2019甘肃省高二上学期数学(文)期末考试试卷 (2)

高二数学(文科)第一学期期末试卷

一、选择题（每小题5分,共60分）

1.中，，则

A. B. 或 C. 或 D.

【答案】B

【解析】

试题分析：根据正弦定理，,得：,解得,所以或,故选B.

考点：正弦定理

2.“”是“”的 （ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断“x2﹣3x+2＝0”是“x＝l”的必要不充分条件，再根据原命题与逆否命题的真假关系得到结论.

【详解】由x2﹣3x+2＝0，不一定得到x＝l，还可能x＝2，

反之，若x＝l，肯定能得到x2﹣3x+2＝0，

所以“x2﹣3x+2＝0”是“x＝l”的必要不充分条件，

又原命题与逆否命题等价，所以“”是“”的必要不充分条件.

故选B.

【点睛】本题考查了原命题与逆否命题真假关系的等价性，考查了充要条件的判定，属于基础题．

3.已知等差数列满足则它的前5项的和（ ）

A. 30 B. 5 C. 10 D. 50

【答案】C

【解析】 【分析】

利用等差数列的性质与求和公式即可得出．

【详解】∵a2+a4＝4，

∴a1+a5＝a2+a4＝4，

则它的前5项的和S55×2＝10．

故选：C．

【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4.函数的单调递增区间是 （ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．

【详解】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），

令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，

∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；

x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；

y＝lnt为增函数，

故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），

故选：D．

【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．

5.若是假命题，则（ ）

A. 是真命题，是假命题 B. 均为假命题

C. 至少有一个是假命题 D. 至少有一个是真命题

【答案】C

【解析】

试题分析：当、都是真命题是真命题，其逆否命题为：是假命题 、至少有一个是假命题，可得C正确.

考点： 命题真假的判断.

6.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ）

A. 1 B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2＝b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

【详解】把椭圆方程化为标准方程得：x21，

因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，

则c2，解得k＝1．

故选：A．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质的应用，属于基础题.

7.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

作出满足约束条件的可行域如图所示．

将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，经过点A时，z取得最大．由得A(1,1)．∴zmax＝2×1＋1＝3.

【此处有视频，请去附件查看】

8.双曲线的实轴长是（ ）

A. 2 B. 4 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．

【详解】根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2＝8，则其标准方程为：1，

其中a2，

则其实轴长2a＝4；

故选：B．

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意要将方程变形为标准方程，属于基础题.

9.（5分）（2011•广东）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）

A. 抛物线 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆

【答案】A

【解析】

试题分析：由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．

解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，

∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r

∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离

由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．

故选A

点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．

【此处有视频，请去附件查看】

10.给出下列四个命题：

①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；

③∀x∈R，x2﹣2x＞0； ④∃x∈R，2x+1为奇数；

以上命题的否定为真命题的序号依次是 （ ）

A. ①④ B. ②④ C. ①②③④ D. ③

【答案】D

【解析】

【分析】

根据含有量词的命题的否定原命题和命题的否定真假相反分别进行判断即可．

【详解】①有理数是实数命题正确，则命题的否定为假命题；

②有些平行四边形不是菱形，为真命题，则命题的否定是假命题；

③∀x∈R，x2﹣2x＞0为假命题，当x＝0时，不等式不成立，则命题的否定是真命题；

④∃x∈R，2x+1为奇数为真命题，则命题的否定是假命题；

故满足条件的序号是③，故选：D．

【点睛】本题主要考查命题的否定以及命题的真假判断．先判断原命题的真假是解决本题的关键．

11.若点的坐标为，为抛物线的焦点点在抛物线上移动，为使取得最小值，点的坐标应为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由向准线作垂线，垂足为，由抛物线的定义，

再由定点向准线作垂线，垂足为，那么点在该抛物线上移动，

则，

当且仅当，三点共线时取得最小值

此时的纵坐标为，横坐标为 则点的坐标为

故选

点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的简单性质，由抛物线的定义，，把转化为，当，三点共线时，取得最小值，可以求得的纵坐标为，横坐标为，从而得到点的坐标

12.已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

在方程中，令，可得，

∴．

∵△ABF2为正三角形，

∴，即，

∴，

∴，

整理得，

∴，

解得或（舍去）．选D．

点睛：求椭圆离心率或其范围的方法

(1)求的值，由直接求．

(2)列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．

二、填空题（每小题5分，共20分） 13.不等式的解集是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

先将分式不等式化为一元二次不等式，再根据一元二次不等式的解法解不等式即可．

【详解】∵，

∴（x﹣2）（x+4）＜0，

∴-4＜x＜2，

即不等式的解集为{x|-4＜x＜2}．

故答案为.

【点睛】本题主要考查分式不等式及一元二次不等式的解法，比较基础．

14.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

由双曲线方程，得到焦点坐标为（±3，0），渐近线为y＝±x．由点到直线的距离公式进行计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．

【详解】∵双曲线方程为

∴双曲线的焦点坐标为（±3，0）

渐近线为y＝±x，即x±y＝0

可得焦点F到其渐近线的距离为d．

故答案为：．

【点睛】本题考查了点到渐近线的距离，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

15.已知，，且，则的最小值为________. 【答案】16

【解析】

试题分析：，当且仅当时取“=”，所以的最小值为16.

考点：基本不等式.

16.若函数在处有极小值，则实数等于__________.

【答案】1

【解析】

【分析】

由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1处取得极小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根据条件检验即可.

【详解】∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，

∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，

∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1处取得极小值，

∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，

解得a＝1或a＝﹣4，

又当a=-4时，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此时f（x）在（上单增，在（1，上单减，所以x=1时取得极大值，舍去；

又a=1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此时f（x）在（上单减，在（1，上单增，符合在x＝1处取得极小值，

所以a＝1．

故答案为：1

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．

三、解答题 （第17题10分，其余各题12分，共70分）

17.设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，.

(1)求角的大小.

(2)若，，求.

【答案】（1）；（2）