第5章机械能 第1讲功和功率

第五章 机械能高考目标复习指导功和功率Ⅱ 1.考情分析：高考对本章知识点考查频率最高的是动能定理、机械能守恒定律．有单独考查，多以与其他知识综合考查，有选择题，也有计算题． 2.高考热点：(1)功和功率的理解与计算．(2)动能定理、机械能守恒定律常结合牛顿运动定律、平抛运动、圆周运动以及电磁学知识进行考查．(3)动能定理及能量守恒定律与生产、生活、科技相结合进行综合考查.动能和动能定理Ⅱ重力做功与重力势能Ⅱ功能关系、机械能守恒定律及其应用Ⅱ实验五：探究动能定理 实验六：验证机械能守恒定律第1讲 功和功率一、功1．做功的两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上发生的位移． 2．功的大小(1)公式：W ＝Fl cos α(α为力和位移的夹角) (2)功的正负夹角功的正负物理意义0≤α<90° W >0 力对物体做正功90°<α≤180° W <0力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功α＝90° W ＝0 力对物体不做功功是标量，正功表示对物体做功的力是动力；负功表示对物体做功的力是阻力，功的正负不表示功的大小．二、功率1．定义：功与完成功所用时间的比值． 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 3．公式(1)P ＝Wt，P 为时间t 内的平均功率． (2)P ＝Fv cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率； ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率． 4．额定功率和实际功率名称 意义 二者联系额定功率动力机械长时间正常工作时的最大输出功率实际功率可以小于或等于额定功率，实际功率长时间大于额定功率时会损坏机械实际功率动力机械实际工作时的输出功率1．关于功率公式P ＝W t和P ＝Fv 的说法正确的是( ) A ．由P ＝W t知，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率 B ．由P ＝Fv 只能求某一时刻的瞬时功率 C ．从P ＝Fv 知汽车的功率与它的速度成正比D ．从P ＝Fv 知当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比解析：P ＝W t是对应一段时间内的功率，是平均功率，在P ＝F ·v 中，若v 为平均速度，则P 为平均功率．若v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．当P 一定时，F 与v 成反比．答案：D2．如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假定人与扶梯一起沿斜面匀加速上升，在这个过程中人脚所受的静摩擦力( )A ．等于零，对人不做功B ．水平向左，对人不做功C ．水平向右，对人做正功D ．沿斜面向上，对人做正功解析：人受水平向右的静摩擦力，该力与人的水平位移方向相同，故该力对人做正功．答案：C3．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移x也相同，则F做功最小的是( )答案：D4．物体受到两个互相垂直的作用力F1、F2而运动，已知力F1做功6 J，物体克服力F2做功8 J，则力F1、F2的合力对物体做功( )A．14 J B．10 JC．2 J D．－2 J解析：合力对物体所做的功等于各个力做功的代数和．F1对物体做功6 J，物体克服F2做功8 J即F2对物体做功为－8 J，因而F1、F2的合力对物体做功为6 J－8 J ＝－2 J，因而选项D正确．答案：D5．自由下落的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内重力的平均功率之比为( ) A．1∶1∶1 B．1∶2∶3C．1∶3∶5 D．1∶4∶9解析：做自由落体运动的物体，第1 s末、2 s末、3 s末的速度分别为v1＝gt1＝g，v2＝gt2＝2g，v3＝gt3＝3g，则第1 s、2 s、3 s内重力的平均功率分别为P1＝mg v12＝12mg2，P2＝mgv1＋v22＝32mg2，P3＝mgv2＋v32＝52mg2，所以P1∶P2∶P3＝1∶3∶5，故C选项正确．答案：C正、负功的判断及大小的计算如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l.(1)摩擦力对物体做的功为(物体与斜面相对静止)( )A．0 B．μmgl cos θC．－mgl sin θcos θ D．mgl sin θcos θ(2)斜面对物体的弹力做的功为( )A．0 B．mgl sin θcos2θC．－mgl cos2θ D．mgl sin θcos θ(3)重力对物体做的功为( )A．0 B．mglC．mgl tan θ D．mgl cos θ(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？解析：对物体进行受力分析如图所示，物体m受到重力mg、摩擦力F f和支持力F N的作用，物体有沿斜面下滑的趋势，F f为静摩擦力，位移l的方向与速度v的方向相同．据物体的平衡条件有F f＝mg sin θ，F N＝mg cos θ.由功的计算公式W＝Fl cos α有：(1)摩擦力F f对物体做功W f＝F f l cos(180°－θ)＝－mgl sinθcos θ，故C对．(2)弹力F N对物体做功W N＝F N l cos(90°－θ)＝mgl sin θcos θ，故D对．(3)重力G做功W G＝mgl cos 90°＝0，故A对．(4)斜面对物体的作用力即F N和F f的合力，方向竖直向上，大小等于mg(物体处于平衡状态)，则W斜＝F合·l cos 90°＝mgl cos 90°＝0.各力对物体所做的总功是求各力做功的代数和，即W总＝W f＋W N＋W G＝0.答案：(1)C(2)D(3)A(4)0 01.功的正负的判断方法(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功．(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．2．恒力做功的计算方法1－1：一根木棒沿水平桌面从A运动到B，如图所示，若棒与桌面间的摩擦力大小为F f，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做功各为( )A．－F f x，－F f x B．F f x，－F f xC．0，－F f x D．－F f x,0解析：做功的两个必要条件是：力和在力的方向上的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，当力与位移垂直时，此力并不做功，故C对、D错．答案：C对功率的理解及计算(2011·海南卷)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1秒内受到2 N 的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N 的外力作用．下列判断正确的是( )A ．0～2 s 内外力的平均功率是94 WB ．第2秒内外力所做的功是54 JC ．第2秒末外力的瞬时功率最大D ．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是45解析：根据牛顿第二定律得，物体在第1 s 内的加速度a 1＝F 1m＝2 ms 2，在第2 s内的加速度a 2＝F 2m ＝11ms 2＝1 ms 2；第1 s 末的速度v 1＝a 1t ＝2 ms ，第2 s 末的速度v 2＝v 1＋a 2t ＝3 ms ；0～2 s 内外力做的功W ＝12mv 22＝92 J ，功率P ＝W t ＝94 W ，故A 正确．第2 s 内外力所做的功W 2＝12mv 22－12mv 21＝(12×1×32－12×1×22)J ＝52J ，故B 错误．第1 s末的瞬时功率P 1＝F 1v 1＝4 W ．第2 s 末的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝3 W ，故C 错误．第1 s 内动能的增加量ΔE k 1＝12mv 21＝2 J ，第2 s 内动能的增加量ΔE k 2＝W 2＝52 J ，所以ΔE k1ΔE k2＝45，故D 正确． 答案：AD计算功率的基本思路1．首先判断待求的功率是瞬时功率还是平均功率． 2．(1)平均功率的计算方法①利用P ＝W t；②利用P ＝F ·v ·cos α. (2)瞬时功率的计算方法P ＝F ·v ·cos α，v 是t 时刻的瞬时速度．2－1：如图所示，将质量为m 的小球以初速度v 0从A 点水平抛出，正好垂直于斜面落在斜面上B 点．已知斜面的倾角为α.(1)小球落到斜面上B 点时重力做功的瞬时功率是多少？ (2)小球从A 到B 过程中重力做功的平均功率是多少？解析：(1)将小球落在斜面上时的速度进行正交分解，如图所示． 小球在竖直方向上的分速度为v y ＝v 0cot α， 所以，小球落到斜面上B 点时重力做功的瞬时功率为P ＝mgv y ＝mgv 0cot α.(2)小球从A 到B 过程中重力做功的平均功率为P ＝mg v y ＝mg ×12(0＋v y )＝12mgv 0cot α.答案：(1)mgv 0cot α (2)12mgv 0cot α机车的启动问题机车的两种启动方式额定功率是80 kW 的无轨电车，其最大速度是72 kms 2的加速度匀加速开出，阻力大小一定，则( )(1)电车匀加速运动行驶能维持多少时间？(2)又知电车从静止驶出到增至最大速度共经历了21 s ，在此过程中，电车通过的位移是多少？解析： F f ＝P 0v m代入数据解得F f ＝4×103N 由牛顿第二定律有F －F f ＝ma 解得F 牵＝8×103N 匀加速末速度v t ＝P 0F 牵＝10 ms匀加速持续时间t 1＝v 1a＝5 s 匀加速过程的位移x 1＝12at 21＝25 m从车速v t 加速到v m 由动能定理有P 0(t －t 1)－F f x 2＝12mv m2－12mv 2t解得x 2＝245 m总位移x ＝x 1＋x 2＝270 m. 答案：(1)5 s (2)270 m三个重要关系式(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F min＝P F f(式中F min 为最小牵引力，其值等于阻力F f )．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v ＝P F <v m ＝P F f.(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt .由动能定理：Pt －F f x ＝ΔE k .此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．3－1：修建高层建筑时常用到塔式起重机．在起重机将质量m ＝5×103kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a ＝0.2 ms 2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做v m ＝1.02 ms 的匀速运动．取g ＝10 ms 2，不计额外功．求：(1)起重机允许输出的最大功率．(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率． 解析：(1)设起重机允许输出的最大功率为P 0，重物达到最大速度时，拉力F 0等于重力P 0＝F 0v m ①F0＝mg ②代入数据：有：P0＝5.1×104W．③(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：P0＝Fv1 ④F－mg＝ma ⑤v1＝at1 ⑥由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s⑦t＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则v2＝at⑧P＝Fv2 ⑨由⑤⑧⑨，代入数据，得P＝2.04×104W.答案：(1)5.1×104W(2)5 s 2.04×104W功的计算方法1．恒力及合力做功的计算(1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算．公式中的F是恒力，l是指力的作用点的位移，α指力的方向和位移方向的夹角．如典例1(1)(2)合外力做的功①先求合外力F合，再应用公式W合＝F合l cos α求功，其中α为合力F合与位移l的夹角．一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．②分别求出每个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．这种方法一般适用于在整个过程中，某些力分阶段作用的情况．③利用动能定理求解．2．变力做功的计算(1)用动能定理W＝ΔE k或功能关系．(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒功率启动时．(3)将变力做功转化为恒力做功①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功等．如典例1(2)．②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值F＝F1＋F22，再由W＝Fl cos α计算，如弹簧弹力做功．如典例2.(4)作出变力F随位移l变化的图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功．如图所示，质量m＝1.0 kg的物体从半径R＝5 m的圆弧的A 端，在拉力F作用下从静止沿圆弧运动到顶点B.圆弧AB在竖直平面内，拉力F的大小为15 N，方向始终与物体的运动方向一致．若物体到达B点时的速度v＝5 ms，圆弧AB所对应的圆心角θ＝60°，BO边在竖直方向上，取g＝10 ms2.在这一过程中，求：(1)重力mg做的功．(2)拉力F做的功．(3)圆弧面对物体的支持力F N做的功．(4)圆弧面对物体的摩擦力F f做的功．名师点拨： (1)计算恒力的功可由公式W＝Fl cos α直接进行计算．(2)计算大小不变、方向变化的力的功，可用力与路程的乘积进行计算．(3)动能定理既可求恒力的功，也可求变力的功，既适用于直线运动，又适用于曲线运动．解析： (1)重力mg做的功W G＝－mgR(1－cos θ)＝－25 J.(2)因拉力F大小不变，方向始终与物体的运动方向相同，所以W F＝Fx＝F×π3R≈78.5 J.(3)支持力F N始终与物体的运动方向垂直，所以W N＝0.(4)由动能定理知W F＋W G＋W f＝12mv2－0得摩擦力F f做的功W f＝12mv2－W F－W G＝12×1.0×52J－78.5 J－(－25)J＝－41 J.答案：(1)－25 J (2)78.5 J(3)0 (4)－41 J计算功应首先明确力是恒力还是变力，若是变力，大小、方向有何特点，然后再根据力的特点选择功的计算方法．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A．(3－1)d B．(2－1)dC.5－1d2D.22d解析：在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力、再用功的计算公式求解．设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝F1d＝kd2 d，第二次做功W＝F2d′＝kd＋k d＋d′2d′，联立以上两式得d′＝－(2＋1)d(舍)或d′＝(2－1)d.答案：B方向不变、大小随位移线性变化的力，求力的平均值时要对应位移，其大小为这段位移内力的最小值与最大值之和的一半.1．下面关于功率的说法中正确的是( )A．由P＝Wt可知机器做功越多，其功率越大B．由P＝Fv cos α可知只要F、v均不为零，F的功率就不为零C．额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率D．汽车行驶时牵引力越大，功率就越大解析：由P＝Wt可知，机器做功的快慢(功率的大小)由功W和时间t两者共同决定，故选项A错误；由P＝Fv cos α可知，尽管F、v均不为零，但只要α＝90°，一定有P等于零，故选项B错误；额定功率是在正常条件下可以长时间工作的最大功率，选项C正确；由P＝Fv可知，牵引力的功率P由牵引力F和汽车的行驶速度v 共同决定，故选项D错误．答案：C2．如图所示，一辆玩具小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳挂在小车上，由图中位置无初速度释放，则小球在下摆的过程中，下列说法正确的是( ) A．绳的拉力对小球不做功B．绳的拉力对小球做正功C．小球的合力不做功D．绳的拉力对小球做负功解析：在小球向下摆动的过程中，小车的动能增加，即小车的机械能增加，由于小球和小车组成的系统机械能守恒，所以小球的机械能一定减少，故绳的拉力对小球做负功．A、B、C错误，D正确．答案：D3．(2012·上海单科)位于水平面上的物体在水平恒力F1作用下，做速度为v1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F2，物体做速度为v2的匀速运动，且F1与F2功率相同．则可能有( )A ．F 2＝F 1 v 1＞v 2B ．F 2＝F 1 v 1＜v 2C ．F 2＞F 1 v 1＞v 2D ．F 2＜F 1 v 1＜v 2解析：设F 2与水平方向成θ角，由题意可知：F 1v 1＝F 2·v 2·cos θ，因cos θ＜1，故F 1v 1＜F 2v 2.当F 2＝F 1时，一定有v 1＜v 2，故选项A 错误、B 正确．当F 2＞F 1时，有v 1＞v 2、v 1＜v 2、v 1＝v 2三种可能，故选项C 错误．当F 2＜F 1时，一定有v 1＜v 2，故D 选项正确．答案：BD4．出租车是一种方便快捷的交通工具，深受人们的欢迎．在平直公路上，一辆质量为m ＝1.5 t 的出租车由静止开始做匀加速运动，当速度达到v ＝2 ms 时发现有一乘客招手，于是立即关闭发动机直到停止，其v －t 图象如图所示．设出租车所受阻力F f 大小不变，在加速和减速过程中汽车克服阻力做功分别为W 1和W 2，出租车牵引力做功为W ，则( )A ．W ＝W 1＋W 2B ．W 1＝W 2C ．在第1 s 内出租车所受合外力对出租车做功为W 合＝3×103J D ．出租车的额定功率一定为P ＝8×103W解析：对全程由动能定理得W －W 1－W 2＝0，A 正确；从图象可得位移x 1<x 2，而摩擦阻力F f 恒定不变，由功的概念可知W 1<W 2，B 错；由动能定理得第1 s 内出租车所受合外力对其做功为W 合＝12mv 2＝3×103J ，C 正确；不能求出其额定功率，D 错．答案：AC5．一列火车总质量m ＝500 t ，机车发动机的额定功率P ＝6×105W ，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F f 是车重的0.01倍，g ＝10 ms 2，求：(1)列车在水平轨道上行驶的最大速度；(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P 工作，当行驶速度为v 1＝1 ms 时，列车的瞬时加速度a 1；(3)在水平轨道上以36 kms 2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间． 解析：(1)列车以额定功率工作，当牵引力等于阻力，即F ＝F f ＝kmg 时列车的加速度为零，速度达最大，则v m ＝P F ＝Pkmg＝12 ms. (2)当v 1＝1 ms<v m 时，列车加速运动，F 1＝P v 1＝6×105N 由牛顿第二定律知a 1＝F 1－F f m＝1.1 ms 2. (3)当v ＝36 kms 时，列车匀速运动，则发动机的实际功率为P ′＝F f v ＝5×105W . (4)据牛顿第二定律得牵引力F ′＝F f ＋ma ＝3×105N ，在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度大小为v ′＝PF′＝2 ms 又因v ′＝at ，所以t ＝v′a＝4 s. 答案： (1)12 ms (2)1.1 ms 2(3)5×105W (4)4 s。

第五章机械能
第一讲功和功率第三章牛顿运动定律
一、学习目标
功和功率Ⅱ
二、自学填空
大一轮P70
三、预习问题
1、1)功的一般表达式是如何得到的？
2)该表达式适用于求哪些情况下力做功的问题？弹簧等变力做功如何求？《课时十四》4、《大一轮》P73典例1、典例2、、模拟题组4、6、即学即练
3)该表达式在求功时可以怎样灵活应用？《大一轮》P70基础自测1、P71例1、《课时十四》7
4)功的正负的含义？如何判断一个力是做正功还是负功？《大一轮》P71跟踪训练1-2、《课时十四》6
5)如何求物体外力所做总功？一个物体在多过程运动中的外力总功如何求？《大一轮》P71跟踪训练1-1、P73高考题组1、《课时十四》2
6)斜面对物体的支持力是否一定不做功？一对相互作用力，如一对静摩擦力做功大小有何关系？一对动摩擦力呢？
2、1)平均功率和瞬时功率表达式如何？力和速度不共线时，瞬时表达式如何灵活应用？《大一轮》P71例2、P73模拟题组
3、
2)区分实际功率和额定功率
3)车在爬陡坡时，应该如何操作，为什么？
3、车启动，分别以恒定加速度和恒定功率启动一直到匀速运动，分别画出v-t图，并分析整个过程速度、加速度、功率在不同阶段各有什么特点？《大一轮》P72跟踪训练3-1、例3、
四、典型例题
《大一轮》P73典例1、P73典例2、P71例1、例2、P71跟踪训练1-2、P71跟踪训练1-1、P72例3、
小结：
五、提升训练
A组《课时十四》2、4、7、6、P73模拟题组3
B组《大一轮》P72跟踪训练3-1、《大一轮》P73即学即练
六、课后反思。

第1讲 功和功率功 (考纲要求 Ⅱ) 1.做功的两个要素(1)作用在物体上的力．(2)物体在力的方向上发生的位移． 2．公式：W ＝Fl cos α(1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移． (2)该公式只适用于恒力做功． 3．功的正负夹角 功的正负 α<90° 力对物体做正功α＝90° 力对物体不做功α>90°力对物体做负功或说成物体克服这个力做了功判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功．( ) (2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．( )(3)滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功．( ) (4)作用力做正功时，反作用力一定做负功．( )功率 (考纲要求 Ⅱ)1.定义：功与完成这些功所用时间的比值． 2．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 3．公式(1)P ＝Wt，P 为时间t 内的平均功率．(2)P ＝F v cos_α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．4．额定功率：机械正常工作时输出的最大功率．5．实际功率：机械实际工作时输出的功率．要求小于或等于额定功率．判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．(1)以恒定牵引力启动的机车，在加速过程中发动机做的功可用公式W ＝Pt 计算．( ) (2)据P ＝F v 可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比．( ) (3)汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力．( )基础自测1．(单选)如图5－1－1所示，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法．如果某受训者拖着轮胎在水平直道上跑了100 m，那么下列说法正确的是()．图5－1－1A．轮胎受到地面的摩擦力对轮胎做了负功B．轮胎受到的重力对轮胎做了正功C．轮胎受到的拉力对轮胎不做功D．轮胎受到的地面的支持力对轮胎做了正功2．(2014·遵义四中测试)(多选)关于功率公式P＝W/t和P＝F v的说法正确的是()．A．由P＝W/t知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率B．由P＝F v既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率C．由P＝F v知，随着汽车速度增大，它的功率也可以无限制增大D．由P＝F v知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比3．(2015·深圳二调)(多选)汽车从静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是()．A．汽车牵引力保持不变B．汽车牵引力逐渐增大C．发动机输出功率不变D．发动机输出功率逐渐增大4．(单选)起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止开始匀加速向上提升，g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物做的功是()．A．500 J B．4 500 J C．5 000 J D．5 500 J5．(单选)一质量为m的木块静止在光滑的水平面上，从t＝0开始，将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上，在t＝t1时刻力F的瞬时功率是()．A.F22m t1B．F22m t 21C．F2m t1D．F2m t21答案1.解析 根据力做功的条件，轮胎受到的重力和地面的支持力都与位移垂直，这两个力均不做功，B 、D 错误；轮胎受到地面的摩擦力与位移反向，做负功，A 正确；轮胎受到的拉力与位移夹角小于90°，做正功，C 错误．答案 A2.解析 利用公式P ＝W /t 只能计算平均功率，选项A 错误；当公式P ＝F v 中的v 为瞬时速度时，求的是瞬时功率，当v 为平均速度时，求的是平均功率，选项B 正确；因为汽车的速度不能无限制增大，汽车的功率也不能无限制增大，选项C 错误；由P ＝F v 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比，选项D 正确．答案 BD3.解析 由于阻力恒定，汽车做匀加速运动，根据F 牵－f ＝ma ，知合力恒定，牵引力也恒定，A 正确；B 错误；由瞬时功率公式可知，要使牵引力恒定，就要随着速度增大，同步增大发动机的输出功率，使F 牵＝Pv 保持不变，C 错误，D 正确．答案 AD4.解析 货物的加速度向上，由牛顿第二定律有：F －mg ＝ma ， 起重机的拉力F ＝mg ＋ma ＝11 000 N.货物的位移是l ＝12at 2＝0.5 m ，做功为W ＝Fl ＝5 500 J ．故D 正确． 答案 D5.解析 在t ＝t 1时刻木块的速度为v ＝at 1＝F m t 1，此时刻力F 的瞬时功率P ＝F v ＝F 2mt 1，选C.答案 C热点一 正、负功的判断及计算1．判断力是否做功及做功正负的方法(1)看力F 的方向与位移l 的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形． (2)看力F 的方向与速度v 的方向间的夹角α——常用于曲线运动的情形．(3)根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W 合＝E k 末－E k 初，当动能增加时合外力做正功；当动能减少时，合外力做负功．2．计算功的方法 (1)恒力做的功直接用W ＝Fl cos α计算． (2)合外力做的功方法一：先求合外力F 合，再用W 合＝F 合l cos α求功．方法二：先求各个力做的功W 1、W 2、W 3…，再应用W 合＝W 1＋W 2＋W 3＋…求合外力做的功． (3)变力做的功①应用动能定理求解．②用W ＝Pt 求解，其中变力的功率P 不变．③常用方法还有转换法、微元法、图象法、平均力法等，求解时根据条件灵活选择．【典例1】 在水平面上运动的物体，从t ＝0时刻起受到一个水平力F 的作用，力F 和此后物体的速度v 随时间t 的变化图象如图5－1－2所示，则( )．图5－1－2A ．在t ＝0时刻之前物体所受的合外力一定做负功B ．从t ＝0时刻开始的前3 s 内，力F 做的功为零C ．除力F 外，其他外力在第1 s 内做正功D ．力F 在第3 s 内做的功是第2 s 内做功的3倍审题指导 (1)物体在0～1 s 、1～2 s 、2～3 s 内受到的水平力F 分别为多少？物体分别做什么运动？ (2)恒力做功的表达式为________． (3)在v -t 图象中，怎样求某一段时间内的位移？解析 由v -t 图象知，物体在受到力F 的第1 s 内做匀速运动，且力F 与v 同向，说明之前物体受到的合外力与速度反向，物体所受的合外力一定做负功，A 对；力F 在前3 s 内一直与速度同向，力F 一直做正功，B 错；在第1 s 内，除力F 外，其他力的合力大小为10 N ，方向与速度方向相反，其他外力在第1 s 内做负功，C 错；力F 在第2 s 内和第3 s 内做功分别为W 2＝5×12×(1＋2)×1 J ＝7.5 J 、W 3＝15×12×(1＋2)×1 J ＝22.5 J ，D 对．反思总结 计算做功的一般思路【跟踪短训】1．如图5－1－3所示，木板可绕固定水平轴O转动．木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J．用F N表示物块受到的支持力，用F f表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是()．图5－1－3A．F N和F f对物块都不做功B．F N对物块做功为2 J，F f对物块不做功C．F N对物块不做功，F f对物块做功为2 JD．F N和F f对物块所做功的代数和为0解析由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功．由受力分析知，支持力F N做正功，但摩擦力F f方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功．由动能定理知WF N－mgh＝0，故支持力F N做功为mgh.热点二功率及有关计算计算功率的方法1．平均功率的计算(1)利用P＝W t.(2)利用P＝F v cos α，其中v为物体运动的平均速度．2．瞬时功率的计算(1)利用公式P＝F v cos α，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)利用公式P＝F v F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)利用公式P＝F v v，其中F v为物体受的外力F在速度v方向上的分力．【典例2】如图5－1－4所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是()．图5－1－4A．重力的平均功率P A>P BB ．重力的平均功率P A ＝P BC ．重力的瞬时功率P A ＝P BD ．重力的瞬时功率P A <P B解析 根据功的定义可知重力对两物体做功相同即W A ＝W B ，自由落体时间满足h ＝12gt 2B，斜面下滑时间满足h sin θ＝12gt 2A sin θ，其中θ为斜面倾角，故t A >t B ，由P ＝Wt知P A <P B ，A 、B 均错；由匀变速直线运动公式可知落地时两物体的速度大小相同，方向不同，重力的瞬时功率P A ＝mg v sin θ，P B ＝mg v ，显然P A <P B ，故C 错、D 对．反思总结 区别平均功率和瞬时功率对于功率问题，首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．【跟踪短训】2．质量为m 的物体从倾角为α且固定的光滑斜面顶端由静止开始下滑，斜面高为h ，当物体滑至斜面底端时，重力做功的瞬时功率为( )．A ．mg 2ghB ．12mg 2gh sin α C ．mg 2gh sin αD ．mg 2gh sin α解析 由于斜面是光滑的，由牛顿定律和运动学公式有：a ＝g sin α，2a hsin α＝v 2，故物体滑至底端时的速度v ＝2gh ，如图所示可知，重力的方向和v 方向的夹角θ为90°－α.则物体滑至底端时重力的瞬时功率为 P ＝mg 2gh cos(90°－α)＝mg 2gh sin α，故C 选项正确．热点三 机车的两种启动模型的分析以恒定功率启动(1)动态过程(2)这一过程的速度－时间图象如图5－1－5所示：图5－1－5以恒定加速度启动(1)动态过程：(2)这一过程的速度－时间图象如图5－1－6所示：图5－1－6【典例3】 某汽车发动机的额定功率为60 kW ，汽车质量为5 t ，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．(g 取10 m/s 2)(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5 m/s 时，其加速度是多少？(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s 2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？解析 (1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v 达到最大值v m ，此时牵引力与阻力相等，故最大速度为v m ＝P F ＝PF f ＝60×1030.1×5 000×10m/s ＝12 m/s由P ＝F 1v ，F 1－F f ＝ma ，得速度v ＝5 m/s 时的加速度为a ＝F 1－F f m ＝P m v －F f m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫60×1035 000×5－0.1×5 000×105 000m/s 2＝1.4 m/s 2 (2)当汽车以a ′＝0.5 m/s 2的加速度启动时，匀加速运动所能达到的最大速度为v m ′＝P F 1′＝PF f ＋ma ′＝60×1030.1×5 000×10＋5 000×0.5m/s ＝8 m/s由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v m ′＝a ′t故匀加速过程能维持的时间t ＝v m ′a ′＝80.5s ＝16 s.反思总结 三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F min ＝PF 阻(式中F min 为最小牵引力，其值等于阻力F 阻)．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v ＝PF<v m＝P F 阻. (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W ＝Pt .由动能定理：Pt －F 阻x ＝ΔE k .此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．【跟踪短训】3．在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103kg 的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40 m/s ，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F 与对应速度v ，并描绘出如图5－1－7所示的F －1v 图象(图线ABC 为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB 、BO 均为直线)．假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC ：(1)求该汽车的额定功率；(2)该汽车由静止开始运动，经过35 s 达到最大速度40 m/s ，求其在BC 段的位移．图5－1－7解析 (1)由图线分析可知：图线AB 表示牵引力F 不变，即F ＝8 000 N ，阻力F f 不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC 的斜率表示汽车的功率P 不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小，汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度40 m/s ，此后汽车做匀速直线运动．由图可知：当最大速度v max ＝40 m/s 时， 牵引力为F min ＝2 000 N由平衡条件F f ＝F min 可得F f ＝2 000 N由公式P ＝F min v max 得额定功率P ＝8×104W.(2)匀加速运动的末速度v B ＝PF，代入数据解得v B ＝10 m/s汽车由A 到B 做匀加速运动的加速度为a ＝F －F fm＝2 m/s 2设汽车由A 到B 所用时间为t 1，由B 到C 所用时间为t 2，位移为x ，则t 1＝v Ba＝5 s ，t 2＝35 s －5 s＝30 sB 点之后，对汽车由动能定理可得Pt 2－F f x ＝12m v 2C －12m v 2B代入数据可得x ＝75 m.思想方法 7.变力做功的计算方法平均力法如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，即F ＝F 1＋F 22再利用功的定义式W ＝F l cos α来求功． 【典例1】 用锤子击打钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同．已知第一次击打钉子时，钉子进入的深度为1 cm ，则第二次击打时，钉子进入的深度是多少？解析 设木板对钉子的阻力为F f ＝kx ，x 为钉子进入木板的深度，第一次击打后钉子进入木板的深度为x 1，第二次击打钉子时，钉子进入木板的总深度为x 2，则有W 1＝F f 1x 1＝0＋kx 12·x 1＝12kx 21W 2＝F f 2(x 2－x 1)＝kx 1＋kx 22·(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21) 由于W 1＝W 2，代入数据解得x 2＝2x 1＝1.41 cm 所以钉子第二次进入的深度为 Δx ＝x 2－x 1＝0.41 cm.即学即练1 质量是2 g 的子弹，以300 m/s 的速度射入厚度是5 cm 的木板(如图5－1－8所示)，射穿后的速度是100 m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？图5－1－8解析 设子弹所受的平均阻力为F f ，根据动能定理W 合＝12m v 22－12m v 21得 F f l cos 180°＝12m v 22－12m v 21所以F f ＝－m (v 22－v 21)2l ＝－2×10－3×(1002－3002)2×5×10－2N ＝1.6×103N 子弹在木板中运动5 cm 的过程中，所受木板的阻力各处不同，题中所说的平均阻力是相对子弹运动这5 cm 的过程来说的．用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．【典例2】如图5－1－9所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F做的功为()．A．0B．2πrF C．2Fr D．－2πrF图5－1－9解析磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W＝Fs cos α求解，因为在转动过程中推力F为变力．我们可以用微元的方法来分析这一过程．由于F的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段来研究，如图所示，当各小段的弧长Δs i足够小(Δs i→0)时，F的方向与该小段的位移方向一致，所以有：W F＝FΔs1＋FΔs2＋FΔs3＋…＋FΔs i＝F2πr＝2πrF(这等效于把曲线拉直)．即学即练2如图5－1－10所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．图5－1－10解析将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图所示，元功W′＝F fΔx，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W＝ΣW′＝F fΣΔx＝2πRF f.用图象法求变力做功在F－x图象中，图线与两坐标轴所围的“面积”的代数和表示力F做的功，“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．【典例3】一物体所受的力F随位移x变化的图象如图5－1－11所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为多少？图5－1－11审题指导 解答本题时应把握以下两点：(1)F －x 图象中图象与x 轴围成的“面积”表示力F 做的功．(2)x 轴上方的“面积”表示力F 做正功，x 轴下方的“面积”表示力F 做负功．解析 力F 对物体做的功等于x 轴上方梯形“面积”所表示的正功与x 轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和．S 梯形＝12×(3＋4)×2＝7S 三角形＝－12×(5－4)×2＝－1所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J.即学即练3 如图5－1－12甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时F 做的总功为( )．图5－1－12A ．0B ．12F m x 2C ．π4F m x 0D ．π4x 20解析 F 为变力，但F －x 图象包围的面积在数值上表示拉力做的总功．由于图线为半圆，又因在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12πF 2m ＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0.利用W ＝Pt 求变力做功这是一种等效代换的观点，用W ＝Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件． 【典例4】 如图5－1－13所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P ，小船的质量为m ，小船受到的阻力大小恒为F f ，经过A 点时的速度大小为v 0，小船从A 点沿直线加速运动到B 点经历时间为t 1，A 、B 两点间距离为d ，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A 点运动到B 点的全过程克服阻力做的功WF f ； (2)小船经过B 点时的速度大小v 1.图5－1－13解析 (1)小船从A 点运动到B 点克服阻力做功 WF f ＝F f d ①(2)小船从A 点运动到B 点，电动机牵引缆绳对小船做功 W ＝Pt 1②由动能定理有W －WF f ＝12m v 21－12m v 20③ 由①②③式解得v 1＝v 20＋2m (Pt 1－F f d )④即学即练4 汽车的质量为m ，输出功率恒为P ，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由v 1增至最大速度v 2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s 所用的时间．解析 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝F v 可得F f ＝Pv 2对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12m v 22－12m v 21 联立以上两式解得t ＝m (v 22－v 21)2P ＋sv 2.利用动能定理求变力的功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功．因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力功的首选．【典例5】 如图5－1－14所示，AB 为四分之一圆周轨道，半径R ＝0.8 m ，BC 为水平轨道，长为L ＝3 m ．现有一质量m ＝1 kg 的物体，从A 点由静止滑下，到C 点刚好停止．已知物体与BC 段轨道间的动摩擦因数为μ＝115，求物体在AB 段轨道受到的阻力对物体所做的功．(g 取10 m/s 2)图5－1－14解析 物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，且W G＝mgR ，W f BC ＝－μmgL ，由于物体在AB 段受到的阻力是变力，做的功不能直接求解．设物体在AB 段轨道受到的阻力对物体所做的功为W fAB ，从A 到C ，根据动能定理有mgR ＋W fAB －μmgL ＝0，代入数据解得W fAB ＝－6 J.即学即练5 如图5－1－15甲所示，一质量为m ＝1 kg 的物块静止在粗糙水平面上的A 点，从t ＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F 的作用并向右运动，第3 s 末物块运动到B 点时速度刚好为0，第5 s 末物块刚好回到A 点，已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，(g ＝10 m/s 2)求：(1)A 与B 间的距离；(2)水平力F 在前5 s 内对物块做的功．图5－1－15解析 (1)A 、B 间的距离与物块在后2 s 内的位移大小相等，在后2 s 内物块在水平恒力作用下由B点匀加速运动到A 点，由牛顿第二定律知F －μmg ＝ma ，代入数值得a ＝2 m/s 2，所以A 与B 间的距离为s ＝12at 2＝4 m.(2)前3 s 内物块所受力F 是变力，设整个过程中力F 做的功为W ，物体回到A 点时速度为v ，则v 2＝2as ，由动能定理知W －2μmgs ＝12m v 2，所以W ＝2μmg s ＋mas ＝24 J.高考对应题组1．(2012·上海卷，18)如图所示，位于水平面上的物体在水平恒力F 1作用下，做速度为v 1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F 2，物体做速度为v 2的匀速运动，且F 1与F 2功率相同．则可能有( )．A ．F 2＝F 1 v 1>v 2B ．F 2＝F 1 v 1<v 2C ．F 2>F 1 v 1>v 2D ．F 2<F 1 v 1<v 22．(2012·四川卷，21)如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m 的物体接触(未连接)，弹簧水平且无形变．用水平力F 缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x 0，此时物体静止．撤去F 后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x 0.物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .则( )．A ．撤去F 后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动B ．撤去F 后，物体刚运动时的加速度大小为kx 0m－μgC ．物体做匀减速运动的时间为2x 0μgD ．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg ⎝⎛⎭⎫x 0－μmg k3．(2012·江苏卷，3)如图所示，细线的一端固定于O 点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A 点运动到B 点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．先增大，后减小D ．先减小，后增大4．(2011·海南卷，9)一质量为1 kg 的质点静止于光滑水平面上，从t ＝0时起，第1秒内受到2 N 的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N 的外力作用．下列判断正确的是( )．A ．0～2 s 内外力的平均功率是94WB ．第2秒内外力所做的功是54JC ．第2秒末外力的瞬时功率最大D ．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是455．(2011·上海卷，15)如图，一长为L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m 的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为( )．A ．mgLωB ．32mgLω C.12mgLω D ．36mgLω答案与解析1.解析 水平恒力F 1的作用时有P 1＝F 1v 1，斜向上恒力F 2作用时有P 2＝F 2v 2cos θ，其中θ为F 2与水平方向的夹角，又F 2cos θ＝μ(mg －F 2sin θ)，F 1＝μmg ，故F 2cos θ<F 1，由于P 1＝P 2，所以v 1<v 2，F 1与F 2的关系不确定，故选项B 、D 正确，A 、C 错误．答案 BD2.解析 撤去F 后，物体向左先做加速运动，其加速度大小a 1＝kx －μmg m ＝kxm－μg ，随着物体向左运动，x 逐渐减小，所以加速度a 1逐渐减小，当加速度减小到零时，物体的速度最大，然后物体做减速运动，其加速度大小a 2＝μmg －kx m ＝μg －kxm，a 2随着x 的减小而增大．当物体离开弹簧后做匀减速运动，加速度大小a 3＝μmgm ＝μg ，所以选项A 错误．根据牛顿第二定律，刚撤去F 时，物体的加速度a ＝kx 0－μmg m＝kx 0m －μg ，选项B 正确．物体做匀减速运动的位移为3x 0，则3x 0＝12a 3t 2，得物体做匀减速运动的时间t ＝6x 0a 3＝6x 0μg ，选项C 错误．当物体的速度最大时，加速度a ′＝0，即kx ＝μmg ，得x ＝μmg k，所以物体克服摩擦力做的功W ＝μmg (x 0－x )＝μmg ⎝⎛⎭⎫x 0－μmg k ，选项D 正确． 答案 BD3.解析 小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A 项正确．答案 A4.解析 根据牛顿第二定律得，物体在第1 s 内的加速度a 1＝F 1m ＝2 m/s 2，在第2 s 内的加速度a 2＝F 2m＝11m/s 2＝1 m/s 2；第1 s 末的速度v 1＝a 1t ＝2 m/s ，第2 s 末的速度v 2＝v 1＋a 2t ＝3 m/s ；0～2 s 内外力做的功W ＝12m v 22＝92 J ，平均功率P ＝W t ＝94 W ，故A 正确．第2 s 内外力所做的功W 2＝12m v 22－12m v 21＝⎝⎛⎭⎫12×1×32－12×1×22J ＝52J ，故B 错误．第1 s 末的瞬时功率P 1＝F 1v 1＝4 W ．第2 s 末的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝3 W ，故C 错误．第1 s 内动能的增加量ΔE k1＝12m v 21＝2 J ，第2 s 内动能的增加量ΔE k2＝W 2＝52J ，所以ΔE k1ΔE k2＝45，故D 正确．答案 AD5.解析 由能的转化及守恒可知：拉力的功率等于克服重力的功率．P G ＝mg v y ＝mg v cos 60°＝12mgωL ，故选C.答案 CA 对点训练——练熟基础知识题组一 正、负功的判断及计算1．(多选)如图5－1－16所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P 匀速带至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )．图5－1－16A ．摩擦力对物体做正功B ．摩擦力对物体做负功C ．支持力对物体不做功D ．合外力对物体做正功2．(多选)质量为50 kg 的某人沿一竖直悬绳匀速向上爬(两手交替抓绳子，手与绳之间不打滑)．在爬高3 m 的过程中，手与绳之间均无相对滑动，重力加速度g 取10 m/s 2.则下列说法正确的是( )．A ．绳子对人的静摩擦力做功为1 500 JB ．绳子对人的拉力做功为1 500 JC ．绳子对人的静摩擦力做功为0D ．绳子对人的拉力做功为03．(单选)如图5－1－17所示，一个物块在与水平方向成α角的恒力F 作用下，沿水平面向右运动一段距离x ，在此过程中，恒力F 对物块所做的功为( )．图5－1－17A.Fx sin α B ．Fx cos α C ．Fx sin α D ．Fx cos α4．(2013·石家庄二模)(单选)如图5－1－18所示是质量为1 kg 的滑块在水平面上做直线运动的v -t 图象．下列判断正确的是( )．图5－1－18A ．在t ＝1 s 时，滑块的加速度为零B ．在4 s ～6 s 时间内，滑块的平均速度为2.5 m/sC ．在3 s ～7 s 时间内，合力做功的平均功率为2 WD ．在5 s ～6 s 时间内，滑块受到的合力为2 N5．(单选)如图5－1－19所示，质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a 沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m 与斜面体相对静止．则关于斜面对m 的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )．图5－1－19A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功6．(多选)如图5－1－20所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是()．图5－1－20A．重力做功为mgLB．绳的拉力做功为0C．空气阻力(F阻)做功为－mgLD．空气阻力(F阻)做功为－12F阻πL题组二功率的计算及机车的启动7．(单选)如图5－1－21所示，分别用F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的功率关系为()．图5－1－21A．P1＝P2＝P3B．P1>P2＝P3 C．P3>P2>P1D．P1>P2>P38．(单选)把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车车辆叫做动车．几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组，就是动车组，假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等．若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h；则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为()．A．120 km/h B．240 km/h C．320 km/h D．480 km/h9．(单选)两辆完全相同的汽车，都拖着完全相同的拖车以相同的速度在平直公路上匀速齐头并进，某一时刻两拖车同时与汽车脱离，之后甲汽车保持原来的牵引力继续前进，乙汽车保持原来的功率继续前进，则一段时间后(假设均未达到最大功率)()．A．甲车超前，乙车落后B．乙车超前，甲车落后C．它们仍齐头并进D．甲车先超过乙车，后乙车又超过甲车10．质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度为20 m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中汽车所受阻力的大小不变．求：(1)汽车所受阻力的大小．(2)3 s末汽车的瞬时功率．(3)汽车做匀加速运动的时间．(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．。

第五章机械能第五章机械能考纲要求1．功、功率Ⅱ2．动能、做功与动能改变的关系Ⅱ3．重力势能、重力做功与重力势能改变的关系Ⅱ4．弹性势能Ⅰ5．机械能守恒定律Ⅱ6．动量知识和机械能知识的应用（包括碰撞、反冲、火箭）Ⅱ7．航天技术的发展和宇宙航行Ⅰ知识网络：1单元切块：按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。

其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。

难点是动量能量综合应用问题。

§1 功和功率11教学目标：理解功和功率的概念，会计算有关功和功率的问题培养学生分析问题的基本方法和基本技能 教学重点：功和功率的概念教学难点：功和功率的计算教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、功1．功功是力的空间积累效应。

它和位移相对应（也和时间相对应）。

计算功的方法有两种：⑴按照定义求功。

即：W =Fs cos θ。

在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。

当20πθ<≤时F 做正功，当2πθ=时F 不做功，当πθπ≤<2时F 做负功。

这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

⑵用动能定理W=ΔE k或功能关系求功。

当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。

这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。

【例1】如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置。

在下Array列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。

在此过程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。

11可供选择的答案有A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL解析：⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解。

第五章机械能第1讲功和功率过好双基关————回扣基础知识训练基础题目一、功1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功．2．必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移．3．物理意义：功是能量转化的量度．4．计算公式(1)恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl.(2)恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Fl cosα.5．功的正负(1)当0≤α<π时，W>0，力对物体做正功．2<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．(2)当π2(3)当α＝π时，W＝0，力对物体不做功．26．一对作用力与反作用力的功做功情形图例备注都做正功(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关(2)一对相互作用力做的总功W ＝Fl cos α.l 是相对位移，α是F 与l 间的方向夹角(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零都做负功一正一负一为零一为正一为负二、功率1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．3．公式：(1)P ＝W t，P 描述时间t 内力对物体做功的快慢．(2)P ＝Fv①v 为平均速度，则P 为平均功率．②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．③当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解．研透命题点————细研考纲和真题分析突破命题点命题点一功的分析和计算1．常用办法对于恒力做功利用W＝Fl cosα；对于变力做功可利用动能定理(W＝ΔE k)；对于机车启动问题中的恒定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt. 2．几种力做功比较(1)重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．(2)滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．(3)摩擦力做功有以下特点：①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值．③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能的情况，内能Q＝F f x相对．◆类型1恒力功的分析和计算【例1】如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中()A．A所受的合外力对A不做功B．B对A的弹力做正功C．B对A的摩擦力做正功D．A对B做正功答案C解析A、B一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sinθ(θ为斜面倾角)，由于A速度增大，由动能定理知，A所受的合外力对A做正功，对A受力分析，可知B对A的支持力方向竖直向上，B对A的摩擦力方向水平向左，故B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，A、B错误，C正确；A与B相对静止，由牛顿第二定律及几何关系可知A对B的作用力垂直斜面向下，A对B不做功，D错误．【变式1】在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50kg的同学，一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间为0.2s，重力加速度g 取10m/s2，则他在这一分钟内克服重力做的功约为()A．3500J B．14000J C．1000J D．2500J答案A解析G＝mg＝50×10N＝500N，腾空时间为0.2s表示上升过程用时0.1s，上升的高度为h＝0.05m，则起跳一次克服重力做的功W0＝Gh＝500N×0.05 m＝25J,1分钟内跳了140次，则一分钟内克服重力做功W＝140W0＝140×25 J＝3500J，故选A.【变式2】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1s 内、第2s 内、第3s 内力F 对滑块做的功分别为W 1、W 2、W 3，则以下关系正确的是()A ．W 1＝W 2＝W 3B ．W 1<W 2<W 3C ．W 1<W 3<W 2D ．W 1＝W 2<W 3答案B 解析在第1s 内，滑块的位移为x 1＝12×1×1m ＝0.5m ，力F 做的功为W 1＝F 1x 1＝1×0.5J ＝0.5J ；第2s 内，滑块的位移为x 2＝12×1×1m ＝0.5m ，力F 做的功为W 2＝F 2x 2＝3×0.5J ＝1.5J ；第3s 内，滑块的位移为x 3＝1×1m ＝1m ，力F 做的功为W 3＝F 3x 3＝2×1J ＝2J ，所以W 1<W 2<W 3，故选B.◆类型2变力功的分析与计算方法以例说法图例应用动能定理用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有：W F －mgL (1－cos θ)＝0，得W F ＝mgL (1－cos θ)微元法质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f ＝F f ·Δx 1＋F f ·Δx 2＋F f ·Δx 3＋…＝F f (Δx 1＋Δx 2＋Δx 3＋…)＝F f ·2πR等效转换法恒力F 把物块从A 拉到B ，绳子对物块做功W ＝F ·(h sin α－h sin β)平均力法弹簧由伸长x 1被继续拉至伸长x 2的过程中，克服弹力做功W ＝kx 1＋kx 22·(x 2－x 1)图像法一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W ＝F 0＋F 12x 0【例2】(多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是()A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL 答案ABD 解析小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确．方法1利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．【变式3】如图所示，在一半径为R ＝6m 的圆弧形桥面的底端A ，某人把一质量为m ＝8kg 的物块(可看成质点)．用大小始终为F ＝75N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B (圆弧AB 在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中：(1)拉力F 做的功；(2)桥面对物块的摩擦力做的功．答案(1)376.8J (2)－136.8J解析(1)将圆弧AB ︵分成很多小段l 1、l 2…l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2…W n .因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°、W 2＝Fl 2cos 37°…W n ＝Fl n cos 37°所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos37°·16·2πR ≈376.8J.(2)重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－240J ，因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0所以W f ＝－W F －W G ＝－376.8J ＋240J ＝－136.8J.方法2用F －x 图像求变力做功在F －x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．【变式4】一物体所受的力F 随位移x 变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F 对物体做的功为()A ．3JB ．6JC ．7JD ．8J 答案B 解析力F 对物体做的功等于图线与横轴x 所包围面积的代数和，即W 1＝12×(3＋4)×2J ＝7J ；W 2＝－12×(5－4)×2J ＝－1J 所以力F 对物体做的功为W ＝7J －1J ＝6J.故选项B 正确．方法3用动能定理求变力做功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功．因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．【变式5】(多选)如图所示，一个质量为m＝1kg的带孔小球穿在固定的粗糙水平长横杆上，小球与横杆间的动摩擦因数为μ＝0.6.某时刻小球获得一个水平向右的瞬时速度v0＝15m/s，同时小球受到一个竖直向上的作用力F，F与速度的平方成正比，比例常数为k＝0.4，重力加速度为g＝10m/s2，则小球运动的整个过程中()A．作用力F对小球做功为0B．作用力F对小球做功为－112.5J C．摩擦力对小球做功为－112.5J D．摩擦力对小球做功为－100J答案AD解析对小球受力分析可知，初始状态F＝kv2＝0.4v2，当v0＝15m/s，F0＝90N＞mg＝10N，则小球受力如图所示．因为小球所受的作用力F与位移方向垂直，所以作用力F对小球做功为零，A正确，B错误；“小球运动的整个过程中”指从初态至稳定状态的过程．由于小球受到杆的向下的弹力，小球受到与运动方向相反的沿杆的摩擦力f，但由于F＝kv2，随着小球的减速运动，导致F 减小．由于竖直方向上合力为零，则杆给小球的弹力F N 减小，当F ＝mg 时，小球达到匀速状态，有kv 22＝mg ，解得v 2＝5m/s ，在这个过程中弹力在变化，因此摩擦力是变力．在v 0＝15m/s 到v 2＝5m/s 过程中，小球受到重力mg ，向上的拉力F 、向下的弹力F N ，只有摩擦力做功，对小球用动能定理，有W f ＝12mv 22－12mv 20＝－100J ，D 正确，C 错误．方法4“转化法”求变力做功通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题．【变式6】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O .现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．滑块运动到C 点时速度最大．已知滑块质量为m ，滑轮O 到竖直杆的距离为d ，∠OAO ′＝37°，∠OCO ′＝53°，重力加速度为g .求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)拉力F 的大小；(2)滑块由A 到C 过程中拉力F 做的功．答案(1)53mg (2)2536mgd 解析(1)根据共点力的平衡条件，在C 点有F cos 53°＝mg ，解得F ＝53mg .(2)由能量的转化与守恒可知，拉力F 对绳端点做的功就等于绳的拉力F 对滑块做的功滑轮与A 间绳长L 1＝dsin 37°滑轮与C 间绳长L 2＝d sin 53°滑轮右侧绳子增大的长度ΔL ＝L 1－L 2＝d sin 37°－d sin 53°＝5d12拉力做功W ＝F ΔL ＝2536mgd .1．公式P ＝Wt和P ＝Fv 的区别P ＝Wt 是功率的定义式，P ＝Fv 是功率的计算式．2．平均功率的计算方法(1)利用P ＝W t.(2)利用P ＝F ·v cos α，其中v 为物体运动的平均速度．3．瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fv cosα，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)P＝F·v F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝F v·v，其中F v为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．【例3】质量m＝20kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2s内F与运动方向相反，2～4s内F与运动方向相同，物体的v－t图像如图所示．g取10m/s2，则()A．拉力F的大小为100NB．物体在4s时拉力的瞬时功率为120WC．4s内拉力所做的功为480JD．4s内物体克服摩擦力做的功为320J答案B解析取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可知0～2s内，－F－f＝ma1且a1＝－5m/s2；2～4s内，－F＋f＝ma2且a2＝－1m/s2，联立以上两式解得F＝60N，f＝40N，A错误；由P ＝Fv，得4s时拉力的瞬时功率为120W，B正确；由W＝Fx,0～2s内，W1＝－Fx1，2～4s内，W2＝Fx2，由题图可知x1＝10m，x2＝2m，代入数据解得，4s 内拉力所做的功为－480J ，C 错误；摩擦力做功W ＝fs ，摩擦力始终与速度方向相反，故s 为路程，由题图可求得总路程为12m,4s 内物体克服摩擦力做的功为480J ，D 错误．【变式7】如图所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点．每根杆上都套着一个质量相等的小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a 、b 、c 处由静止释放，用P 1、P 2、P 3依次表示各滑环从静止滑到d 过程中重力的平均功率，则()A ．P 1<P 2<P 3B ．P 1>P 2>P 3C ．P 3>P 1>P 2D ．P 1＝P 2＝P 3答案B解析对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环做初速度为零的匀加速直线运动的加速度为a ＝g sin θ(θ为杆与水平方向的夹角)；由图中的直角三角形可知，小滑环的位移s ＝2R sin θ，所以t ＝2sa＝4Rg，t 与θ无关，即t 1＝t 2＝t 3；根据W ＝mgh 可知三个环重力做的功W 1>W 2>W 3，根据P ＝Wt 可知P 1>P 2>P 3，故B 正确，A 、C 、D 错误．1．两种启动方式两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P －t 图和v －t 图OA 段过程分析v ↑⇒F ＝P不变v↓⇒a ＝F －F 阻m↓a ＝F －F 阻m不变⇒F 不变v ↑⇒P ＝Fv ↑直到P ＝P 额＝Fv 1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1aAB 段过程分析F ＝F 阻⇒a ＝0⇒v m ＝P F 阻v ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －F 阻m↓运动性质以v m 做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC 段F ＝F 阻⇒a ＝0⇒以v m ＝P 额F 阻做匀速直线运动2.三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝P F min ＝PF阻(式中F min为最小牵引力，其值等于阻力F阻)．(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝P额F<v m＝P额F阻.(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x ＝ΔE k.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．【例4】(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶，该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)．动车组能达到的最大速度为v m.下列说法正确的是()A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为34v m D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v m，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为12mv2m－Pt答案C解析动车组在匀加速启动过程中，F－kv＝ma，a不变，v增大，F则也增大，选项A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则4Pv－kv＝ma，知随着v增大，a减小，选项B错误；当动车组达到最大速度v m时，满足4Pv m－kv m＝0；若四节动力车厢总功率为2.25P，动车组匀速行驶时满足2.25Pv－kv＝0，联立可得v＝34v m，选项C正确；动车组从静止启动到达到最大速度v m，由动能定理得4Pt－W f＝12mv2m－0，解得W f＝4Pt－12mv2m，选项D错误．【变式8】某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v－t图像，如图所示(除2～10s时间段内的图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)．已知小车运动的过程中，2～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小车自由滑行．小车的质量为1kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变．求：(1)小车所受到的阻力大小及0～2s时间内电动机提供的牵引力大小；(2)小车匀速行驶阶段的功率；(3)小车在0～10s 运动过程中位移的大小．答案(1)0.75N1.25N(2)2.25W(3)19.7m解析(1)由图象可得，在14～18s 内：a 3＝Δv 3Δt 3＝0－318－14m/s 2＝－0.75m/s 2小车受到阻力大小：f ＝m |a 3|＝0.75N 在0～2s 内：a 1＝Δv 1Δt 1＝12m/s 2＝0.5m/s 2由F －f ＝ma 1得，电动机提供的牵引力大小F ＝ma 1＋f ＝1.25N即小车所受到的阻力大小为0.75N,0～2s 时间内电动机提供的牵引力大小为1.25N.(2)在10～14s 内小车做匀速直线运动，F ′＝f故小车匀速行驶阶段的功率：P ＝F ′v ＝0.75×3W ＝2.25W.(3)根据速度－时间图象与时间轴围成的“面积”等于物体的位移，可得0～2s 内，x 1＝12×2×1m ＝1m2～10s 内，根据动能定理有：Pt －fx 2＝12mv 2－12mv 21解得：x 2＝18.7m故小车在加速过程中的位移为：x ＝x 1＋x 2＝19.7m 即小车在0～10s 运动过程中位移的大小为19.7m【变式9】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数1v 的图像如图所示．若已知汽车的质量，则根据图像所给信息，不能求出的物理量是()A ．汽车的功率B ．汽车行驶的最大速度C ．汽车受到的阻力D ．汽车运动到最大速度所需的时间答案D解析由F －F f ＝ma 、P ＝Fv 可得a ＝P m ·1v －F f m ，由a －1v 图象可知，Pm＝k ＝40m 2·s －3，可求出汽车的功率P ，由a ＝0时1v m ＝0.05m －1·s ，可得汽车行驶的最大速度v m ＝20m/s ，再由v m ＝PF f ，可求出汽车受到的阻力F f ，但无法求出汽车运动到最大速度所需的时间．。