黑龙江省大庆实验中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)

黑龙江省大庆实验中学2014届高三上学期期中考试数学文试题

参考公式：

柱体的体积公式：vsh，其中s表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

圆柱的侧面积公式：scl，其中c是圆柱的底面周长，l是圆柱的母线长.

球的体积公式V=34R3, 其中R是球的半径.

球的表面积公式：S=4πR2,其中R是球的半径.

台体体积公式：1(++)3Vhssss下下上上,其中ss下上分别为台体上下底面面积，h表示台体的高

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）

1.集合ZxxxA,21,11,3xxyyB，则BA ( )

A．1, B.1,1 C. D.1,0,1

2. 在等比数列na中, 若362459,27aaaaa, 则2a的值为（ ）

A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

3. 已知函数030log)(4xxxxfx,则)161(ff（ ）

A．9 B． 9 C． 19 D．19

4. 若平面向量a)2,1(与b的夹角是180，且︱b︱53，则b的坐标为（ ）

A．)6,3( B．)6,3( C．)3,6( D．)3,6(

5. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝

( )．

A.63 B.223 C．－63 D．－223

6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥α；

③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；

④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α.

其中正确的命题有 ( )．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

7．已知等差数列{}na的前13项之和为134，则678tan()aaa等于（ ）

A．—1 B．3 C．33 D．1

8. 若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )

A.1ab>12 B.1a＋1b≤1 C.ab≥2 D．a2＋b2≥8

9．将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移π4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ( )．

A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x

10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．143 B．173 C．203 D．8

11．当a > 0时，函数2()(2)xfxxaxe的图象大致是(

)

12．已知定义在实数集R上的函数)(xf满足1)1(f，且)(xf的导数)(/xf在R上恒有)(21)(/Rxxf，则不等式212)(22xxf的解集是（ ）

A． ),1( B． )1,( C. )1,1( D. ),1()1,(

二、 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.

14．已知O为坐标原点，点)1,1(A.若点),(yxM为平面区域,2,1,2yxyx上的动点，则OMOA的取值范围是 .

15．已知M是曲线y＝ln x＋12x2＋(1－a)x上的一点，若曲线在M处的切线的倾斜角是均不小于π4的锐角，则实数a的取值范围是________．

16．用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为

三、 解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）已知)sin()2tan()23tan()2cos()sin()(f

（1）化简)(f

（2）若是第三象限角，且51)23cos( ，求)(f的值

18. （本小题满分12分）已知p：f(x)＝1－x3，且|f(a)|<2；q：集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A≠Ø.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

19. （本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足0coscos)2(AbBac

（1）若13,7cab，求ABC的面积；

（2）求)6sin(sin3CA的取值范围．

20. （本小题满分12分）如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;

(2) 求点1B 到平面EA1C1 的距离

21. （本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：数列bn2n为等差数列，并求{bn}的通项公式；

(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(－1)nλ＜1＋Tn－6Tn＋1－6(n∈N＋)恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. （本小题满分12分）已知函数)(1)(Raxaaxxf,xxgln)(．

（1）若对任意的实数a,函数)(xf与)(xg的图象在0xx处的切线斜率总相等，求0x的值

（2）若0a，对任意0x，不等式1)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围。

期中考试数学（文）答案

DBCBA BADDB BD

13．答案

2 14．答案2,0z 15． 答案 (－∞，2] 16．答案312

17.

18. 解：若|f(a)|＝|1－a3|<2成立，则－6<1－a<6，

即当－5

若A≠Ø，则方程x2＋(a＋2)x＋1＝0有实数根，

由Δ＝(a＋2)2－4≥0，解得a≤－4，或a≥0，

即当a≤－4，或a≥0时q是真命题；----------------------------------------- 6分

由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，

p真q假时， －5

p假q真时， a≤－5或a≥7a≤－4或a≥0，∴a≤－5或a≥7. ---------------------------------- 10分

故知所求a的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)． ------------------------- 12分

19. （1）由正弦定理可得

0cossincos)sinsin2(ABBAC

0)sin(cossin2BABC

0)1cos2(sinBC

0sinC 21cosB 3B----------------------------------------- 3分

由Baccabcos2222 40ac

310sin21BacS----------------------------------------- 6分

(2) )6sin(2)6sin(sin3ACA---------------------------------------- 8分

)32,0(A.)65,6(6A

)6sin(2A取值范围是]2,1(---------------------------------------- 12分

20.【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则2,1,2BFADEFABDEFC

在36RtBFEBERtBFCBC中，＝ ，中，＝ .

在2229BCEBEBCEC中，因为＝＝,故BEBC

由1111BBABCDBEBBBEBBCC平面，得，所以平面

---- 6分

(2)1111111123ABCEABCVAAS三棱锥的体积＝＝

221111111112RtADCACADDC在中，＝=3 ,

同理,22112ECECCC＝=3 ，222113EAADEDAA＝=2

因此115ACES3. -------------------------- 10分

设点B1到平面11EAC的距离为d,则111BEAC三棱锥的体积

11153AECVdSd＝＝,从而1052,5dd -------------------------- 12分

21. 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，

因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1.

所以an＝2n－1(n∈N＋)．----------------------------------------- 3分

(2)证明 因为bn＋1－2bn＝8an，

所以bn＋1－2bn＝2n＋2，

即bn＋12n＋1－bn2n＝2.