大庆实验中学实验一部2023级高一下学期6月份阶段性质量检测数学学科试题2024.06.03—2024.06.04说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内．2．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数z满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（）A ．36B ．C ．D 3．已知圆台上下底面圆的半径分别为1,3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．4．中，设,若,则的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．如右图所示，正三棱锥中，D ,E ,F 分别是的中点，P 为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A ．B ．C ．D ．随P 点的变化而变化6．逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ,B ,C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为，，，其中,则此山的高度为（）1i,i 3zz -=-z 1O O 32π26π16π8πABC △,,AB c BC a CA b === ()0c b c a ⋅-->ABC △V ABC -,,VC VA AC VB DE PF 30︒60︒90︒30︒45︒60︒(),03AB a BC b a b ==<<ABCD7．如图，四面体中，两两垂直，,点E 是的中点，若直线与平面，则点B 到平面的距离为（ ）AB ． CD ．8．在中，已知分别为角的对边．若,且，则（ ）A ． BCD或二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．设m ,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）A ．若,则B ．若,则C ．若m ,n 是两条不同的异面直线，，则D ．若,则m 与所成的角和n 与所成的角互余10．下列说法正确的是（）ABCD ,,AB BC BD 2BC BD ==CD AB ACD ACD 2343ABC ,,a b c ,,A B C 3cos a bC b a+=cos()A B -=cos C =,αβ,,m m n n αβ⊥⊥∥αβ⊥,,m m n αβα⊂∥∥n β∥,,,m n m n αβαβ⊂⊂∥∥αβ∥,m n αβ⊥∥αβA ．在四边形中，,则四边形是平行四边形B ．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底C ．已知O 为的外心，边长为定值，则为定值；D ．已知均为单位向量．若,则在上的投影向量为11．如图，在棱长为2的正方体中，Q 为线段的中点，P 为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（）A ．三棱锥的体积为定值B ．P 为线段的中点时，过D ,P ,Q 三点的平面截正方体C ．D ．直线与直线所成角的取值范围为12．如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点A 折至处（平面）,若M 为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为,则在折起过程中，下列说法正确的是（）A ．存在某个位置，使得B ．面积的最大值为ABCD AB DC =ABCD {}12,e e{}1221,e e e e -- ABC △AB AC 、AO BC ⋅,a b ||1a b -=a b 12b1111ABCD A B C D -11B C 1CC 1D D PQ -1CC 1111ABCD A B C D -DP PQ +DP 1A B ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD 4,2,AB BC E ==AB DE ADE △1A 1A ∉ABCD 1AC 1A DE DEBC α1A E DEBC βADE △1BM A D ⊥1A EC △C ．D ．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知p :向量与的夹角为锐角．则实数m 的取值范围为___________．14．已知平面平面是外一点，过P 点的两条直线分别交于A 、B ,交于C 、D ,且,则的长为___________．15．在中，角所对的边分别为，且．当取最小值时，___________．16．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长且，若平面上存在点P ,使得，则线段长度的最小值为___________．四．解答题（本大题共6小题，共70分）17．己知平面向量其中．（1）若,且,求向量的坐标；（2）若向量,若与垂直，求．18．在的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且（1）求A 的值；（2）若,求的取值范围．19．如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，平面．sin βα=1A EDC -1A EDC -16π(1,1)a =-(,2)b m = α∥,P βαβ、AC BD 、αβ6,9,8PA AC AB ===CD ABC ,,A B C ,,a b c 2cos a B c a =-4c ab+A =ABC αAC αBC 6BAC π∠=αABP CP (2,3),(1,)a b k ==-32k ≠-||c =c a ∥c (5,1)c =2a b + 2b c - |4|a b + ABC △cos cos()cos sin a A a B C A C +-=2a =2b c -P ABCD -ABCD 22,AB AD BD ===2,PB PD =⊥ABCD（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）在中，点E 在上且且,求三棱锥的体积．20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，底面,点E 在棱上．（1）求证：平面;（2）若,点E 为的中点，求二面角的余弦值．21．如图，四棱柱的棱长均为2，点E 是棱的中点，．（1）证明：平面;（2）若求直线与底面所成角的正切值．22．如图，设中角A ,B ,C 所对的边分别为为边上的中线，已知且．（1）求的面积；（2）设点E ,F 分别为边上的动点，线段交于G ,且的面积为面积的一半，求的最小值．PBC ⊥PBD PBD △PB 3BE PE =DE PB ⊥P CDE -P ABCD -ABCD 120BAD ∠=︒2,,AB AC BD O PO ==⊥ ABCD PD AC ⊥PBD 2OP =PD P AC E --1111ABCD A B C D -1CC 11BAA DAA ∠=∠1AC ∥11B D E 1160,ABC A B AD ∠=︒==1AC ABCD ABC △,,,a b c AD BC 1c =12sin cos sin sin sin ,cos 4c A B a A b B b C BAD =-+∠=ABC △,AB AC EF AD AEF △ABC △AG EF ⋅参考答案大庆实验中学实验一部2023级高一下学期6月份阶段性质量检测数学学科试题2024.06.03—2024.06.04命题人：孟令娇审题人：彭修香说明：1．请将答案填涂在答题卡的指定区域内．2．满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【详解】因为,所以，所以z 的共轭复数,对应的点坐标为位于第四象限．故选：D 2．【答案】C，而边长为6的正方形面积为36，所以所求的直．故选：C3．【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，则圆台侧面积．故选：C ．4．【详解】解：,,∴角A 为钝角，故选：A ．5．【答案】C【详解】试题分析：连接与是正三角形，,则平面,即;又,所以,1i 3zz -=-13i (13i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++-+====+++-2i z =-(2,1)-36=12,r r l ()12222(26)162lS r r πππππ=+=+=()0c c a b ⋅+-<()20AB AB BC CA AB AC ∴⋅+-=⋅< ,,VF BF VAC △ABC △,AC VF AC BF ∴⊥⊥AC ⊥VBF AC PF ⊥DE AC ∥DE PF ⊥即与所成的角的大小是．6．【答案】D【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O ,则，，，设山高，则，在中，,由余弦定理可得：，整理得，．故选：D ．7．【答案】D【详解】由题知面,又,点E 是的中点，，且又面,过B 作于E ,则,又面为直线与平面所DE PF 90︒30PAO ∠=︒45PBO ∠=︒060PC ∠=︒PO h =,,AO BO h CO===AOC cos cos ABO CBO ∠=-∠2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-23()2(3)ab a b h b a +=-h ∴=AB ⊥,BCD AB CD ∴⊥BC BD =CD BE CD ∴⊥BE =,AB BE B CD =∴⊥ ABE BF AE ⊥CD BF ⊥,AE CD E BF =∴⊥ ,ACD BAF ∴∠AB ACD成角，即为B 到平面的距离．解得,利用等面积知．故选D8．【详解】因为，由余弦定理得,整理得，由正弦定理得，又因所以，解得或，而,且,BFACD tan BE BA θ∴===222224,418,BA AE AB BE AE =∴=+=+==ABE4,223AE BF BA BE BF ⨯⨯=∴==3cos a bC b a+=22232a b a b c b a ab+-+=⋅2223c a b =+2221cos 21cos 23sin sin sin 22A BC A B --=+=+111(cos 2cos 2)1[cos()cos()]22A B A B A B A B A B =-+=-++-++-+1cos()cos()1cos cos()A B A B C A B =-+-=+-cos()A B -=223sin 133cos C C C =-=-cos C =cos C =cos cos()cos()cos()2sin sin 0C A B A B A B A B +-=-++-=>cos()A B -=所以,所以．故选：C ．二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．【详解】A ．,则,又，则,所以不正确，A 不正确；B ．,则或,故B 不正确；C ．若m ,n 是两条不同的异面直线，,则,C 正确．D ．由时，m ,n 与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知n 与所成的角相等，m 与所成的角相等，因此m 与所成的角和n 与所成的角不一定互余，D 不正确．故选：ABD 10．答案：ACD 11．【答案】BC【详解】选项A,面面面,到面的距离等于到面的距离，,故A 正确；选项B,连接,分别为线段的中点，且,又 且且,所以过三点的截面为梯形,易知,cos C>cos C =,m n m α⊥∥n α⊥n β⊥αβ∥αβ⊥,,m m n αβα⊂∥∥n β∥n β⊂,,,m n m n αββα⊂⊂∥∥αβ∥m n ⊥ααβ∥,αβ,αβαβ111,PC DD PC ⊂/ ∥11,DD Q DD ⊂11,DD Q PC ∴1DD Q P ∴1DD Q 1C 1DD Q 11111111111122123323D D PQ P DD Q C DD Q D C D Q C D Q V V V V S DD ----∴====⋅=⨯⨯⨯⨯=△111,,A D A Q B C ,P Q 111,CC B C 1PQ B C ∴∥112PQ B C =1B C 1A D 111,B C A D PQ A D =∴∥112PQ A D =,,D P Q 1AQPD 11AQ DP PQ A D ====作,则所以梯形的面积，故B 错误；选项C:将侧面展开如图，显然当Q ,P ,D 三点共线时，取得最小值，最小值为故C 错误；选项D,连接,则 ,则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，则当P 与C 重合时，直线与直线所成角最小为，当P 与重合时，直线与直线所成角最大为，所以直线与直线所成角的取值范围为，故D 正确．故选：BC ．12．【答案】BD1PH DA ⊥DH PH ===1A QPD 1922S =+=DP PQ +==1D C 1D C 1A B DP 1A B DP 1D C DP 1D C 4π1C DP 1D C 2πDP 1A B ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】对于A,如图1，取的中点N ,连接,显然,图1且,又，且,所以,所以四边形为平行四边形，故,又N 为的中点，则与不垂直，所以s 不垂直，故A 错误；对于B,由,所以当时，最大，最大值为正确；C 选项，如图2，取的中点的中点Q ，作平面,且点O 在平面内，连接，图2由知，,又,且,所以,所以在平面上的射影在直线上，即点O 在直线上，所以为平面与平面所成的二面角，则,所以，又在平面上的射影为,则,所以，1A D ,EN MN MN CD ∥12MN CD =BECD ∥12BE CD =,BE MN BE MN =∥MNEB BM EN ∥12,A E DE ==1A D EN 1A D 1,BM A D 12,A E EC ==11111sin 2A EC S A E EC A EC A EC =⋅∠=∠12A EC π∠=1A EC S DE ,P DC 1A O ⊥DEBC DEBC 1,,A P PQ EO 112A E A D ==1A P DE ⊥PQ EC ∥ED EC ⊥DE PQ ⊥1A P DEBC PQ PQ 1A PQ ∠1A DE DEBC 1A PQ α∠=11sin A O A P α==1A E DEBC OE 1A EO β∠=111sin 2A O A O A E β==所以,C 错误；D 选项，结合C 可知，,如图3，当点O ,P 重合时，即平面时，，因为,所以点Q 为三棱锥的外接球球心G 在平面上的投影，故,连接,过点G 作于点F ,因为平面平面,所以,则设,则,由勾股定理得,设三棱锥的外接球半径为R ,则,故,解得,图3所以其外接球半径，所以三棱锥的外接球的表面积为，D 正确．故选：BD 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】．14．【答案】20或4；【分析】由面面平行，可得线线平行，,在利用相似三角形的相似比可得的长【详解】解：如图所示，因为平面平面,所以,，sin αβ=1111423AEDC EDC V S A O A O -=⋅=1A P ⊥DEBC 1A EDC V-ED EC ⊥1A EDC -DEBC 1QG A P ∥1,GA GC 1GF A P ⊥1A P ⊥,DEBC QP ⊂DEBC 1,A P QP GF QP ⊥∥GF PQ ==QG h =1,FP h A F h ==-22222222211)2,2AG A F FG h CG GQ QC h =+=-+=+=+1A EDC -1A G CG R ==222)22h h -+=+0h =2R ==1A EDC -2416R ππ=(,2)(2,2)-∞-- AB CD ∥CD α∥βAB CD ∥PAB PCD ∴△∽△．当P 在平面与平面之间时，．故答案为：20或4．15．【答案】【详解】因为，由余弦定理得：,整理得，所以当且仅当，即时，等号成立，则此时,此时PA AB PC CD∴=815206CD ⨯∴==αβPA AB PC CD∴=8346CD ⨯∴==/306π︒2cos a B c a =-22222a c b a c a ac +-⋅=-2b c a a=-224343b b a a a c a b a a a b b b a b -+++===+≥=3b a a b=b =2232b a c a a a a a =-=-=222cos 2b c a A bc +-===又因为，所以．故答案为：．16．【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面,利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解．【详解】在中，,则又平面,平面平面,所以平面,连接,所以,得,设，则,,得，当即即时，取到最小值1，此时四．解答题（本大题共6小题，共70分）17．【详解】（1） 或（2）因为,所以,(0,)A π∈6A π=6π/BC ⊥ABC BC CP ⊥CP =1sin BP θ=Rt ABC △6BC BAC π=∠=AB =ABC α⊥,,ABC AC AC BC BC α=⊥⊂ ABC BC ⊥ABC ,CP CP α⊂BC CP ⊥CP ==(0)ABP θθπ∠=<<1sin 2ABP S AB BP θ=⋅1sin 2BP θ=1sin BP θ=sin 1θ=2πθ=AB BP ⊥BP CP ==(4,6)c = (4,6)c =-- (2,3),(1,),(5,1)a b k c ==-= 2(0,32),2(7,21)a b k b c k +=+-=--所以．18．【答案】（1） （2）【详解】（1）由,因,代入得，,展开整理得，,即,因,则有,由正弦定理，,又因,故得，则;（2）由（1）得，因,由正弦定理，，则,于是，，因，则,故,即的范围是．19．试题解析：（Ⅰ）证明：在中，由已知,,又平面,,又,平面平面,∴平面平面．（Ⅱ）解：由已知得，,又平面平面,|4|a b += 3π(4,2)-cos cos()cos sin a A a B C A C +-=cos cos[()]cos()A B C B C π=-+=-+cos()cos()sin a B C a B C A C --+=2sin sin cos sin 0a B C A C -=sin (sin cos )0C a B A =sin 0C >sin cos 0a B A =sin sin cos 0A B B A -=sin 0B >tan A =0A π<<3A π=3A π=2a =2sin sin sin 3b c B Cπ===,2cos 3b B c C B B B π⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭222cos 4cos b c B B B B ⎫-=-+=-⎪⎪⎭203B π<<1cos 12B -<<422b c -<-<2b c -(4,2)-BCD △1,2,BC CD BD ===222CD BC BD ∴=+BC BD ∴⊥PD ⊥ABCD PD BC ∴⊥BD PD D = BC ∴⊥,PBD BC ⊂PBC PBC ⊥PBD 32BE =DE PB ∴⊥PBC ⊥PBD平面,故是三棱锥的高．又,而，．20．【详解】证明：（1）因为平面,所以,因为为菱形，所以,又平面平面,所以平面,（2）如图，连接,则平面,由,故即为二面角的平面角，在菱形中，，所以，又,所以由点E 为的中点，易得，所以为等腰三角形，在内过点E 作高，垂足为H ,则,所以，即二面角．DE ∴⊥PBC DE D PCE -Rt 1112122PBC S CB BP =⋅=⨯⨯=△Rt 1144CEP PBC S S ==△△1134P CDE V -∴=⨯=PO ⊥ABCD PO AC ⊥ABCD AC BD ⊥,BD PO O BD =⊂ ,PBD PO ⊂PBD AC ⊥PBD OE OE ⊂ACE ,AC OE AC OP ⊥⊥POE ∠P AC E --ABCD 2,120AB AD BAD ==∠=︒BD OD ==2PO =PB PD ===PD 1122OE PD PE PD ====POE △POE △1HO =cos cos HO POE HOE OE ∠=∠===P AC E --21．【详解】（1）连接交于点F ,连接．由题意知四边形是菱形，故点F 是的中点．又点E 是棱的中点，所以．又平面平面,所以平面．（2）连接,设,连接,由,可得,则．由题意知四边形是菱形，故点O 是的中点，得．在中，易得,故,得．又,所以．易知,且,所以平面,又平面,所以平面平面．又,所以平面．故是直线与底面所成的角．又,所以,所以，11A C 11B D EF 1111A B C D 11A C 1CC 1EF A C ∥EF ⊂111,B D E A C ⊂/11B D E 1AC ∥11B D E ,AC BD AC BD O = 111,,A O A D BA 111,BAA DAA AA AB AD ∠=∠==11BAA DAA △≌△11BA DA =ABCD BD 1A O BD ⊥11BA C △112A C =2221111BC BA A C =+111A B A C ⊥11AC A C ∥1A B AC ⊥AC BD ⊥1A B BD B = AC ⊥1A BD AC ⊂ABCD 1A BD ⊥ABCD 1A O BD ⊥1A O ⊥ABCD 1A CO ∠1AC ABCD 2AC =1AO CO ==1AO =所以即直线与底面．22．【详解】（1） ,由正弦定理：,由余弦定理：．因为D 为中点，所以,设的夹角为，又，，即，解得或,又，所以，易得的面积为（2）设的面积为面积的一半，设，则,又共线，所以设，则,,解得：．，又,，又，化简得，11tan A O A CO CO∠==1AC ABCD 12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+ 2212cos 4ca B a b bc =-+2222221124,1,4244c a b ca a b bc c bc b c c b ac +-⋅=-+⇒=⇒==∴= 1()2AD AB AC =+ ,AB AC θ||AD ∴=== ()2211cos 14cos ()2222c cb AB AD AB AB AC AB AB AC θθ++⋅=⋅+=+⋅== cos ||||AB AD BAD AB AD ⋅=∠== 228cos 8cos 110θθ+-=1cos 2θ=11cos 14θ=-14cos 0θ+>1cos 2θ=sin θ=ABC ∴△141sin 2θ⨯⨯⨯=||,,||AE x AF y AEF == △ABC △2xy ∴=AG AD λ= 22AG AD AB AC λλλ==+ ,,E G F (1)AG AE AF μμ=+- (1)(1)4y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ 2(1)42x y λμμλ⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩4y x y μ=+2244AG AB AC x y x y ∴=+++ 4y EF EA AF AC xAB =+=- 22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦2xy =2296186442y x x AG EF x y x --⋅==++又，则，则时，的最小值为2．4y ≤112x ≤≤1x =22218621342422x AG EF x x -⋅==-++。
