组合2
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人教版新课标二年级上册数学《2组合》教学设计
人教版新课标二年级上册数学《2组合》教学设计一. 教材分析《2组合》是人教版新课标二年级上册数学的一章节，主要讲述了组合的概念和简单的排列组合问题。
本章节通过生活实例，让学生感受组合的意义，学会用排列组合的方法解决问题。
教材内容主要包括组合的定义、组合的计算方法以及简单的组合问题。
二. 学情分析二年级的学生已经掌握了基本的加减法和简单的数学概念，但对组合的概念和排列组合的方法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和实际操作，让学生理解组合的意义，并学会运用组合的方法解决问题。
三. 教学目标1.让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2.培养学生运用组合的方法解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.组合的概念和计算方法。
2.运用组合的方法解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，让学生感受组合的意义。
2.游戏教学法：通过有趣的游戏，让学生学会用组合的方法解决问题。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含生活实例、游戏和练习题的PPT。
2.教学卡片：准备一些组合问题的卡片，用于小组讨论和练习。
3.教学道具：准备一些实物道具，如小球、积木等，用于展示组合的概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活实例，如“小明有3个苹果，小红有2个苹果，他们一共有几个苹果？”让学生思考，引出组合的概念。
2.呈现（10分钟）讲解组合的定义，示例讲解组合的计算方法。
如给定一组物品，要求从中选出2个，求选法的总数。
通过PPT和实物道具，让学生直观地理解组合的意义。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组解决一个组合问题，如“有5个数字1、2、3、4、5，从中选出2个数字，求选法的总数。
”讨论结束后，各组汇报解题过程和结果。
4.巩固（10分钟）出示一些组合问题的练习题，让学生独立完成。
组合2：组合数
课本范例
例3.(1)平面内有10个点,以其中每2个点 为端点的线段有多少个? .(2)平面内有10个点,以其中每2个点为 端点的有向线段有多少个?
例5 有12名划船运动员,其中3人只会划左 舷, 4人只会划右舷,其它5人既会划左舷, 又 会划右舷, 现要从这12名运动员中选出6人 平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不 同的选法?
复习
组合数公式
m Cn
=
m An m Am
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
组合数公式的另一形式
m An m Am n(n-1)(n-2) …(n-m+1) m﹗
m Cn
=
=
n(n-1)(n-2) …(n-m+1)(n-m) …3∙2∙1 = m﹗ (n-m) …3∙2∙1
=
n﹗ m﹗(n-m)﹗
应用举例
例1 计算:
(1) C 4 7
m 7
(2)
C10
例2 求证
m+1 m+1 C Cn n = n-m
例3.从数字1,2,5,7中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差?
例4 有不同的英文书5本,不同的中文书7本, 从中选出两本书. (1)若其中一本为中文书,一本为英文书.问共 有多少种选法? (2)若不限条件,问共有多少种选法?
C ﹒ ﹒ C ﹒ C ﹒ C C ﹒ ﹒ ﹒﹒ ﹒ ﹒ A B D D D D
C3
4 2 5 1 6 1 2 3 4
作业
例6 在∠MON的边OM上有5个异于O点 的点,ON上有4个异于O点的点,以这十个 点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?
郑：2-3-1.2.2 组合(2)导学案-006
【知识链接】：1、排列：（ ）叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2、排列数：用符号m n A 表示，mn A =3、组合： （ ）,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合4、组合数：用符号m n C 表示，mn C =m n A与mn C关系公式是4、组合数的两个性质 （1） （2）：自主学习一、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想例1、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？例2、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习题：1、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有 种:合作探究二、平均分组问题除法策略6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；1、无序等分：若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 例1:分成三份，每份两本；反思:一般地：将mn 个元素平均分成n 组（每组m 个元素）,共有 _______________________________________2、有序等分:要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列例2：分给甲、乙、丙三人，每人两本；3、无序不等分：非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.例3：分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；4、有序不等分：要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.例4：分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；5、无序局部等分例5：一堆四本，两堆各一本。
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
中班数学优秀教案及教学反思《2的分解与组合》
《2的分解与组合》一、教学目标1.让幼儿能够理解2的分解与组合，掌握2的分解组成。
2.培养幼儿动手操作能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：让幼儿掌握2的分解与组合。
难点：培养幼儿的逻辑思维能力和动手操作能力。
三、教学准备1.教具：2个苹果、2个橘子、2个杯子、2个球等。
2.学具：每组一套卡片，上面分别画有2个苹果、2个橘子、2个杯子、2个球等。
3.黑板、粉笔。
四、教学过程1.导入教师拿出2个苹果，引导幼儿观察并说出：“这是2个苹果，我们可以怎样分呢？”2.探索2的分解教师将2个苹果分成1个和1个，引导幼儿观察并说出：“2个苹果可以分成1个苹果和1个苹果，这就是2的分解。
”教师依次拿出2个橘子、2个杯子、2个球等，引导幼儿进行分解，并说出分解的结果。
3.操作活动教师将卡片分给每组幼儿，要求幼儿按照分解的方法，将卡片上的物品分成1个和1个。
教师巡回指导，帮助幼儿完成操作。
5.学习2的组合教师拿出1个苹果和1个橘子，引导幼儿观察并说出：“1个苹果和1个橘子合在一起是多少呢？”教师依次拿出1个杯子和1个球、1个苹果和1个球等，引导幼儿进行组合，并说出组合的结果。
6.操作活动教师将卡片分给每组幼儿，要求幼儿按照组合的方法，将卡片上的物品合在一起。
教师巡回指导，帮助幼儿完成操作。
8.游戏巩固教师组织幼儿进行“找朋友”游戏，要求幼儿找到与自己的卡片上的物品数量相同的卡片，组成2的分解或组合。
教师巡回指导，帮助幼儿完成游戏。
9.教学反思本节课通过实物分解、操作活动、游戏巩固等多种形式，让幼儿掌握了2的分解与组合。
在教学过程中，教师注重引导幼儿观察、思考、操作，培养幼儿的逻辑思维能力和动手操作能力。
教师及时发现并解决幼儿在操作过程中遇到的问题，确保每位幼儿都能跟上教学进度。
教学效果良好，幼儿对2的分解与组合有了更深入的理解，为后续学习奠定了基础。
五、教学评价1.课后对幼儿进行测试，了解他们对2的分解与组合的掌握程度。
二年级上册数学同步教案-8.2简单的组合例2 人教版
二年级上册数学同步教案-8.2简单的组合例2 人教版一、教学目标1. 让学生掌握简单的组合方法，能将给定的物品进行组合。
2. 培养学生的观察能力、分析能力和动手操作能力。
3. 培养学生合作交流的意识，提高学生解决问题的能力。
二、教学内容1. 简单的组合方法。
2. 给定的物品进行组合。
三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握简单的组合方法，能将给定的物品进行组合。
2. 教学难点：如何引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
四、教学过程1. 导入利用谜语、故事等形式导入新课，激发学生的学习兴趣。
2. 新课内容1. 讲解组合的概念，让学生明确什么是组合。
2. 讲解组合的方法，让学生掌握如何将给定的物品进行组合。
3. 通过实例演示，让学生直观地感受组合的过程。
4. 引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
3. 练习与讨论1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 组织学生进行小组讨论，互相交流解题心得。
4. 课堂小结对本节课所学内容进行总结，强调组合的方法和规律。
5. 作业布置布置适量的作业，让学生在家中巩固所学知识。
五、教学反思1. 教师要关注学生在课堂上的表现，及时发现问题并给予指导。
2. 在教学过程中，要注意引导学生发现组合的规律，提高组合的效率。
3. 课后要及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学做好准备。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习和作业等方式，了解学生对组合知识的掌握程度。
2. 评价学生在课堂上的表现，包括参与度、合作交流意识等。
3. 定期进行测试，了解学生的学习进度和存在的问题，及时调整教学策略。
总之，本节课的教学内容是简单的组合，通过讲解、演示、练习和讨论等方式，让学生掌握组合的方法和规律。
在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，及时发现问题并给予指导，培养学生的观察能力、分析能力和动手操作能力。
同时，要注重培养学生的合作交流意识，提高学生解决问题的能力。
在以上的教学设计中，需要重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是“新课内容”和“练习与讨论”环节。
内力组合 (2)
5.7 内力组合： 5.7.1 确定抗震等级：结构抗震等级应根据烈度、结构类型和房屋高度确定。
对于框架—剪力墙结构，还应判别总框架承受的地震倾覆力矩是否大于总地震倾覆力矩（0M ）的50%，为此，应计算总框架承受的地震倾覆力矩（0v M ）。
由前表得：1001111417.037v fii i M Vh KN m ==⋅=∑0235322.937311.55240.5247940.793M KN m =+⨯=则有：0011417.0130.0.4490.50247940.793v M M ==< 因此，本工程应按框架—剪力墙结构中的框架确定抗震等级，查规范得本工程的框架抗震等级为三级，剪力墙抗震等级为二级。
5.7.2 组合表见附录 5.8 截面设计： 5.8.1 内力调整：对第1、7、9层构件内力进行调整，且为实现大震不倒的目标仅对有地震力参与的内力进行调整.5.8.1.1 强柱弱梁的调整——放大柱端弯矩顶层柱柱端弯矩不必放大，一层柱下端直接乘以放大系数1.15，其余层柱对轴压比0.15≥的进行柱端弯矩放大，放大系数 1.1c η=。
下面以第7层A 柱上端截面为例说明计算方法，其余计算过程从略，计算结果见表1-47。
柱轴压比31803.71100.310.1519.1550550c Nf A μ⨯===>⨯⨯，可见需调整内力' 1.1421.30463.43224.79''463.43260.61224.79174.94174.94''463.43202.82224.79174.94ccbcb cb c cb ct ct ct c cb ct MMKN mM M M KN m M M M M M KN mM M η==⨯===⨯=++==⨯=++∑∑∑∑表1-47 强柱弱梁内力调整计算表)m调整后-189.80 表中：弯矩正、负号同内力组合值。
1.2.2组合(2)
练习 2. 已知：C
C
x7 25
，求x 的值.
x 6或7
6 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
探究二：
一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球． 3 2 ⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ 8 7 ⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ ⑶从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 3 7 3 2 3 从上可以发现一个结论： 8 7 7
17 17
C C 136136.
11 17 1 11
第二问有没有第二种方法 ⑵法二:C1
1 7
C
1 0 1 6
9 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
例2（1）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的线段共有多少条? （2）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的有向线段共有多少条?
1 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
1.2.2
组合(2)
2 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
n 1 n n
7 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
C 组合数性质2：
C 证明： C
m n m 1 n
n! n! m !(n m )! (m 1)! n (m 1)! n !(n m 1) n ! m (n m 1 m )n ! m !(n m 1)! m !(n 1 m )! (n 1)! m C n 1 m !(n 1) m !
投资组合数字的特征计算
实验一： 投资组合数字特征的计算一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握投资组合数字特征的Excel 计算。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）投资组合数字特征的理论预备知识假设投资者投资N 个风险资产，对该组合作以下定义。
用i w 表示投资在资产i 上的比例，则投资组合W 的矩阵形式为：12(,,,)T N W w w w =L 投资组合W 的期望收益和方差的矩阵形式为：1()()()()NT w i i i T w E r w E r W E r Var r W SW====∑ 式中E(r) 表示各资产期望收益率组成的列矩阵（列向量），S 是N 个风险资产的方差-协方差矩阵。
任意两个投资组合之间的协方差的矩阵形式为：1212(,)T Cov W W W SW =三、实验内容利用Excel 计算投资组合的期望、标准差和协方差，并绘制投资组合的标准差-期望收益曲线。
四、实验步骤本实验通过一个具体的实例展开。
已知：3家上市公司2001年12月至2003年12月共25期的股票月末收盘价格。
试运用EXCEL 计算下列问题： （1）计算各只股票的月/年收益率、方差、标准差。
（2）计算三只股票的方差-协方差矩阵、相关系数。
（3）构造两个投资组合，其中：组合1 =（0.2 0.4 0.4 ）,组合2 =（0.5 0.3 0.2）,计算各自的方差，两组合之间的协方差、相关系数。
（4）绘制三家公司股票的标准差-期望收益曲线。
首先新建一个EXCEL 工作表，在B3：D27区域中输入3个公司股票的价格。
A B C D1 股票价格2 日期公司A 公司B 公司C3 2001年12月15.7954 25.8483 23.39234 2002年1月18.1096 27.1296 24.03365 2002年2月17.2228 26.2177 23.50396 2002年3月16.3931 24.3938 22.45817 2002年4月15.5634 26.0828 21.39138 2002年5月16.2599 25.8535 22.34589 2002年6月16.8354 24.4777 21.102510 2002年7月18.0153 25.7313 22.799811 2002年8月19.4385 28.0968 22.516912 2002年9月19.6121 27.5198 21.943413 2002年10月19.8209 29.1826 22.285414 2002年11月18.9781 29.0086 20.974515 2002年12月20.1406 28.7765 23.444716 2003年1月18.3827 30.3982 23.674517 2003年2月18.2366 31.04 25.168618 2003年3月19.4056 30.9233 25.011119 2003年4月20.9838 32.7841 25.937420 2003年5月21.8532 33.7225 26.863821 2003年6月23.5568 33.7225 26.303722 2003年7月26.7878 32.502 27.528523 2003年8月26.9548 32.7379 27.470224 2003年9月24.9494 36.3362 29.935825 2003年10月24.0647 38.4158 29.70126 2003年11月27.726 41.0243 31.520627 2003年12月25.06 39.3644 34.02693家上市公司25期的股票收盘价格1、计算各只股票的月/年收益率、方差、标准差。
122组合二
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定理 1:
m
nm
n
n
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
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会英语，3人只会日语，还有1人既会英语又 会日语，现从这9人中选出3人会英语，2人会 日语，有多少种不同的选法？
A
B
51
3
练习：
某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会 跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演 员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村 演出，问有多少种选法？
A
B
32 2
五、先组后排
(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放
入 2 个盒子中，有两类放法：第一类：1 个盒子放 3 个小球，
1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C34种，再放到 2 个 小盒中有 A24种放法，共有 C34·A24种放法；第二类：2 个盒子中 各放 2 个小球有 C24·C42种放法，故恰有 2 个盒子不放球的方法 共有 C34·A24＋C42·C24＝84(种)．
跟踪练习
1．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法 计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
例5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学 科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代 表，但不担任数学科代表．
分析：“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考 虑．
答案：〔1〕 〔2〕
1
1
1010101010 100000
1 1 1010 100
变式： 某体育彩票规定：从01至36共36 个号码中抽出7个号码为一注，每注2元. 某人想从01至10中选3个连续的号码，从 11至20中选2个连续的号码，从21至30中 选1个号码，从31至36中选1个号码组成1 注.则此人把这种特殊要求的号码买全， 至少要花多少钱？
解析：法一：设 A，B 代表 2 位老师傅． A，B 都不在内的选法有：C45·C44＝5(种)； A，B 都在内且当钳工的选法有：C22·C35·C44＝10(种)； A，B 都在内且当车工的选法有：C22·C45·C24＝30(种)； A，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选法有： C22·A22·C53·C34＝80(种)；
练习：
1、（1）将四个不同的小球分给甲、乙两人， 每人两个，有多少分法？
（2）、将四个不同的小球分成两组，每 组两个，有多少种分法？ （3）、将四个小球分成两组，一组三个， 一组一个，有多少分法？
（4）、将四个小球分给甲乙两人，一人 三个，一人一个，有多少分法？
四、元素交叉问题
例4、某出旅行社有9名导游，其中有5人只
1．涂色问题
(1)图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求 较高的问题，需要特别关注图形的特征，有多少块，用多少 种颜色．
涂色问题一般是先分步后分类．
(2)若图形不很规则，往往从某一块出发，进行分步涂色， 从而选用分步计数原理；若图形具有一定的对称性，那么先 对涂色方案进行分类，每一类再进行分步．
法二：5 名钳工有 4 名选上的方法是：C45·C44＋C45·C34·C12＋
C45·C42·C22＝75(种)；
5 名钳工有 3 名被选上的方法是：
C35·C44·C12＋C35·C34·A22＝100(种)； 5 名钳工有 2 名被选上的方法是：C25·C22·C44＝10(种)． ∴一共有 75＋100＋10＝185(种)．
y=x2+1
B
A. 1个
B. 27
C. 39个
D. 8个
解析：分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得 x=±1,x=±2,x=±3.由函数的定义，定义域中元素的选取分四种
①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素： 先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选 两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
第二步：再对 A，B，C 进行内部排队，有 A33种不同排法．由 分步计数原理，A77＝NA33.
故 A，B，C 三人前后顺序一定的排列数 N＝AA7733＝840(种)．
跟踪练习 多面手问题
7、车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车 工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名 工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派 方法．
解析：(1)分步完成：
第一步：在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种情况； 第二步：在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种情况； 第三步：把 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A77种情 况．所以符合题意的七位数有 C34·C54·A77＝100 800(个)． (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34·C45·A33·A55＝
练习：
1、在 200件产品中，有2件次品，从中任取5件；
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有几种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
二、指标问题采用“隔板法”：
例2、有10个三好生名额，分配到高三年级6个 班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分 配方案？
(4)A，B，C三人的前后顺序一定．
以上四种要求分别有多少种不同的排法？ 解析：(1)题中有特殊元素 A，B 和特殊位置“两头”．采 用优先法，先排 A，B，再排其余，有 A22·A55＝240 种不同的 排法． (2)题中有关键词“相邻”，采用捆绑法，先内排后外排， 有 A33·A55＝720 种不同的排法．
练习1 福彩“排列5”是经财政部批准，在我省 自行组织发行的一种彩票新玩法.其特点是玩法 简单，中奖容易.每1注彩票由5个号码组成，每 个号码从0至9中选择，按摇奖机出号先后排列， 只要对中2个相邻的号码即可中奖.
（1）试计算该彩票中一等奖的可能性是多少？
（2）若某人的某注彩票选中了一等奖号码 中的前3位数字，后2位数字随机排列，试计算 他中一等奖的可能性是多少？
1
Cm n
=
Cn-m n
2
Cm n+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
一、有限制条件的（至少至多）组合问题：
例 1、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同 选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
变式：有编号为1，2，3的三个盒子，将20个 完全相同的小球放在盒子中，要求每个盒子中 球的个数不小于它的编号数，则共有多少种不 同的分配方案？
三、分组问题：
例 3：六本不同的书，按下列条件，各有多少 种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份二本，一份 三本。 （4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一 人二本，一人三本。
答案：从01到10中3个连续号共有8 个，从11至20中2个连续号共有9
个,故共有：C81C91C110C61 4320 种
故买全至少要花8640元.
练习2、在一次口试中，要从20道题中随机 抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就 获得优秀，答对其中的4道题就获得及格， 某考生会回答20道题中的8道，试求：
5．用0到9这十个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位 数中，奇数有多少个？ (2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解析：(1)可以组成9A39＝4 536个四位数． 适合题意的四位奇数共有 A15gA18gA82＝2240(个)．
(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
2．常见的解题策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略； (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； (10)构造模型的策略．
解析：(1)先取后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有 C35·C32＋C45·C13种，后排有 A55种，
共有(C35·C23＋C45·C31)·A55＝5 400(种)． (2)除去该女生后，先取后排有 C47·A44＝840(种)． (3)先取后排，但先安排该男生，有 C47·C41·A44＝3 360(种)． (4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C36种，再安 排该男生有 C13种，其余 3 人全排有 A33种， 共有 C36·C31·A33＝360(种)．
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有
C
3 4
·C54
·A44
·A
A
B
51
3
练习：
某歌舞团有7名演员，其中3名会唱歌，2名会 跳舞，2名既会唱歌又会跳舞，现在要从7名演 员中选出2人，一人唱歌，一人跳舞，到农村 演出，问有多少种选法？
A
B
32 2
五、先组后排
(3)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放
入 2 个盒子中，有两类放法：第一类：1 个盒子放 3 个小球，
1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有 C34种，再放到 2 个 小盒中有 A24种放法，共有 C34·A24种放法；第二类：2 个盒子中 各放 2 个小球有 C24·C42种放法，故恰有 2 个盒子不放球的方法 共有 C34·A24＋C42·C24＝84(种)．
跟踪练习
1．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？ 解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法 计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
例5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学 科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代 表，但不担任数学科代表．
分析：“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考 虑．
答案：〔1〕 〔2〕
1
1
1010101010 100000
1 1 1010 100
变式： 某体育彩票规定：从01至36共36 个号码中抽出7个号码为一注，每注2元. 某人想从01至10中选3个连续的号码，从 11至20中选2个连续的号码，从21至30中 选1个号码，从31至36中选1个号码组成1 注.则此人把这种特殊要求的号码买全， 至少要花多少钱？
解析：法一：设 A，B 代表 2 位老师傅． A，B 都不在内的选法有：C45·C44＝5(种)； A，B 都在内且当钳工的选法有：C22·C35·C44＝10(种)； A，B 都在内且当车工的选法有：C22·C45·C24＝30(种)； A，B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选法有： C22·A22·C53·C34＝80(种)；
练习：
1、（1）将四个不同的小球分给甲、乙两人， 每人两个，有多少分法？
（2）、将四个不同的小球分成两组，每 组两个，有多少种分法？ （3）、将四个小球分成两组，一组三个， 一组一个，有多少分法？
（4）、将四个小球分给甲乙两人，一人 三个，一人一个，有多少分法？
四、元素交叉问题
例4、某出旅行社有9名导游，其中有5人只
1．涂色问题
(1)图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求 较高的问题，需要特别关注图形的特征，有多少块，用多少 种颜色．
涂色问题一般是先分步后分类．
(2)若图形不很规则，往往从某一块出发，进行分步涂色， 从而选用分步计数原理；若图形具有一定的对称性，那么先 对涂色方案进行分类，每一类再进行分步．
法二：5 名钳工有 4 名选上的方法是：C45·C44＋C45·C34·C12＋
C45·C42·C22＝75(种)；
5 名钳工有 3 名被选上的方法是：
C35·C44·C12＋C35·C34·A22＝100(种)； 5 名钳工有 2 名被选上的方法是：C25·C22·C44＝10(种)． ∴一共有 75＋100＋10＝185(种)．
y=x2+1
B
A. 1个
B. 27
C. 39个
D. 8个
解析：分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得 x=±1,x=±2,x=±3.由函数的定义，定义域中元素的选取分四种
①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素： 先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选 两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
第二步：再对 A，B，C 进行内部排队，有 A33种不同排法．由 分步计数原理，A77＝NA33.
故 A，B，C 三人前后顺序一定的排列数 N＝AA7733＝840(种)．
跟踪练习 多面手问题
7、车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车 工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工．现在要在这11名 工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派 方法．
解析：(1)分步完成：
第一步：在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种情况； 第二步：在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种情况； 第三步：把 3 个偶数，4 个奇数进行排列，可有 A77种情 况．所以符合题意的七位数有 C34·C54·A77＝100 800(个)． (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34·C45·A33·A55＝
练习：
1、在 200件产品中，有2件次品，从中任取5件；
（1）“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？ （2）“其中恰有1件次品”的抽法有多少种？ （3）“其中没有次品”的抽法有几种？
（4）“其中至少有1件次品”的抽法有多少种？
二、指标问题采用“隔板法”：
例2、有10个三好生名额，分配到高三年级6个 班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分 配方案？
(4)A，B，C三人的前后顺序一定．
以上四种要求分别有多少种不同的排法？ 解析：(1)题中有特殊元素 A，B 和特殊位置“两头”．采 用优先法，先排 A，B，再排其余，有 A22·A55＝240 种不同的 排法． (2)题中有关键词“相邻”，采用捆绑法，先内排后外排， 有 A33·A55＝720 种不同的排法．
练习1 福彩“排列5”是经财政部批准，在我省 自行组织发行的一种彩票新玩法.其特点是玩法 简单，中奖容易.每1注彩票由5个号码组成，每 个号码从0至9中选择，按摇奖机出号先后排列， 只要对中2个相邻的号码即可中奖.
（1）试计算该彩票中一等奖的可能性是多少？
（2）若某人的某注彩票选中了一等奖号码 中的前3位数字，后2位数字随机排列，试计算 他中一等奖的可能性是多少？
1
Cm n
=
Cn-m n
2
Cm n+1
=
Cnm
+
Cm-1 n
一、有限制条件的（至少至多）组合问题：
例 1、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同 选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
变式：有编号为1，2，3的三个盒子，将20个 完全相同的小球放在盒子中，要求每个盒子中 球的个数不小于它的编号数，则共有多少种不 同的分配方案？
三、分组问题：
例 3：六本不同的书，按下列条件，各有多少 种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份二本，一份 三本。 （4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一 人二本，一人三本。
答案：从01到10中3个连续号共有8 个，从11至20中2个连续号共有9
个,故共有：C81C91C110C61 4320 种
故买全至少要花8640元.
练习2、在一次口试中，要从20道题中随机 抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就 获得优秀，答对其中的4道题就获得及格， 某考生会回答20道题中的8道，试求：
5．用0到9这十个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位 数中，奇数有多少个？ (2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解析：(1)可以组成9A39＝4 536个四位数． 适合题意的四位奇数共有 A15gA18gA82＝2240(个)．
(2)0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
2．常见的解题策略 (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难则反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略； (7)定序问题除法处理的策略； (8)分排问题直排处理的策略； (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； (10)构造模型的策略．
解析：(1)先取后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有 C35·C32＋C45·C13种，后排有 A55种，
共有(C35·C23＋C45·C31)·A55＝5 400(种)． (2)除去该女生后，先取后排有 C47·A44＝840(种)． (3)先取后排，但先安排该男生，有 C47·C41·A44＝3 360(种)． (4)先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有 C36种，再安 排该男生有 C13种，其余 3 人全排有 A33种， 共有 C36·C31·A33＝360(种)．
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有
C
3 4
·C54
·A44
·A