向量与圆锥曲线综合
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向量与圆锥曲线综合1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α,β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )A ． 3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5C ． 2x-y =0D ． x +2y -5=02.若F 1、F 2为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足：,1OM OF F +==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．33.过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ）A.2a B.a 21C.4a D .a44.已知A 、B 为抛物线x 2=2py (p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，则①y 轴上恒存在一点K ，使得0=∙；②0=∙；③存在实数λ使得 λ=；④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，有0=∙AB FT 。
中说法正确的为___________5.如图，A 为椭圆12222=+by a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2．当AC 垂直于x 轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1（I ）求该椭圆的离心率； （II ）设F 111λ=，F AF 222λ=，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定 值；若不是，请说明理由．6.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，PQ ，且QP QF FP FQ = ． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l （1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ= ，求12λλ+（2）求MA MB的最小值．7.设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。
8.三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD→=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t ∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.9.已知方向向量为)3,1(=的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.向量与圆锥曲线综合1.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=，其中α,β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( D )A ． 3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5C ． 2x-y =0D ． x +2y -5=02.若F 1、F 2为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足：,1OM OF F +==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ C ）A ．2B ．3C ．2D ．33.过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A.2aB.a21C.4aD.a4 4.已知A 、B 为抛物线x 2=2py (p>0)上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，则①y 轴上恒存在一点K ，使得0=∙KF KA ；②0=∙DF CF ；③存在实数λ使得 AO AD λ=；④若线段AB 中点P 在在准线上的射影为T ，有0=∙。
中说法正确的为___________①②③④5.如图，A 为椭圆12222=+by a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2．当AC 垂直于x轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1（I ）求该椭圆的离心率；（II ）设F 111λ=，F AF 222λ=，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定 值；若不是，请说明理由．解：（I ）当A C 垂直于x 轴时，12:3:1AF AF =，由122AF AF a +=，得132a AF =，22aAF = 在Rt △12AF F 中，21AF =222(2)AF c +解得 e=2． （II）由e=22，则221222=-=-=e a c a a b ，c b =． 焦点坐标为12(0)(0)F bF b -，，，，则椭圆方程为122222=+by b x ， 化简有22222b y x =+．设00()A x y ，，1122()()B x y C x y ，，，，①若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为)(00b x bx y y --=代入椭圆方程有0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b ．由韦达定理得：02222023bx b y b y y --=，∴0202223bx b y b y --=所以b x b y y C F AF 02022223-=-==λ，同理可得bx b b x b 0012323+=---=λ故λ1+λ2=66=bb． ②若直线AC x ⊥轴，b x =0，12=λ，5231=+=bbb λ ∴λ1+λ2＝6．综上所述：λ1+λ2是定值6．6.如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ = ．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值；（2）求MA MB的最小值．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =--- 0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，220PQ PF ∴-= ， PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，得120λλ< ．则：12MA AF MB BF λλ=- ．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AFMB BB BF== ．…………②由①②得：12AFAF BF BFλλ-=，即120λλ+=．（Ⅱ）（2）解：由解法一，212M M MA MB y y y y =-- 221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．7.设,A B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以MN 为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
解：（Ⅰ）依题意得 a ＝2c ，ca 2＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝3.故椭圆的方程为 13422=+y x . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 0，y 0）.∵M 点在椭圆上，∴y 0＝43（4－x 02）. ○1 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P （4，2600+x y ）. 从而＝（x 0－2，y 0），＝（2，2600+x y ）. ∴BM 〃BP ＝2x 0－4＋26020+x y ＝220+x （x 02－4＋3y 02）. ○2将○1代入○2，化简得〃＝25（2－x 0）.∵2－x 0>0，∴〃>0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点B 在以MN 为直径的圆内。
解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为（221x x +，221y y +），依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差2BQ －241MN ＝(221x x +－2）2＋（221y y +）2－41[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ○3又直线AP 的方程为y ＝)2(211++x x y ，直线BP 的方程为y ＝)2(222--x x y， 而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上， ∴26262211-=+x y x y ，即y 2＝2)23112+-x y x （ ○4 又点M 在椭圆上，则1342121=+y x ，即)4(432121x y -= ○5于是将○4、○5代入○3，化简后可得2BQ －241MN ＝0)2)(24521<-x x －（. 从而，点B 在以MN 为直径的圆内。
