2015年小学奥数数论专题——数位与进制
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18．1234，1
【解析】设这个数为x，则10x+5-x= ，化简得9x= ，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。
19．8571428
【解析】设 ，则 ， ，根据题意，有 ，得 ，所以 ．
20．999999
【解析】由于是把六位数 的末位 调到首位构成了新六位数 ，所以不妨把 看成一个整体，设 ，则根据位值原理可知“迎春数”是 ，并满足关系式： ．对等式化简得： ．
22．48
【解析】 得到 ，所以如果 、 、 、 组成的四位数 末位数字不是0，那么 等于将 的千位数字加1，个位数字减1，反过来 等于 的千位数字减1，个位数字加1，所以 为 ，与 比较， 和 位置没有换，交换的是 和 ， 表示为 ，可以得到等式 ，即 ．所以 和 的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况．
30．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
31．将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
32．某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
33．现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
( - ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；
2．a-b
【解析】( - ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；
3．a+b
【解析】 ( + ）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。
22．记四位数 为 ，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为 ，如果 ，那么这样的四位数 共有_______个．
23．将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
14．将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数 ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
15．已知 .
16．已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．
17．有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于 ．求原来的两位数．
所以： ．
因为 是五位数， 是一位数，所以 可以为4，5，6，7，8，9．
而“迎春数” ，
那么，所有“迎春数”的总和是： ．
21．111111,102564
【解析】令 ，则： ， ，所以 ，可得 ．此时可将 ，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当 时， ；当 时， ．只有这两个数满足条件．
对于其中任意一种组合，由于 是由四个数字 组成的最小的四位数，分别考虑 、 中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则 ， )；以及 、 都不为0的情况(此时 )，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能： ， ， ， ， ， ．比如以 ， 为例， 可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有 种．
8．139
【解析】设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
所以 ，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为 ，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为 ．
9．573.5
【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。
5．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
6．如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
18．如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 ，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
19．某八位数形如 ，它与3的乘积形如 ，则七位数 应是多少？
20．一个六位数 ，如果满足 ，则称 为“迎春数”(例如 ，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
21．设六位数 满足 ，请写出这样的六位数．
2015年小学奥数数论专题——数位与进制
1．某三位数 和它的反序数 的差被99除，商等于______与______的差；
2． 与 的差被9除，商等于______与______的差；
3． 与 的和被11除，商等于______与______的和。
4．(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
由于将 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：
，所以 ，则 是整数．
设其为 ，则 是整数，所以 是999999的约数．
当 ，2，3，4，5，6，7，8，9时， 分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由 容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时 分别为1和4．这样的六位数有111111和102564．
16．3988
【解析】设这样的四位数为 ，则 ，即 ，则 或2．
⑴若 ，则 ，得 ， ， ；
⑵若 ，则 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为9， ，则 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ， ， ；
所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为： ．
17．14
【解析】设原来的两位数是 ，则得到的两个三位数分别为 和 ，四位数为 ，由题知 ，即 ， ，故 ．
7．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
8．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
9．用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
10．从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
38．试求(2 -1)除以992的余数是多少?
39．计算 除以26的余数．
40．计算 除以7的余数．
41．在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
42．已知正整数 的八进制表示为 ，那么在十进制下， 除以7的余数与 除以9的余数之和是多少？
参考答案
1．a-c
【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a＞b＞c。
14．5917
【解析】设组成这个四位数的四个数码为 ， ， ， ( )，
则有 ，
可得 ，
则 ， ， ， ， ，且M的四位数字分别为1、 、 、9，由于 的个位数字为7，所以 ， 中有一个为7，但 ，所以 不能为7，故 ， ， ．
15．1234
【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1， 则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；进而推知c＝3，d=4所以 =1234。
如果 、 、 、 组成的最小的四位数 末位数字是0，显然 的百位、十位都是0，此时 、 、 、 无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个 对应一个 ，所以满足条件的四位数 共有48个．
23．7543
【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是 ，是5的倍数，又 不为0，所以 ．
【解析】设这个巧数为 ，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
7．4,1,2
【解析】设这六个不同的三位数为 ，
因为 ， ，……，它们的和是： ，所以 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而 ，所以最大的数最大为4；又 ，所以最大的数大于 ，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
13．11
【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
24．① ________；
② ；
③ ；
④ ________；
⑤ 若 ，则 ________．
25．① ；
②在八进制中， ________；
【解析】设这个数为x，则10x+5-x= ，化简得9x= ，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。
19．8571428
【解析】设 ，则 ， ，根据题意，有 ，得 ，所以 ．
20．999999
【解析】由于是把六位数 的末位 调到首位构成了新六位数 ，所以不妨把 看成一个整体，设 ，则根据位值原理可知“迎春数”是 ，并满足关系式： ．对等式化简得： ．
22．48
【解析】 得到 ，所以如果 、 、 、 组成的四位数 末位数字不是0，那么 等于将 的千位数字加1，个位数字减1，反过来 等于 的千位数字减1，个位数字加1，所以 为 ，与 比较， 和 位置没有换，交换的是 和 ， 表示为 ，可以得到等式 ，即 ．所以 和 的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况．
30．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
31．将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
32．某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
33．现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
( - ）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；
2．a-b
【解析】( - ）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；
3．a+b
【解析】 ( + ）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。
22．记四位数 为 ，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为 ，如果 ，那么这样的四位数 共有_______个．
23．将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数( )．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
14．将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数 ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
15．已知 .
16．已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．
17．有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于 ．求原来的两位数．
所以： ．
因为 是五位数， 是一位数，所以 可以为4，5，6，7，8，9．
而“迎春数” ，
那么，所有“迎春数”的总和是： ．
21．111111,102564
【解析】令 ，则： ， ，所以 ，可得 ．此时可将 ，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当 时， ；当 时， ．只有这两个数满足条件．
对于其中任意一种组合，由于 是由四个数字 组成的最小的四位数，分别考虑 、 中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则 ， )；以及 、 都不为0的情况(此时 )，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能： ， ， ， ， ， ．比如以 ， 为例， 可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有 种．
8．139
【解析】设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：
所以 ，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为 ，所以所
有这样的6个三位数中最小的三位数为 ．
9．573.5
【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。
5．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
6．如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
18．如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 ，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
19．某八位数形如 ，它与3的乘积形如 ，则七位数 应是多少？
20．一个六位数 ，如果满足 ，则称 为“迎春数”(例如 ，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
21．设六位数 满足 ，请写出这样的六位数．
2015年小学奥数数论专题——数位与进制
1．某三位数 和它的反序数 的差被99除，商等于______与______的差；
2． 与 的差被9除，商等于______与______的差；
3． 与 的和被11除，商等于______与______的和。
4．(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
由于将 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：
，所以 ，则 是整数．
设其为 ，则 是整数，所以 是999999的约数．
当 ，2，3，4，5，6，7，8，9时， 分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由 容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时 分别为1和4．这样的六位数有111111和102564．
16．3988
【解析】设这样的四位数为 ，则 ，即 ，则 或2．
⑴若 ，则 ，得 ， ， ；
⑵若 ，则 ，由于 ，所以 ，所以 ，故 为9， ，则 为偶数，且 ，故 ，由 为偶数知 ， ， ；
所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为： ．
17．14
【解析】设原来的两位数是 ，则得到的两个三位数分别为 和 ，四位数为 ，由题知 ，即 ， ，故 ．
7．有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
8．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．
9．用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
10．从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
38．试求(2 -1)除以992的余数是多少?
39．计算 除以26的余数．
40．计算 除以7的余数．
41．在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
42．已知正整数 的八进制表示为 ，那么在十进制下， 除以7的余数与 除以9的余数之和是多少？
参考答案
1．a-c
【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a＞b＞c。
14．5917
【解析】设组成这个四位数的四个数码为 ， ， ， ( )，
则有 ，
可得 ，
则 ， ， ， ， ，且M的四位数字分别为1、 、 、9，由于 的个位数字为7，所以 ， 中有一个为7，但 ，所以 不能为7，故 ， ， ．
15．1234
【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1， 则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；进而推知c＝3，d=4所以 =1234。
如果 、 、 、 组成的最小的四位数 末位数字是0，显然 的百位、十位都是0，此时 、 、 、 无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个 对应一个 ，所以满足条件的四位数 共有48个．
23．7543
【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d，它们组成的24个四位数中，第二小的是 ，是5的倍数，又 不为0，所以 ．
【解析】设这个巧数为 ，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
7．4,1,2
【解析】设这六个不同的三位数为 ，
因为 ， ，……，它们的和是： ，所以 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而 ，所以最大的数最大为4；又 ，所以最大的数大于 ，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．
13．11
【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a ；第三个为100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
24．① ________；
② ；
③ ；
④ ________；
⑤ 若 ，则 ________．
25．① ；
②在八进制中， ________；
