张量的低秩逼近-Minru-Baippt

【张量分析ppt课件】张量分析课件第 二章2 矢量函数
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
谢谢你的阅路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

低秩张量近似定义一、低秩张量近似的基本概念1. 张量的概念（以人教版数学知识为基础的简单理解拓展）- 在数学中，张量是一种多线性关系的数学对象。

简单来说，如果我们把向量看作是有方向的量（在一维空间中的一种特殊数学对象），矩阵可以看作是二维的数组，那么张量就是更高维的数组。

例如，一个二阶张量可以表示为矩阵的形式，它在物理等很多领域有广泛应用，像应力张量等。

- 设一个张量T∈R^I_1× I_2×·s× I_N，这里I_n表示在第n个维度上的大小。

2. 秩的概念在张量中的延伸- 在矩阵中，秩表示矩阵中线性无关的行（列）向量的最大个数。

对于张量来说，秩的概念变得更加复杂。

张量秩有不同的定义方式，其中一种常见的定义是基于张量分解的概念。

- 例如，对于一个二阶张量（矩阵）A，如果它可以分解为A = UV^T，其中U 是m× r矩阵，V是n× r矩阵，r就是矩阵A的秩（这里r≤min(m,n)）。

对于高阶张量，也有类似基于分解形式来定义秩的方式。

3. 低秩张量近似的定义- 低秩张量近似就是找到一个秩相对较低的张量T̂来近似原始的张量T。

- 从数学上来说，给定一个张量T∈R^I_1× I_2×·s× I_N，我们希望找到一个低秩张量T̂，使得某种距离度量d(T,T̂)尽可能小。

常见的距离度量有Frobenius范数，即d(T,T̂)=<=ftlVert T - T̂rightrVert_F=√(∑_{i_1 = 1)^I_1∑_{i_2 = 1}^I_2·s ∑_{i_N = 1}^I_N(T_{i_1i_2·s i_N}-T̂_{i_1i_2·s i_N})^2}。

- 低秩张量近似的意义在于，在很多实际应用中，原始张量可能非常复杂且数据量巨大。

通过找到低秩近似，可以在保持一定精度的情况下，大大降低数据的存储量和计算复杂度。

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26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T

按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称