高等数学 第五章定积分习题课

性质4
b
b
1 dx dx b a
a
a
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
则
b
f ( x)dx 0
a
(a b)
推论：（1） 如果在区间[a,b]上 f ( x) g( x)，
则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
(a b)
（2）
b
b
f ( x)dx f ( x)dx
(1)无穷限的广义积分
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
(2)无界函数的广义积分
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
x轴与两条直线x a 、x b所围成.
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时
间间隔[T1 ,T2 ]上 t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程 S.
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
的量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
和；

x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
13
例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g

x

0

x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2

b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) ， 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 （即 n 时 ） ，由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3

1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n

b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .

x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解： 当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点， 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2

0
再求导:
①
可见 f (x) 应为二次多项式 , 设
代入① 式比较同次幂系数 , 得 故
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 思考: 下列作法是否正确?
2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
b
a
f
(x)
d
x
(03考研)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: (1) lim f (2x a) 存在, lim f (2x a) 0,
xa x a
xa
由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又 f (x) 0，所以f (x)
在(a, b)内单调增, 因此
k 1
k
n
1 n
已知
lim
n
sin k
1
1
sin x dx
2,
n k 1
nn
0
lim n 1 n n 1
利用夹逼准则可知 I 2 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考: 提示:由上题
sin
(n1)
n
n
1 n1
故
J
I
lim
sin
n
lim
sin
(n1)
n
n n 1
n
n
1 n1
2
00
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
时,
0
x ne 1 e
x x
x n , 所以
0
1 xnex 01 ex
dx