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1 离散化方法(讲义)

1 离散化方法(讲义)

° d 2T
2
° i ) gl ( x )dx = 0 i = 2,..., n − 1 + ST (T i
4
5.伽辽金法Galerkin 法 （2）
• 按照习惯的做法，积分写成
° i ) gl ( x ) dx + ST (T i xi xi +1 2° 2° d T ° i ) gl ( x ) dx + d T + S (T ° i ) gl ( x ) dx = ∫ 2 + ST (T i 2 i T ∫ dx dx xi −1 xi
°1, T ° 2 , ⋅⋅⋅ , T °n T
取任意内部节点附近的二次近似函数
° ( x ) = l ( x)T ° i −1 + l ( x )T ° i + l ( x)T ° i +1 T i −1 i i +1 li −1 ( x ) = li ( x) = ( x − xi )( x − xi +1 ) ( xi −1 − xi )( xi −1 − xi +1 )
为方便改写为离散化的一般概念3问题的特点1稳态问题方程中没有时间项2无对流项属于扩散问题3方程中有源项有源问题4方程是非线性的非线性扩散问题5边界条件是线性的6没有解析解精确解离散化的一般概念4求近似解的策略1整体近似解整体近似解是在问题的整个区域中求出适用于全局的近似分布2局部近似解的组合局部近似解就是将问题涉及的区域划分成若干个子区域然后在子区域上用比较简单的函数形式来逼近待求变量的分布
i = 1, 2, 3
1. 离散化的一般概念(1)
考虑一个肋片的稳态传热问题
1. 离散化的一般概念(2)

信号离散化ppt课件

信号离散化ppt课件
for(i=0;i<n;i++) { vout=2.5*sin(angle)+2.5; /*DA没有负电压，转换到0－5V*/
angle=angle+delta_angle; dout=vout*4095/10.0; DA(1,dout); delay(t); } }
30
相关程序 （第4页）
#include “math.h” /*将数学库函数的信息“包含”到本文件中来 */
路
可编程
开
放大器
关
M
U
X
channel = k
VG
Vh
寄 Vd
S/H A/D 存
器
采样
触发
信号
锁存
信号
控制电路
接口 电路
Outportb (Base+10,通道号)
选通道：channel = k 设定增益：gain 选择触发方式
控制线
送采样触发信号 送寄存器锁存信号
数据总线
Inportb (Base+5) Inportb (Base+4)
40
作图程序
for(i=0;i<(points_num-1);i++) /*画曲线*/ {
x=(int)(ox+pointsx[i]*xpert); /*计算x坐标*/ y=(int)(oy-pointsy[i]*yperv); /*计算y坐标*/ moveto(x,y); /*移动该点*/ x=(int)(ox+pointsx[i+1]*xpert); y=(int)(oy-pointsy[i+1]*yperv); lineto(x,y); /*连接两点*/ } return;}

离散完整ppt课件5.2-3共23页文档

离散完整ppt课件5.2-3共23页文档
代数系统定义与实例
定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代 数，记做 V=<S, f1, f2, … , fk>.
S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数系 统的成分. 有的代数系统定义指定了S中的特殊 元素，称为代数常数, 例如二元运算的单位元. 有时也将代数常数作为系统的成分.
6
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 的 积代数 是V=<S1S2,∙>,
<x1,y1>, <x2,y2>S1S2 , <x1,y1> ∙ <x2,y2>=<x1ox2, y1y2>
例3 V1=<Z,+>, V2=<M2(R), ∙ >, 积代数< ZM2(R),o> <z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) , <z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>
单同态、满同态、同构 自同态
同态映射的性质
9
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,∘>和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f: S1S2, 且x,yS1, f (x∘y) = f(x) f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
10
更广泛的同态映射定义
f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)=∇f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.

连续系统的离散化方法课件

连续系统的离散化方法课件

离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。

第二章离散化方法

第二章离散化方法

1计算传热学第二章离散化方法任课教师：王增辉中科院研究生院物理科学学院2010年2中国科学院研究生院2010年春季方程求解的关键环节区域离散化的两种方法Taylor级数展开法控制方程离散化的控制容积法Taylor级数法和控制容积法比较四个基本原则本章主要内容3中国科学院研究生院2010年春季2.1 方程求解的关键环节建立恰当的数学模型Proper Mathematical Modelling对求解区域进行离散化处理Discretization of Computational Domain对数学模型进行离散化处理Discretization of Mathematical Model离散化(discretization）：将连续的数据用离散的数据来记录；在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接4中国科学院研究生院2010年春季离散化计算区域离散化控制方程离散化用时空点有限的计算域替代时空点无限的计算域用离散的状态变量分布去近似连续的状态变量分布所满足的基本方程确定拟求解那些时刻和那些位置的状态变量的数值大小，形成网格确定拟求解的那些有限时空点上的离散状态变量所应满足的方程，形成差分方程。

5中国科学院研究生院2010年春季计算区域(domain)网格线(grid line)：沿坐标轴线方向连接相邻节点所形成的曲线族 格子（cell）节点(grid pointer，node, center node)：待求状态变量的空间位置；计算节点（computational node, FDM）；节点（FVM）控制容积(control volume，CV)界面(face)：包围节点的最小几何单元，或实施控制方程离散化的最小几何单元界面(控制容积面或控制体界面)：控制体的边界面计算区域边界节点控制体界面数值计算名词6中国科学院研究生院2010年春季区域离散化区域离散化：将求解区域划分为若干个互不重合的子区域（CV)；区域之间不重合子区域（sub-region)也称为控制容积（controlvolume)；并确定节点在每个子区域中的位置：需要给出节点位置坐标，这一过程称之为计算区域的离散化，或网格划分或网格生成技术区域离散化是用一组正交的网格线（可以是曲线）将求解区域进行分割规则形状的计算域，容易实现区域离散化，一系列平行于坐标轴的曲线族就可实现网格划分；复杂的区域内不存在与坐标轴关联的简单又直观的网格划分方法7中国科学院研究生院2010年春季 有限区域(finite domain)：求解区域（Computational domain）＝实际区域无限区域(infinite domain)：求解区域不等于实际区域；界定原则：计算结果不敏感原则，亦即求解区域的大小对计算结果没有明显的影响8中国科学院研究生院2010年春季首先，用一系列与坐标轴相应的直线或曲线把计算域划分成互不重叠，且覆盖整个计算域的一些小区域，这些小区域也称之为子区域。

离散完整ppt课件2.1-2共25页

离散完整ppt课件2.1-2共25页
2.1 一阶逻辑基本概念
▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
1
基本概念——个体词、谓词、量词
个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体
个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
12
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
13
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合 式公式.
15
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
7
一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化

第四章离散化的基本方法

第四章离散化的基本方法

u ( x )i, j

ui1, j ui1, j 2x
O(x)2
(6)
二阶“中心差分”
总结：
ui1, j ui, j

x
O(x)
一阶“向前差分”
u ( x )i, j


ui
,
j

ui1, j x
O(x)
一阶“向后差分”
ui1, j ui1, j
x
x2 2
最初的估计 斜率的影响 曲率的影响
举例说明
8
Nanjing University of Technology
有限差分基础
考虑函数 f (x) sin 2 x
在x＝0.2处，f(x)＝0.9511。如图中1点。
取Δx＝0.02，f(x+Δx)=f(0.22)=0.9823 图中点2
)i
,
j
(x)

(
2u x2
)i
,
j
(x)2 2

(
3u x3
)i
,
j
(x)3 6

(4)
解得：
(
u x
)i
,
j

ui, j
ui1, j x
O(x) (5)
一阶“向后差分”
11
Nanjing University of Technology
有限差分基础
对于CFD而言，一阶精度是不够的。为构造2阶精度。直接 用（2）式减去（4）式得到：
ui2, j
O(x)4
越高精度在计算过程中是不是就越好呢？
缺点：需要更多的网格信息，所以计算每一步时间步 或者空间步需要更多时间。

连续系统模型的离散化处理方法课件

连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。

连续系统离散化.ppt

连续系统离散化.ppt

n (T )u(kT)
已知控制系统框图如下图，求该系统的仿真模 型。
R+ e
1
y
s(s 2)
-
R + e e(kT)
1
y
H (s)
s(s 2)
-
1 2
e
1 x1
s
y
1
1 x2
2
s2
e R y
y x1 x2
1

x1 x2


0 0
0 2
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
1
s

T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1

yk

3 2 Tuk

T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)

Z

eTs T

1

e s
Ts
2
1
s

T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型

eaT
yk

k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)

Z

eTs T

离散化原理及要求和常用的几种数值积分法PPT课件

离散化原理及要求和常用的几种数值积分法PPT课件

ki4 )
ki1 hfi (tm , y1m , y2m , , ynm )
hfi (tm
h2m
1 2
k21,
,
ynm
hfi (tm
h 2
,
y1m
1 2
k12 ,
y2m
1 2
k22 ,
,
ynm
1 2 1 2
k n1 ) kn2 )
ki4 hfi (tm h, y1m k13, y2m k23, , ynm kn3 )
38
课堂测验： 已知微分方程 y ey t2，分别用欧拉法、 梯形法和四阶龙格库塔法写出前两步的差分 方程的解(t0=0， y0=0, 步长h=0.1)
39
近似值
fp n1
f
(tn1,
yp n1
)
3.然后用梯形法求出修正后的 ye
n1
25
迭代运算：
1.用欧拉法预估一个初值 y(0)
n1
2.用下式求出 y(1)
n1
y(1) n1
y(tn )
1 2
h
f (tn, yn )
f
(tn1,
y(0) n1
)
3.再用 y(1) 求 y(2)
n1
n1
y(2) n1
一阶龙格－库塔公式——欧拉公式
35
优点
编制程序容易 改变步长方便 稳定性较好 是一种自启动的数值积分法
36
(4)单步法的特点
需要存储的数据量少 可自启动 容易实现变步长运算
37
例：已知系统方程
y 0.5y 2y 0, y(0) 0, y(0) 1
取步长 h 0.1 计算 t 0.1,0.2时的y值

偏微分方程的离散化方法PPT精选文档

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2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。

偏微分方程的离散化方法课件

偏微分方程的离散化方法课件

P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
.
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
1
(
Pn i1,
j
2
2Pi,nj x 2
Pn i 1,
j
P n1 i1, j
以上方程的一般形式： ci Pi1 ai Pi bi Pi1 di ，形成三对角矩阵。
.
三对角矩阵形式
1 2 3 4 512345
1PP
2PPP
3 PPP
4
PPP
5
P PP
1
PPP
2
PPP
3
PPP
4
PPP
5
PP
.
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2 P x 2
2P y 2
P t
采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
2
P n1 i, j
P n1 i1, j
x 2
P n1 i, j1
2
Pi
n1 ,j
P n1 i, j1
y 2
P n1 i, j
Pn i, j
t
若取正方形网格：则： x y
P n1 i, j1
P n1 i1, j
(4
1
)
Pi
n 1 ,j
P n1 i1, j
Pn i, j1
1
Pn i, j
该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（i，j），（i+1，j），

连续系统的离散化方法及近似解课件

连续系统的离散化方法及近似解课件
差分方程
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
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