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函数的零点问题优秀课件

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人教版高中数学必修1《函数的零点与方程的解》PPT课件

人教版高中数学必修1《函数的零点与方程的解》PPT课件

•题型二 判断零点所在的区间
• [探究发现]
• (1)什么是函数的零点？ • 提示：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
• (2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的 什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？ • 提示：f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的 充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定 没有零点．
• (2)函数零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可 以
•推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函 数y
•＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0. 如图，
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)函数的零点是一个点．
()
•(2)任何函数都有零点．
• [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是 解方程法
否落在给定区间上 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看 函数零点 是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 存在定理 有零点 数形 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 结合法
()
•(3)函数y＝x的零点是O(0,0)．
()
•(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少
有一个零点．
()
•(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点 的横坐标，是方程f(x)＝0的根．
•2．函数f(x)＝log2x的零点是 (

函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册

函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册

对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
THANK YOU
汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册

苏教版必修第一册8.1.1函数的零点课件

苏教版必修第一册8.1.1函数的零点课件

C D
【方法技能】解决函数零点问题的两种方法 （1）代数法： 若方程f（x）＝0可解，其实数解就是函数y＝f（x）的零点. （2）几何法： 若方程f（x）＝0难以直接求解，将其改写为g（x）- h（x）＝0，进一步改写为g（x）＝h（x），在 同一坐标系中分别作出y＝g（x）和y＝h（x）的图象，两图象交点的横坐标就是函数y＝f（x）的零 点，两图象交点的个数就是函数y＝f（x）零点的个数.
（k1<k2），则x1，x2的散布范围与系数之间的关系有以下几种情形：
根的散布
图象
条件
x1<x2<k
k<x1<x2
根的散布 x1<k<x2 x1，x2∈ （k1，k2）
图象
x1，x2有且 仅有一个在 （k1，k2）内
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a<0）的根的散布情况可类似得到.
条件 f（k）<0
【解题通法】根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数的取值 范围. （2）分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化为求函数值域的问题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合 思想求解.
三、判断零点所在区间
例 3 方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（A ）
A.（2，3）
B.（3，4）
C.（0，1）
D.（4，5）
【分析】构造函数f （x）＝2x+ln x-6，然后利用零点存在定理可判断出方程6-2x＝ ln x的根所在的区 间. 【解析】由6-2x＝ln x，得2x+ln x-6＝0，构造函数f（x）＝2x+ln x-6. ∵ f（2）＝ln 2-2<0，f（3）＝ln 3>0，∴ f（2）f（3）<0， ∴ 由零点存在定理可知，函数f（x）在区间（2，3）上至少有一个零点. 又∵ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ f（x）在区间（2，3）上至多有一个零点， 【∴方函法数技f能（】x）判断在函区数间零（点2所，在3区）间上的有方唯法一和零步骤点.即方程6-2x＝ln x必有一根的区间是（2，3）.

高一数学人必修教学课件函数的零点

高一数学人必修教学课件函数的零点

复合函数中内层外层关系剖析
复合函数构成
01
复合函数是由内层函数和外层函数复合而成，内层函数的值作
为外层函数的自变量。
内层函数对零点影响
02
内层函数的值域决定了外层函数的定义域，内层函数的零点也
会影响到复合函数的零点。
外层函数对零点影响
03
外层函数的性质（如单调性、周期性等）会对复合函数的零点
产生影响。
04 复杂情境下函数零点问题探讨
含参数方程中参数对零点影响分析
参数变化引起函数图像变化
当参数变化时，函数的图像会随之变化，可能导致零点的位置、 数量等发生变化。
参数对函数单调性影响
参数的变化可能会影响函数的单调性，从而改变函数的零点分布。
参数对方程根的影响
含参数方程中，参数的变化可能会导致方程根的变化，进而影响函 数的零点。
分式函数和根式函数零点分析
01
分式函数零点求解
通过令分子为零，解出 $x$ 的值，同时要注意分母不能 为零的条件。
02
根式函数零点求解
将根式方程转化为整式方程进行求解，注意定义域的限 制。
03
复合函数的零点
通过逐步分析复合函数的组成部分，找出使整体函数值 为零的 $x$ 值。
三角函数和指数函数等特殊类型处理
解题技巧归纳提炼
观察法
通过观察函数表达式或 图像，直接找出零点或 判断零点所在区间。
代数法
将函数表达式化简或变 形，以便于求解方程得 到零点。
图像法
利用函数图像判断零点 的个数及所在区间，特 别适用于高次多项式函 数。
数值计算法
借助计算器或计算机程 序，采用逼近法求解方 程的近似根。
拓展延伸：高阶导数在寻找多重根中应用

课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版

课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版

方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1方程的根与函数的零点
函数
的零点是（ ）
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
3、 函数零点存在的条件
方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：判断函数 f(x)2x23x2有几个零点。
注 意：
• 函数的零点并不是以坐标形式出现的“点” 而是实数。
• 函数的零点亦即函数y=f（x）的图像与x轴 交点的横坐标。
问题3
对于任意的函数，如何判定这个函数是否有零点，有 几个零点？
• 若f（a）·f（b）＜0，能推出y=f（x）在 (a，b)有一个零点？
• 若在（a,b)上函数y=f（x）有零点，能否 推出 f（a）·f（b）＜0？
1方程的根与函数的零点
说明这个函数在区间(2,3)内
根
，相应的二次函数的图象与 轴有唯一的
即存在
，使得
，这个 也就是方程
的根。
3、 函数零点存在的条件
样的结 论或者 感受？
结 论？
一般地，如果函数 y f (x)在区间 [a , b ] 上的图 象满足 f(a)f(b)0 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有一个零点。
即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，这个 c也就
是方程 f (x)0的根。
思考
• 对于函数y=f（x）在[a，b] 不是一条连续 不断的曲线？

函数的零点 优质课件

函数的零点 优质课件

然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实
数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，
即mf(0) <0，即m<0.故选B.
• [答案] B
• 分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重 考查的两种数学思想，它们在本题的求解过 程中体现得淋漓尽致，还要注意函数的零点 有变号零点和不变号零点，如本题中的x＝1
似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
• 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
• 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0， f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
• 1. f(x)＝0
• 想一想：提示：由于三者之间有等价关系， 因此，在研究函数零点、方程的根及图象交 点问题中，当从正面研究较难入手时，可以 转化为其等价的另一易入手的问题处理，如 研究含有绝对值、分式、指数、对数等较复 杂的方程问题，常转化为两熟悉函数图象的 交点问题研究．
函数与方程
• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
• 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数．
• 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
• 1个熟记口诀
• 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中 点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异 号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
• 3. 图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画 两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
课前自主导学
• 1. 函数的零点 • (1)函数零点的定义 • 对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． • (2)几个等价关系 • 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有

【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

越来越陡
随着的增大
逐渐变缓
图象的变化
问题探究
问题探究
探究3-3
讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
直线上升
增长速度不变，匀速上升.
对数增长
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增
长速度平缓.
指数爆炸
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增
长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
种关系？
问题探究
结论
①二次函数 = 2 − 2 − 3在区间(2，4)
内有零点 = 3，它是方程 2 − 2 − 3 = 0的
一个根.
➢
在零点附近，函数图象是连续不断的，并
且“穿过”轴.
➢
函数在端点 = 2和和 = 4的取值异号，
即(2)(4) < 0.
问题探究
探究二
令ℎ = ln ， () = 6 − 2.
在同一个坐标系中作出ℎ ，()的图象.
由图可知ℎ 与()的图象只有一个交点，
则函数 = ln + 2 − 6仅有一个零点，
相应方程ln + 2 − 6 = 0只有一个实数解.
➢探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数() = + − 的零点的个数．


数在区间(，)内有3个零点，
图（2）中函数在区间(，)内
（1）


（2）
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点
的个数.
函数零点存在定理
问题4
函数 = ()在区间(，)内有零点，是不是一定有()() < 0？

函数的零点_优秀课件


的零点个数
基 础 知 识
梳
为( )
理
聚
焦
A．3
B．2
考 向
透
C．1
D．0
析
感
悟
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
经 典
考
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故 题
课
时
选B.
规 范
训
答案：B
练
基
础
考向三 由函数零点的存在情况求参数值
考 题
课 时
规
范
训
练
【思维流程】
基
求导，及 k＝f′(1)．
础 知
识
梳
利用点斜式写切线方程．
理
聚
讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
焦 考
向
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况．
透 析
感
当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增．
悟 经
典
考
求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))．
悟 经 典 考
题
() A.0，12
课
时
B.21，1
规 范 训 练
C．(1,2)
D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题，
基
础
结合图象以及单调性进行求解．
知 识
梳
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定．
理
聚
焦
【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方

新教材人教A版4.5.1函数的零点与方程的解课件(34张)


函数f(x)＝2x|logx|－1的零点个数是_____2__．
【解析】 求函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点， 即求 2x|log0.5x|－1＝0 的解， 即|log0.5x|＝21 x 的解．作出函数 g(x)＝|log0.5x| 和函数 h(x)＝12 x 的图象，如图所示．由图知 两函数的图象共有 2 个交点，故函数 f(x)的零点 个数是 2.
第四章 指数函数与对数函数
4．5 函数的应用(二)
4． 函数的零点与方程的解
函数y＝f(x)的零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使 ____f(_x_)_＝__0___的实数x叫做函数y＝f(x)的__零__点_____．
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)函数的零点是一个点．
(
(2)函数y＝x2－1有零点．
(
(3)有些函数没有零点．
(
(4)函数y＝ 的零点是2或(2，0).
(
×) √) √) ×)
【解析】 (1)函数的零点是一个实数，不是一个点． (2)函数 y＝x2－1 的零点是 1 和－1. (3)如函数 y＝x2＋1 没有零点． (4)函数 y＝ x－2 的零点是 2.
4．若函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝_4_____． 5．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是2______． 【解析】 作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象如图所 示．由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个 零点．
A．[－1，0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方 程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线 y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图 象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

函数的零点课件人教新课标B版

函数方程的转换
例2.求函数f（x） x3 2x2 x （ 2 x R) 的 零 点 ， 并 画 出 它 的 图象 。
解 ： x3 2x2 x 2 x（2 x 2）（x 2） （x 2） （x2 1） （x 2） （x 1） （x 1） 令f（x） 0， 函 数 的零 点 有3个 ， 分 别 为 1，1，2
所在区间会判断，
数形结合记心间。
延伸阅读 方 程 求 解 发 展 史
约公元50-100年前编成的 《九章算术》给出了一次方 程、二次方程和正系数三次 方程的求根方法
13世纪，南宋数学家秦九韶 给出了求任意次代数方程的 正根的解法
方
程
阿拉伯数学家花拉子米的
求
《还原与对消计算概要》第
解
一次给出了一元二次方程的
C．x=2；
D．－6和2．
2.求下列函数的零点
（1）y x2 x 2 -1,2 （2）y (x 2)( x 3)2 -2,3
（3）y x3 2x2 4x 8 -2,2
3.函数 f (x) x3 x 1 有零点的区间是（C）
A．（－1，0）；
B．（0，1）；
C．（1，2）；
D．（2，3）．
发 展
一般解法，并用几何方法对 这一解法给出了证明
史
19世纪挪威数学家阿贝尔 证明了五次及五次以上一 般方程没有求根公式
布置作业,自主学习
必做： 课本72页练习B、校本作业
选做：
如何找到函数f(x ) 2x 3x 8
的一个零点（精确到0.1）？
问题3：
会判断函数零点所在的区间
如何求函数f（x） x3 2x2 x 2
的零点?
函数f（x） x3 2x2 x 2 一定有零点
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f(x) 0 0 o
f ( x) 增 6 减 10 增
∴ a<-10或a>-6 时一个，
6
a6或10时两个， 10 1 0a 6 时三个
x
ya ya ya ya
ya
三、求零点的个数
画图定零数
2、 f (x) g(x) 型函数的零点问题
经验总结：把一个函数转化成两个函数 相减的形式，分离成两个函数求交点的 问题.注意分离的两个函数尽可能的是 熟悉、常见的函数.
的零点个数.
分析1：一元三次函数知识总结：
（1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小 值大于零
（2）两个零点：极大值或极小值等于零 （3）三个零点：极大值和极小值一正一负
三、求零点的个数
画图定零数
1、一元三次函数的零点问题
例3、 求函数 ff((xx )) xx 33 66 xx 22 99 xx 110 0 a
f(x)2lo2gx23x2 2
求根定零点
解： 由题意可知 x23x22,解得 x 0或 3
所以函数 f ( x)的零点为0或 3 .
二、确定零点的大致位置
异号定零位
例2：函数 f(x)ln x2x6的零点所在的大致区间
是（ C ）
A（0，1） B（1，2） C（2,3） D（3，4）
解 ： f(2)f(3) 0
练习：若函数f ( x)的零点与g(x)4x2x2的零点
之差的绝对值不超过0.25，则 f ( x)可以是（A ）
A. f(x)4x1 B. f(x)(x1)2
C. f(x)ex1
D. f(x)ln(x1)
2
三、求零点的个数
画图定零数
1、一元三次函数的零点问题
例3、 求函数 ff((xx )) xx 33 66 xx 22 99 xx 110 0 a
三、求零点的个数
画图定零数
2、 f (x) g(x) 型函数的零点问题
练习：函数 y x11sin2x在 2 , 4 上有
___个交5 零点,这些零点的横坐标之和为___
解:函数4 转化成 y
x
1
1与
y sin2x交点
的个3 数.
由图像可知有8个交点.
y
2
1 y=
x1
因为两函数图像都
x)
1
三、求零点的个数
画图定零数
1、一元三次函数的零点问题
例3： 求函数 a f( x )x 3 x 3 6 6 x x 2 2 9 9 x x 1 1 0 a0
的零点个数.
解：f( x ) 3 x 2 1 x 2 9 3 ( x 3 )x (1 )
x,1 1 1,3 3 3,
y
1
3
的零点个数.
分析1：一元三次函数知识总结：
（1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小 值大于零
（2）两个零点：极大值或极小值等于零 （3）三个零点：极大值和极小值一正一负
三、求零点的个数
画图定零数
1、一元三次函数的零点问题
例3、 求函数 ff((xx )) xx 33 66 xx 22 99 xx 110 0 a
的零点个数.
解：f( x ) 3 x 2 1 x 2 9 3 ( x 3 )x (1 )
y
x,1 1 1,3 3 3, o 1 3
x
f(x) 0 0
f ( x) 增 6 减 10 增 6
10
三、求零点的个数
画图定零数
1、一元三次函数的零点问题
例3、 求函数 ff((xx )) xx 33 66 xx 22 99 xx 11零
函数
使 f(x)0的实数 xF (x)f(x)g(x)有零点
点
数形结合
图象 与x轴交点的横坐标 f ( x) 与 g( x ) 有交点
零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a,b上单调
f(a)f(b)0
y
f ( x)在a,b有唯一
零点
y
ao
bx
a
o
bx
一、直接求函数的零点 例1： 求函数的零点：
解：令 t f (x )，则 gf (x)a0 可转化成：
gta,t f (x)
即 ya与 ygt求交点t，
经验总结：先分离出 内外层函数，分别作
然后 yt与t f (x)求交点x. 出内外层函数的图像，
由图像可知，最多有6个. 借助图像来求解.
三、求零点的个数
画图定零数
3、复合函数的零点问题
练习:设R上的函数
即a
y
2lnx 或 a x
2lnx x
恒成立问题.
2lnx 2
x
2
a
e
e 经验总结：分离出参数之
后变成了一个函数恒成立 的问题.
四、据零数探参数
画图定参数
2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数
例6：已知函数 f (x )
2,x 2 x
,若 f (x) kx
(x 1)3,0 x 2
有两个不同的零点，求k的取值范围.
的零点个数. 解：f( x ) 3 x 2 1 x 2 9 3 ( x 3 )x (1 )
x,1 1 1,3 3 3, f(x) 0 0
f ( x) 增 6 减 10 增
f(x)极 大 值 = f(1 ) 6a
f(x)极 小 值 = f(3 ) 1 0 a
∴ a<-10或a>-6时一个， a6或10时两个， 1 0a 6 时三个
f
(x)
lgxx2
,(x 0) 2x,(x 0)
则关于x的
函数 y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为（ D ）
A2
B3
C5
D7
四、据零数探参数
画图定参数
1、分离参数法
例5：已知 f (x) 2lnx+ax 没有零点，求a的取值范围.
解： f (x) 2lnx+ax 没有零点可以转化为
f(x) 2lnx+ax0或 0恒成立问题.
y = sin2∙π∙x
关于点 1 , 0 对称,
所以交点的横坐标
2
o
2
1
4
x 6之和为8 8. 10
2
三、求零点的个数
画图定零数
3、复合函数的零点问题
例4：已知函数f
(x)x33x21
g(x，) (x
1)2 2
1,x
0
则方程 gf (x)a0（a为正实数） (x 3)2 1,x 0
的实数根最多有__6____个
知识小结
常见的零点问题及解法： 一、直接求函数的零点 二、确定零点的大致位置 三、求零点的个数
函数的零点问题优秀课件
函数零点是新课标教材的新增内容之 一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出 现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、 填空题的形式出现，也可以在解答题中与 其它知识交汇后闪亮登场，可以说”零点” 成为了高考新的热点、亮点和生长点.
方程 方程 f(x)0的实数根
f(x)g(x)有实根