9-KSF如何与积分制之间转换

.即
满足
于是
令u x x0, v y y0 则方程(9.5)化为
这是关于u,v的齐次方程.
ii a1 b1 0
a2 b2
当a1 b1 0时,记a2,b2 k a1,b1 , 令z a1x b1y
则
dz dx

a1

b1
dy dx

a1

b1
22
补例 3 求方程 dy y a(ln x) y2 的通解. dx x
解 以 y 2 除方程的两端，得
y2 dy 1 y1 a(ln x), dx x
即
d ( y1) 1 y1 a(ln x),
dx x
令z y1,则上述方程成为dz 1 z a(ln x), dx x
故原方程的通解
y

e
P(x)d
x

Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx

C

即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
2019/5/13
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例 8 解方程
解 先解 dy 2y 0 , 即 dy 2dx
dx x 1
y x 1
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u

2
(x

为
• 将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
(3)作像函数应
的傅里叶
逆变换
• 第一、三项应用延迟定理
作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
第二、四项应用延迟定理和积分 定理
• 作傅里叶逆变换得
§12.1.4 傅里叶变换的性质
• 假定下面需要取傅里叶变换的函数，均 满足傅里叶变换的条件．
1.线性定理
• 若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
证明 由定义出发
2.延迟定理
• 设x0为任意常数，则 • 证明由定义出发，令u=x-x0可得
• 由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无 关(x是定积分的积分变量)
2.复数形式的傅里叶级数
• 它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则
• 用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用
• 进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部 改用n表示，即得展开系数
§12.1.2 傅里叶积分
1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理
• 周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函 数值就有一次重复;
• 因而w(x,t)的定解问题为
将w(x,t)作奇延拓，得到在无界域 上的定解问题为
(2) 利用上题结果得解．将f (x,t) = 0及无界域上 的w(x,0)代入式 (12.2.20)，便有
§12.2.3 三维泊松方程的定解问题
• 【例12.2.4】已知全空间充满介电常数为e 的 均匀介质，且自由电荷密度rf(x)，求空间的

1

f ( x)e i x dx



F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2



F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
代入初始条件可得 U (, t ) t 0 C ()
所以
U (, t ) ()e
1 1
a22t
.
a 2 2t
3. 取Fourier逆变换。
u ( x, t ) F [U ( , t )] F [ ( )e F [ ( )]* F [e
1 1 a 2 2t
- x , t 0, - x .
方法一、设u( x, t ) V ( x, t ) W ( x, t ), 其中V ( x, t )，W ( x, t )分别满足
2 V 2 V a f ( x, t ), - x , t 0, 2 ( I ) t x u 0, - x t 0
] 1 2a t e
x2 4 a 2t
] ( x) * ( d )
)
( x )2 4 a 2t
( )(


1 2a t
e

( x )2 4 a 2t
1 2a
t


( )e
d
总结：用Fourier变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤：
利用微分性质 :
d x iwF f ( )d =F w dx x0 d x 1 F f ( )d = F w dx x0 iw

T 2 T 2

f 2 (t ) d t

T 2 T 2

g 2 (t ) d t
[ f , g] 这样可令 cos 是f , g间的夹角余弦, f g 则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[T/2,T/2]上的三角函数系 1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ..., cos nt, sin nt, ... 是两两正交的, 其中=2p/T, 这是因 为cos nt和sin nt都可以看作是复 j n t 指数函数e 的线性组合. 当nm时,
T 2

布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为 2p p n n n 1 , 或T , T n
2p 2p 2p T T T
2p 如图 T
O 1 2 3
f (t )又可写为 1 f (t ) lim T T 1 lim n 0 2p
{ { {

T
n-1n
2 j nt j n fT ( )e d e T n 2 j nt j n fT ( )e d e n T n 2
T 2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt cos nt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nt d t T 2
T 2
2
a0 dt 2