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已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15 和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 方差 2 标准差 2
1、2、3、4、5 11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
3
13
9
2
18 3
2
2
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
想看一看下面的问题吗？
-5 2. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ ℃. 7 或 -3 3.数据 1 , 2 , 3 , x 的极差是 6 ,则 x =＿＿＿＿＿.
方差和标准差
教练的烦恼
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
7 10
8 6
时间
北京 这一天两地的温差分别是: 北京 安庆 24-10=14℃ 25-20=5℃
安庆
某时段内气温的最高值与最低 值的差叫做温差。温差是一种 极差，常用它来反映一天、一 月、一年的气温变化幅度。
2.在2004年雅典奥运会上我国选手郭晶晶，吴敏霞和俄 罗斯选手帕卡琳娜 分获女子3米板单人比赛的前3名。他 们在决赛中的五组动作得分情况如下：
S=
计算一组数据的方差的一般步骤： 1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X 2、利用方差公式计算这组数据的方差S2
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n
+(xn-x)2 ]
8 10
8 6
9 8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比
10
成绩（环）
8
射 击 次 序
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6 赛，若你是教练，你认为挑 4 选哪一位比较适宜？为什么？2
0
1
2
3
4
5
甲射击成绩与平均成绩的偏差的和： （7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=
问哪种小麦长得比较整齐?
思考：求数据方差的一般步骤是什么？
1、求数据的平均数； 2、利用方差公式求方差。
S2=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ] n
数据的单位与方差的单位一致吗？ 为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
S=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n
0 0
乙射击成绩与平均成绩的偏差的和： （10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=
甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和： （7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2= 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
？ 2
（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——毕达哥拉斯
问题1： 为了比较甲、乙两种棉花结桃情况，
任意抽取每种棉花各10棵，统计它们结桃 数的情况如下： 甲种棉花 84 ,79, 81, 84, 85, 82, 83, 86, 87 ,89 乙种棉花 85 ,84, 89, 79, 81, 91, 79, 76, 82, 84 请你对这两组数据进行分析比较， 看看能获得什么结论？
如果你家想要种棉花，那你 会选择种哪种棉花？
什么样的指标可 以反映一组数据 变化范围的大小？
探究新知：
1.极差
定义：一组数据中最大数与最小数的差。 表达式：极差=最大数－最小数 极差是刻画数据离散程度的最简单的统 计量，而且计算简便。
你能举一些生活中于极差有关的 例子吗?
某日在不同时段测得北京和安庆的气温情况如下:
甲： 84 ,79, 81, 84, 85, 82, 83, 86, 87 ,89
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
89－79=10
乙： 85 ,84, 89, 79, 81, 91, 79, 76, 82, 84
91－76=15
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
北京
安庆
温度℃ 25
10℃
20 ℃
14 ℃
22℃
20 ℃
23 ℃
温度℃ 25 20 15 10 5
24 ℃
25 ℃
19 ℃
23 ℃
16 ℃
21 ℃
20
15 10 5
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
时间
0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00
考考你的观察力 （单位：克）
甲 乙 99 103 98 95 101 104 100 103 105 96 98 98 97 101 102 100
S甲2＝ 5.5(克2)
甲
S乙2＝10.5(克2)
10 9.8 9.7
9.9 10.3 9.8 10.1 10.4
乙
10.2
10
9.5 10.3 10.5 9.6
郭晶晶 74.70，84 .60，81.84，83.70，65.25； 吴敏霞 70.20，70.47， 75.60，72.54，82.80； 帕卡琳娜 75.60，68.40，74.40，74.40，80.10。
请你来评论一下她们的表现吧！
练一练
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
小结：谈谈自己这节课已学到什么？
1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差.
S2=
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ] n
2.方差：用来衡量一批数据的波动大小(即这批数 据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下, 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差.
？ 16
找到啦！有区别了！
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均 数的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用 1 2= S n [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ] 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的 方差.
+(xn-x)2 ]
来表示，并把它叫做标准差.
课内练习P89
1、2
小明的烦恼
在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语 成绩分别如下（单位：分） 数学 英语 70 80 95 85 75 90 95 85 90 85
通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？ 对小明的学习你有什么建议？
极差、方差和标准差都是显示一组数据的波 动性大小的特征数，标准差是方差的算术平 方根，计算公式：
⑴极差： 极差=最大值-最小值 ⑵方差： 1 2 2 2 2 S [( x1 x) ( x 2 x) …+( xn x) ] n ⑶标准差：
1 S [( x1 x)2 ( x 2 x) 2 …+( xn x) 2 ] n
请你用发现的结论来解决以下的问题： 已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y标准差为Z。则 ①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为--------，方差为-------， 标准差为----------。 ②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 ----------，方差为--------， 标准差为----------。 ③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------， 标准差为----------。 ④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 ----------， 方差为---------，标准差为----------。
方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均 数的大小). 在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的 波动越大,越不稳定.
例: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10 株苗，测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12 乙: 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 13 11 15 19 6 8 10 11 16
9.8 10.1
S甲2＝ 0.055(克2)
S乙2＝0.105(克2)
1、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是————。
2、已知一个样本1、3、2、x、5，其平均数是3，则这个 样本的标准差是————。
3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同， 且射击成绩的平均数x甲 = x乙，如果甲的射击成绩比 较稳定，那么方差的大小关系是S2甲————S2乙。
