§4 矩阵的秩
一、矩阵的秩
如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
0000500041201311A
的行向量组是
)0,0,0,0(,)5,0,0,0(,)4,1,2,0(,)1,3,1,1(4321
它的秩是3.它的列向量组是
)0,5,4,1(,)0,0,1,3(,)0,0,2,1(,)0,0,0,1(4321
它的秩也是3.
矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
0,0,0221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa （1）
的系数矩阵
snssnnaaaaaaaaaA212222111211
的行秩nr，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系 定理5 nn矩阵
nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211
的行列式为零的充要条件是A的秩小于n.
推论 齐次线性方程组
0,0,0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa
有非零解的充要条件是它的系数矩阵
nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211
的行列式等于零.
矩阵秩的8大性质:
② R(AT)-1?(A);
③ 若A〜叭则R(A) = R(B);
④ 若八Q可逆，则R(PAQ) = R(A). 下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质：
⑤ nwc{R(A),R(E)IWR(A』)WR(A) + 特别地，当B = b为非零列向量时，有
R(AX/?(A,fr)
⑦ R(AB)
⑧ 若釘4产O,则R(A) + R(B)£”.(见下章例13)
设AB = Of若A为列满秩矩阵，则B-0.线性方程组的解:
定理3 H元线性方程组A x=&
(i) 无解的充分必要条件是K(A)CR(A』)；
(ii) 有惟一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b)=n;
(iii) 有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A』)Cr?・
定理4 n元齐次线性方程组Ax=OW零解的充分必要条件是R(A)Cm
£35翹方聽AE鬧械酬髓件默⑷=R(A"
定理6矩阵方程AX=B有繃充分必要条件是R(A) = R(A,B)・
定理7 «AB = C,则 R(C)Wmin|R(A),R(B)h向量组的线性相关性:
定鰹1向跖能由向量组严心线憐示的充分必要桑件是
3£阵A珂的曲严心)的秩等于矩阵B =(爲卫2广』册』)的税.
定理2向虽组B；bJ“7 能由向蚩组A0叫…心 线性表示的
充分必要条件是矩阵A = («i严心)的秩等于矩阵(A,B)=(釦，…上捕,
27啲秩，即 R(A} = R(A,B)・
推论向輦组A：叭与向H组B；枷』ejE等价的充分必要
条件是
J?(A) = R(B)-J?(A,B)t
其中A和月是向僮组A和B所构成的矩阵”
定理3设向悽组B：D］』2「讪能由向證组A"1厲厂心线性表示.
JMR(h』w讪KR仏曲厂叫)
阵A = g曲严心)的秩小于向懂个数奶向咼组线性无关曲充分必要条件
是R⑷二皿
血“也线性相关成盲之，若向储组B线性无关侧向虽组A也线性无关.
(2) 7«个"维向虽组成的向量组,当维数«小于向虽个数加时一定銭牲相 关•特别地d+1个”维向量一定线性相关，
矩阵的秩及相关定理
矩阵是⼀个数表，⾥⾯的元素有很多种理解⽅式，现在我们将矩阵理解为由⾏向量或列向量组成的⼀个向量组。
则矩阵的秩就是：⾏向量组或者列向量组中极⼤线性⽆关组所含向量的个数，或者说秩是列(⾏)向量空间的最低维度。
所以我们拿到⼀组向量，通过构造矩阵求秩，就可以知道这些向量所在空间的最低维度。怎么理解呢？
线性空间是我们⽤来容纳向量的集合，⽐如⽔平⾯就是⼀个线性空间，平⾯上的所有向量都是该空间内的元素，⽽⽔平⾯内的向量其实
⼜全包含在三维空间内，所以三维空间也可以构成⼀个线性空间，来容纳⽔平⾯上的所有向量，⼀组向量所处的线性空间维度是没有上
限的，但有下限，这个下限就是这个向量组的秩，⽐如平⾯上的所有向量秩为 2，那最少得⽤⼀个平⾯来容纳它们，总不能⽤直线来
容纳吧。
总之：秩就是容纳这些向量的最⼩向量空间的维数。
设有若⼲个向量，它们能找到⼀个维数为 n 的空间容纳，且⽆法再找到更低维度的空间，那么它们的线性组合必然也能被这个空间容纳。
这是由线性空间的封闭性决定的。
注：如果不了解什么是向量空间的维数和向量维数，可先阅读。
进⼀步理解：以 AB=C 为例
α1α2...αn⋅b11b12...b1nb21b22...b2n............bn1bn2...bnn=β1β2...βn
矩阵 C 的列向量组可以由矩阵 A 的列向量组线性表出，输出向量组所在向量空间的最低维度必然不会超过矩阵 A 的秩。
输出的向量可能就被压缩到低维度的空间，即降秩(取决于变换的矩阵)。
理解了上述内容，可以得到⼀个定理：r(AB)≤min(r(A),r(B))
1）将 A 看成变换矩阵，按列分块，矩阵 B 即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵列向量都可以由 A 列向量组表⽰，故 r(AB)≤r(A)。
2）将 B 看成变换矩阵，按⾏分块，矩阵 A 即为输⼊向量的坐标，则输出矩阵⾏向量都可以由 B ⾏向量组表⽰，故 r(AB)≤r(B)。
矩阵的秩的定理
矩阵的秩的定理，也称为格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)定理或斯皮耳定理(Sylvester's law)，是线性代数中的一个基本定理。它描述了一个矩阵的秩，也称为矩阵的“行秩”或“列秩”，等于其行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
具体地，设A是一个n\times m矩阵，r是它的秩，则：
1. 存在n\times r矩阵B和r\times m矩阵C，使得A=BC；
2. r等于矩阵A中的行向量组或列向量组的极大线性无关组中向量的个数。
这个定理的证明可以通过线性代数的一般理论，包括线性空间的基本概念和线性相关性等进行推导。
矩阵的秩的定理在很多数学和工程应用中都得到了广泛的应用，如矩阵分解、矩阵压缩、图像处理、信号处理和统计学中的因子分析等。
