20162017学年北京丰台区初二上学期期末数学试卷

2017-2018学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜22．如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD3．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）A．方B．雷C．罗D．安4．有一个质地均匀且可以转动的转盘，盘面被分成6个全等的扇形区域，在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色，用力转动转盘，为了使转盘停止时，指针指向灰色的可能性的大小是，那么下列涂色方案正确的是（）A．B．C．D．5．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B 分别代表的是（）A．分式的基本性质，最简公分母=0B．分式的基本性质，最简公分母≠0C．等式的基本性质2，最简公分母=0D．等式的基本性质2，最简公分母≠06．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．一件工作，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，如果甲、乙二人合作，那么每天的工作效率是（）A．a+b B． +C．D．8．一部记录片播放了关于地震的资料及一个有关地震预测的讨论，一位专家指出：“在未来20年，A城市发生地震的机会是三分之二”对这位专家的陈述下面有四个推断：①×20≈13.3，所以今后的13年至14年间，A城市会发生一次地震；②大于50%，所以未来20年，A城市一定发生地震；③在未来20年，A城市发生地震的可能性大于不发生地震的可能性；④不能确定在未来20年，A城市是否会发生地震；其中合理的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④二、填空题（本题共22分，第9-10提，每小题2分，第11-16题，每小题2分）9．若分式的值为0，则x=．10．27的立方根为．11．化简的结果是．12．一个不透明的盒子中装有4个白球，5个红球，这些球除颜色外无其他区别，从这个盒子中随意摸出一个球，摸到红球的可能性的大小是．13．一个正方形的面积是10cm2，那么这个正方形的边长约是cm（结果保留一位小数）14．小东认为：任意抛掷一个啤酒盖，啤酒盖落地后印有商标一面向上的可能性的大小是，你认为小东的想法（“合理”或“不合理”），理由是．15．将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图1，P，Q是直线l同侧两点，请你在直线l上确定一个点R，使△PQR的周长最小．小阳的解决方法如下：如图2，（1）作点Q关于直线l的对称点Q；（2）连接PQ′交直线l于点R；（3）连接RQ，PQ．所以点R就是使△PQR周长最小的点．老师说：“小阳的作法正确．”请回答：小阳的作图依据是．三、解答题（本题共62分，第17题5分，第18-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分）17．计算：（1﹣）÷．18．计算：×3﹣+|1﹣|．19．解方程：=+1．20．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．求证：DE=DF．21．先化简，再求值：（ +）•，其中x=﹣3．22．列方程或方程组解应用题：某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展，北京展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．23．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．24．小刚根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是小刚的探究过程，请补充完整；（1）具体运算，发现规律．特例1：=；特例2：=；特例3：=；特例4：（举一个符合上述运算特征的例子）（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；．（3）证明猜想，确认猜想的正确性．25．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E，F分别在AB，AC边上，连接AD，DE，DF，且∠ADE=∠ADF=60°．小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE=AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法3：将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABG，使得AC和AB重合，然后通过全等三角形的相关知识获证．…请你参考上面的想法，帮助小明证明AE=AF．（一种方法即可）26．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在△ABC外侧作直线CP，点A关于直线CP 的对称点为D，连接AD，BD，其中BD交直线CP于点E．（1）如图1，∠ACP=15°．①依题意补全图形；②求∠CBD的度数；（2）如图2，若45°＜∠ACP＜90°，直接用等式表示线段AC，DE，BE之间的数量关系．2017-2018学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）A．x≥2B．x≤2C．x＞2D．x＜2【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选：A．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．2．如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：由图可得，△ABC中AC边上的高线是BD，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）A．方B．雷C．罗D．安【分析】根据轴对称图形的概念观察图形判断即可．【解答】解：由图可知，是轴对称图形的只有“罗”．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．有一个质地均匀且可以转动的转盘，盘面被分成6个全等的扇形区域，在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色，用力转动转盘，为了使转盘停止时，指针指向灰色的可能性的大小是，那么下列涂色方案正确的是（）A．B．C．D．【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．【解答】解：A、指针指向灰色的概率为2÷6=，故选项正确；B、指针指向灰色的概率为3÷6=，故选项错误；C、指针指向灰色的概率为4÷6=，故选项错误；D、指针指向灰色的概率为5÷6=，故选项错误．故选：A．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B 分别代表的是（）A．分式的基本性质，最简公分母=0B．分式的基本性质，最简公分母≠0C．等式的基本性质2，最简公分母=0D．等式的基本性质2，最简公分母≠0【分析】根据解分式方程的步骤，可得答案．【解答】解：去分母得依据是等式基本性质2，检验时最简公分母等于零，原分式方程无解故选：C．【点评】本题考查了解分式方程，利用解分式方程的步骤是解题关键．6．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，那么∠AOB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【解答】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故选：B．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．7．一件工作，甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，如果甲、乙二人合作，那么每天的工作效率是（）A．a+b B． +C．D．【分析】合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率，据此可得．【解答】解：∵甲单独完成需要a天，乙单独完成需要b天，∴甲的工效为，乙的工效为，∴甲、乙二人合作每天的工作效率是+，故选：B．【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握工程问题中关于合作的工作效率的相等关系．8．一部记录片播放了关于地震的资料及一个有关地震预测的讨论，一位专家指出：“在未来20年，A城市发生地震的机会是三分之二”对这位专家的陈述下面有四个推断：①×20≈13.3，所以今后的13年至14年间，A城市会发生一次地震；②大于50%，所以未来20年，A城市一定发生地震；③在未来20年，A城市发生地震的可能性大于不发生地震的可能性；④不能确定在未来20年，A城市是否会发生地震；其中合理的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【分析】根据概率的意义，可知发生地震的概率是三分之二，说明发生地震的可能性大于不发生地政的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：∵一位专家指出：在未来的20年，A市发生地震的机会是三分之二，∴未来20年内，A市发生地震的可能性比没有发生地震的可能性大；不能确定在未来20年，A城市是否会发生地震，故选：D．【点评】本题考查概率的意义，解题的关键是明确概率的意义，理论联系实际．二、填空题（本题共22分，第9-10提，每小题2分，第11-16题，每小题2分）9．若分式的值为0，则x=2．【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x=2．故答案为：2．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．10．27的立方根为3．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为：3．【点评】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算．11．化简的结果是5．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：=|﹣5|=5．【点评】解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|的运用．12．一个不透明的盒子中装有4个白球，5个红球，这些球除颜色外无其他区别，从这个盒子中随意摸出一个球，摸到红球的可能性的大小是．【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可．【解答】解：∵袋子中装有4个白球和5个红球，共有9个球，∴从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．一个正方形的面积是10cm2，那么这个正方形的边长约是 3.2cm（结果保留一位小数）【分析】直接利用算术平方根的求法结合正方形面积求法得出答案．【解答】解：∵一个正方形的面积是10cm2，∴这个正方形的边长约是：≈3.2（cm）．故答案为：3.2．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．14．小东认为：任意抛掷一个啤酒盖，啤酒盖落地后印有商标一面向上的可能性的大小是，你认为小东的想法不合理（“合理”或“不合理”），理由是啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能性不相等．【分析】根据啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能：印有商标一面向上、印有商标一面向下的可能性不一样，据此解答可得．【解答】解：小东的想法不合理，理由：啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能：印有商标一面向上、印有商标一面向下的可能性不一样，所以小东的想法不合理，故答案为：不合理，啤酒盖的正反两面不均匀，抛掷后向上一面的两种可能性不相等．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键掌握古典概型计算的前提．15．将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为75°．【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．【解答】解：∵图中是一副三角板，∴∠2=45°，∠1=90°﹣45°=45°，∴∠α=∠1+30°=45°+30°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图1，P，Q是直线l同侧两点，请你在直线l上确定一个点R，使△PQR的周长最小．小阳的解决方法如下：如图2，（1）作点Q关于直线l的对称点Q；（2）连接PQ′交直线l于点R；（3）连接RQ，PQ．所以点R就是使△PQR周长最小的点．老师说：“小阳的作法正确．”请回答：小阳的作图依据是如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：两点之间线段最短．【分析】根据轴对称的性质解答即可．【解答】解：小阳的作图依据是如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：两点之间线段最短．故答案为：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：两点之间线段最短【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，根据已知对称的性质解答是解题关键．三、解答题（本题共62分，第17题5分，第18-23题，每小题5分，第24-26题，每小题5分）17．计算：（1﹣）÷．【分析】先计算1﹣，再做除法，结果化为整式或最简分式．【解答】解：原式=（﹣）×=×=2．【点评】本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和．18．计算：×3﹣+|1﹣|．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=3﹣2+﹣1=3﹣2+﹣1=2﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．解方程：=+1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（x+1）（x﹣2）=x﹣1+（x﹣1）（x﹣2）x2﹣x﹣2=x﹣1+x2﹣3x+2x=3经检验：x=3是原方程的解，所以原方程的解是x=3．【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．求证：DE=DF．【分析】由AD是△ABC的中线就可以得出BD=CD，再由平行线的性质就可以得出△CDF△BDE就可以得出DE=DF．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．∵BE∥CF，∴∠FCD=∠EBD，∠DFC=∠DEB．在△CDE和△BDF中，∴△CDF≌△BDE（AAS），∴DE=DF．【点评】本题全等三角形的判定及性质、平行线的性质等知识，解答时证明三角形全等是关键．21．先化简，再求值：（ +）•，其中x=﹣3．【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入化简即可．【解答】解：原式=•=﹣，当x=﹣3时，原式=﹣．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．22．列方程或方程组解应用题：某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展，北京展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．【分析】首先设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，进而利用1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达得出等式求出答案．【解答】解：设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意可得：﹣=，解得：x=40，经检验得：x=40是原方程的根，并且符合题意，则1.2x=48，答：2号车的平均速度是48千米/时．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．23．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（1，0），点C为x轴上一点，且△ABC是以AB为腰的等腰三角形．（1）请在坐标系中画出所有满足条件的△ABC；（2）直接写出（1）中点C的坐标．【分析】要使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，有三种情况．【解答】解：（1）如图所示：（2）点C的坐标分别有（﹣1，0），（1﹣，0），（1+，0）．【点评】本题主要考查学生动手作图的能力，作图比较复杂．24．小刚根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是小刚的探究过程，请补充完整；（1）具体运算，发现规律．特例1：=；特例2：=；特例3：=；特例4：（举一个符合上述运算特征的例子）（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；．（3）证明猜想，确认猜想的正确性．【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由例子可得，特例4为：，故答案为：；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：，故答案为：；（3）证明：∵n是正整数，∴==．即．【点评】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E，F分别在AB，AC边上，连接AD，DE，DF，且∠ADE=∠ADF=60°．小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE=AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法3：将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABG，使得AC和AB重合，然后通过全等三角形的相关知识获证．…请你参考上面的想法，帮助小明证明AE=AF．（一种方法即可）【分析】想法1：在DE上截取DG=DF，连接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG=AF，再根据∠AEG=∠AGE，得出AE=AG，进而得到AE=AF；想法2：过A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，依据角平分线的性质得到AG=AH，进而判定△AEG≌△AFH，即可得到AE=AF；想法3：将△ACD绕着点A顺时针旋转至△ABG，使得AC与AB重合，连接DG，判定△AGD是等边三角形，进而得出△AGE≌△ADF，即可得到AE=AF．【解答】证明：想法1：如图，在DE上截取DG=DF，连接AG，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD，∴△ADG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∵∠ADB=60°+∠3=60°+∠2，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1，∵∠AEG=60°+∠3，∠AGE=60°+∠1，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴AE=AF；想法2：如图，过A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，∵∠ADE=∠ADF=60°，∴AG=AH，∵∠FDC=60°﹣∠1，∴∠AFH=∠DFC=60°+∠1，∵∠AED=60°+∠1，∴∠AEG=∠AFH，∴△AEG≌△AFH，∴AE=AF；想法3：如图，将△ACD绕着点A顺时针旋转至△ABG，使得AC与AB重合，连接DG，∴△ABG≌△ACD，∴AG=AD，∠GAB=∠DAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，∴∠GAD=60°，∴△AGD是等边三角形，∴∠ADG=∠AGD=60°，∵∠ADE=60°，∴G，E，D三点共线，∴△AGE≌△ADF，∴AE=AF．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判断，全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等，对应角相等得出结论．26．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在△ABC外侧作直线CP，点A关于直线CP 的对称点为D，连接AD，BD，其中BD交直线CP于点E．（1）如图1，∠ACP=15°．①依题意补全图形；②求∠CBD的度数；（2）如图2，若45°＜∠ACP＜90°，直接用等式表示线段AC，DE，BE之间的数量关系．【分析】（1）根据题意画图1；（2）先根据对称的性质得：CP是AD的垂直平分线，则AC=BC=CD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得结论；（3）如图2，连接CD、AE，先证明∠CDB=∠CBD=∠CAE，根据三角形的内角和定理可得：∠GEB=∠ACB=90°，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，根据垂直平分线的性质得：ED=AE，及等腰直角三角形的性质，可得：DE2+BE2=2AC2．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图1，连接CD，∵点A关于直线CP的对称点为D，∴CP是AD的垂直平分线，∴CD=AC，∠DCP=∠ACP=15°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°+15°+15°=120°，∵AC=BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=30°，（3）DE2+BE2=2AC2，理由是：如图2，连接CD、AE，∵DC=BC=AC，∴∠CDB=∠CBD=∠CAE，∵∠CGA=∠EGB，∴∠GEB=∠ACB=90°，∴AE2+BE2=AB2，∵CP是AD的垂直平分线，∴ED=AE，∴DE2+BE2=AB2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB2=AC2+BC2，且AC=BC，∴DE2+BE2=2AC2．【点评】本题考查了轴对称的性抽、等腰直角三角形的性质、勾股定理及简单作图，知道对称点的连线被对称轴垂直平分，属于基础题．。

2016-2017 学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）第1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P（2，﹣3）关于原点O 对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．（3 分）一个多边形的每个内角都等于120°，则此多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形3．（3分）下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④4．（3分）方程x（x﹣1）＝x 的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2 5．（3 分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们10 次还原魔方所用时间的平均值与方差S2：甲乙丙丁（秒）30 30 28 28S2 1.21 1.05 1.21 1.05要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．（3 分）矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，如果∠ABO＝70°，那么∠AOB 的度数是（）A．40°B．55°C．60°D．70°7．（3 分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝18．（3分）德国心理学家艾宾浩斯（H•Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，遗忘是有规律的．他用无意义音节作记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量．通过测试，他得到了一些数据，根据这些数据绘制出一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．小梅观察曲线，得出以下四个结论：①记忆保持量是时间的函数②遗忘的进程是不均匀的，最初遗忘速度快，以后逐渐减慢③学习后1 小时，记忆保持量大约为40%④遗忘曲线揭示出的规律提示我们学习后要及时复习其中错误的结论（）A．①B．②C．③D．④9．（3 分）关于x 的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0 有两个实数根，那么实数k 的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 且k≠0 C．k≤1 且k≠0 D．k≥110．（3 分）如图1 所示，四边形ABCD 为正方形，对角线AC，BD 相交于点O，动点P 在正方形的边和对角线上匀速运动．如果点P 运动的时间为x，点P 与点A 的距离为y，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，那么点P 的运动路线可能为（）A．A→B→C→A B．A→B→C→D C．A→D→O→A D．A→O→B→C 二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是．12．（3 分）在△ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，如果DE＝10，那么BC＝．13．（3 分）“四个一”活动自2014 年9 月启动至今，北京市已有60 万中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．下图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示故宫的点的坐标为（0，1），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1），那么表示人民大会堂的点的坐标是．14．（3 分）在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD 成为平行四边形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）15．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx 和y＝﹣x+3 的图象如图所示，则关于x 的一元一次不等式kx＜﹣x+3 的解集是．16．（3 分）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：射线OE，使OE 平分∠AOB．作法：如图，（1）在射线OB 上任取一点C；（2）以点O 为圆心，OC 长为半径作弧，交射线OA 于点D；（3）分别以点C，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧相交于点E；（4）作射线OE．所以射线OE 就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（本题共52 分，第17 题4 分，第18-24 题每小题4 分，第25 题6 分，第26题7 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+3＝0．18．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y＝﹣x+1 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求A，B 两点的坐标；（2）在给定的坐标系中画出该函数的图象；（3）点M（﹣1，y1），N（3，y2）在该函数的图象上，比较y1 与y2 的大小．19．（5 分）已知：如图，E，F 为▱ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE＝DF．求证：AE ∥CF．20．（5 分）阅读下列材料：为引导学生广泛阅读古今文学名著，某校开展了读书月活动．学生会随机调查了部分学生平均每周阅读时间的情况，整理并绘制了如图的统计图表：学生平均每周阅读时间频数分布表频数频率平均每周阅读时间x（时）0≤x＜2 10 0.0252≤x＜4 60 0.1504≤x＜6 a0.2006≤x＜8 110 b8≤x＜10 100 0.25010≤x＜12 40 0.100合计400 1.000请根据以上信息，解答下列问题：（1）在频数分布表中，a＝，b＝；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该校有1 600 名学生，请你估计该校平均每周阅读时间不少于6 小时的学生大约有人．21．（5 分）“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．“互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．请根据下面张老师与记者的对话内容，求2014 年到2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率．22．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD．求证：．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是．（写出一条即可）23．（5 分）已知关于x 的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，并求出此时方程的根．24．（5 分）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2 400 米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96 米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了2 分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（t分）时，小明与家之间的距离为s（1米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD，线段EF 分别表示s1，s2 与t 之间的函数关系的图象．（1）求s2 与t 之间的函数表达式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？25．（6 分）已知：如图，正方形ABCD 中，点F 是对角线BD 上的一个动点．（1）如图1，连接AF，CF，直接写出AF 与CF 的数量关系；（2）如图2，点E 为AD 边的中点，当点F 运动到线段EC 上时，连接AF，BE 相交于点O．①请你根据题意在图2 中补全图形；②猜想AF 与BE 的位置关系，并写出证明此猜想的思路；③如果正方形的边长为2，直接写出AO 的长．26．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，如果点A，点C 为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C 在直线y＝x 上，那么称该菱形为点A，C 的“极好菱形”．如图为点A，C 的“极好菱形”的一个示意图．已知点M 的坐标为（1，1），点P 的坐标为（3，3）．（1）点E（2，1），F（1，3），G（4，0）中，能够成为点M，P 的“极好菱形”的顶点的是；（2）如果四边形MNPQ 是点M，P 的“极好菱形”．①当点N 的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ 的面积；②当四边形MNPQ 的面积为8，且与直线y＝x+b 有公共点时，写出b 的取值范围．2016-2017 学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30 分，每小题3 分）第1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P（2，﹣3）关于原点O 对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】根据关于点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：P（2，﹣3）关于原点O 对称的点的坐标是（﹣2，3），故选：B．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．2．（3 分）一个多边形的每个内角都等于120°，则此多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除即可得到边数．【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，∴边数n＝360°÷60°＝6．故选：B．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．3．（3分）下面四个图案依次是我国汉字中的“福禄寿喜”的艺术字图．这四个图案中是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【解答】解：第一个图形不是中心对称图形；第二个图形是中心对称图形；第三个图形不是中心对称图形；第四个图形是中心对称图形；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．4．（3 分）方程x（x﹣1）＝x 的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，x＝0，x﹣1﹣1＝0，x1＝0，x2＝2．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．5．（3 分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们10 次还原魔方所用时间的平均值与方差S2：甲乙丙丁（秒）30 30 28 28S2 1.21 1.05 1.21 1.05要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为乙和丁的方差最小，但丁平均数最小，所以丁还原魔方用时少又发挥稳定．故选：D．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．（3 分）矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，如果∠ABO＝70°，那么∠AOB 的度数是（）A．40°B．55°C．60°D．70°【分析】根据矩形的性质，证出OA＝OB，得出∠OAB＝∠ABO＝70°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝70°，∴∠AOB＝180°﹣2×70°＝40°；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证出OA＝OB 是解题关键．7．（3 分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，原方程应变形为（）A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝1【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．【解答】解：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．8．（3 分）德国心理学家艾宾浩斯（H•Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，遗忘是有规律的．他用无意义音节作记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量．通过测试，他得到了一些数据，根据这些数据绘制出一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．小梅观察曲线，得出以下四个结论：①记忆保持量是时间的函数②遗忘的进程是不均匀的，最初遗忘速度快，以后逐渐减慢③学习后1 小时，记忆保持量大约为40%④遗忘曲线揭示出的规律提示我们学习后要及时复习其中错误的结论（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据图象即可得到结论．【解答】解：由图象可得：①记忆保持量是时间的函数，正确；②遗忘的进程是不均匀的，最初遗忘速度快，以后逐渐减慢，正确；③学习后2 小时，记忆保持量大约为40%，错误；④遗忘曲线揭示出的规律提示我们学习后要及时复习，正确；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．9．（3 分）关于x 的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0 有两个实数根，那么实数k 的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 且k≠0 C．k≤1 且k≠0 D．k≥1【分析】若一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数a 不为0．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0 有两个实数根，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝4﹣4k≥0，且k≠0．即k≤1 且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．10．（3 分）如图1 所示，四边形ABCD 为正方形，对角线AC，BD 相交于点O，动点P 在正方形的边和对角线上匀速运动．如果点P 运动的时间为x，点P 与点A 的距离为y，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，那么点P 的运动路线可能为（）A．A→B→C→A B．A→B→C→D C．A→D→O→A D．A→O→B→C 【分析】根据图2 可知，y 与x 的函数关系分为三段：①y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大；②y 不是x 的一次函数，但y 随x 的增大而增大；③y 是x 的一次函数，且y 随x 的增大而减小．依此结合各选项逐一分析，即可得出答案．【解答】解：由题意可得，y 与x 的函数关系分为三段：①y 是x 的正比例函数，且y 随x 的增大而增大，A→B，A→D，A→O 均符合题意；②y 不是x 的一次函数，但y 随x 的增大而增大，B→C，O→B 均符合题意；但是D→O，y 随x 的增大而减小，不符合题意，排除C；③y 是x 的一次函数，且y 随x 的增大而减小，C→A 符合题意；但是C→D，y 不是x 的一次函数，不符合题意，排除B；B→C，y 随x 的增大而增大，不符合题意，排除D．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数的图象与性质，垂线段最短的性质，勾股定理等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义．二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．（3 分）函数y＝中，自变量x 的取值范围是x≠2．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．12．（3 分）在△ABC 中，D，E 分别是边AB，AC 的中点，如果DE＝10，那么BC＝20．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵D，E 分别是边AB，AC 的中点，∴BC＝2DE＝20，故答案为：20．【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13．（3 分）“四个一”活动自2014 年9 月启动至今，北京市已有60 万中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．下图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示故宫的点的坐标为（0，1），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1），那么表示人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1）．【分析】根据故宫的点的坐标为（0，1）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定人民大会堂的位置．【解答】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．14．（3 分）在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD 成为平行四边形，这个条件可以是AB＝CD．（写出一种情况即可）【分析】根据平行四边形的判定方法填写即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴当AB＝CD 时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABCD 为平行四边形，故答案为：AB＝CD（或AD∥BC 等，答案不唯一）．【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④两组对边分别相等的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．15．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝kx 和y＝﹣x+3 的图象如图所示，则关于x 的一元一次不等式kx＜﹣x+3 的解集是x＜1 ．【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），所以关于x 的一元一次不等式kx＜﹣x+3 的解集为x＜1，故答案为：x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．16．（3 分）下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：射线OE，使OE 平分∠AOB．作法：如图，（1）在射线OB 上任取一点C；（2）以点O 为圆心，OC 长为半径作弧，交射线OA 于点D；（3）分别以点C，D 为圆心，OC 长为半径作弧，两弧相交于点E；（4）作射线OE．所以射线OE 就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线．．【分析】依据作图痕迹可得四边形OCED 是菱形，再根据菱形的性质，即可得到OE 平分∠AOB．【解答】解：如图所示，连接DE，CE，∵OD＝DE＝EC＝OC，∴四边形OCED 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），∴OE 平分∠AOB（菱形的每一条对角线平分一组对角），故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线．【点评】本题主要考查了基本作图依据菱形的性质，解题时注意：四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角．三、解答题（本题共52 分，第17 题4 分，第18-24 题每小题4 分，第25 题6 分，第26题7 分）17．（4 分）解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】此题可以采用配方法：首先将常数项3 移到方程的左边，然后再在方程两边同时加上4，即可达到配方的目的，继而求得答案；此题也可采用公式法：注意求根公式为把x＝，解题时首先要找准a，b，c；此题可以采用因式分解法，利用十字相乘法分解因式即可达到降幂的目的．【解答】解法一：移项得x2﹣4x＝﹣3，（1 分）配方得x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1，（2 分）即x﹣2＝1 或x﹣2＝﹣1，（3 分）∴x1＝3，x2＝1；（5 分）解法二：∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，（1 分）∴，（3 分）∴x1＝3，x2＝1；（5 分）解法三：原方程可化为（x﹣1）（x﹣3）＝0，（1 分）∴x﹣1＝0 或x﹣3＝0，（3 分）∴x1＝1，x2＝3．（5 分）【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意解题时选择适当的解题方法，此题采用因式分解法最简单．18．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y＝﹣x+1 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求A，B 两点的坐标；（2）在给定的坐标系中画出该函数的图象；（3）点M（﹣1，y1），N（3，y2）在该函数的图象上，比较y1 与y2 的大小．【分析】（1）分别令y＝0，x＝0 求解即可；（2）根据两点确定一条直线作出函数图象即可；（3）根据y 随x 的增大而减小求解．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝2，令x＝0，则y＝1，所以，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1）；（2）如图：；（3）∵﹣1＜3，∴y1＞y2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．19．（5 分）已知：如图，E，F 为▱ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE＝DF．求证：AE ∥CF．【分析】证出 OE ＝OF ，得出四边形 AECF 是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 AF ，CE ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵BE ＝DF ，∴OB ﹣BE ＝OD ﹣DF即 OE ＝OF ．∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，题目的综合性较强，证明四边形 AECF 是平行四边形是解决问题的关键．20．（5 分）阅读下列材料： 为引导学生广泛阅读古今文学名著，某校开展了读书月活动．学生会随机调查了部分学 生平均每周阅读时间的情况，整理并绘制了如图的统计图表： 学生平均每周阅读时间频数分布表平均每周阅读时间 x （时）频数频率0≤x ＜210 0.025 2≤x ＜460 0.150 4≤x ＜6a 0.200 6≤x ＜8110 b 8≤x ＜10 1000.25010≤x＜12 40 0.100合计400 1.000请根据以上信息，解答下列问题：（1）在频数分布表中，a＝80 ，b＝0.275 ；（2）补全频数分布直方图；（3）如果该校有1 600 名学生，请你估计该校平均每周阅读时间不少于6 小时的学生大约有1000 人．【分析】（1）求出总人数，总人数乘以0.2 即可得到a，110 除以总人数即可得到b．（2）根据（1）中计算和表中信息画图．（3）用样本估计总体．【解答】解：（1）10÷0.025＝400 人；a＝400×0.2＝80 人，b＝＝0.275；故答案为80，0.275．（2）如图：（3）1600×（0.275+0.25+0.1）＝1000 人．【点评】本题考查了频数分布直方图、频数分布表，两图结合是解题的关键．21．（5 分）“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．“互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．请根据下面张老师与记者的对话内容，求2014 年到2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率．【分析】设2014 年到2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x，根据2014 年及2016 年中国在线教育市场产值，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设2014 年到2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x，根据题意得：1000（x+1）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：2014 年到2016 年中国在线教育市场产值的年平均增长率是20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．22．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．（1）小文根据筝形的定义得到筝形边的性质是筝形的两组邻边分别相等；（2）小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图，在筝形ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD．求证：∠B＝∠D ．证明：（3）小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是AC⊥BD 或AC 垂直平分线段BD．（写出一条即可）【分析】（1）根据筝形的定义可得筝形的两组邻边分别相等；（2）∠B＝∠D．连接AC，根据SSS 证明三角形全等即可；（3）AC 垂直平分线段BD．根据线段的垂直平分线的定义即可判定；【解答】解：（1）筝形的两组邻边分别相等．（2）结论：∠B＝∠D．证明：连接AC．在△ACB 和△ACD 中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠B＝∠D．（3）结论：AC⊥BD 或AC 垂直平分线段BD．理由：连接BD．∵AB＝AD，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴AC 垂直平分线段BD．故答案分别为筝形的两组邻边分别相等，∠B＝∠D，AC⊥BD 或AC 垂直平分线段BD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．23．（5 分）已知关于x 的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，并求出此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（m﹣1）2+3＞0，由此即可证出此方程有两个不相等的实数根；（2）取m＝0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可得出方程的解．【解答】（1）证明：△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3．∵（m﹣1）2+3＞0，即△＞0，∵无论m 取何值时，（m﹣1）2≥0，∴（m﹣1）2+3＞0，即△＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．（2）解：取m＝0，此时原方程为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握一元二次方程的各种解法．24．（5 分）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2 400 米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96 米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了2 分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（t分）时，小明与家之间的距离为s（1米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD，线段EF 分别表示s1，s2 与t 之间的函数关系的图象．（1）求s2 与t 之间的函数表达式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？【分析】（1）根据题意可以求得点F 的坐标，然后设出s2 与t 的函数表达式，然后根据函数图象中的数据即可解答本题；（2）根据题意和图象中的数据可以求得BD 段对应的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）∵2400÷96＝25，∴点F 的坐标为（25，0），设s2 与t 之间的函数表达式是s2＝kt+b，，得，即s2 与t 之间的函数表达式是s2＝﹣96t+2400；（2）由题意可得，点B 的坐标为（12，2400），点D 的坐标为（22，0），设BC 段对应的函数解析式为s1＝mt+n，，得，∴BC 段对应的函数解析式为s1＝﹣240t+5280，由﹣240t+5280＝﹣96t+2400，得t＝20，∴小明从家出发，经过20 分钟在返回途中追上爸爸．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．25．（6 分）已知：如图，正方形ABCD 中，点F 是对角线BD 上的一个动点．。