【志鸿优化设计赢在课堂】(人教)高中数学必修5【精品】24 等比数列2PPT课件

是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．

根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，

的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

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§2.4（二）
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的
产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开
始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079)
解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….
答 (1)定义法：aan＋n1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；
开 关
(3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)．
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§2.4（二）
探究2 如何判断或证明一个数列不是等比数列？
答 如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续
的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际 含义．
本 讲 栏
的三项不成等比数列即可，即存在 an0 ，an0+1 ，an0+2 ，且
a2 n0 1
≠an0 ·a n0+2 .
目
开
关
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§2.4（二）
问题 1 若数列{an}为等差数列，公差为 d，bn＝can (c>0 且 c≠1)，
试问数列{bn}是什么数列？并证明比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在．
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
§2.4（二）
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§2.4（二）
探究点三 等比数列的判断方法
探究1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？
本 讲 栏 目

抛砖引玉
在等比数列{an}中，若a3·a5=9， 求a2·a6和a4。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d
等比数列
an1 q an
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d
an= a1+(n-1)d
A ab 2
an=an-1 q an=a1qn-1
G ab
性质一 性质二
等差数列
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1

a1
a2
an
即 an1 q(q 0, n N * )
an
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4
判断下列数列是否为等比数列?若是,请求出公比q的值.
（1）４，－８，１６，－３２，……
(2) 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, ……
（3）数列 an 的通项为an= 1 3n
2
（4）数列 bn 中,bn=2bn-1 且 bn 0(n>1)
上一群孤立的点。
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9
20
18 （1）数列：2，4，8，16，…
16
●
14
12
an=2×2n-1=2n ，其图象应为
10
y=2x上一群孤立的点。
8
●
6
4
●
2
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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10
与等差中项的概念类似，如果在a与b中间插 入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项。
故 { a n } 的通项公式为课件a在n线= －2 n
18
1、在等比数列中，填空：
(1)
1， 1 2
，1 4
， 1 8
，……
1 中第 15 项是 ___2_1_4____
(2) 2，2 2 ，4，4 2 ，…… 中第 __9__ 项是 32
(3) 第 7 项为
1 100
，公比为 1
10
，则第一项为
am an ap aq
特别地,若m+n=2p (m、n、p∈N*)时,有
am an ap2
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13
2.{an}是等比数列,公比为q,则{can}也是等比 数列,且公比为__q____.

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例 2 已知数列{an}的第 1 项是 2,以后的各项由公式 an=1���-������������������-���1-1(n=2,3,4,…)给出,写出这个数列的前 5 项,并归纳出数列{an}的
2.若仅由数列{an}的递推关系 an=ban-1+c(n≥2,n∈N*),能否求出数
列{an}的每一项? 提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或
前几项.
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3.数列的通项公式和递推公式能否互相转化? 提示:数列的通项公式和递推公式一般可以相互转化,但有些递推 公式求不出通项公式.
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迁移与应用 1.已知数列{an}满足 an+1-an-3=0(n=1,2,3,…),则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案:A
解析:∵an+1-an-3=0,∴an+1-an=3>0.
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例 3(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=������2���������+���������2(n∈N*),求通项 an.

(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根． 解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成 等差数列，则这四个数为________．
[答案] 3,6,12,24
[解析] 设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3，则 a－1， aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列， ∴22aaqq－ 2－14＝＝aa－q－11＋＋aqa2－ q3－413 ， 整理得aaqqq－－112＝2＝36 ，解得 q＝2，a＝3. 因此所求四个数为 3,6,12,24.
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值来决定．由 an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，或 a1<0，
q>1.
3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a， aq. (2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq2，aq3；若四个数 均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk， ∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1nlgk]＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1， 故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
其定义式：
判断一个数列是否为等比数列的依据
an q(n 2) an1
或 an1 q(n N *) an
an 0
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名称
等比数列
概念 从第2项起,每一项与它前一项的比等于 同一个非零常数
常数
公比 q 0
定义式 通项公式
an q,n 2 an1
an a1 q n1
通项
变形
an amqnm n, m N *
中项 公式
G2 ab 或 G ab
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a1q3
……
a a q n1
n
1
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3.等比数列的通项公式： an a1qn1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
+）an an1 d
类比
累乘法
若 a,G成,b等比数列，那么Ｇ叫做 与 的a等比b中项，
有：
G2 ab
G ab
注意：1）“ a,G,b 成等比数列” 是 “ G2 ab ”的 充分不必要条件
2）任意两个数 a, b 都有唯一等差中项为 a b ；
2
当 ab 0 时，才有等比中项，且有两个 ab 。
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6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.

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预习交流
(1)若等比数列{an}和{bn}的公比分别为 q1 与 q2,则数列{can}(c≠0,c 是常数),
1 ������������
,{an· bn },
������������ �������Байду номын сангаас����
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2 解析:(1)∵ 在等比数列{an}中,a3a7=������5 ,a2a6=a3a5,
2 2 2 ∴ ������3 +2a2· a6+a3· a7=������3 +2a3a5+������5 =(a3+a5)2=8.
2 ∵ ������5 =a1a9=1×9=9,∴ a5=3.
). D.5
B.3
C.± 5
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2 2.若等比数列{an}满足 a2a4=2,则 a1������3 a5=
1
.
答案:
1 4
解析:∵ 数列{an}是等比数列.
2 1 2 2 ∴ a1������3 a5=(a1a5)������3 =(a2a4)· (a2a4)=(a2a4) = 4.
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是常数且不为 0,n∈N*)
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2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
预习交流 2
.
思路分析:根据条件列出 a1 与 q 的方程(组)求解. 答案:(1)an=3· 2n-3 (2)3+2 2
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������ = 2, ������1 ������ 2 = 3, 解析:(1)设数列{an}的公比为 q,则 解得 3 故数列 ������1 = 4 . ������1 ������ 5 = 24, {an}的通项公式为 an=a1qn-1=4×2n-1=3· 2n-3. (2)设数列{an}的公比为 q(q>0), ∵ a1,2a3,2a2 成等差数列,∴ a3=a1+2a2,即 a1q2=a1+2a1q.∵ a1≠0,∴ q2-2q-1=0, 解得 q=1+ 2或 q=1- 2(舍去).
若 a,b 是任意两个实数,则 a 与 b 一定有等差中项和等比中项吗? 提示:a 与 b 一定有等差中项 A,且 A=
������+������ ,但不一定有等比中项.当 2
ab≤0 时,a 与 b 没有等比中项.当 ab>0 时,a 与 b 有等比中项,且 G=± ������������.
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例 2 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
(2)求数列
1 ������2������-1 ������2������+1
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二、裂项相消求和 活动与探究
1.裂项相消求和法中裂项裂的是什么项?裂成什么形式? 提示:裂项相消求和法中裂项裂的是通项公式,把通项公式写成两 项差的形式. 2.裂项相消法适用什么样的数列求和? 提示:裂项相消法适用于通项公式为分式形式,其分母为因式积或 无理式,把每一项拆成两项差的形式.
∴Tn=3-2���1���-2 − 22���������-���1.
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迁移与应用 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn=1·a1+3·a2+…+(2n-1)·an,求 Sn.
C.2 014
D.-2 014
答案:A
解析:S2 014=-1+2-3+4+…+(-2 013)+2 014