动态规划解决背包问题和旅行商问题

0-1背包动态规划解决问题

一、问题描述：

有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、总体思路：

根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。

三、动态规划的原理及过程：

number＝4，capacity＝7

i 1 2 3 4

w(重量) 3 5 2 1

v(价值) 9 10 7 4

原理：

动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

过程：

a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积（重量）；

b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn

d) 定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解， 假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；

动态规划——01背包问题

⼀、最基础的动态规划之⼀

01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。

01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。

有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：

要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。

可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。

可知dp[0][j]值⼀定为零。那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。

当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。

①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];

②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >=

Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15

15

b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11

c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11

d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10

e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

- 1 - 数学建模经典问题

数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并运用数学工具解决实际问题的方法。在数学建模的过程中，我们需要面对各种各样的问题，其中一些问题已经被广泛研究并被视为经典问题。本文将介绍几个数学建模中的经典问题。

1.旅行商问题

旅行商问题是一个经典的路线优化问题。假设有一个旅行商要拜访n个城市，每个城市之间的距离是已知的。旅行商需要找到一条回路，使得他可以在每个城市停留一次，并返回起点城市，同时旅行路程最短。这个问题是一个NP难问题，可以用动态规划、分支限界等方法求解。

2.背包问题

背包问题是一个经典的优化问题。假设有一个背包，它的容量为C，有n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。旅行商需要在这些物品中选择一些放入背包，使得背包的重量不超过C，同时所选物品的总价值最大。这个问题也是一个NP难问题，可以用动态规划、贪心算法等方法求解。

3.热传导方程

热传导方程是一个经典的偏微分方程，描述了物体内部温度的变化。它可以用来模拟热传导过程，例如烤面包、冷却热水等。热传导方程可以用有限元方法、有限差分方法等数值方法求解。

4.计算几何 - 2 - 计算几何是一个经典的数学分支，研究几何问题的计算方法。例如，给定n个点，如何寻找一个最小的圆，使得这n个点都在圆内或圆上。这个问题可以用Welzl算法等方法求解。

这些经典问题在数学建模中经常出现，它们不仅有理论研究的价值，而且对于实际应用也有着很大的意义。在数学建模的过程中，我们应该灵活运用各种数学工具，以便更好地解决实际问题。