广州市年高中阶段学校招生测验(课改实验区)新课标

2024届初三毕业班综合测试数学本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）A. 3−B. 3C. 13−D. 13【答案】A【解析】【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）A. 41.08710×B. 410.8710×C. 310.8710×D. 31.08710× 【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，∴410870 1.08710=×，故答案选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D ．4. 下列运算正确的是（ ）A. ()2211m m −=−B. ()3326m m =C. 734m m m ÷=D. 257m m m +=【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A. ()22121m m m −=−+，原运算错误，本选项不合题意；B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）A. 众数B. 中位数C. 平均数D. 方差【答案】D【解析】【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为3444545x ++++==，原方差为()()()()()2222223444444454255S −+−+−+−+− =； 去掉一个数据4后的中位数为4442+=，众数为4，平均数为344544x +++==，方差为()()()()2222234444454142S −+−+−+− =；∴统计量发生变化的是方差；故选D ．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505x x =+ 【答案】B【解析】【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x 吨，则小货车每辆运输()5x −吨，则75505x x =−． 故选B【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．.的7. 下列四个函数图象中，当x <0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）A. B. C. D.A. 55.5mB. 【答案】D【解析】【详解】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项不符合题意；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项符合题意．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( )54m C. 19.5m D. 18m【答案】C【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，得到DE ，在Rt ADE △中，tan 30AE DE=o ，求出AE ，从而求出AB 【详解】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，DE BC ==Rt ADE △中，tan 30AE DE =o18m AE ∴= 18 1.519.5m AB ∴=+=在故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9. 如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=°，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）A. 60°B. 105°C. 75°D. 72°【答案】C【解析】 【分析】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠，结合AB AC =，30BAC ∠=°，得到180752−=°∠∠=°BAC ACB ，计算BAD ABD ∠+∠即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，30BAC ∠=°， ∴180752−=°∠∠=°BAC ACB ， ∴75BAD ABD BCD ACD ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°,故选C ．．10. 如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、E 两点，设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根的情况是（ ）A. 一定有两个相等的实数根B. 一定有两个不相等的实数根C. 有两个实数根，但无法确定是否相等D. 没有实数根【答案】B【解析】 【分析】M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，则得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠，即可得出DBM MBC ∽，再求出BMC MEC ∽，DBM EMC ∽，即可得出：214ac b =，即可求解． 【详解】AM 平分BAC ∠，DE AM ⊥， ADM AEM ∴∠=∠，1122MDME DE b ===， 1902BDM MEC BAC ∴∠=∠=°+∠， 1902BMC BAC ∴∠=°+∠， BDM MEC BMC ∴∠=∠=∠，M 是ABC 的内角平分线的交点，∴DBM MBC ∽，同理可得出：BMC MEC ∽，∴DBM EMC ∽， ∴BD MD ME CE=， BD EC MD ME ∴⋅=⋅，即：214ac b =， ∴222(1)421210b ac b b b b ∆=+−=++−=+>，∴关于x 的方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠是解题关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11. 方程420x +=的解为______．【答案】2x =−【解析】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】420x +=，24x =−，解得2x =−，故答案为：2x =−．12. 因式分解：x 2﹣3x=_____．【答案】x （x ﹣3）【解析】【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）． 考点：因式分解.13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.【答案】15【解析】【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．故答案为15.14. 已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =−+上，那么12x x +=________．【答案】3【解析】【分析】根据题意可得点P 和点Q 关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：33222b x a −=−=−=， ∵()1,1P x ，()2,1Q x ， ∴12322x x +=， ∴123x x +=． 故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解． 15. 如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200yx x=>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为_______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k 的几何意义可得20OB BC ⋅=，由切线的性质可得BC x ⊥轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C 在函数()200y x x=>的图象上， ∴20OB BC ⋅=，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x ⊥轴，∴BC y ∥轴， ∴111205244ACD S AC OB BC OB =???， 故答案为：5．16. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且90AFE ∠=°．（1）当5BF =时，tan FEC ∠=______； （2）当AED ∠最大时，DE 的长为_______．【答案】 ①.65 ②. 103##133 【解析】【分析】（1）证明90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，利用tan tan AFB FEC ∠=∠计算即可； （2）当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，利用三角形相似计算即可．【详解】（1）∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴6tan tan 5AB AFB FEC BF ∠=∠==， 故答案为：65． （2）如图，取AE 的中点O ，连接,,OD OF DF ．∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ∠=°，∵90AFE ∠=°，∴A 、D 、E 、F 四点共圆，∴AED AFD ∠=，∴当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，∴OF BC ⊥，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90ADE ABF ∠=∠=°，∴OF AB EC ， ∴EO CF OA BF =， ∴142BF CF BC ===， ∵90AFE ∠=°，∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，∴90,90ABF FCE °°∠=∠=∵90AFE ∠=°，∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，∴AFB FEC ∽△△， ∴BF AB EC FC =， ∴464EC =， ∴83EC =， ∴810633DE CD EC =−=−=， 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17. 解不等式：6327x x −>−．【答案】1x −＞【解析】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】6327x x −−＞，移项，得6237x x −−＞合并同类项，得44x −＞，系数化为1，得1x −＞．18. 如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．【详解】∵AB DC ，∴BAE DCF ∠=∠，在ABE 和CDF 中AB DC BAE DCF AE CF = ∠=∠ =∴ABE CDF △≌△．19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；（2）甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】（1）50 （2）29【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．【小问1详解】∵4?8%50÷=(人)，故答案为：50．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，∴相同的概率为：29． 20. 已知关于x 的函数()31111m m y x m m m +=+≠−++图象经过点()1,A m n −． （1）用含m 的代数式表示n ；（2）当m =k y x=的图象也经过点A ，求k 的值． 【答案】（1）1nm =+ （2）4【解析】【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；（2）当m =)1A +，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【小问1详解】 解：根据题意，得()()213111111m m m n m m m m m ++=×−+==++++． 【小问2详解】解：当m =时，此时点)1A −+，故)11514k =+=−=． 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，60A ∠=°，3AB =．（1）尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．【答案】（1）见解析 （2）1sin 2CBQ ∠= 【解析】【分析】（1）结合切线的判定与性质，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆即可．（2）由题意可得Rt Rt ABP AQP △≌△，则AB AQ =，可得ABQ 为等边三角形，即60ABQ ∠=°，则30CBQ ∠=°，进而可得答案．【小问1详解】解：如图，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆，交AC 于点Q ， 则P 即为所求．；【小问2详解】解：由（1）可得，BP PQ =，PQ AC ⊥，90AQP ∴∠=°，AP AP = ，()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，AB AQ ∴=，60BAC ∠=° ，ABQ ∴ 为等边三角形，60ABQ ∴∠=°，30CBQ ∴∠=°，1sin sin 302CBQ ∴∠=°=． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =−+−．请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；（2）求一次函数y kx b =+解析式； （3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否的需要采取防霜措施，并说明理由．【答案】（1）5−℃（2）835y x =−+ （3）需要采取防霜措施，见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当5x =时，函数最小值，代入解析式21660y x x =−+−计算即可．（2）把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中，计算即可； （3）令0y kx b =+=，216600y x x =−+−=，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x 轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【小问1详解】根据题意，当5x =时，函数有最小值，代入解析式21660y x x =−+−得，2580605y =−+−=−，故答案为：5−℃．【小问2详解】把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中， 得553k b b +=− = ， 解得853k b =− = ， ∴835y x =−+． 【小问3详解】 令0835y x =−+=， 解得158x =； 令216600y x x =−+−=，解得126,10x x ==（舍去）， 故()156 4.125h 8−=， ∵4.1254＞∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．（1）若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；（2）设OB x OF =，AB y CD=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．【答案】（1）2米 （2）1y x =−，说明见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平行四边形，可得2CD OE ==米；（2）由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE ==，则AB OB OF CD OF −=，据此可得1y x =−，当2OB OF>，即2x >时，11y x =−>，据此可得结论． 【小问1详解】解：由题意得，AB OE ∥，∴ABF EOF ∽， ∴AB BF OE OF =，即1644OE −=， ∴2OE =，∵OE CD CE OD ∥，∥，的∴四边形OECD 是平行四边形，∴2CD OE ==米，∴蜡烛的像CD 的长度为2米；【小问2详解】解：由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE == ∴AB BF OE OF =，即AB OB OF CD OF−=， ∴1y x =−， 当2OB OF >，即2x >时，11y x =−>， ∴1AB CD>，即AB CD >， ∴物高大于像高，即呈缩小的像．24. 矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．（1）如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．（2）如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对称，连接GD ，HD ，求GDH 面积的最小值．【答案】（1）①见解析；②485（2）8【解析】【分析】（1）①根据矩形的性质，得到90ABC ∠=°，得到点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，根据矩形的性质，得OA OB OC OD ===，判定点D 在以O 为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；②过点E 作在EG AD ⊥于点D ，根据AE AB =，得到ADE ADB ∠=∠，结合4AE AB ==，8BC =，得到1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===，设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−，利用勾股定理计算x ，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°，根据CH CD DH ≤+，得到4DH CH CD −=≥，当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小． 【小问1详解】①∵矩形ABCD ，∴90ABC ∠=°，OA OB OC OD ===，∴点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，∵OA OB OC OD ===，∴点D 在以O 为圆心的同一个圆上，故A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；②如图，过点E 作在EG AD ⊥于点D ，∵AE AB =，∴ADE ADB ∠=∠，∵4AE AB ==，8BC =， ∴1tan tan 2AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===， 设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−， ∴()228216x x −+=， 解得12,45x x ==（舍去）， ∴AED △的面积112488255××=． 【小问2详解】根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG ====∠=°， ∵CH CD DH ≤+，∴4DH CH CD −=≥，∴当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为1144822GH DH ×=××=，最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．25. 已知抛物线()21:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >． （1）求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；（2）若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033x x <+<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；（3）若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析 （2）()()1,1,2,1−−（3）4k ＞【解析】【分析】（1）联立()()211y a x h y k x h =−− =−− ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；（2）根据1a =时，()21:1C y x h =−−，结合抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，结合12x x <，则12,11x h x h ==+−，且121033x x <+<，求得11124h <<，确定h 的整数解有1,2两个，得证．（3）根据题意，得当2x h =+时，21y y ＞恒成立．建立不等式解答即可．本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【小问1详解】联立()()211y a x h y k x h =−− =−−， 解方程，得,ah k x h x a+==， 当x h =时，1y =−，即直线与抛物线恒过点(),1h −，故直线l 与抛物线C 至少有一个交点．【小问2详解】当1a =时，()21:1C y x h =−−，∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±，∵12x x <， ∴12,11x hx h ==+−， ∵121033x x <+<， ∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数，∴1,2h h ==， 故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−．【小问3详解】．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．故()()22121k h h a h h +−−+−−＞，整理得：2k a ＞．又∵2k a ＞，∴024a ＜＜，∴4k ＞．。

广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列各组对象可以构成集合的是（）A ．某中学所有成绩优秀的学生B ．边长为2的正方形C ．比较大的数字D ．著名的数学家2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．||,y x y ==B ．2,x y x y x==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==3．已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+4．已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A ．22ac bc>B ．22a b>C ．2211ab a b>D ．22b a a b<5．已知:x 2p <-或0:x q x a >>，，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥6．某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()2214,15,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩满足对任意1x ，2x ，当12x x ≠时都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．112，⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．122⎛⎤⎥⎝⎦，C ．[2)∞+，D ．[1]2，8．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当02x <≤时，()0f x <，当2x >时，()0f x >.不等式()0xf x >的解集为（）A ．()2,∞+B ．()()2,02,∞-⋃+C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()()2,00,2-⋃二、多选题9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A ．2,210x x x ∀∈++≥RB ．x ∃∈N ，2x ＋1为奇数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()R 1,Q0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（）A．1f=B ．()f x 的定义城为R C ．R x ∀∈，()()1f f x =D ．()f x 为偶函数11．已知实数a 、b +∈R ，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最小值为18B ．224a b +的最小值为12C ．11a b+的最小值为3+D ．()10,21b a -∈-三、填空题12．已知幂函数()21()5m f x m m x -=--在区间(0,+∞)上单调递减，则m =.13．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =．14．已知当[],1x a a ∈+时，函数()221f x x x =-+的最大值为4，则a 的值为四、解答题15．已知集合{}{}14,1A x x B x x a =-≤≤=-<<．(1)当2a =时，求,A B A B ；(2)若A B A = ，求a 的取值范围．16．已知命题2:R,10p x mx mx "Î-+>；命题2:R,410q x x mx ∃∈++<.(1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 中至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.17．已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =(1)求,m n 的值；(2)用定义法判定()f x 的单调性；(3)求使()()2110f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.18．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f （t ）表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f （t ）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：224100,(010)()240,(1020)7380,(2040)t t t f t t t t ⎧-++<⎪=<⎨⎪-+<⎩．(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？19．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数()()()211f x ax b x b =+++-()0a ≠.（1）当1a =，3b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()f x 的两个不动点为1x ，2x ，且()121af x x a -+=+，求实数b 的取值范围.。

2024年初中毕业班综合测试(一)九年级化学试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，共8页，满分90分。

考试时间60分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡第1面用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号、座位号、考号，再用2B铅笔把考号的标号涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回。

5.全卷共两大题20小题，请考生检查题数。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 P-31 C1-35.5 Ca-40 V-51 Cu-64第一部分选择题(共42分)一、选择题(本题包括14小题，每小题3分，共42分)注意：每道选择题有四个选项，其中只有一项符合题意。

请用铅笔在答题卡上作答。

选错、不选、多选或涂改不清的，均不给分。

1. 丝苗米是增城特产之一，下列说法正确的是A. 丝苗米去谷壳发生了化学变化B. 丝苗米磨成米浆说明丝苗米易溶于水C. 丝苗米富含的淀粉属于糖类D. 包装丝苗米的尼龙袋属于天然材料【答案】C【解析】【详解】A、丝苗米去谷壳过程中，没有新物质生成，发生了物理变化，错误；B、丝苗米磨成米浆，只是颗粒变小，不能说明丝苗米易溶于水，错误；C、丝苗米富含的淀粉，属于糖类，正确；D、包装丝苗米的尼龙袋是由合成纤维制成，合成纤维属于合成材料，不属于天然材料，错误。

故选C。

2. 劳动创造美好生活，下列劳动项目所关联的化学知识对应错误的是选项劳动项目化学知识A 用墨书写或绘制字画碳具有可燃性B 用铝块制成铝箔铝具有延展性C 用厨房清洁剂去除油污氢氧化钠与油脂反应D 用电热式封口机给聚乙烯塑料封口聚乙烯塑料具有热塑性A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】【详解】A、碳在常温下化学性质稳定，很难与其它物质发生化学变化，所以用成分为碳的墨书写或绘制字画能够保持很长时间，选项错误；B、铝具有延展性，所以铝块可被制成铝箔，选项正确；C、氢氧化钠能够与油脂发生化学反应，所以氢氧化钠可用于厨房清洁剂去除油污，选项正确；D、聚乙烯塑料具有热塑性，所以可用电热式封口机给聚乙烯塑料封口，选项正确；故选A。

试卷类型： A2024 学年高三年级调研测试英语2024.10本试卷共10页，满分120分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面和第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分阅读理解（共两节，满分50 分）第一节（共15 小题；每小题2.5 分，满分37.5 分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C 和D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

AScientific Creation ExhibitionOur annual Science Fair will beheld on the10th week from Nov 5 to 8 on school campus.If you are prepared to shine at our School Project Exhibition,the highlight of our exciting science event, please sign up for a presentation now.Participation Details● Open to all high school students.● Work individually or in teams ofup to three members.● Select a scientific topic that interests you. It could be from any field such as physics, chemistry,biology, environmental science, or even one covering 2 to 4 subjects.Guidelines● Conduct thorough research on your chosen topic.● Design and conduct experiments to explore your question.● Prepare a display board that clearly presents your project.● Be ready to explain your project to visitors engagingly and informatively.● Visual aids such as charts and photos are welcome to enhance your presentation.Judging CriteriaJudges would examine everything the participants prepare, and students who enter the finals are encouraged to design their posters in a clear and informative manner to allow pre-interview evaluation and to enable the interview to become an in-depth discussion. Considerable emphasis is placed on two areas: creativity and presentation, especially in the interview section.Creativity: Judges would place emphasis on how imaginative and inventive your project is.Presentation/Interview:The interview provides the opportunity to interact with the finalists and evaluate their understanding of the project’s basic science, interpretation and limitation of the results and conclusions.PrizeJudges will choose the top10honorable science stars, who will each receive a T-shirt of the Science Fair.21. How many team members can you have for a project?A. 2.B. 4.C. 5.D. 10.22. What must the students do in the presentation?A. Use pictures to explain.B. Conduct experiments on stage.C. Write on the blackboard to display.D. Demonstrate research outcomes.23. Who is likely to be awarded science stars?A. Participants who create the best posters.B. Participants presenting projects with limitations.C. Participants with thorough knowledge of science.D. Participants showing imagination in a group discussion.BFor many, the term “orienteering”might bring back images of school trips.The reality of it can be very different, though,and it’s a sport with strong links to athletics.Kris Jones,a British international on the track, was also a silver medallist at the 2022 World Orienteering Championships.This July,I decided to explore the sport by joining in the Edinburgh “sprint orienteering” running through the famous city streets. The aim of the sport is to navigate(导航) between checkpoints marked on a special orienteering map.There is no set route so the skill and fun comefrom trying to find the best way to go,with the ultimate goal being to complete the course in the quickest time.As someone who is used to the convenience of using my phone for navigation, the idea of relying on a traditional map-and-compass approach felt daunting.However, once I got into the swing of things – and learned to hold a map the correct way –the excitement of navigating from one checkpoint to the next quickly got me moving.The unpredictable nature of the race and not knowing the whereabouts of other competitors, really does keep the rush of excitement flowing. You have no idea where you are going or what you are going to see until you pick up the map.I think the sport taking place in an open field of play is really exciting for people to watch. People can stand and watch athletes running across their doorstep. Different athletes will be following different routes. It’s never like a marathon where you might see one athlete a minute ahead in front and you know they are going to win.For orienteering to grow as a sport, it needs greater visibility in top class events. A distant past argument is that it is not an audience-friendly sport, but modern technology now shakes that belief. With the use of mobile phones, drones and body cameras,orienteering can be enjoyed by a much wider audience.24. Why does the author mention Kris Jones in paragraph1?A. To prove orienteering is very popular.B. To show the sport is physically demanding.C. To introduce the achievement of the athlete.D. To emphasise the benefits of taking up orienteering.25. What does the underlined word “daunting” in paragraph 3 mean?A. Challenging.B. Familiar.C. Exciting.D. Convenient.26. What makes orienteering different from a marathon to the audience?A. The phone for navigation.B. The uncertainty of the result.C. The set routine through a city.D. The visibility of runners ’ positions.27. What does the last paragraph imply?A. The running routes should be designed to vary.B. Orienteering is bound to be a world-class event.C. Orienteering is actually an audience-friendly sport.D. Technology can be adopted to popularize the game.CMany cities around the world get more rain than their surroundings.“Just like the way you have an urban heat island, you have an urban rainfall effect,”says Dev Niyogi at the University of Texas at Austin.Niyogi and his colleagues looked at satellite data on rainfall between 2001 and2020 in 1056 cities and nearby rural areas across different climate regions. They found that more than 60 percent of cities were “wet islands”, while some other cities were “dry islands” . For example, Ho Chi Minh City and Sydney were among the wettest anomalies(反常),each with over100millimetres more rainfall than their surroundings per year.Seattle and Rio de Janeiro were among the 10 driest.Cities can boost or reduce rainfall in several ways. Heat absorbed by asphalt (沥青黄沙混合物) and buildings can cause updrafts that help rain clouds to form.The “roughness” of buildings can slow weather systems so they rain over urban areas for longer.Air pollution can seed clouds, although it can also reduce rainfall by cooling the air.Paved surfaces with little vegetation can reduce evaporation, leading to less damp in the air.The influence of these factors varies based on the size and location of cities.The team found larger, more populous cities were more likely to be wet islands.Cities in temperate, tropical and coastal regions tended to have the largest anomalies,while those in mountainous areas generally saw smaller differences.They also found the average difference between wet islands and their surroundings almost doubled over the study period,from 37 to62 millimetres more rainfall per year.Dry anomalies didn’t change. Niyogi says this is because of rapid urbanization combined with warming temperatures due to climate change, which increases the amount of water vapour in the air.Current weather and climate models don’t fully account for the influence of cities on rain. But Niyogi says it may eventually be possible for city planners to consider how their decisions affect rainfall.28. What is “wet island”in the study?A. Rural areas that flood frequently with rains.B. Climate regions along the tropical and coastal areas.C. Cities flooded because of rains in their surroundings.D. Urban areas that saw more rains than their surroundings.29. Which of the following is related to rainfall reduction?A. Asphalt and rough buildings.B. Strong updrafts.C. Paved surface with little vegetation.D. Heated air flow.30. What can be inferred from the research findings?A. Dry anomalies are not easy to change.B. Urban rainfall effects are increasingly serious.C. Mountainous areas do not have rainfall problems.D. Climate change is the main concern in urban rainfall control.31. What is a suitable title for the text?A. Cities are Becoming Victims of Global WarmingB. Development Turns Most Cities into “Wet Islands”C. Country Life Downplays the Harm ofUrban RainfallD. More Rain or Less Rain: It Depends on How Green our Life IsDWho are your best friends on campus? Are they the ones you encountered most often in class? Are they your fellows in drama club or debate society?Something that has to influence whether people become friends is simple physical proximity. And, in fact, the most lasting friendships are developed between people whose paths cross frequently.A number of studies have demonstrated the effects of proximity on who become friends. One was conducted at MIT in the 1940s. The incoming students were randomly assigned to 17 ten-unit apartment buildings that were isolated from other residential areas, and few of them knew one another beforehand.The investigators asked each resident to name the three people in the student housing project with whom they socialized most often. The effect of proximity was striking: two-thirds of those listed as friends lived in the same building as the respondent, even though those in the same building represented only 5 percent of the target residents.More striking still was the pattern of friendships within each building.Even though the physical distance between apartments was quite small—19 feet between the doorways of neighboring apartments and89 feet between those at the ends of each hallway—41 percent of those living in neighboring apartments listed each other as friends, compared with only 10 percent of those living at opposite ends of the hallway.Proximity leads to friendship because it facilitates chance encounters. If so, then pure physical distance should matter less than functional distance—the influence of an architectural layout to encourage or discourage contact between people. The MIT study shows just how important functional distance is. As the following Figure indicates, the stairs are positioned such that upstairs residents will encounter the occupants of apartments at the turn of the stairs much more often than the occupants of the middle apartments. And in fact, the residents of the two stair-end apartment formed twice as many friendships with their upstairs neighbors as those living in the middle apartments.高三英语试卷第 5 页（共10页）Figure of the MIT StudyThus, it’s functional distance more than physical distance that is decisive. Proximity promotes friendship because it brings people together. Actually, in later studies involving more diverse populations, the largest effects of proximity on friendship formation have been found between people of different races, ages, or social classes.32. What can be concluded from the MIT study?A. Friends play an important role in one’s daily life.B. Frequency of encounters decides the living distance.C. People with shared interests are more likely to befriends.D. The more often two people meet, the closer their relationship is.33. What method did the MIT researchers employ in their study?A. Case study.B. Recording analysis.C. In-lab observation.D. Online questionnaire.34. Which apartment’s residents in the Figure above may make most friends in the building?A. Apartment1.B. Apartment 2.C. Apartment 6.D. Apartment 7.35. Why did researchers carry out later studies?A. Previous study results are contradictory.B. Previous study methods lack scientific support.C. The sample in the previous study is not representative.D. The data in the previous study are not up-to-date enough.第二节七选五（共5 小题；每小题2.5 分，满分12.5 分。

2024年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数为无理数的是（）A．3B．3.14C．D．23 72．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D【答案】B【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．3．12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这12位同学成绩的（）A．平均数B．众数C．方差D．中位数【答案】D【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.故选D.【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.4．下列运算正确的是（ ）A =B ．=C ．5=D =5．分式方程213x x =-的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．1x =D ．0x =∴分式方程的解为3x =-，故选：B ．6．在ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若5AD =，10AC =，6BD =，BOC 的周长为（ ）A ．13B ．16C ．18D ．21【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出BO ，CO 的长，即可得出BOC 的周长．【详解】解：∵ABCD Y 的两条对角线交于点O ，10AC =，6BD =，5AD =，∴3BO DO ==，5AO CO ==，5BC AD ==，∴BOC 的周长为：35313BO CO BC ++=++=．故选：A ．7．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，E 是AC 上的一点，ED AB ⊥，垂足为D ，若4=AD ，则BE 的长为（ ）A ．B ．C ．185D ．38．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，点D 的坐标为()4,3，将菱形ABCD 向右平移m 个单位，使点D 刚好落在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则m 的值为（ ）A ．5B ．6C ．203D ．323【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过D 作DF x ⊥轴于点F ，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出A 的坐标后，代入反比例函数解析式求出k 的值，利用平移的性质得到点D 的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．【详解】解：过D 作DF x ⊥轴于点F ，如图所示：∴90DFO ∠=︒，∵D 点的坐标为()4,3，∴3DF =，4OF =，∴222234OD DF OF =+=+9．如图，在塔前的平地上选择一点，由A 点看塔顶的仰角是α，在A 点和塔之间选择一点B ，由B 点看塔顶的仰角是β．若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m ，9m AB =，45α=︒，50β=︒，则塔的高度大约为（ ）m ．（参考数据：sin 500.8︒≈，tan50 1.2︒≈）A ．55.5B ．54C ．46.5D ．45∴9CD AB ==，EF AC =∵45GCE α∠==︒，∴设GE EC x ==，则ED ∴tan tan GE GDE ED β∠=∠=解得：54x =，10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠，1c >），经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．则下列结论：①0abc <；②关于x 的方程2ax bx c a ++=无实数根；③当0x >时，y 随x 增大而减小；④0a b +=.其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题112x 应满足的条件是 ．【答案】4x ≥-【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的概念运算求解即可．【详解】解：∵40x +≥，∴4x ≥-，故答案为：4x ≥-．12．因式分解34a a -=．【答案】()()2121a a a +-【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【详解】解：()()()324412121a a a a a a a -=-=+-．故答案为：()()2121a a a +-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ADC ＝60°，∠B ＝30°，若CD ＝3cm ，则BD ＝ cm ．【答案】6【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD ．【详解】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝60°，∴∠BAD ＝∠ADC ﹣∠B ＝30°，∴AD ＝BD ，∵∠C ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∴BD ＝AC ＝2CD ＝6cm ，故答案为：6．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．14．关于x 的一元二次方程()21230k x x --+=有实数根，则k 的取值范围是 ．15．如图，ABCD Y 绕点A 逆时针旋转30︒，得到AB C D ''' （点B '与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点，点D ¢与点D 是对应点），点B '恰好落在BC 边上，则C ∠的度数为 ︒．【答案】105【分析】由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到75B ∠=︒，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出C ∠的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，30BAB '∠=︒，AB AB '=，B AB B '∴∠=∠，180BAB B AB B ''∠+∠+∠=︒ ，75B ∴∠=︒，ABCD ，AB CD ∴∥，180B C ∠+∠=︒∴，105C ∴∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得HEF ，若延长FH 交边BC 于点M ，则DH 的取值范围 ．三、解答题17．解方程：x 2+6x+5=0．【答案】x 1=-1，x 2=-5【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【详解】x 2+6x+5=0 (x+1)(x+5)=0∴x+1=0或x+5=0∴x 1=-1．x 2=-5【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ADC ∠和ABC ∠．求证：AD CD =，AB CB =．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，进而利用ASA 证明ABD CBD ≌△△，据此可证明AD CD =，AB CB =．【详解】证明：∵BD 平分ADC ∠和ABC ∠，∴ADB CDB ABD CBD ==∠∠，∠∠，又∵BD BD =，∴()ASA ABD CBD △△≌，∴AD CD =，AB CB =．19．已知2111a T a a =--+．(1)化简T ；(2)已知反比例函数y =的图象经过点()1,1A a a -+，求T 的值．20．“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．(1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；(2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．21．某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？【答案】(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元(2)这个文具店至少购进甲种圆规80个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：（1）设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x 、y 的二元一次方程组，求解即可；（2）设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m 的不等式，求解即可．【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x 元，乙圆规每个需要y 元，根据题意，得10303403050700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得108x y =⎧⎨=⎩，答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；（2）解：设购进甲圆规m 个，则购进乙圆规()100m -个，根据题意，得()()()1510128100480m m -+--≥，解得80m ≥，答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．22．如图，二次函数()()()1304y x a x a a =-+->的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点E ．(1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x 轴于点D ，并标记抛物线的顶点C ，连接AE ，且AE 与对称轴相交于点F ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图形中，若2AO OE =，求CAD ∠的大小及AF 的值．（2）解：把0x =代入∴234OE a =，把0y =代入(14y x =-+23．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D ．(1)求证：AO 平分BAC ∠；(2)若12BC =，3sin 5BAC ∠=，求AC 和CD 的长．∵AB AC =，OB OC =∴A ，O 在线段BC 的垂直平分线上，∴AH BC ⊥，又∵AB AC =，∴AO 平分BAC ∠；∴CE 是O 的直径，∴90EBC ∠=︒，BC ⊥∵ BCBC =∴E BAC ∠=∠，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．24．如图，在矩形ABCD 和矩形AGFE 中，4=AD ，2AE =，AB =,AG ．矩形AGFE 绕着点A 旋转，连接BG ，CF ，AC ，AF ．(1)求证：ABG ACF ∽；(2)当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②在ACF △内是否存在一点P ，使得CP AP ++的值最小?若存在，求CP AP +的最小值；若不存在，请说明理由．此时AC AE CE +=，90CEF ∠=︒①∵4=AD ，343AB AD ==，∴228AC AB BC =+=，BAC ∠=由旋转可得：30PAF KAL FAK ∠=∠=︒-∠，∴AKL APF ∽，∴3KL AK PF AP==，∴3KL PF =,过P 作PS AK ⊥于S ，则 12PS AP =，32AS AP =3PS25．已知二次函数22y ax ax c =++图象与x 轴交于点A 和点()3,0B -，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求点A 的坐标；(2)若点D 是直线BC 上方的抛物线上的一点，过点D 作DE y ∥轴交射线AC 于点E ，过点D作DF BC ⊥于点F ，求DE -的最大值及此时点D 坐标；(3)在（2）的条件下，若点P ，Q 为x 轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足90PBQ ∠=︒，试求点D 到直线PQ 的最大距离．（3）解：设()223P s s s Q --+，，设直线PB 解析式为y k x b ''=+，∴22330sk b s s k b ⎧+=--+⎨-+=''''⎩，∴()()2312333s s s s k s s -+---+==++'∴直线PB 解析式为()1y s x =-++【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（三角形得到2=，解（3）的关键是推出直线DH DF。

广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。

2024届广州市高三年级调研测试语文试题评分细则语言文字运用部分评分补充细则及样例18．请在文中画横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密，每处不超过10个字。

（4分）【参考答案及评分建议】A处：就要容易得多B处：与其说是发现新品种[每处2分。

意思对即可。

如有其他答案，言之成理，可酌情给分。

]【补充细则】1.A处，2分；其中，内容贴切，1分；逻辑严密，1分。

内容上，所写句子要体现出与前句“在大型兽类和鸟类中发现新的物种是很困难的，几率较小”相反的结果，可答成“容易”“概率大”“可能性大”“不难”等；如答“难度更大”“难上加难”“几率低”等，不给分。

逻辑上，所写句子要能体现与“在大型兽类和鸟类中发现新的物种”相比较的语意，可答成“要（容易）得多”“相对（容易）”“没有那么（难）”“比较（容易）”“更（容易）”“（容易）一些”；如答“十分”“很”等绝对化的词，不给分。

2.B处，2分；其中，内容贴切，1分；逻辑严密，1分。

内容上，所写句子应总结上文“学者在对物种的样本进行分子测序中发现了新物种”的内容。

答“发现了新物种”“找到了新的品种”等，1分；答“调查新物种”“研究新样本”“找到类似物种”“研究不同样本”等，不给分。

逻辑上，所写句子要与后文的“不如说”搭配，表示选择关系，可答为“与其说”“比起说”等；如答“与其”“如果说”，不给分。

3.补写的句子如果出现语病和关键词出现错别字，最高扣1分。

字数超出10个字，扣1分且最高扣1分。

【评分示例】A处满分示例：示例1：则更（1分）为容易（1分）示例2：概率（1分）也会更高（1分）示例3：则可能性（1分）更大（1分）示例4：难度（1分）相对低（1分）1分示例：示例1：就更（1分）为简单示例2：概率（1分）变得小（或低）示例3：发生的概率（1分）相对高（1分）（“发现新的昆虫物种发生的概率”表达有语病，扣1分）0分示例：示例1：可谓难上加难示例2：的难度远大于大型动物示例3：的个体更小B处满分示例：示例1：与其说（1分）是找到新物种（1分）示例2：与其说（1分）发现新物种（1分）示例3：与其说（1分）寻找到新物种（1分）1分示例：示例1：与其说（1分）是分类研究示例2：比起发现新物种（1分）示例3：与其说（1分）发现类似物种0分示例：示例1：碰到特殊物种示例2：当分类研究有了新发现示例3：说是分子测序不一样示例4：完成了分类研究19．文中第三段有三处表述不当，请指出其序号并做修改，使语言表达准确流畅，逻辑严密。

广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．不等式260x x +-<的解集是（）A ．()6,1-B ．()1,6-C ．()2,3-D ．()3,2-2．设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,2]-∞C ．(1,)-+∞D ．[1,2]-3．小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A ．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B ．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C ．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D ．丙次购买葡萄的平均价格无法比较4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则在R 上()f x 的表达式为A ．(2)x x --B ．(2)x x -C ．(2)x x -D ．(2)x x -5．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意的x ∈R 都有()()2=f x f x -6．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题7．已知函数2(3)2,1()(1),1a x a x f x ax a x x -+<⎧=⎨++≥⎩在R 上是单调的函数，则实数a 的取值范围是（）.A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(]3,4C ．(]1,3,43⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．(]1,3,43⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 8．设()()224f x x ax x R =-+∈，则关于x 的不等式()0f x <有解的一个必要不充分条件是（）A ．20a -<<B ．2a <-或2a >C ．4a >D ．2a ≥二、多选题9．下列函数中值域为[0,+∞）的是（）A ．y =B ．221y x x =-+C ．1y x=-D ．3y x =10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．11a b<B ．22ac bc >C ．b a a b<D ．22a ab b >>11．已知a ，b 都是正实数，且4a b +=.则下列不等式成立的有（）A ．4ab ≤B ．123a b+≥+C2≤D ．228a b +≥三、填空题12．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x ≠，都()()21210f x f x x x -<-，且(1)0f =，则不等式()03<+f x x 解集是．13．有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数”可推广为：“函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数”.据此，对于函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可以判定：（1）函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是；（2）123202020212022202320232023202320232023g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．四、解答题14．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)2230x x -+->；(3)112x x-≤-．15．已知函数22()1x f x x =+.(1)求1()(3)3f f +，1()(2)2f f +的值；(2)探索1()()(0)f x f x x+≠的值并给出理由；(3)利用（2）的结论求表达式：11()((1)(2)(2022)(2023)20232022f f f f f f +++++++ 的值.16．解下列不等式：(1)2111022x x +-≥；(2)()()234350x x ---+<；(3)31132x x +≤-.17．已知不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或>2.(1)求,a b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.18．（1）化简51212log 450317(0.027)21)579--⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2.）若函数()y f x =的定义域为[]11-，，求函数1144y f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域。

2023-2024学年广州第二学期九年级综合训练语文本综合训练卷分选择题和非选择题两部分，共五大题20小题，另外设有附加题。

共8页，满分120分。

用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；同时填写考点考场号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。

2．选择题的答案用2B铅笔把答题卡上选择题答题区中对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答案不能写在试卷上。

3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域：不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．学生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本问卷和答题卡一并交回。

第一部分 积累与运用（共24分）一、（本大题共5小题，满分16分）1．下列词语中，每对加点字的读音都相同的一项是（ ）（2分）A.蜗．行／笑涡．均．匀／千钧．之力B.旗帜．／炽．热 扭绞．／月光皎．洁C.恐吓．／惊吓． 累．赘／伤痕累．累D.侍．候 伺．机威胁．／两肋．插刀2．下列词语中，没有错别字的一项是（ ）（2分）A.顷刻 血雨腥风瘦峭不屑置辨B.侦缉 胸有成竹婉惜 无精打彩C.囫囵 身临其境契合雕梁画栋D.要决 望眼欲穿驾驭意想天开3．下列句子中，加点词语使用恰当的一项是（ ）（2分）A.他认真听讲、努力学习、认真完成作业，终于取义成仁．．．．，在考试获得了理想成绩。

B.同学们毕业后再回母校，最喜欢和班主任小王老师坐在操场聊天，享受天伦之乐．．．．。

C.虽然这个玩具摔碎了，但他妙手回春．．．．，一会儿工夫就把摔碎的玩具修得完好如初。

D.生活中，那些善于观察、勤于思考的人大都文思敏捷，写起文章来总是一气呵成．．．．。

4．下列句子中，没有语病的一项是（ ）（2分）A．“奋斗者”号四年达成了多次下潜任务，其中深度超过一万米的达25次。

广州中考试题及答案广州中考，即广州市初中毕业生学业考试，是广东省广州市初中毕业生升入高中阶段学校的重要选拔考试。

中考试题及答案通常包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理等科目。

由于每年的试题和答案都会有所变化，以下内容将提供一个大致的框架和一些可能的题型示例，以供参考。

# 语文试题及答案示例一、选择题1. 下列词语中，使用正确的一项是：A. 一诺千金B. 一诺千斤C. 一诺万金D. 一诺万斤答案：A2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 他不仅学习好，而且品德高尚。

B. 他不仅学习好，而且品德高尚，深受老师和同学的喜爱。

C. 他的学习成绩不仅好，而且品德高尚。

D. 他的学习成绩不仅好，而且品德高尚，深受老师和同学的喜爱。

答案：D二、阅读理解阅读以下文章，回答问题：（文章内容略）1. 文章的中心思想是什么？答案：（根据文章内容给出中心思想的概括）2. 作者通过哪些事例来支持他的观点？答案：（列举文章中的关键事例）三、作文题目：《我的梦想》要求：不少于600字，不得抄袭。

（作文内容略）# 数学试题及答案示例一、选择题1. 下列哪个选项是二次方程的解：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2（假设方程为 x^2 - 1 = 0）答案：A、B二、填空题1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。

答案：5（根据勾股定理）三、解答题1. 解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0答案：x = (5 ± √13) / 4# 英语试题及答案示例一、听力理解（听力材料略）1. What is the man's occupation?A. TeacherB. DoctorC. EngineerD. Lawyer答案：C二、阅读理解（文章内容略）1. What is the main idea of the passage?A. The importance of education.B. The benefits of exercise.C. The effects of technology.D. The role of communication.答案：B三、书面表达Write an email to your friend about your last weekend. （作文内容略）# 科学综合试题及答案示例一、选择题1. 下列哪个选项不是水的物理性质？A. 无色无味B. 沸点为100℃C. 能溶解许多物质D. 由氢和氧组成答案：D（化学性质）二、实验题1. 描述如何使用显微镜观察洋葱表皮细胞。

2024届初三毕业班综合测试化学本试卷共8页，20小题，满分90分。

考试时间60分钟。

注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后。

将试卷和答题卡一并交回。

相对原子质量：H-1 C-l2 O-16 Na-23 S-32 K-39 Fe-56 Cu-64 Ba-137一、选择题：本题包括14小题，每小题3分，共42分。

每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。

错选、不选、多选或涂改不清的，均不给分。

1. 下列《天工开物》记载的工艺中涉及化学变化的是A. 棉纱织布B. 海水晒盐C. 烧制陶瓷D. 甘蔗榨汁2. 安全重于泰山。

加油站、面粉加工厂需张贴的图标是A. B. C. D.3. 下列不符合建设绿美广州的做法是A 工业废水直接排放B. 公共交通出行C. 回收利用废弃塑料D. 大力植树造林4. 下列膳食搭配中，蛋白质含量最丰富的一组是A. 蔗糖、豆类、植物根茎、坚果 B. 瘦肉、鱼、牛奶、鸡蛋C. 动物油、谷类、奶油、蛋黄 D. 蔬菜、植物油、水果、盐5.下列关于能源的说法不正确的是.A. 将煤块碎成煤粉可以提高煤的利用率B. 使用车用乙醇汽油可适当节省石油资源C. 氢气燃烧热值低，生活生产中未大量使用氢能D 开发利用风能等清洁能源，有利于缓解温室效应6. 我国发现并申报的新矿物“铈钽易解石”获批通过。

钽()在航空航天材料等领域具有重要应用。

广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若B A ⊆，则=a （ ）A ．2B ．1C ．2−D ．1−2．已知复数z 满足|34i |1z −+=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若35242a a a a =，则42S S =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．24．已知正四棱台1111ABCD A B C D −的上､下底面边长分别为1和2，且11BB DD ⊥，则该棱台的体积为（ ） ABC ．76D ．725．设B ，2F 分别是椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的右顶点和上焦点，点P 在C 上，且222BF F P =，则C 的离心率为（ ）AB13C ．12D6．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin(tan )f x x =B ．()tan(sin )f x x =C ．()cos(tan )f x x =D ．()tan(cos )f x x =7．已知32a =，35b =，58c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a << D ．<<b c a8．已知,αβ是函数π()3sin(2)26f x x =+−在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的两个零点，则()cos αβ−=（ ）A ．23BCD．69．已知向量a ，b 不共线，向量a b +平分a 与b 的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A ．0a b ⋅=B ．()()a b a b +⊥−C ．向量a ，b 在a b +上的投影向量相等D ．a b a b +=−10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）A ．13()5P A =B ．11()50P B =C ．()1950P B A =D ．22()11P A B =11．已知直线y kx =与曲线ln y x =相交于不同两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，曲线ln y x =在点M 处的切线与在点N 处的切线相交于点00(,)P x y ，则（ ）A ．1k e<<0 B ．120e x x x = C ．1201y y y +=+ D ．121y y <三、填空题12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n = . 13．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W （单位：克）与脉搏率f （单位：心跳次数/分钟）的对应数据(,)(1,2,...,8)i i W f i =，根据生物学常识和散点图得出f 与W 近似满足kf cW =（,c k 为参数）.令ln i i x W =，ln i i y f =，计算得8x =，5y =，821214i i y ==∑.由最小二乘法得经验回归方程为7.4y bx =+，则k 的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i y (1,2,...,8)i =，若残差平方和()8210.28i ii y y =−≈∑，则决定系数≈2R .（参考公式：决定系数()()221211==−=−−∑∑ni ii n ii y y R y y ）14．已知曲线C 是平面内到定点(0,2)F −与到定直线:2l y =的距离之和等于6的点的轨迹，若点P 在C 上，对给定的点(2,)T t −，用()m t 表示PF PT +的最小值，则()m t 的最小值为 .15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+−. (1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长. 16．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值. 17．已知函数()cos sin f x x x x =+，(π,π)x ∈−. (1)求()f x 的单调区间和极小值； (2)证明：当[0,π)x ∈时，2()e e x x f x −≤+.18．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求AB 的取值范围：(3)已知点P 是C 上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r +=>，使得当过点P 能作圆O 的两条切线PM ，PN 时（其中M ，N 分别是两切线与C 的另一交点），总满足PM PN =若存在，求出圆O 的半径r ：若不存在，请说明理由.19．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由*(3,N )n n n ≥∈位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若3n =，用X 表示A 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X 的均值； (2)记A 团队第*(11,N )k k n k ≤≤−∈位成员上场且闯过第二关的概率为k p ，集合*3N 128k k p ⎧⎫∈<⎨⎬⎩⎭中元素的最小值为0k ，规定团队人数01n k =+，求n .参考答案：1．A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由{}21,3,A a =，得21≠a ，即1a ≠±，此时21,23a a +≠+≠，由B A ⊆，得22a a =+，而1a ≠−，所以2a =. 故选：A 2．D 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解. 【详解】令i,,R z x y x y =+∈，由|34i |1z −+=，得22(3)(4)1x y −++=， 点(,)x y 在以(3,4)−为圆心，1为半径的圆上，位于第四象限， 故选：D 3．C 【分析】根据等比数列的性质可得235242a a q a a ==，进而根据求和公式即可化简求解. 【详解】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若35242a a a a =，即235242a a q a a ==， 故4124212(1)113(1)1a q S qq a q S q−−==+=−−． 故选：C ． 4．B 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可.【详解】对正四棱台1111ABCD A B C D −，连接11,D B DB ，取11,D B DB 中点分别为,O H ，连接1,OH D H ，如下所示：因为1111ABCD A B C D −为正四棱台，则四边形1111,ABCD A B C D 均为正方形，且OH 垂直于上下底面，11DD BB =，易知11D B //BH ，11D B BH ==11D B BH 为平行四边形，则1BB //1D H ，且11BB D H =，因为11DD BB ⊥，则11DD D H ⊥，又111DD BB D H ==，且12DH DB == 由22211D D D H DH +=，即2122D H =，解得11D H =；由OH ⊥面1111A B C D ，1D O ⊂面1111A B C D ，则1OH D O ⊥；则2OH =， 又正方形1111A B C D 的面积为1，正方形ABCD 的面积为4，故正四棱台1111ABCD A B C D −的体积(1143V =+=故选：B. 5．A 【分析】求出点2,B F 的坐标，借助向量坐标运算求出点P 坐标，代入椭圆方程求解即得. 【详解】令椭圆半焦距为c ，依题意，2(,0),(0,)B b F c ，由222BF F P =，得21(,)(,)222b cF P c b =−=−，则3(,)22b c P −，而点P 在椭圆上，于是2219144c a +⋅=，解得3c e a ==，所以C 故选：A6．D 【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可. 【详解】观察图象可知函数为偶函数，对于A ，()()()()()()sin tan sin tan sin tan f x x x x f x −=−=−=−=−，为奇函数，排除； 对于B ，()()()()()()tan sin tan sin tan sin f x x x x f x −=−=−=−=−，为奇函数，排除；同理，C 、D 选项为偶函数，而对于C 项，其定义域为πππ,π22k k ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，不是R ，舍去，故D 正确. 故选：D 7．C 【分析】结合对数函数单调性比较a ，b 与a ，c 的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较b ，c 的大小，即可求解．【详解】由题意得3log 5b =，5log 8c =，因为32333log 3log log 52a b ====，即a b >，32553log 5log log 82a ===，即a c >， 因为2222222lg5lg5(lg5)(lg5)4(lg5)lg 25×=1lg3+lg8lg3lg8lg3?lg8lg 24lg 24()2b c =>==>，所以b c >，故a b c >>． 故选：C ． 8．A【分析】根据三角函数的对称性可得π3αβ+=，进而代入化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】令()0f x =，得ππ23sin(2)2sin(2)663x x +=⇒+=， x ∈π(0,)2，ππ2(,66x ∴+∈7π)6， 因为,αβ是函数π()3sin(2)26f x x =+−在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的两个零点，则,αβ是π2sin(2)63x +=在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的两个根，故πππ22π663αβαβ+++=⇒+=，故π3αβ=−，则()ππππcos cos ()cos 2cos 23326αβββββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−−=−=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2sin 263β⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用三角函数的对称性得到,αβ的关系，从而得解. 9．BC 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得||||a b =，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.【详解】作向量,OA a OB b ==，在OACB 中，=+OC a b ，BA a b =−，由向量a b +平分a 与b 的夹角，得OACB 是菱形，即||||a b =， 对于A ，a 与b 不一定垂直，A 错误；对于B ，220()()a b a b a b +⋅−=−=，即()()a b a b +⊥−，B 正确；对于C ，a 在a b +上的投影向量222()()()||||a ab a a ba b a b a b a b ⋅++⋅+=+++， b 在a b +上的投影向量22222()()()()||||||b a b b a b a a b a b a b a b a b a b a b ⋅++⋅+⋅+=+=++++，C 正确； 对于D ，由选项A 知，a b ⋅不一定为0，则||a b +与||a b −不一定相等，D 错误. 故选：BC 10．ABD 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==， 所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=，故A 正确、B 正确、C 错误；()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====，故D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】对于A ，构造函数()ln xf x x=，计算即可判断；对于B ，写出A B ，点处的切线程联立并化简得2101221ln ln x x x x x x x −=−，而2121ln ln x x k x x −=−，计算即可判断；对于C ，根据斜率相等可得2112ln ln x x x x =，00(,)P x y 为两切线的交点代入化简得2211021ln ln 1x x x x y x x −+=−，再计算可得1201y y y +=+；对于D ，根据2121ln ln y y y y −−.【详解】令()ln xf x x=，则()1ln x f x x −'=，故()0,e x ∈时，()f x 递增；()e,x ∞∈+时，()f x 递减， 所以()f x 的极大值()1e ef =，且1x >，()0f x >，因为直线y kx =与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，所以y k =与()f x 图像有2个交点， 所以10e<<k ，故A 正确； 设1122(,),(,)M x y N x y ，且121e x x <<<，可得1122ln ,ln kx x kx x ==， ln y x =在,M N 点处的切线程为11221211ln (),ln (),y x x x y x x x x x −=−−=− 1112221ln ()1ln ()y x x x x y x x x x ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩，得002112ln ln x x x x x x −=−，即2121012212112ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x x −−==−−， 因为2121ln ln x x k x x −=−，所以012x x x k =，即1201x x x k=，故B 错误；因为112112ln ln y x x k x x x ===，所以2112ln ln x x x x =， 因为00(,)P x y 为两切线的交点， 所以21211122210101212121ln ln ln ln ln ln 1ln 1ln 11x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x −−+−=+−=+−=−−−， 即2211021ln ln 1x x x x y x x −=−−，所以2211021ln ln 1x x x x y x x −+=−，所以()()122121112212221112120212121ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x y x x x x x x +−−+−−+=+====+−−−，故C 正确；因为11kx y =，所以11ln ln ln k x y +=，所以11ln ln k y y +=， 同理得22ln ln k y y +=，得1122ln ln y y y y −=−，即21211ln ln y y y y −=−，因为2121ln ln y y y y −>−，所以121y y <，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断B ，关键在于根据切线方程联立求得2101221ln ln x x x x x x x −=−，而A B，两点得斜率即为直线得斜率得2121ln ln x x k x x −=−，化简可得；判断C ，根据斜率相等得2112ln ln x x x x =，根据00(,)P x y 在切线上，代入化简计算可得2211021ln ln 1x x x x y x x −+=−，计算得22111221ln ln x x x x y y x x −+=−后即可判断，判断D ，关键在于利用不等式2121ln ln y y y y −>−行计算化简即可判断. 12．3 【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n −=−=+−−−−=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =； 则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 又9,1y x x x=+≥在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.13． 0.3− 0.98 【分析】根据回归直线方程7.4y bx =+必过样本中心点(),x y 求出b ，即可求出k ，再根据决定系数公式求出2R .【详解】因为k f cW =，两边取对数可得ln ln ln f c k W =+， 又ln i i x W =，ln i i y f =，依题意回归直线方程7.4y bx =+必过样本中心点(),x y ， 所以587.4b =+，解得0.3b =−，所以0.3k =−，又()()()8822211882222110.281110.98214858i ii ii i iii i y y y y R y y yy====−−=−=−=−=−⨯−−∑∑∑∑.故答案为：0.3−；0.98 14．2 【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即得.【详解】设(),P x y ，当2y ≥时，||26PF y +−=8y −，化简得：[]26020,2,3x y y =−∈，即21320y x =−+；当2y <时，||26PF y +−=4y =+， 化简得2412x y =+，[)3,2y ∈−，即2134y x =−，对于曲线C 上的任意一点P ，||||||PF PT TF +≥，当且仅当P 是线段TF 与曲线C 的交点时取等号，而||2TF ≥，当且仅当2t =−，即点(2,2)T −−时取等号， 因此||||||2PF PT TF +≥≥，当且仅当点,P T 重合于(2,2)−−时取等号， 所以()m t 的最小值为2. 故答案为：2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 15．(1)2π3；(2)3+【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果； （2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得,AB BC ，即可求得三角形周长.【详解】（1）由222)S a c b =+−，则1sin 2cos 2ac B ac B ⋅=⋅，tan B =又()0,πB ∈，故2π3B =. （2）由（1）可知，2π3B =，又π2ABD ∠=，则π6CBD ∠=； 由题可知，22AD DC ==，故()11213333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+−=+，所以2211103333BA BD BA BC BA c ac ⎛⎫⋅=⋅+=−= ⎪⎝⎭，因为0c ≠，所以a c =，π6A C ==，在Rt △ABD 中，πcos6a AD =⋅=，故ABC 的周长为33AB BC AC ++=+ 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析；【分析】（1）取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.（3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）取PC 中点E ，连接,ME BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得1//,2ME DC ME DC =， 又1//,2BN CD BN CD =，则//,ME BN ME BN =，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是//MN BE ，而MN ⊄平面,PBC BE ⊂平面PBC ， 所以//MN 平面PBC .（2）过P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接DQ ，由π,,4DCB PCB CD PC QC QC ∠=∠===，得QCD ≌QCP △，则π2DQC PQC ∠=∠=，即DQ BC ⊥，而2224PQ DQ PQ DQ PD ==+==， 因此PQ DQ ⊥，又,,DQBC Q DQ BC =⊂平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .（3）由（2）知，直线,,QC QD QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线,,QC QD QP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(C P D M A −， 22(2,,),(2,0,0),(0,22CM AD DP =−==−， 设平面PAD 的一个法向量(,,)n x y z =，则2020n AD x n DP ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，令1y =，得(0,1,1)n =，设CM 与平面PAD 所成角为θ，||2sin |cos ,|||||3CM n CM n CM n θ⋅=〈〉===⋅所以CM 与平面PAD 17．(1)递增区间为ππ(π,),(0,)22−−，递减区间为ππ(,0),(,π)22−，极小值为1；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数求出单调区间及极值. （2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.【详解】（1）函数()cos sin f x x x x =+，(π,π)x ∈−，求导得()sin sin cos cos f x x x x x x x =−++='，当ππ2x −<<−时，()0,()'>f x f x 单调递增；当π02x −<<时，()0,()'<f x f x 单调递减；当π02x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增；当ππ2x <<时，()0,()'<f x f x 单调递减， 所以()f x 的递增区间为ππ(π,),(0,)22−−；递减区间为ππ(,0),(,π)22−，()f x 的极小值为()01f =.（2）当[)0,πx ∈时，令()e e 2(cos sin )x x F x x x x −=+−+， 求导得()e e 2cos e e 2x x x x F x x x x −−'=−−≥−−，令()e e 2x x x x ϕ−=−−，求导得()e e 220x x x ϕ−'=+−≥=，函数()ϕx 在[)0,π上单调递增，则()()00x ϕϕ≥=，()0,()F x F x '≥在[)0,π上单调递增， 因此()(0)0F x F ≥=，所以2()e e x x f x −≤+. 18．(1)2213y x −=(2)AB ≥(3)存在，2【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得22332k m +=，根据弦长公式，结合不等式即可求解，（3）根据圆心到直线的距离可得22332n p +=，进而根据数量积运算可判断OP OM ⊥，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得PO MN ⊥,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径.【详解】（1）由题意可得2222224231c a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为22:13y C x −= （2）当直线l 斜率不存在时，设()(),,,A B A B A x y B x y −,将其代入双曲线方程2213AAy x −=，又220AA OA OB x y ⋅=−=，解得A y =此时2A AB y ==当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ,联立()22222323013y kx mk x kmx m y x =+⎧⎪⇒−−−−=⎨−=⎪⎩， 故()()()21222122222222302333Δ412131230k km x x k m x x k k m m k m k ⎧−≠⎪⎪+=⎪−⎪⎨−−⎪=−⎪⎪=++−=−+>⎪⎩， 则()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()222221212223211033m kmkx xkm x x m kkm m k k−−=++++=+++=−−， 化简得22332k m +=，此时()2Δ690k =+>，所以12AB x =−=== 当0k =时，此时AB =当0k ≠时，此时AB =222930,k k k −≠∴+>，故2216096k k >+−，因此AB =>综上可得AB ≥（3）解法一：当直线:PM y nx p =+与2232x y +=相切时，圆心到直线的距离22332d r n p ===⇒+=， 设设()()3444,,,P x y M x y ,类似（2）中的计算可得3434OP OM x x y y ⋅=+()()()()22343434341x x nx p nx p k x x km x x m =+++=++++ ()222222223233210333p np n p nnp p n n n −−+−=+++==−−−， 所以OP OM ⊥，由双曲线的对称性，延长MO 交双曲线于另一点M ', 则MO M O ='，且OP OM '⊥，根据轴对称性可得MP M P =',且直线PM '与2232x y +=也相切，即M '即为N , 符合题意，当PM 或PN 斜率不存在时，此时:PN x =，:PM y =故存在这样的圆2232x y +=解法二：设()00,P x y ，2213y x −=， 由于,PM PN 为圆的切线，PO 平分MPN ∠，且PM PN =,所以PO MN ⊥, 设过点P 与圆O 相切的直线方程为()00,y y k x x −=−（直线斜率存在时）22222200002r y kx y k x r k r =⇒−+=+，()22222000020xr k kx y y r −−+−=，将两根记为12,k k ，2200012122222002,x y y r k k k k x r x r−+==−−()()()010222222211010100100232223013y y k x x k x k x k y x k x y k x y y x ⎧−=−⎪⇒−+−+−−−=⎨−=⎪⎩， 222210010010100100010222111232326,,333M M M k x y k x y k y k x x k y x x x x y k y k k k −−−−−−=⇒==+−−− 同理可得2202002002022222326,,33N M k y k x x k y xx y k y k k −−−==+−−故200100201022212220200101002221262633232333MN k y x k y x k y k y k k k k y k x x k y k x x k k ⎛⎫−−+−+ ⎪−−⎝⎭=−−−−−−−()()()()()()()()012210210212102102121012216186626y k k k k x k k x k k k k y k k y k k k k x k k k k +−−−−−=−+−−+−()()2200000022220120021000220000021012000022220026186618612626626x y y r y x x y k k x x k k x r x r y y r x y y y k k x k k x y y x x r x r−−−+−−−−===−−+−++−−− ()()22200000222000063241238y y x x r y x y y x y r −+=−−−220002000182431682x x r y r r y y r x −+=−⇒=⇒=−− 故存在这样的圆2232x y +=当PM 或PN斜率不存在时，此时:PN x =，:PM y =故存在这样的圆2232x y +=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将AB 用k 表示出来，然后再利用基本不等式长最值． 19．(1)6332； (2)7.【分析】（1）求出X 的所有可能值及各个值对应的概率，再求出期望.（2）利用互斥事件的概率公式，求出第k 位成员闯过第二关的概率，再列出不等式求解即得.【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为1,2,3，()()3131331191,24284842232P X P X ==⨯===⨯+⨯⨯=，()39113183632P X ==−−=，所以X 的分布列为：数学期望()3933638163232E X =++=. （2）令31,42p q ==，若前()1k −位玩家都没有通过第一关测试，其概率为1111313()(1)()44224k k k kp p pq −−=−=⋅⋅=⋅，若前()1k −位玩家中第()11i i k ≤≤−位玩家才通过第一关测试，则前面1i −位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)i p −−，第i 位玩家通过第一关测试， 但没有通过第二关测试，其概率为()1p q −， 第1i位玩家到第1k −位玩家都没有通过第二关测试，其概率为1(1)k i q −−−，所以前面()1k −位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：1111112111()(1)(1)(1)(1)()1k k i k i k i k i i p p p p q q q pq q q −−−−−−−==−=−−−=−⋅−∑∑1111111111[1()31131312()()()[1(])18228222]12k k k i k k k i −−−−−−+=⋅−==⋅⋅=−−∑，因此第k 位成员闯过第二关的概率12]311(([()()2))24k kk k k p p p =+=−，由3113[()()22412]8k k −<，得111()()2464k k −<，解得6k ≥，则06k =，所以7n =. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.答案第17页，共17页。

2024学年高三年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面和第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知全集()U{?N010},{1,3,5,7}U A B x x A B==∈≤≤=∣，则B=（）A. {1,3,5,7}B. {2,4,6,8}C. {1,3,5,7,9}D. {0,2,4,6,8,9,10}2. 已知复数3i12iz−=+（其中i为虚数单位），则z=（）A.B.C.D.3. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（）A9升 B. 10.5升 C. 12升 D. 13.5升4. 已知11sin cos,cos sin23αβαβ+=−=，则sin()αβ−=（）A. 6772B.6772− C.5972D.5972−5. 已知函数π()sin()(0,0π),6f x x xωϕωϕ=+><<=和2π3x=是()f x相邻的两个零点，则（）. .A. π3ϕ=B. ()f x 在区间5π11π,1212上单调递减 C. 5π()6f x f x−=−D.直线y x =−+是曲线()y f x =的切线 6. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与抛物线2:2(0)C y px p =>，椭圆E 与抛物线C 交点的连线经过椭圆E 的右焦点，抛物线C 的准线经过椭圆E 的左焦点，则椭圆E 的离心率为（ ）A.1−B.C.D.7. 已知函数()()22,42ln 3,4x x ax a x f x x x −−−< = +−≥ ，数列{}n a 满足()()*n a f n n =∈N ，且数列{}n a 是单调递增数列，则a 取值范围是（ ） A. 255,72−−B. 32,49−−C. 32,39−−D. 253,72−−8. 已知函数()e ,()ln x f x x g x x x =+=+，若()()12f x g x =，则21x x 的最小值为（ ） A. e −B. 1e−C. 1−D. 二、多项选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9. 对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X 服从正态分布()272,8N ，女生成绩Y 服从正态分布()274,6N ．则（ ）A. (86)(86)P X P Y ≤<≤B. (80)(80)P X P Y ≤>≤C. (74)(74)P X P Y ≤>≤D. (64)(80)P X P Y ≤=≥10. 设函数()()23f x xx =−，则（ ）A. 2x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()0214f x <+≤C. 当01x <<时，()()2f x f x>D. 当10x −<<时，()()1f x f x <−11. 在圆锥SO 中，母线SA l =，底面圆半径为r ，圆锥SO 的侧面积为3π，则（ ）的的A. 当32r =时，圆锥SOB. 当32r =时，过顶点SC. 当3l =时，圆锥SO 能在棱长为4的正四面体内任意转动D. 当3l =时，棱长为1的正四面体能在圆锥SO 内任意转动三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则1212(2)(32)e e e e +⋅−+=____________． 13. 在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为____________．14. 如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，2,13,21,43,13,42,12,a a a a a ==⋅=，则7,8a =____________，,11nn i j i j a ==∑∑____________．1,1a 1,2a 1,3a … 1,n a 2,1a 2,2a 2,3a … 2,n a… … … … …,1n a ,2n a ,3n a … ,n n a四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，Csin cos C a C c b −=−． （1）求A ；（2）若7,a ABC =△，求ABC 的周长. 16. 如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是平行四边形，PAD △是正三角形，60,24BAD PB AB AD ∠=°===．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ; （2）求二面角B PC D −−的余弦值．17. 在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求a 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动时间分配，在(]14,16，(]16,18两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在(]14,16内的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“()8P k ”表示这8名学生中恰有k 名学生户外运动时间在(]8,10内的概率，当()8P k 最大时，求k 的值. 18. 已知函数()21e 2xf x ax x =−−． （1）若()0f x ′≥，求实数a 的取值范围； （2）若()212f x x x b ≥−++，求()1a b +的最大值． 19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）为了求二元二次方程2231x y −=的正整数解()()*,,,N n n n n n P x y x y n ∈，可先找到初始解()11,x y ，其中1x 为所有解n x中的最小值，因为221(2231+−×，可得1(2,1)P ;因为22221(2(2(7734+−−×，可得2(7,4)P ;重复上述过程，因为(2n+与(2n −的()()221(2(23n n n n nn n n x xx y =−=−，故得(),n n n P x y ．若方程E 的正整数解为(),n n n Q x y ，且初始解为1(9,4)Q ． （i ）证明：2118n n n x x x +++=； （ii ）1n n OQ Q +△的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．。

广东省广州市黄埔区玉岩中学2024~2025学年高一上学期阶段性教学质量检测9月数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1,2,3A =-，集合{}2|,B y y x x A ==∈，则集合B 的子集个数为（ ）A ．7B ．8C ．16D ．322．已知集合4{N |Z}4A x x =∈∈-，2{N |340}B x x x =∈--≤，则A B =I （ ） A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．{}0,2,3D ．{}1,23．设集合{}21,Z |M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（ ） A ．M P ⊂B ．N P ⊂C ．P M N =⋂D ．M N ⋂=∅4．已知M ，N 均为R 的子集，且N M ⊆R ð，则M N ⋂R ð为（ ） A ．MB ．NC ．∅D ．R5．已知,,a b c ∈R ，使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．a c b c +>+ B ．ac bc > C ．22a b >D ．22ac bc >6．某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A ．29B ．27C ．26D ．287．已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D ．1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭8．设102m <<，若1212k m m +≥-恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、多选题9．命题“{}2|13,0x x x x a ∃∈≤≤-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ≥B ．0a ≥C ．2a ≥D ．3a ≥10．设Q 是有理数集，集合{},,0X xx a a b x ==+∈≠Q ∣，在下列集合中，与X 相同的集合有（ ）A ．{}2,yy x x X =∈∣ B ．y y x X ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭C ．1,y y x X x ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭D ．{}2,yy x x X =∈∣ 11．已知0,0x y >>，且4x y xy +=，则（ ）A ．xy 的最小值是16B ．2216x y +的最小值为128C ．4x y +的最小值为18D ．114x y x y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的最小值为26三、填空题 12．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则a b +=.13．设集合{}|0A x x m =+≥，{}1|5B x x =-<<，全集R U =，且()U A B ≠∅I ð，则实数m 的取值范围为；14．对于两个正实数,a b ，式子2a ba b a b+++的最小值为．四、解答题15．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|23B x m x =<<， (1)若1m =，求A B U ，()A B ⋂R ð；(2)若()B A ⋂R ð中只有一个整数，求实数m 的取值范围． 16．已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+(1)若A B A ≠U ，求实数m 的取值范围.(2)命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围. 17．已知0,0,1a b a b >>+=，求证： (1)145aa b+≥；(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭18．某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22kx t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. (1)求k 值；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数； (3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 19．（1）已知1,x >-求函数()()231x x y x ++=+最小值，并求出最小值时x 的值；（2）问题：正数,a b 满足1a b +=，求12a b+的最小值.其中一种解法是：12122()()123b aa b a b a b a b +=++=+++≥+当且仅当2b a a b=且1a b +=时，即1a 且2b =.学习上述解法并解决下列问题：若实数,,,a b x y 满足22221x y a b-=，试比较22a b -和2()x y -的大小，并指明等号成立的条件；（3）利用（2）的结论，求M M 最小的m 的值.。

2023年中考适应性训练数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列四个数中，属于有理数是（ ） A. 111B. C. πD. 2. 单项式24xy 的次数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若正数a 的两个平方根是32m -与32m -，则m 为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 1或1- 4. 下列运算正确的是（ ）． A 22-=- B. ()22346a b a b =C. ()2211a a -=-D. 3+=5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 中位数是8B. 众数是9C. 平均数是8D. 方差是0 6. 下列命题是真命题是（ ）A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形7. 已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a +b 的值为（ ） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣2 D. 28. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则ABC V 的内切圆的半径r 是（ ）的.的A. 2B. 3C. 4D. 无法判断9. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋（b －1）x ＋c 的图象可能是（ ）A. B. C. D. 10. 如图,AB 为O 直径,点C 为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC 翻折交AB 于点D,连接CD,若点D 与圆心O 不重合,∠BAC=20°,则∠DCA ()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 点()3,4关于原点对称点的坐标是______．12. 因式分解：2312m -=__________．13. 在ABC V 中，70BAC ∠=︒，12∠=∠，则ADC ∠=______．的14. 计算：20222023122⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭______．15. 一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，点()11A x y ，、()22B x y ，是反比例函数my x =上的两个点，若120x x <<，则1y ______2y （填“<”或“>”或“=”）．16. 如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B ¢上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算，()02cos452023π︒+--18. 如图，已知1120∠=︒，260∠︒，若3122∠=︒，求4∠的度数．19. 已知T 229633a a a a a -=+++（）（）． （1）化简T ；（2）若正方形ABCD 的边长为a ，且它的面积为9，求T 的值．20. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A 、B 、C 、D 表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E 、F 、G 表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛．（1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______．（2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率． 21. 电灭蚊器的电阻随温度x ℃变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加1k 5Ω．（1）当1030x ≤≤时，求y 与x 之间的关系式；（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过5k Ω?22. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．实物图展示示意图 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________．A ．三角形具有稳定性B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得30cm,12,45CD C AC C AD =∠='︒∠='︒，请计算此时水桶下降的高度CC '．（参考数据：sin120.2,cos12 1.0,tan120.2︒≈︒≈︒≈）23. 如图，已知ABC V 中，90ACB ∠=︒；以BC 直径作O e ，与边AC 相切于点C ，交AB 边于点D ，E 为AC 中点，连接DE ．为（1）求证，DE 是O e 的切线；（2）尺规作图，点P 是线段BC 上一动点，当DP EP +最小时，请在图中西出点P 的位置（不写作法，保留作图痕迹），（3）在（2）的条件下，若8CD =，3tan 4ECD ∠=，求出CP 的长度． 24. 平面直角坐标系中，抛物线2211:221C y x mx m =-+-，与y 轴交于点A ．（1）2m =时，过点A 作直线l 垂直于y 轴，与抛物线1C 的另一个交点记为点B ．求AB 的长； （2）拋物线2C 的开口方向和开口大小均与抛物线1C 相同，顶点在21y x =-上，2C 的顶点横坐标为n ，且2C 解析式记为2y ．①2C 与直线l 交于点C 、D 两点，若CD AB >，求n 的范围；②若m n ≠，当抛物线1C 2C 的交点始终在定直线x k =（k 为常数）上时，求此时12y y +的最小值（用含k 的代数式表示）．25. 如图1，在钝角ABC V 中，30ABC ∠=︒，4AC =，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且BA =BC =，将BDE V 绕点B 逆时针方向旋转α度()0180α︒≤≤︒．（1）求DE 的长；（2）如图2，当0180α︒<<︒时，连接AD CE 、．求证：BDA BEC V V ∽；（3）如图3，在旋转BDE V 的过程中，直线CE AD 、交于点G ．①AGC ∠=______；V从图1位置绕点B逆时针方向旋转180 ，求点G的运动路程．②将BDE2023年中考适应性训练数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ） A. 111B. C. πD.【答案】A【解析】【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答． 【详解】解：111π、都属于无理数， 故选：A ．【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键． 2. 单项式24xy 的次数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据单项式次数定义，即单项式所含字母的指数和为单项式的次数，据此即可解答．【详解】解：单项式24xy 的次数为：123+=，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键． 3. 若正数a 的两个平方根是32m −与32m −，则m 为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 1或1− 【答案】C【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．【详解】解：∵正数a 的两个平方根是32m −与32m −，∴32320m m −+−=，解得：1m =−，故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 的4. 下列运算正确的是（ ）． A. 22−=− B. ()22346a b a b =C. ()2211a a −=−D. 3【答案】B【解析】 【分析】根据绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算分别解答． 【详解】解：22−=，故选项A 错误； ()22346a b a b =，故选项B 正确； ()22121a a a −=−+，故选项C 错误；33=+D 错误；故选：B ．【点睛】此题考查了绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算，正确掌握各知识点是解题的关键．5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 中位数是8B. 众数是9C. 平均数是8D. 方差是0 【答案】B【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．【详解】解：A 、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为898.582+=≠，该选项错误，不符合题意； B 、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意； C 、这组数据平均数为()17788999108.37588×+++++++=≠，该选项错误，不符合题意；D 、这组数据的平均数为8.375，则方差为()()()()22221278.375288.375398.375108.37508 ××−+×−+×−+−≠，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．【详解】解：A 选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误；B 选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误；C 选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误；D 选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．7. 已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=−= 则a +b 的值为（ ） A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2 【答案】B【解析】【详解】解：512{34a b a b +=−=①②， ①+②：4a +4b =16则a +b =4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法、代入消元法是解题的关键．8. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，6AC =，8BC =，则ABC 的内切圆的半径r 是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 无法判断【答案】A【解析】 【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．【详解】解：∵90C ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =，如图：设ABC 的内切圆与各边的切点分别为点,,D E F ，连接,,OD OE OF ，则：,,,OD OE OF r OD BC OE AC OF AB ===⊥⊥⊥，∵ABC AOB AOC BOC S S S S =++ ， ∴11112222AC BC AB r AC r BC r ⋅=⋅+⋅+⋅，即：()686810r ×=++，∴2r =；故选A ．【点睛】本题考查求三角形内切圆的半径．熟练掌握等积法求内切圆的半径，是解题的关键．9. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋（b －1）x ＋c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，得出方程ax 2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax 2+（b-1）x+c 与x 轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax 2+（b-1）x+c 的对称轴x=-12b a−＞0，即可进行判断． 【详解】点P 在抛物线上，设点P （x ，ax 2+bx+c ），又因点P 在直线y=x 上， ∴x=ax 2+bx+c ，∴ax 2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x 与二次函数y=ax 2+bx+c 交于第一象限的P 、Q 两点，∴方程ax 2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 与x 轴有两个交点，又∵-2b a＞0，a ＞0 ∴-12b a −=-2b a +12a ＞0 ∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 的对称轴x=-12b a−＞0， ∴A 符合条件，故选A ．10. 如图,AB 为O 直径,点C 为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC 翻折交AB 于点D,连接CD,若点D 与圆心O 不重合,∠BAC=20°,则∠DCA 的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】【分析】连接BC ，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB ，根据直角三角形两锐角互余求出∠B ，再根据翻折及圆内接四边形的性质得到 ADC 所对的圆周角，然后根据三角形内角和，计算即可得解．【详解】如图，连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，根据翻折的性质， AC 所对的圆周角为∠B,ADC 所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°－∠B=110°，∴∠DCA=180°－∠BAC －∠ADC=180°－20°－110°=50°.故选C.构造出直角三角形是解答此题的关键.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 点()3,4关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()3,4−−【解析】【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案．【详解】解：点()3,4关于原点对称的点的坐标是()3,4−−，故答案为：()3,4−−．【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键．12. 因式分解：2312m −=__________． 【答案】3(2)(2)m m +−【解析】【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 13. ABC 中，70BAC ∠=°，12∠=∠，则ADC ∠=______．【答案】110°##110度【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．【详解】解：如图，1370BAC ∠+∠=∠=° ，23180ADC ∠+∠+∠=°，12∠=∠， 13180ADC ∴∠+∠+∠=°，即18070110ADC ∠=°−°=°，故答案为：110°．【点睛】本题考查三角形内角和，掌握三角形内角和是180°是正确解答的前提．14. 计算：20222023122 ×−=______． 【答案】2【解析】 【分析】根据积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：20222023122 ×− =202220221222 ××在20221222 =××2=， 故答案为：2．【点睛】本题考查有理数运算，涉及积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．15. 一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，点()11A x y ，、()22B x y ，是反比例函数m y x=上的两个点，若120x x <<，则1y ______2y （填“<”或“>”或“=”）．【答案】>【解析】【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则Δ0=求出m 的取值，再由反比例函数的性质得出结论．【详解】解： 一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根， ∴2340m ∆=−=， ∴94m =， ∴反比例函数m y x=经过一、三象限， 又 120x x <<， ∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m 值，再由反比例函数的性质求解．16. 如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 ①. 1 ②.【解析】 【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE ，从而求得OA 及OC ；由AD ∥BC ，易得△AOE ∽△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F ′和Rt △EA N ′中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’⊥EF ，3A E AE ′==∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°，CD =AB =4 ，AD ∥BC∵∠AOE =∠ADC ，∠OAE =∠DAC∴△AOE △ADC ，∴12OE CD OA AD == ， ∴OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，∴OE ，∴OA ，在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC ，∴OC = 令BF =x ，则FC =8-x ，∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ， ∴37OAAE OC FC == ， 即7AE =3FC∴3(8-x )=7×3解得：1x =,∴BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN ⊥EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF ，∵EF∴MF∴MN故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算，()02cos452023π°+−−【答案】1【解析】【分析】先化简各式，再进行加减运算．【详解】解：原式21=+−1=+−1=【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握零指数幂和二次根式的性质，是解题的关键．18. 如图，已知1120∠=°，260∠=°，若3122∠=°，求4∠的度数．【答案】458∠=°【解析】【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．【详解】解：∵1120∠=°，260∠=°，∴12180∠+∠=°，∴AC BD ∥，∴3BDC ∠=∠，∵3122∠=°，∴122BDC ∠=°，∴418058BDC ∠=°−∠=°．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．19. 已知T 229633a a a a a −+++（）（）． （1）化简T ；（2）若正方形ABCD 的边长为a ，且它的面积为9，求T 的值．【答案】（1）1a；（2）13． 【解析】【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）由正方形的面积求出边长a 的值，代入计算即可求出T 的值．【详解】（1）T 22222a 96a 3a 31a a 3a a 3a a 3a −++=+==+++（）（）（）（）（）； （2）由正方形的面积为9，得到a ＝3，则T 13=． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A 、B 、C 表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E 、F 、G 表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛．（1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______．（2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．【答案】（1）14（2）112【解析】【分析】（1）利用概率公式进行求解即可；（2）列出表格进行求解即可．【小问1详解】解：第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种，∴14P =； 故答案为：14． 【小问2详解】列表如下：E F G A (),A E(),A F (),A G B (),B E (),B F(),B G C (),C E(),C F (),C GD (),DE (),DF (),G D共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果； ∴112P =． 【点睛】本题考查列表法求概率．正确列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键．21. 电灭蚊器的电阻随温度x ℃变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加1k 5Ω．（1）当1030x ≤≤时，求y 与x 之间的关系式；（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过5k Ω?【答案】（1）当1030x ≤≤时，y 与x 的关系式为：60y x=． （2）温度x 取值范围是1245x ≤≤时，电阻不超过5k Ω．的【解析】【分析】（1）设y 与x 之间的关系式为my x=，把点()10,42n −和点()30,n 代入求得m 的值即可解答； （2）当30x >时，设y 与x 的关系式为y kx b =+，然后求得解析，然后分别求出5y =时，两函数的函数值即可求解解答． 【小问1详解】解：当1030x ≤≤时，设y 与x 之间关系式为my x=， 根据题意得：该函数图像过点()10,42n −和点()30,n ，∴421030m n m n −==， 解得：260n m ==，∴当1030x ≤≤时，y 与x 的关系式为：60y x=． 【小问2详解】 解：∵60y x=， ∴当30x =时，6023y ==， 根据题意得：该函数图像过点()30,2， ∵温度每上升1℃，电阻增加1k 5Ω． 当30x >时，设y 与x 的关系式为y kx b =+， ∴该函数图像过点131,25，∴30213125k b k b +=+= ，解得：154k b ==− ， ∴当30x >时，y 与x 的关系式为：451y x =−； 对于60y x=，当5y =时，12x =；的对于451y x =−，当5y =时，45x =． 答：温度x 取值范围是1245x ≤≤时，电阻不超过5k Ω．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 22. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．意图说明：C 为AB 的中点……请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________．A ．三角形具有稳定性B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得30cm,12,45CD C AC C AD =∠=′°∠=′°，请计算此时水桶下降的高度CC ′．（参考数据：sin120.2,cos12 1.0,tan120.2°≈°≈°≈）【答案】（1）A （2）7.5cm 【解析】【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可；（2）设cm CC x ′=，先AC D ′是等腰直角三角形，再在Rt AC C ′ 中利用锐角三角函数的关系即可求解．【小问1详解】综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A ． 【小问2详解】 设cm CC x ′=，∵45C AD ′°∠=，90DC A ′°∠=， ∴45C AD C DA ′′°∠=∠=，∴30AC C D x ′′==+，在Rt AC C ′ 中，12C AC ∠=′°， ∵tan CC C AC AC ′′∠=′，tan120.2°≈， ∴0.230xx=+，∴7.5cm x =． 即7.5cm CC ′=．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键．23. 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=°；以BC 为直径作O ，与边AC 相切于点C ，交AB 边于点D ，E 为AC 中点，连接DE ．（1）求证，DE 是O 的切线；（2）尺规作图，点P 是线段BC 上一动点，当DP EP +最小时，请在图中西出点P 的位置（不写作法，保留作图痕迹），（3）在（2）的条件下，若8CD =，3tan 4ECD ∠=，求出CP 的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4019CP = 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据题中条件证明90CDO EDC ∠+∠=°即可证明；（2）过D 作BC 垂线，交O 于'D ，则'D 与D 关于BC 对称，连接'ED 交BC 于P ，此时''DP EP D P EP D E +=+=最小，则点P 即为所求作；（3）在Rt BCD 中，利用锐角三角函数求出BD ，然后在Rt BMD △中，利用三角函数设3DM k =，4BM k =，根据BD 的长即可求出k ，证明'ECP D MP ∼即可求出．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示，∵BC 为O 的直径，∴90CDB ∠=°，90B BCD ∠+∠=°， ∴90CDO BDO ∠+∠=°，90CDA ∠=°， ∵E 为AC 中点， ∴CE DE =， ∴ECD EDC ∠=∠，∵90ACB ∠=°， ∴90ECD BCD ∠+∠=°, ∵90B BCD ∠+∠=°， ∴ECD B ∠=∠， ∵ECD EDC ∠=∠， ∴B EDC ∠=∠， ∵OD OB =， ∴ODB B ∠=∠， ∴EDC ODB ∠=∠， ∵90CDO BDO ∠+∠=°， ∴90CDO EDC ∠+∠=°， ∴DE 是O 的切线； 【小问2详解】解：解：过D 作BC 垂线，交O 于'D ，则'D 与D 关于BC 对称，连接'ED 交BC 于P ，此时''DP EP D P EP D E +=+=最小，则点P 即为所求作；【小问3详解】解：设'DD 与BC 的交点M ，连接OD ，如图所示，∵90ACB CDB ∠=∠=°， ∴90ECD B BCD ∠=∠=°−∠，在Rt BCD 中，8CD =，3tan 4ECD ∠=，∴332tan BD CD B =÷∠=，则403BC =，在Rt ACB △中，tan 10AC BC B =×∠=， ∵E 为AC 中点，则152CE AC ==， 在Rt BMD △中，3tan 4DM B BM ∠==，设3DM k =，4BM k =，则5BD k ，∴3215k =， ∴323233155DM k ==×=，32128441515BM k ==×=，∴245CM BC BM =−=， ∵90ACB ∠=°，'DD BC ⊥， ∴'MD EC ， ∴'ECP D MP ∼，∴'CP CE MP MD=，即5243255CPCP =−， ∴4019CP =；【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形 的性质、最短路径问题、垂径定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数及勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握切线的判定与性质，会利用相似三角形的性质和锐角三角函数解决问题是解答的关键．24. 平面直角坐标系中，抛物线2211:221C y x mx m =−+−，与y 轴交于点A ．（1）2m =时，过点A 作直线l 垂直于y 轴，与抛物线1C 的另一个交点记为点B ．求AB 的长； （2）拋物线2C 的开口方向和开口大小均与抛物线1C 相同，顶点在21y x =−上，2C 的顶点横坐标为n ，且2C 解析式记为2y ．①2C 与直线l 交于点C 、D 两点，若CD AB >，求n 的范围；②若m n ≠，当抛物线1C 与抛物线2C 的交点始终在定直线x k =（k 为常数）上时，求此时12y y +的最小值（用含k 的代数式表示）． 【答案】（1）4（2）①22n −<<，②222k −【解析】【分析】（1）当2m =时，抛物线22211:22147C y x mx m x x =−+−=−+，由题意知7y =，过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =与抛物线1C 的另一个交点记为点B ，得到2477x x −+=，即()40x x −=，解得0x =或4x =，即可求出4AB =； （2）①由（1）知过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =，再由题意可得2C 解析式()2221y x n n =−+−，根据与直线l 交于点C 、D两点，得到CD =，从而由CD AB >列出不等式4>，求解即可得到答案；②根据题意，联立()2212222211y x mx m y x n n =−+− =−+− ①②，求出抛物线1C 与抛物线2C 的交点横坐标为x m n =+，从而由()()2221222121xm y x m y x n n −+− +=+−+−，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当2k x =时，12y y +有最小值，为()222222k m n −++−；进而由m n k +=变形为n m k =−，将()222222k m n −++−化为224222k k m −+−，即可知当2k m =时，12y y +有最小值()222222k m n −++−的最小值为222k −，进而求出答案．【小问1详解】解：当2m =时，抛物线22211:22147C y x mx m x x =−+−=−+，抛物线1C 与y 轴交于点A ，∴当0x =时，7y =，即()0,7A ，过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =与抛物线1C 的另一个交点记为点B ，∴当7y =时，2477x x −+=，即()40x x −=，解得0x =或4x =， ()4,7B ∴，即4AB =；【小问2详解】解： 拋物线2C 的开口方向和开口大小均与抛物线1C 相同，∴两个抛物线表达式中a 相同为1a =，顶点在21yx =−上，2C 的顶点横坐标为n ，2C ∴的顶点坐标为()2,1n n −，即2C 解析式()2221y x n n =−+−，① 2C 与直线l 交于点C 、D 两点，∴当27y =时，()2217x n n −+−=，解得x n =或x n =，当280n −≥，即n −≤≤时才能满足题意，CD ∴=CD AB >，4∴>，解得22n −<<，综上所述，若CD AB >，n 的范围22n −<<；② 2211:221C y x mx m =−+−，()2222:1C y x n n =−+−， 联立方程得()2212222211y x mx m y x n n =−+− =−+− ①②，当抛物线1C 与抛物线2C 的有交点时，得①−②得()()()22m n x m n m n −=−+，由m n ≠可知x m n =+，∴抛物线1C 与抛物线2C 的交点横坐标为x m n =+，抛物线1C 与抛物线2C 的交点始终在定直线x k =（k 为常数）上，m n k ∴+=，∴()()2221222121xm y x m y x n n −+− +=+−+−()2222222x kx m n =−++−()222222222k k x m n−−++−，20> ，∴当2k x =时，12y y +有最小值，为()222222k m n −++−， m n k +=，即n m k =−，∴()222222k m n −++− ()222222k m m k =−++−−()223422m km k =−+−224222k k m=−+−40> ，∴当2k m =时，12y y +有最小值()222222k m n −++−的最小值为222k −，即12y y +的最小值为222k −．【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键．25. 如图1，在钝角ABC 中，30ABC ∠=°，4AC =，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且BA =BC =，将BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度()0180α°≤≤°．（1）求DE 的长；（2）如图2，当0180α°<<°时，连接AD CE 、．求证：BDA BEC ∽； （3）如图3，在旋转BDE CE AD 、交于点G ． ①AGC ∠=______； ②将BDE 从图1位置绕点B 逆时针方向旋转180°，求点G 的运动路程．【答案】（1）（2）证明见解析 （3）①30°，②4π 【解析】【分析】（1）根据题意，由相似三角形的判定可知BDE BAC ∽△△，从而利用相似比即可得到DE 的长；（2）根据旋转性质得到DBA EBC α∠=∠=，由题中条件得到BABCBDBE=，由相似三角形的判定可知BDA BEC ∽；（3）①如图所示，利用相似三角形的性质证明即可；②由“定弦定角”模型可知点G 的运动轨迹是以O 为圆心，4为半径O 上的弧，再由旋转过程知道运动路程是 GB长的两倍，求出圆心角，利用弧长公式计算即可得到答案．【小问1详解】解： BA =BC =，BA BC BD BE∴=， 在BDE △和BAC 中，B B ∠=∠，则由两个三角形相似的判定定理得到BDE BAC ∽△△，DE BD AC BA ∴==， 4AC =，4DE ∴ 【小问2详解】证明： 将BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度，DBA EBC α∴∠=∠=，BA =BC =，BA BC BD BE∴=， ∴BDA BEC ∽；【小问3详解】解：①设AB 交CG 于点O ，如图所示：由（2）知BDA BEC ∽，DAB ECB ∴∠=∠，180DAB AOG G ∠+∠+∠=° ，180ECB COB ABC ∠+∠+∠=°，AOG COB ∠=∠，30G ABC ∴∠=∠=°，故答案为：30°；②由30AGC ∠=°，这个角所对的弦为4AC =，根据“定弦定角”模型可知，点G 的轨迹是以AC 为边向左侧作等边ACO △，连接OA ，OC ，以O 为圆心，4为半径作O 上弧，且轨迹是从B 往上方运动，由①知30G ABC ∠=∠=°，则A C B G 、、、四点共圆，以B 为圆心，BD 为半径作B ，如图所示：∴当AG 与B 相切时，即BD AG ⊥时，直线CE AD 、交点G 位于轨迹的最高点，90ADB ∴∠=°，BA = ，在Rt BDA中，sin DB DAB AB ∠=，即45DAB ∠=°， 290GOB DAB ∴∠=∠=°， ∴ GB 的长90π42π180⋅⋅=， 当AG 与B 相切时，G 位于轨迹的最高点；当BDE 继续旋转时，G 会从轨迹的最高点运动到B 点，∴点G 的运动路程是 GB的长的两倍为4π． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，难度较大，属于中考压轴题．的。

广州市2005年高中阶段学校招生考试（课改实验区）物理试卷一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的答案选出来。

1．下列关于原子结构的说法，正确的是Ａ．原子由位于中心的原子核和核外电子组成Ｂ．原子核集中了原子的全部质量Ｃ．质子的个数一定等于中子的个数 Ｄ．质子的个数一定不等于中子的个数２．图1是某种物质物态变化过程中温度随时间变化的图象，该图象反映的可能是Ａ．蜡的熔化过程 Ｂ．蜡的凝固过程Ｃ．海波的熔化过程 Ｄ．海波的凝固过程 ３．下列物质中，属于半导体的是Ａ．铜 Ｂ．玻璃 Ｃ．锗 Ｄ．塑料４．下列说法中正确的是Ａ．物体的运动和静止都是绝对的Ｂ．只能选静止不动的物体作为参照物Ｃ．宇宙中除机械运动外，再也没有其他形式的运动Ｄ．选择不同参照物，同一物体在同一时刻可能是运动的也可能是静止的５．教学大楼每层楼高为３m ，小明提着一重为50Ｎ的箱子，沿楼梯从一楼登上三楼，再沿三楼水平走廊走了４m 进入课室，从一楼到课室过程中小明对箱做的总功为 Ａ．0 J Ｂ．300 J Ｃ．450 J Ｄ．500 J６．下列说法中正确的是Ａ．机械效率越高，机械做功一定越快 Ｂ．做功越多的机械，机械效率一定越高 Ｃ．功率越大的机械做功一定越多 Ｄ．做功越快的机械，功率一定越大 ７．关于物体的内能，下列说法中正确的是Ａ．温度为０℃的物体没有内能Ｂ．同一物体温度升高，它的内能一定增大Ｃ．热传递是改变物体内能唯一的方法Ｄ．温度相等的一杯水和一桶水的内能相同８．下列说法中正确的是Ａ．声音的强弱与发声体的振幅有关Ｂ．只要物体振动，一定有声波产生Ｃ．回音的声速比原来声音的声速要小Ｄ．声波的传播不需要介质９．洛溪桥全长1916m ，正桥全长480m ，一辆汽车匀速通过正桥时，车上速度表如图２所示，汽车通过正桥所用的时间为Ａ．172.4s Ｂ．47.9s Ｃ．43.2s Ｄ．12s10．如图３所示，OA 是光从水中射入空气的一条反射光线，若OA 与水面夹角60º，关于入射角α、折射光线与法线的夹角β的说法正确的是时间 图１Ａ．α＝60º，β＜60ºＢ．α＝60º，β＞60ºＣ．α＝30º，β＜30ºＢ．α＝30º，β＞30º二、填空题11．举出以下四种电磁波在人们生活、生产中应用的事例（每种电磁波各举一例）示例：红外线：电视机遥控器利用红外线进行遥控(1) 无线电波：_______________________________________________________．(2) 微波：_______________________________________________________．(3) 紫外线：_______________________________________________________．(4) Ｘ射线：_______________________________________________________．12．电热水壶的铭牌标有“额定电压220Ｖ，额定功率1kW”，小芳把20℃的水注入该壶中，电热水壶显示水的体积为1L，让电热水壶在额定电压下工作，通电6min加热到沸腾，这段时间水吸收热量____________ J；电热水壶的效率为________．已知大气压为1标准大气压，水的比热容为4.2×10 3 J/（kg·℃），水的密度为1.0×103 kg／m3．13．小明要估测自己双脚站立时对地面的压强，测出自己的质量为50kg，测量鞋底的支撑面积时在方格纸上描下自己一只鞋底接触地面那部分的轮廓如图４（图中的每个小方格的面积是 6.25cm2）．测量时，凡大于半格的都算一格，小于半格的都不算．小明对地面的压力是______________，对地面的压强是______________．(g取10N／kg，计算结果保留小数点后两位)14．小芳要探究金属圆柱受到水的浮力与浸在水中深度的关系，实验装置如图5所示，将高为9cm的金属圆柱体缓慢浸入水中（水足够深），在金属圆柱体接触容器底之前，记下金属体下表面所处的不同深度h和弹簧测力计相应的拉力示数F，实验数据如下表：（１）第3次实验时，金属圆柱受到的浮力大小为：___________．（２）据实验数据，分析金属圆柱浸在水中受到的浮力大小与浸入水中深度的关系是_____________________________________________________________________________；三、作图题（15、16题各3分，17题4分，共10分）1516．图7所示的AB 、CD ，是同一发光点S 发出的光经平面镜反射后的两条反向光线，试根据光的反射规律用作图方法确定发光点S 的位置．17．小芳在做测量灯泡电功率实验时，所连的实物如图８所示，请你检查图８的连线是否有错，若有错处，在该图中改正（在错误的连线上打“×”，改正的连线在图中画线表示，连线不要交叉）并在方框内画出正确的电路图．三、计算题（18题7分，19题9分，共16分）18．一辆载重汽车的车厢容积为3.5m ×2m ×0.6m ，额定载重量为4t 。

2024届广州市高三年级调研测试数学试题参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案C A C BD D B A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．题号9101112答案AC ACD BC ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算骤．17.解：（1）因为21=-n n S a ，①当1=n 时，11121=-=S a a ，则11=a ．.........................1分当2n ≥时，1121--=-n n S a ，②..........................2分①－②得122-=-n n n a a a ，即12(2)-=≥n n a a n ，..............3分所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．.........................4分所以12-=n n a ．................................................5分（2）因为122log log 21-==-n n a n ，所以12,1,,--⎧=⎨⎩为奇数为偶数.n n n n b n ........................7分所以21232=++++ n nT b b b b 1321242()()n n b b b b b b -=+++++++ 132********()()[02(22)](222)n n n b b b b b b n--=+++++++=+++-++++ ........................7分(022)2(14)214n n n +-⋅-=+-........................9分22(41).3n n n -=-+...................................10分18.解：(1)设点P 到平面ABCD 的距离为h ，则133B PAD P ABD ABD V V h S --==⋅=△，...................................1分由题可知142ABD S AB BC =⋅=△，...................................2分所以3424P ABD ABDV h S -===△，...................................3分故P 到平面ABCD 的距离为2．....................................................4分（2）取AD 的中点M ，连接PM ，因为PA PD =，所以PM AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PM ⊂平面PAD ，PM AD ⊥⊥平面ABCD ．.......................................5分由（1）知PM = (6)分由题意可得BD =，AD ==，.所以222AD BD AB +=，故AD BD ⊥.法一（坐标法）：以D 点为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 点作PM 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则）（0,0,22A ,）（2,0,2P ,）（0,2,2-C .......................................7分依题意(0)DC = ,(AP= ,2,0,333AN AP ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭，所以,0,33DN DA AN ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭.......................................8分设平面NCD 的法向量为1111(,,)x y z =n ,则1100.DC DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即11110,42220.33x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11x =，得1(1,1,2)=-n .......................10分又平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)=n 设平面NCD 与平面ABCD 的夹角为θ,则121212cos cos ,3θ=<>===⋅ n n n n n n ，即平面NCD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为36．.................................................12分法二（几何法）：在线段AM 上取点H ，使得2AH HM =，连接NH ，过点H 作HK CD ⊥，垂足为K ，连接NK ．..................................7分因为2AN NP =，所以NH ∥PM ，233NH PM ==，..................................8分2122333AH AM AD ===．因为PM ⊥平面ABCD ，所以NH ⊥平面ABCD ，所以NH ⊥CD ，又HK CD ⊥，且HK NH H = ，所以CD ⊥平面NHK ，..................................9分所以CD ⊥NK ，所以∠NKH 是二面角N CD A --的平面角．..................................10分在Rt △HDK 中，易知423HD =，∠45KDH =︒，所以4sin 453KH DH =⋅︒=，所以43cos 3HKNKH NK∠===．故平面NCD 与平面ABCD 的夹角的余弦值为36．..................................12分19（1）证明：因为C B b A a C c B b sin sin 2sin sin sin =-+，由正弦定理得B bc a c b sin 2222=-+，...........................................1分又因为bca cb A 2cos 222-+=.......................2分所以B bc A bc sin 2cos 2=，即B A sin cos =．.......................3分又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A 2πsin cos ，所以B A sin 2πsin =⎪⎭⎫⎝⎛-．又π),0(∈B A ，，所以B A =-2π或π2π=+⎪⎭⎫⎝⎛-B A ．............................4分又2π≠C ，所以A B +=2π．............................................5分（2）解：由（1）知A B +=2π，A A A B A C 22π2πππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--=．..........6分由)π,0(∈C B A ，，，解得⎪⎭⎫⎝⎛∈4π,0A ．.................................................7分所以⎪⎫⎛-+⎪⎫ ⎛++=++A A A C B A 22πsin 2πsin cos sin sin cos（别解：因为cos sin sin 2cos cos 2A B C A A ++=+在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2cos cos 23A A <+<，所以C B A sin sin cos ++的取值范围为)3,2(．）（ⅱ）当2a >时，，(1e )1e 0-+=-++->，设()()2()ln 1ln 122ax ag x x x a x x =+-=++-，(1,0)x ∈-．当2a >时，开口向上，对称轴，，，所以存在唯一0(1,0)x ∈-，使得0()0q x =，......................9分当0(1,)x x ∈-时，()0q x >，()0g x '>；当0(,0)x x ∈时，()0q x <，从而()0g x '<从而()g x 在区间0(1,)x -递增，在区间0(,0)x 递减，故当0(,0)x x ∈，()(0)0g x g >=，矛盾，舍去．.....................11分综上，a 的取值范围为(],2-∞．......................12分21.解：(1)由题意可知X 所有可能取值为2,3,4，...............................................1分3133)2(2===X P ，943)3(31223===C A X P ，923)4(333===A X P ．...............................................4分（其他解法：31)31()2(213=⨯==C X P ，943231()3(21213=⨯⨯==C C X P ，92)3()2(1)4(==-=-==X P X P X P ．）则X 的分布列如下：.....................5分(2)设甲一次性购买x 个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z ．依题意，x 可取0,1,2,3．方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用903031=⨯=Z 元．方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用79302192=⨯+=Z 元．.......................................6分方案3：购买2个盲盒时，当2个盲盒打开后款式不同，则只需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用68301923=+⨯=Z ，323)68(2233===A Z P ；（或323231)68(133=⨯⨯==C Z P ）当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用983021923=⨯+⨯=Z ，313131)98(133=⨯⨯==C Z P ．所以7831983268)(3=⨯+⨯=Z E (元)．.......................................8分（别解：7838313023230)(3=+⨯⨯+⨯=Z E (元)）方案4：购买3个盲盒时，当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用571934=⨯=Z ，9231()57(3334===A Z P ；当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，总费用87301934=+⨯=Z ，323131)87(234=⨯⨯==A Z P ；当3个吉祥物盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用117601934=+⨯=Z ，91)31()117(3134=⨯==C Z P ．所以32519111732879257)(4=⨯+⨯+⨯=Z E (元)．..........................11分（别解：3251193913023230)(4=⨯+⨯⨯+⨯=Z E (元)）显然1423)()()(Z Z E Z E Z E <<<．综上，应该一次性购买2个吉祥物盲盒．................................12分22.解：（1）法一：设PF 的中点为G ，依题意以PF 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=，所以||||22PF GO =-，即||42||PF GO =-，........................1分X 234P319492设2F ，又22||||OG PF =，所以22||||=4||PF PF FF +>=，.............2分所以点P 的轨迹是以2,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，设E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,1c a b ====，所以P 的轨迹方程22:14x E y +=．..........................................4分法二：设(,)P x y ，则PF的中点为(,)22x yG ，........................1分依题意得1||2||2OG PF =-2=......................2分4=，........................3分化简得点P 的轨迹方程22:14x E y +=．....................................................4分（2）设1122(,),(,)S x y T x y ，先证明直线ST 恒过定点，理由如下：法一：由对称性可知直线ST 的斜率不为0，所以设直线ST 的方程为：x my n =+．联立直线ST 与E 的方程2214x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 得：222(4)240m y mny n +++-=，所以0∆>，即2240m n +->，①12224mn y y m -+=+，212244n y y m -=+．②....................................5分所以直线AS 的方程为：11(1)1x x y y =--，令0y =，解得点M 横坐标111x t y -=-，同理可得点N 横坐标2241x t y --=-，故1212411x x y y --+=--，...................................6分将1122,x my n x my n =+=+代入上式整理得：1212(24)(4)()420m y y n m y y n ++--++-=．③......................7分将②代入③并整理得222220m mn n m n ++--=，.........................8分即,m n 满足方程()(2)0m n m n ++-=．若0m n +=，即n m =-，则直线ST 方程为(1)x m y =-，过点(0,1)A ，不合题意；所以20m n +-=，此时2n m =-，直线ST 的方程为(1)2x m y =-+，所以直线ST 过定点(2,1)Q ．.........................10分因为直线ST 过定点(2,1)Q ，且与轨迹E 始终有两个交点，又(0,1)A ，AH ST ⊥，垂足为H ，故点H 的轨迹是以AQ 为直径的半圆（不含点,A Q ，在直线AQ 下方）．..........11分设AQ 中点为C ，则圆心)1,1(C ，半径为1.所以||||11OH OC ≥-=-，当且仅当点H 在线段OC 上时，故||OH 1-．....................................12分法二：①当直线ST 斜率存在，设直线ST 的方程为y kx m =+．联立直线ST 与椭圆E 的方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 得：222(14)8440k x kmx m +++-=，所以0∆>，即22410k m +->，①122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+．②....................................5分所以直线AS 的方程为：11(1)(1)x y y x -=-，（备注：若直线AS 方程写成1111y y x x --=，需另外考虑10x =的情形，可参考方法四①.）令0y =，解得点M 横坐标111x t y -=-，同理可得点N 横坐标2241x t y --=-，所以1212411x x y y +=---，....................................6分即122112(1)(1)4(1)(1)x y x y y y -+-=---，将1122,y kx m y kx m =+=+代入上式，得221212(42)(14)(1)()4(1)0k k x x k m x x m +++-++-=，..............................7分将②代入上式，得222224(1)8(42)(14)(1)4(1)01414m kmk k k m m k k--+++-+-=++．整理得22221(1)(21)0km k m m m k m -+-+=-+-=，.............................8分所以12m k =-．（其中1m =时，直线:1ST y kx =+过点A ，不符合题意，舍去．）直线ST 的方程为：(12)y kx k =+-恒过定点(2,1)Q ．②当直线ST 斜率不存在，此时1111(,),(,)S x y T x y -，同理可得1111411x x y y +=----，即21112xy =-，又221114x y +=，解得10x =或12x =．若10x =，则,S T 中必有一点与A 重合，不符合题意；若12x =，则,M N 重合，也不符合题意．.........................................9分综上，所以直线ST 过定点(2,1)Q ．..........................................10分后略，同法一．法三：①若直线,AS AT 的斜率均存在，即10x ≠，20x ≠，则1111AS y k x t -==-，22114AT y k x t -==-故1212411x x y y +=---....................................5分依题意直线ST 不经过点A ，设直线:(1)1ST mx n y +-=，椭圆E ：2222220444[(1)1]44(1)8(1)x y x y x y y =+-=+-+-=+-+-，....................................6分联立ST 与E 的方程22(1)14(1)8(1)0mx n y x y y +-=⎧⎨+-+-=⎩，，得224(1)8(1)[(1)]0x y y mx n y +-+-+-=，整理得22(48)(1)8(1)0n y m y x x +-+-+=，除以2(1)y -，得2(48)8()011x x n my y +++=--，...................................7分因为1122(,),(,)S x y T x y 满足上式，故由韦达定理得12128411x xm y y +=-=---，解得12m =．...................................8分所以直线1:(1)12ST x n y +-=恒过定点(2,1)Q ．...................................9分②若直线AS 或AT 的斜率不存在时，易求直线:1ST y x =-，过点(2,1)Q ．综上，所以直线ST 过定点(2,1)Q ．..........................................10分后略，同法一．法四：①当0t =时，易知直线0AM x =：；直线114AN y x =-+：．AM ，AN 分别与轨迹E 的方程联立求得(0,1)S -，83(,)55T ，故直线:1ST y x =-．....................................5分②当4t =时，同理求得直线:1ST y x =-．③当0,2,4t ≠时，直线:AM 1xy t+=，联立直线AM 与轨迹E 的方程，消去y 得2242(04t x x t t+-=，所以1284t x t =+（S 异于A ），所以11218114y x t t -=-+=++．...................6分同理得22228(4)8,1(4)4(4)4t x y t t --==+-+-+．....................................7分所以直线ST 的斜率221222128[(4)4]8(4)8[(4)4]8(4)(4)ST y y t t k x x t t t t ---+++==--+--+24(2)t =-，....................................8分所以直线ST 的方程为2228481()4(2)4ty x t t t +-=-+-+①2222248(2)841()(2)(2)444(2)t t y x x t t t t --=--⋅=--++-综上，所以直线ST 过定点(2,1)Q ..........................10分后略，同法一．。