671 700971 700x ≤＜时，420 000660 000t ≤＜，所以=30% 2 920=0.2488 128y t x ⨯-5-；当971 7001 346 700x ＜≤时，660 000960 000t ≤＜，所以=35%85 920=0.28126 996y t x ⨯--；当 1 346 700x ＞时，960 000t ＞，所以=45%181 920=0.36234 732y t x ⨯--． 所以，函数解析式为0 0146 700 0.024 3 520.8 146 700191 700 0.0814 256 191 700326 700 0.1640 392 326 700521 700 =0.261 260 521 700671 700 0.2488 128 671 700971 700 0.2812x x x x x x x y x x x x x ------，≤≤，　，≤，，≤，，≤，，≤，＜＜＜＜＜，≤， 6 996 971 700 1 346 700 0.36234 732 1 346 700 x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪-⎩，≤，，＜＞．（2）根据上述解析式，当=249 600x 时，=0.08249 60014 256=5 712y ⨯-．所以，小王全年需要缴纳的综合所的个税税额为5 712元．设计意图：通过中间量t ，建立起y 与x 的关系，提升学生的数学运算素养．通过展示解答，纠正问题，规范演示，培养学生严谨的语言表述习惯．例2： 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v （单位：km /h ）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，（1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s （单位：km ）与时间t 的函数解析式，并画出相应的图象．问题３：你能说出图3.4-1中反映出汽车行驶的什么规律？从图中能获得哪些信息？ 师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：当时间t 在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t 都有唯一确定的行驶速率与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50 km /h ，80 km /h ，90 km /h ，75 km /h ，65 km /h ，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．追问1：（1）能写出平均速率v 与时间t 的关系式吗？ （2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗？师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示如下：50 0 1 80 1 2 =90 2 3 75 3 4 65 4 5 t t v t t t ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜，≤，，≤，，≤，，≤，，≤≤．（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即5个长方形面积的和，并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能回答面积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题．得到阴影部分的面积为：501801901751651=360⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．因此阴影部分的面积表示汽车在这5 h 内行驶的路程为360 km ．追问2：寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象．师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决．教师引导学生动态地观察图中直线0=t t 左侧的阴影部分的面积．如：当001t ≤＜时，直线0=t t 左侧的阴影部分是一个长方形，长是50，宽是t ；当012t ≤＜时，直线0t t =左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是1，宽是50，另一个长是01t -()，宽是80；当023t ≤＜时，直线0=t t 左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是1，宽是50，一个长是1，宽是80，另一个长是02t -()，宽是90；……如图0=t t 0=t t得到结论路程150 0 1 50801 1 2 =5080902 2 3 508090753 3 4 50809075654 45 t t t t s t t t t t t ⎧⎪+-⎪⎪++-⎨⎪+++-⎪⎪++++-⎩＜，≤，() ，≤，() ，≤，() ，≤，() ，≤≤＜＜．＜追问3：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？如不是该如何调整呢？ 师生活动：学生思考回答，得到150 2 004 0 1 50 2 004 0 1 801 2 054 1 2 80 1 974 1 2 = 2 004=902 2 134 2 3 =90 1 954 2 3 75 1 999 753 2 224 3 4 654 2 299 4 5 t t t t t t t t s s t t t t t t t t t ++⎧⎪-++⎪⎪+-++⎨⎪+-+⎪⎪-+⎩，≤，，≤，()，≤＜＜＜＜＜＜≤，，，()，≤，，≤，，()，≤，(，≤＜)≤3 4 65 2 039 4 5 t t t ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+⎪⎩，≤≤．＜≤，这个函数的图象如图所示设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．（三）应用练习练习1：（教材第95页练习1） 若用模型2=y ax 描述汽车紧急刹车后滑行的距离y （单位：m ）与刹车时的速率x （单位：km /h ）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km /h 时，紧急刹车后滑行的距离为20 m ．在限速为100 km /h 的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m ，那么这辆车是否超速行驶？师生活动：教师指导学生审题后，学生思考后回答． 解析：由220=60a ()解得1=180a ，由2150=180x 解得=x ，因为100， 所以这辆车没有超速．练习2：某广告公司要为客户设计一幅周长为l （单位：m ）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？师生活动：教师指导学生审题后，学生思考作答． 解析：设矩形的一边长为x ，广告牌的面积为S ，则2==22l l S x x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭22=04162l l l x x ⎛⎫⎛⎫--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， 当=4l x 时，S 取得最大值，且2max =16l S ．所以当广告牌是边长为4l的正方形时，广告牌的面积最大． 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．（四）归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答以下几个问题： （1）解决数学应用问题的基本思路与过程是什么？（2）你能说出函数应用过程中要注意什么问题吗？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力．（五）布置作业教科书第95页，习题3.4第1，2，3题．六、目标检测设计（教材第95页练习3）．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则（1）设总成本为1y （单位：万元），单位成本为2y （单位：万元），销售总收入为3y （单位：万元），总利润为4y （单位：万元），分别求出它们关于总产量x （单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．解析：（1）1=1500.25y x +；2150=0.25y x+；3=0.35y x ；4=0.1150y x -． （2）若分析盈利问题则考虑函数4=0.1150 0y x x -(≥)．由图可知想要盈利则4=0.1150y x -≥0，即 1 500x ≥，所以当 1 500x ＜件时，该公司亏损；当=1 500x 件时，该公司不赔不赚；x＞件时，该公司盈利．当 1 500设计意图：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性．。