当前位置：文档之家 › 概率论答案(李贤平)

概率论答案(李贤平)

  • 格式：doc
  • 大小：958.50 KB
  • 文档页数：15

第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30. (2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07 (3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23. P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73. (4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC) =(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90. (6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC A C A B A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(，若A 发生，则B 与C 必同时发生。

（2）A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且A B A C B A C B A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。

（3）A C AB ⇒⊂与B 同时发生必导致C 发生。

（4）C B A BC A ⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。

3、解：n A A A 21)()(11121----++-+=n n A A A A A A (或)＝121121-+++n n A A A A A A A ．4、解：（1）C AB ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}； C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。

（2）A BC A ABC ⊃⇒=，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。

（3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时，B C ⊂成立。

（4）A=B 及C B A C A ==⇒=，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是运动员的学生全体时成立。

也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。

5、解：设袋中有三个球，编号为1，2，3，每次摸一个球。

样本空间共有3个样本点（1），（2），（3）。

设{}{}{}3,3,1,2,1===C B A ，则{}{}},2{,1,3,2,1},3{=-===B A B A B A A {}3,2,1=+C A 。

6、解：（1）{至少发生一个}=D C B A .（2）{恰发生两个}=C A BD B A CD D A BC C B AD D B AC D C AB +++++.（3）{A ，B 都发生而C ，D 都不发生·}=D C AB . （4）{都不发生}=D C B A D C B A =.（5）{至多发生一个}=C B A D D B A C D C A B D C B A D C B A ++++ CD BD BC AD AC AB =. 否属于7、解：分析一下i E 之间的关系。

先依次设样本点i E ∈ω，再分析此ω是),(),(i k i j E E i j E k j j ≠≠≠等。

（1）6E 为不可能事件。

（2）若5E ∈ω，则)4,3,2,1(=∈i E i ω，即φ=i E E 5。

（3）若4E ∈ω，则32,E E ∈∈ωω。

（4）若3E ∈ω，则必有2E ∈ω或1E ∈ω之一发生，但21E E ∈ω。

由此得,32313E E E E E = ，φ=321E E E 。

（5）若2E ∈ω，则必有1E ∈ω或3E ∈ω之一发生，由此得 Ω==06,E E φ23212E E E E E = 。

（6）1E 中还有这样的点ω：12345，它仅属于1E ，而不再属于其它)0,1(≠i E i 。

诸i E 之间的关系用文图表示（如图）。

8、解：（1）因为n n n n n n x nC x C x C x ++++=+ 2211)1(，两边对x 求导得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n ，在其中令x=1即得所欲证。

（2）在上式中令x=-1即得所欲证。

（3）要原式有意义，必须a r ≤≤0。

由于kb b k b r b b a r a b a C C C C -++-+==,，此题即等于要证∑=++-+≤≤=ak r b b a k b b r k a a r C C C0,.利用幂级数乘法可证明此式。

因为b a b a x x x ++=++)1()1()1(，比较等式两边r b x +的系数即得证。

9、解：15.0335/311151516===A A A A P10、解：（1）第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p（2）可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p（3）p=P{第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}=1071015252=-+. （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P（5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P11、解：末位数吸可能是2或4。

当末位数是2（或4）时，前两位数字从剩下四个数字中选排，所以 5/2/23524=⨯=A A P12、解：m n mn mn mn C C C C P 33/321=13、解：P{两球颜色相同}=P{两球均白}+P{两球均黑}+P{两球均红}33.062520725925152562572510253==⨯+⨯+⨯=.14、解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则n 个号码必然全不相同，N n ≤。

N 个不同号码可产生!n 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组合对应一种严格上升排列，所以共有nN C 种按严格上升次序的排列。

总可能场合数为nN ，故题中欲求的概率为n n N N C P /=.15、解法一：先引入重复组合的概念。

从n 个不同的元素里，每次取出m 个元素，元素可以重复选取，不管怎样的顺序并成一组，叫做从n 个元素里每次取m 个元素的重复组合，其组合种数记为mm n m n C C 1~-+=. 这个公式的证明思路是，把n 个不同的元素编号为 ,2,1,n ，再把重复组合的每一组中数从小到大排列，每个数依次加上1,,1,0-m ,则这一组数就变成了从1,,2,1-+m n 共1-+m n 个数中，取出m 个数的不重复组合中的一组，这种运算构成两者之间一一对应。

若取出n 个号码按上升（不一定严格）次序排列，与上题同理可得，一个重复组合对应一种按上升次序的排列，所以共有nN C ~种按上升次序的排列，总可能场合数为nN ，从而nn n N n n N N C N C P //~1-+==.解法二：现按另一思路求解。

取出的n 个数中间可设n-1个间壁。

当取出的n 个数全部相同时，可以看成中间没有间壁，故间壁有01-n C 种取法；这时只需取一个数字，有1N C 种取法；这种场合的种数有11N n C C -种。

当n 个数由小大两个数填上，而间壁的位置有11-n C 种取法；数字有2N C 种取法；这种场合的种数有211N n C C -种。

当n 个数由三样数构成时，可得场合种数为321N n C C -种，等等。

最后，当n 个数均为不同数字时，有n-1个间壁，有11--n n C 种取法；数字有nN C 种取法；这种场合种数的nN n n C C 11--种。

所以共有有利场合数为：n n N n N n n N n N n N n C C C C C C C C C m 1113212111011-+-----=++++= .此式证明见本章第8题（3）。

总可能场合数为nN n =1，故所还应的概率为n n n N N C n m P //111-+==.16、解：因为不放回，所以n 个数不重复。

从}1,,2,1{-M 中取出m-1个数，从},1{N M +中取出m n -个数，数M 一定取出，把这n 个数按大小次序重新排列，则必有M x m =。

故nN m n M N m M C C C C P /1111----=。

当11-<-m M 或m n M N -<-时，概率0=P .17、解：从N ,,2,1 中有放回地取n 个数，这n 个数有三类：<M ，=M ，>M 。

如果我们固定1k 次是取到<M 的数，2k 次是取到>M 的数，当然其余一定是取到M 的。

当次数固定后，<M 的有1)1(kM -种可能的取法（因为每一次都可以从1-M 个数中取一个），>M 的有2)(k M N -种可能的取法，而=M 的只有一种取法（即全是M ），所以可能的取法有1)1(kM -2)(kM N -种。

对于确定的21,k k 来说，在n 次取数中，固定哪1k 次取到<M 的数，哪2k 次取到>M 的数，这共有211kk n kn C -⨯种不同的固定方式，因此1k 次取到<M 的数，2k 次取到>M 的数的可能取法有21211)()1(kkkk n kn M N M C --⨯-种。

设B 表示事件“把取出的n 个数从小到大重新排列后第m 个数等于M “，则B 出现就是1k 次取到<M 的数，2k 次取到>M 的数的数，m n k m k -≤≤-≤≤210,10，因此B 包含的所有可能的取法有∑∑-=-=---1001221211)()1(m k mn k k k k k n k nM N M C C种。

所以 nNB P 1)(=∑∑-=-=---⨯1001221211)()1(m k mn k k k k k n k nM N M C C.18、解：有利场合是，先从6双中取出一双，其两只全取出；再从剩下的5双中取出两双，从其每双中取出一只。

所以欲求的概率为48.03316/4121212252216===C C C C C C P19、解：（1）有利场合是，先从n 双中取出2r 双，再从每双中取出一只。

合集下载

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答

概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答


即得 Cn 2Cn 3Cn nCn n2
1 2 3 n
n 1
（2）在上式中令 x=-1 即得 Cn 2Cn 3Cn (1)
1 2 3 n 1 n nCn 0
（3）要原式有意义，必须 0 r a 。由于 Cab Cab , Cb Cb
m
~m
这个公式的证明思路是，把 n 个不同的元素编号为1,2, ,n，再把重复组合的每一组中 数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,, m 1 ,则这一组数就变成了从 1,2,, n m 1 共
m
m

3 10 7 6 15 9 207 . 25 25 25 25 25 25 625
14.由盛有号码 1,2, ，N 的球的箱子中有放回地摸了 n 次球，依次记下其号码，试求这些 号码按严格上升次序排列的概率。 解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则 n 个号码必然全不相同， n N 。N 个不同号 码可产生 n ! 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组 合对应一种严格上升排列， 所以共有 C N 种按严格上升次序的排列。 总可能场合数为 N n ， 故题中欲求的概率为 P
解： （1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
（2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。 （4）A=B 及 A C A B C ，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是 运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5．用摸球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算。 解： 设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1） ， （ 2） ， 1,2, B 1,3, C 3， （3）设 A 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1 , A B {2},
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

李贤平-《概率论与数理统计-第一章》答案

第1章 事件与概率2、假设A ，B ，C 是随机事件，说明以下关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A = ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、假设A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示以下各事件：〔1〕这四个事件至少发生一个；〔2〕这四个事件恰好发生两个；〔3〕A ，B 都发生而C ，D 都不发生；〔4〕这四个事件都不发生；〔5〕这四个事件中至多发生一个。

8、证明以下等式：〔1〕1321232-=++++n n n n n n n nC C C C ；〔2〕0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C ；〔3〕∑-=-++=ra k r ab a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。

10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求以下概率：〔1〕第一卷出现在旁边；〔2〕第一卷及第五卷出现在旁边；〔3〕第一卷或第五卷出现在旁边；〔4〕第一卷及第五卷都不出现在旁边；〔5〕第三卷正好在正中。

11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。

12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。

13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。

现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。

14、由盛有号码 ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

16、任意从数列 ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<< 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求以下事件发生的概率：〔1〕没有成对的鞋子；〔2〕只有一对鞋子；〔3〕恰有两对鞋子；〔4〕有r 对鞋子。

概率论答案-李贤平版-第二章

概率论答案-李贤平版-第二章

第二章 条件概率与统计独立性1、字母M ，A ，X ，A ，M 分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM 的概率是多少？2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

3、若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

4、袋中有a 只黑球，b 吸白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后来放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（3≥b ）。

5、从{0，1，2，…，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。

6、甲袋中有a 只白球，b 只黑球，乙袋中有α吸白球，β吸黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？7、设的N 个袋子，每个袋子中将有a 只黑球，b 只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬币n 回，第一回出正面的概率为c ，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p ，求第n 回时出正面的概率，并讨论当∞→n 时的情况。

9、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。

以pn ，qn ，rn 分别记在第n 次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。

试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn ，qn ，rn 表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当∞→n 时的情况。

10、设一个家庭中有n 个小孩的概率为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=,0,11,1,n pap n ap p n n 这里p p a p /)1(0,10-<<<<。

若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有)1(≥k k 个男孩的概率为1)2/(2+-k k p ap 。