第四节 导数与函数的极值、最值
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第四节 导数与函数的极值、最值
A组 基础题组
1.(2018辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)=x3-3x-1,在区间[-3,2]上的最大值为M,最小值为N,则M-N=( )
A.20 B.18 C.3 D.0
答案 A ∵f '(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),∴f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又f(-3)=-19, f(-1)=1, f(1)=-3, f(2)=1,∴M=1,N=-19,M-N=1-(-19)=20,
选A.
2.函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.e
答案 C f '(x)=aex-cos x,若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则f '(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意,故选C.
3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四个角截去四个相同的小正方形,制作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )
A.12 cm3 B.72 cm3 C.144 cm3 D.160 cm3
答案 C 设盒子的容积为y cm3,盒子的高为x cm,则x∈(0,5).
则y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,
所以y'=12x2-104x+160.令y'=0,得x=2或203(舍去).
当00,当2
4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)·f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
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答案 D 由题图可知,当x<-2时, f '(x)>0;当x=-2时, f '(x)=0;当-22时, f '(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
5.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
答案 C 由题意, f '(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,
令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3,则结合图象可知,{-3≤𝑎<0,𝑎+5>0,解得a∈[-3,0).
6.函数y=xln x有极 值,为 .
答案 小;-1e
解析 y'=ln x+1(x>0),当y'=0时,x=e-1;
当y'<0时,0
当y'>0时,x>e-1.
∴y=xln x在(0,e-1)上是减函数,在(e-1,+∞)上是增函数.
∴y=xln x有极小值,为y|𝑥=e-1=-1e.
7.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.
答案 9
解析 y'=-x2+81,令y'=0,得x=9或x=-9(舍去).当00,函数单调递增;当x>9时,y'<0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值.
8.已知函数f(x)=x3-3ax+b的单调递减区间为(-1,1),其极小值为2,则f(x)的极大值是 .
答案 6
解析 f '(x)=3x2-3a=3(x-√𝑎)(x+√𝑎),由f(x)的单调递减区间为(-1,1)知f '(1)=0,
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可得a=1,
由题意知f(x)=x3-3ax+b在x=1处取得极小值2.
所以1-3+b=2,故b=4.
所以f(x)=x3-3x+4的极大值为f(-1)=(-1)3-3×(-1)+4=6.
9.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
解析 (1)由题设知f '(x)=3x2+2ax+b,且f '(-1)=3-2a+b=0, f '(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.
将a=0,b=-3代入检验知符合题意.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x.
因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x)的极值点只可能是x=1或x=-2.
当x<-2时,g'(x)<0;
当-20.故x=-2是g(x)的极小值点.
当-21时,g'(x)>0,故x=1不是g(x)的极值点.
所以g(x)的极小值点为x=-2,无极大值点.
10.(2019山西长治期末)已知函数f(x)=ln x-𝑎𝑥.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32,求实数a的值.
解析 (1)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞),且f '(x)=𝑥+𝑎𝑥2,因为a>0,所以f '(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可得f '(x)=𝑥+𝑎𝑥2,
若a≥-1,则x+a≥0,即f '(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-a=32,所以a=-32(舍去).
若a≤-e,则x+a≤0,
即f '(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上单调递减,
所以f(x)min=f(e)=1-𝑎e=32,
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所以a=-e2(舍去).
若-e
当1
所以f(x)在(1,-a)上单调递减,
当-a0,
所以f(x)在(-a,e)上单调递增,
所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=32,
所以a=-√e,
综上,a=-√e.
B组 提升题组
1.已知函数f(x)=e𝑥𝑥2-k(2𝑥+ln𝑥),若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为( )
A.(-∞,e] B.[0,e]
C.(-∞,e) D.[0,e)
答案 A f '(x)=𝑥2e𝑥-2xe𝑥𝑥4-k(-2𝑥2+1𝑥)=(𝑥-2)(e𝑥𝑥-k)𝑥2(x>0).设g(x)=e𝑥𝑥,则 g'(x)=(𝑥-1)e𝑥𝑥2,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=e𝑥𝑥与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,故选A.
2.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .
答案 -3√32
解析 解法一:由f(x)=2sin x+sin 2x,得f '(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2,令f '(x)=0,得cos x=12或cos x=-1,可得当cos x∈(-1,12)时, f '(x)<0, f(x)为减函数;当cos x∈(12,1)时, f
'(x)>0, f(x)为增函数,所以当cos x=12时, f(x)取最小值,此时sin x=±√32.又因为f(x)=2sin x+2sin
xcos x=2sin x(1+cos x),1+cos x≥0恒成立,∴f(x)取最小值时,sin x=-√32,∴f(x)min=2×(-√32)×(1+12)=-3√32.
解法二: f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x+2sin xcos x=2sin x(1+cos x),
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∴f 2(x)=4sin2x(1+cos x)2=4(1-cos x)(1+cos x)3.
令cos x=t,t∈[-1,1],设g(t)=4(1-t)(1+t)3,
∴g'(t)=-4(1+t)3+12(1+t)2(1-t)=4(1+t)2(2-4t).
当t∈(-1,12)时,g'(t)>0,g(t)为增函数;
当t∈(12,1)时,g'(t)<0,g(t)为减函数.
∴当t=12时,g(t)取得最大值274,即f 2(x)的最大值为274,得f(x)的最大值为3√32,又f(x)=2sin x+sin 2x为奇函数,
∴f(x)的最小值为-3√32.
解法三:∵f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=8sin𝑥2cos3𝑥2.
∴f 2(x)=64·sin2𝑥2·cos2𝑥2·cos2𝑥2·cos2𝑥2
=643·3sin2𝑥2·cos2𝑥2·cos2𝑥2·cos2𝑥2
≤643(3sin2𝑥2+cos2𝑥2+cos2𝑥2+cos2𝑥24)4=274.
当且仅当3sin2𝑥2=cos2𝑥2,即sin2𝑥2=14,cos2𝑥2=34时等号成立,所以f 2(x)的最大值为274,则f(x)的最大值为3√32,又f(x)=2sin x+sin 2x为奇函数,∴f(x)的最小值为-3√32.
3.已知常数a≠0, f(x)=aln x+2x.
(1)当a=-4时,求f(x)的极值.
(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.
解析 (1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=𝑎𝑥+2=𝑎+2𝑥𝑥.当a=-4时, f '(x)=2𝑥-4𝑥.
所以当0
当x>2时, f '(x)>0,即f(x)单调递增.
所以f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.
所以当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2,无极大值.
(2)因为f '(x)=𝑎+2𝑥𝑥,所以当a>0,x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,没有最小值.
当a<0时,由f '(x)>0,得x>-𝑎2,所以f(x)在(-𝑎2,+∞)上单调递增;
由f '(x)<0,得x<-𝑎2,所以f(x)在(0,-𝑎2)上单调递减.
